oân thi cao hoïc moân toaùn kinh teá

Ta xeùt tröôøng hôïp côõ maãu khaù lôùn.. Caùc soá lieäu cuûa baøi toaùn ñaõ ñöôïc xeùt nhieàu laàn. Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng:.. Haõy öôùc löôïng[r]

(1)

ƠN THI CAO HỌC MƠN TỐN KINH TẾ

(Biên soạn: Trần Ngọc Hội - 2007)

PHẦN III: THỐNG KÊ

A-

ƯỚC LƯỢNG

§1 CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU 1.1 Bảng số liệu

Khi khảo sát đám đơng X ta thu thập số liệu mẫu cỡ n: (X1, X2,…, Xn) thường lập bảng số liệu theo dạng sau:

Dạng 1: Liệt kê dạng:

x1, x2,…, xn

trong số liệu lặp lại nhiều lần Dạng 2: Lập bảng có dạng:

Xi x1 x2 ……… xk

ni n1 n2 ……… nk

trong x1 < x2 <… < xk số liệu xi xuất ni lần

Dạng 3: Lập bảng có dạng:

Xi x1- x2 x2- x3 ……… xk- xk+1

ni n1 n2 ……… nk

trong x1 < x2 <… < xk < xk+1 nửa khoảng [xi; xi+1)

(trừ cuối đoạn [xk; xk+1]) chứa ni số liệu

Khi xử lý số liệu ta đưa số liệu Dạng

(2)

Dạng đưa Dạng cách thay khoảng xi-xi+1 giá trị trung bình hai đầu mút

2

'

i

x

Trong phần sau, ta xét mẫu đám đơng X có dạng 1.2 Kỳ vọng mẫu

1) Định nghĩa: Kỳ vọng mẫu hay Trung bình mẫu đám đơng X ứng với mẫu (X1, X2,…, Xn), kí hiệu

X

n

hay

X

là đại lượng ngẫu nhiên định bởi:

k

i i i

n

X

n

X

1

2) Ý nghóa:

Khi

n

X

n

X

M

(

)

1.3 Phương sai mẫu

và độ lệch mẫu

1) Định nghóa:

Phương sai mẫu đám đơng X ứng với mẫu (X1, X2,…, Xn), kí hiệu

2

S

x

k

2 2 2

i i i

1

S

X n

(X)

n

Căn bậc hai phương sai mẫu X gọi độ lệch mẫu, kí hiệu

S

x

k

2

i i i

1

S

X n

(X)

n

2) Phương sai mẫu độ lệch mẫu hiệu chỉnh

Phương sai mẫu hiệu chỉnh đám đông X ứng với mẫu (X1, X2,…, Xn), kí hiệu

S

x

(3)

k

2 2

i i i

n

1

n

S

X n

(X)

n 1

Căn bậc hai phương sai mẫu hiệu chỉnh X gọi độ lệch mẫu hiệu chỉnh,

S

x

k

2

i i i

1

n

S

X n

(X)

n 1

3) Ý nghóa:

Khi

n

2

D(X) S

1.4 Phương sai mẫu và độ lệch mẫu

1) Định nghóa:

Ta xét đám đơng với tỉ lệ phần tử có tính chất A p Dấu hiệu X mà ta quan tâm phần tử đám đơng có tính chất A hay khơng: Nếu có, ta đặt X = 1; không, ta đặt X = Như vậy, đám đơng X có phân phối Bernoulli X B(p) sau:

X

P q p

(q = 1-p)

Khi mẫu cỡ n gồm n đại lượng ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn) mà Xi có phân phối Bernoulli với X:

Xi B(p), nghóa

Xi

P q p

Nói cách khác, Xi nhận hai giá trị: (với xác suất q)

(với xác suất p)

Tỉ lệ mẫu đám đông X ứng với mẫu (X1, X2,…, Xn), kí

hiệu Fn, đại lượng ngẫu nhiên định bởi:

k

n i i

i

1

F

X n

(4)

2) Ý nghóa:

Khi

n

Do n lớn ta xấp xỉ:

p F

3) Chuù yù:

Dưới Dạng bảng, việc tính giá trị tỉ lệ mẫu đơn giản ta cần xác định số phần tử m thỏa tính chất A mẫu cỡ n Khi

n

m

F

n

Ví dụ: Để khảo sát tiêu X loại sản phẩm, người ta quan sát mẫu có kết sau:

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phaåm 20 16 16 13 18

Những sản phẩm có tiêu X từ 19 cm trở xuống xếp vào loại B Hãy xác định kỳ vọng mẫu, phương sai mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh, độ lệnh mẫu, độ lệnh mẫu hiệu chỉnh tiêu X tỉ lệ mẫu sản phẩm loại B

Giaûi

Trước hết ta thay khoảng xi- xi+1 giá trị trung

bình hai đầu mút

2

'

i

x

Xi 13 17 21 25 29 33 37

ni 20 16 16 13 18

Ta coù:

- Cỡ mẫu n = 100

- Kỳ vọng mẫu X

).

(

36

,

26

1

cm

n

X

n

X

i

- Phương sai mẫu X là:

2 2 2 2 2

i i

1

(5)

- Độ lệch mẫu X là: S 7,4452 (cm)

- Phương sai mẫu hiệu chỉnh X là:

2

n

S

(7,4827) (cm ).

n 1

- Độ lệch mẫu hiệu chỉnh X là: S 7,4827(cm)

- Tỉ lệ mẫu sản phẩm loại B là:

%.

17

,

0

100

17

n

m

F

n

vì n = 100 sản phẩm có m = + = 17 sản phẩm có tiêu X nhỏ hay 19 cm, nghĩa có m = 17 sản phẩm loại B

Chú ý: Ta sử dụng phần mềm thống kê máy tính bỏ túi CASIO 500MS, 570MS, ) sau:

1) Vào MODE SD: Bấm MODE… bấm số ứng với SD 2) Xóa nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE (màn hình lên Stat clear) = AC Kiểm tra lại: Bấm REPLAY Up Down thấy n = góc số xóa

3) Nhập số liệu: 13 ; M+

17 ; M+

21 ; 20 M+

25 ; 16 M+

29 ; 16 M+

33 ; 13 M+

37 ; 18 M+

Lưu ý: Để ; ta bấm SHIFT , 4) Kiểm tra sửa số liệu sai:

Bấm REPLAY Down để kiểm tra số liệu Thấy số liệu sai để hình số liệu đó, nhập số liệu bấm = số liệu thay cho số liệu cũ

Ví dụ: Nhập sai 13 ; 18 M+ Khi kiểm tra ta thấy:

- x1 = 13 (đúng)

- Freq1 = 18 (sai)

(6)

Số liệu bị nhập dư để hình số liệu bấm SHIFT M+ tịan số liệu (gồm giá trị X tần số

tương ứng) bị xóa

Sau kiểm tra xong phải bấm AC để xóa hình khỏi chế độ chỉnh sửa

5) Đọc kết quả:

- Bấm SHIFT 1 ( X2) = ta

i i

X n 75028 - Bấm SHIFT ( X ) = ta

X n 2636;

- Bấm SHIFT (X) = ta kỳ vọng mẫu

X 26,36

S 7,4452

S

(7,4452)

- Bấm SHIFT (x n-1) = ta độ lệch chuẩn hiệu chỉnh:

S 7,4827

Suy phương sai mẫu hiệu chỉnh

S

(7,4827)

§2 ƯỚC LƯỢNG

2.1 Ước lượng điểm

Xét đám đông X mẫu (X1, X2, , Xn) ta có ước lượng

điểm không chệch sau:

1) Kỳ vọng mẫu

X

(7)

2) Phương sai mẫu hiệu chỉnh S2 ước lượng không

chệch phương sai đám đông:

2

D(X) S

3) Tỉ lệ mẫu Fn ước lượng không chệch tỉ lệ

đám đông:

n

F

p

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phaåm 20 16 16 13 18

Những sản phẩm có tiêu X từ 19 cm trở xuống xếp vào loại B Hãy ước lượng giá trị trung bình, phương sai tiêu X tỉ lệ sản phẩm loại B

Giaûi

Trong Ví dụ §1, ta tìm được:

- Kỳ vọng mẫu X

X

26

,

36

(

cm

).

2

2 n 2

S S (7,4827) 55,9903 (cm ) n

- Tỉ lệ mẫu sản phẩm loại B

F

n

17

%.

- Giá trị trung bình X

M(X)

X

26

,

36

(

cm

).

D(X) S2 55,9903 (cm ).2

(8)

2.2 Ước lượng khoảng cho kỳ vọng

Xét đám đông X mẫu (X1, X2, , Xn), ta có cơng thức

ước lượng khỏang cho kỳ vọng M(X) với độ tin cậy = - sau:

Trường hợp 1: n 30; 2 = D(X) biết

1

(X z

; X z

)

(z )

2

n

với

( hàm Laplace) Độ xác ước lượng z

n

Trường hợp 2: n 30; 2 = D(X) chưa biết

S

1

(X z

; X z

)

(z )

2

n

với

(S độ lệch mẫu hiệu chỉnh, hàm Laplace) Độ xác ước lượng z S

n

Trường hợp 3: n< 30; X có phân phối chuẩn, 2 = D(X)

bieát

1

(X z

; X z

)

(z )

2

n

với

( hàm Laplace) Độ xác ước lượng z

n

Trường hợp 4: n< 30; X có phân phối chuẩn, 2=D(X) chưa

bieát

S

(X t

; X t

)

n

(S độ lệch mẫu hiệu chỉnh) t tk xác định từ

bảng phân phối Student ứng với bậc tự k = n–1 = - Độ xác ước lượng t S

n

Tra Bảng hàm Laplace để xác dịnh z thỏa (z )

2

(9)

(z ) = /2 z 90% 0,45 1,65 95% 0,475 1,96 96% 0,48 2,06 97% 0,485 2,17 98% 0,49 2,33 99% 0,495 2,58

Đôi giá trị z cho dạng P(|Z| z ) = 1- = hay P(Z z ) = 0,5 +1

2 = 0,5 2, Z N(0,1)

Bảng phân phối Student ứng với k = n – = - cho ta giá trị t tk thỏa P(|T|> t ) = = - , nghĩa P(|T| t ) =

1- = Ví dụ: Khi k = 12, = 0,01 ta có t = 3,055

Ví duï: Để khảo sát tiêu X loại sản phẩm, người ta quan sát mẫu có kết sau:

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39

Số sản phẩm 20 16 16 13 18

Những sản phẩm có tiêu X từ 19 cm trở xuống xếp vào loại B

a) Ước lượng giá trị trung bình tiêu X với độ tin cậy 95%

b) Ước lượng giá trị trung bình tiêu X sản phẩm loại B với độ tin cậy 99% (Giả sử X có phân phối chuẩn)

Giải

a) Đây tốn ước lượng khoảng cho kỳ vọng = M(X) với độ tin cậy = - = 95% = 0,95

Với số liệu trên, §1, ta tìm được: - Cỡ mẫu n = 100

-

X

26

,

36

(

cm

).

-

S

(

7

,

4827

)

(

cm

).

Vì n 30, 2 = D(X) chưa biết nên ta có cơng thức ước lượng

(10)

S S

(X z ; X z )

n n

trong (z ) = /2 = 0,95/2 = 0,475

Tra bảng B giá trị hàm Laplace ta z = 1,96 Vậy ước lượng khoảng là:

).

83

,

27

;

89

,

24

(

)

100

4827

,

7

96

,

1

36

,

26

;

100

4827

,

7

96

,

1

36

,

26

(

Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, giá trị trung bình tiêu X từ 24,89cm đến 27,83 cm

b) Đây toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng B = M(XB)

của tiêu X = XB sản phẩm loại B với độ tin cậy

= - = 99% = 0,99

Ta lập bảng số liệu XB:

XBi 13 17

nBi

Từ bảng ta tính được:

;

17

B

n

X

Bi

n

Bi

257

;

X

Bi

n

Bi

3

.

953

.

- Kyø vọng mẫu XB

B Bi Bi

B

1

X X n 15,1176 (cm)

n

- Phương sai mẫu XB là:

2 2 2 2 2

B Bi Bi B

B

1

S X n X (1,9965) (cm )

n

- Phương sai mẫu hiệu chỉnh XB là:

2 B 2

B B

B

n

S S (2,0580) (cm )

n

Vì nB < 30, XB có phân phối chuẩn, 2B= D(XB) chưa bieát,

(11)

B B

S S

(X t ; X t )

n n

trong t tk xác định từ bảng phân phối Student với

k = nB–1 = 16 vaø = - = – 0,99 = 0,01 Tra baûng phân phối

Student ta t 2,921 Vậy ước lượng khoảng là:

).

58

,

16

;

66

,

13

(

)

17

0580

,

2

921

,

2

1176

,

15

;

17

0580

,

2

921

,

2

1176

,

15

(

Nói cách khác, với độ tin cậy 99%, giá trị trung bình tiêu X sản phẩm loại B từ 13,66cm đến 16,58cm

2.3 Ước lượng khoảng cho tỉ lệ

Xét đám đông X mẫu (X1, X2, , Xn), ta có cơng thức

ước lượng khỏang cho tỉ lệ p = P(A) với độ tin cậy = - sau:

n n n n

n n

F (1 F )

1

(F z

;F z

)

(z )

n

với

2

(Fn tỉ lệ mẫu, hàm Laplace) Độ xác ước lượng

n n

F (1 F ) z

n

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39

Số sản phẩm 20 16 16 13 18

Những sản phẩm có tiêu X từ 19 cm trở xuống xếp vào loại B Ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại B độ tin cậy 98%

Giaûi

Đây toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p sản phẩm loại B với độ tin cậy = - = 98% = 0,98

Ta có cơng thức ước lượng khoảng :

n n n n

n F (1 F ) n F (1 F )

(F z ;F z )

n n

(12)

Tra bảng giá trị hàm Laplace ta z = 2,33

Ta có cỡ mẫu n = 100 Tỉ lệ mẫu sản phẩm loại B là:

%.

17

,

0

100

17

n

m

F

n

vì n = 100 sản phẩm có m = 8+ = 17 sản phẩm có tiêu X nhỏ hay 19 cm, nghĩa có m = 17 sản phẩm loại B

Vậy ước lượng khoảng là:

0,17(1 0,17) 0,17(1 0,17)

(0,17 2,33 ; 0,17 2,33 ) (0,0825; 0,2575)

100 100

(8,25%; 25,75%)

Nói cách khác, với độ tin cậy 98%, tỉ lệ sản phẩm loại B từ 8,25% đến 25,75%

2.4 Các tiêu tốn ước lượng khoảng cho kỳ vọng tỉ lệ

Trong toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng tỉ lệ có tiêu là:

- Cỡ mẫu n - Độ xác - Độ tin cậy = -

Nếu biết tiêu suy tiêu lại

1) Trường hợp ước lượng khoảng cho kỳ vọng

Ta xét trường hợp phổ biến n 30; 2 = D(X) chưa

biết Khi đó, ta có cơng thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng = M(X) với độ tin cậy :

S S

(X z ; X z ) (z )

2

n n với

Do ta có cơng thức độ xác ước lượng là:

S

z (1)

(13)

- Nếu biết cỡ mẫu n độ tin cậy ta tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z thoả (z ) = /2 Từ ta tìm độ xác theo (1)

- Nếu biết cỡ mẫu n độ xác từ (1) ta suy

n

z

S

Tra bảng B giá trị hàm Laplace ta tìm (z ) Từ suy độ tin cậy = (z )

- Nếu biết độ xác độ tin cậy từ (1) ta suy ra:

2

z S n

Chú ý z S khơng số ngun, nữa, ta biết ước lượng, cỡ mẫu lớn ước lượng xác Do thực tế ta có yêu cầu:

2

z S

n (2)

Gọi n1 số nguyên n nhỏ thoả (2); n0 cỡ mẫu có

Nếu n1 n0 ta khơng cần điều tra thêm cỡ mẫu

đang có thỏa (2)

Nếu n1 > n0 ta cần điều tra thêm n1- n0 số

liệu để đảm bảo tổng số liệu n1 thoả (2)

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39

Số sản phẩm 20 16 16 13 18

(14)

b) Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình tiêu X loại sản phẩm với độ xác 1,5cm độ tin cậy 97% phải điều tra thêm sản phẩm nữa?

Giải

Các số liệu tốn tính ví dụ trước Nhắc lại :

- Cỡ mẫu n = 100 - X 26,36(cm)

-

S

(

7

,

4827

)

(

cm

).

a) Đây toán xác định độ tin cậy = 1- ước lượng kỳ vọng tiêu X với độ xác = 1,8cm

Vì n 30, 2 = D(X) chưa biết nên ta có cơng thức tính độ

chính xác ước lượng:

S

z

n

trong (z ) = /2 Suy

n 1,8 100

z 2,41

S 7,4827

Tra bảng giá trị hàm Laplace ta độ tin cậy là:

2 (z ) (2, 41) 2.0, 4920 98, 40%.

b) Đây toán xác định cỡ mẫu ước lượng kỳ vọng tiêu X với độ xác = 1,5cm độ tin cậy = 1- = 97% = 0,97

Vì n 30, 2 = D(X) chưa biết nên ta có cơng thức tính độ

chính xác ước lượng:

S

z

n

trong (z ) = /2 = 0,97/2 = 0, 485

(15)

2

z S n

Thực tế yêu cầu:

2

z S 2,17.7,4827

n 117,18

1,5

Giá trị n nguyên nhỏ thỏa bất đẳng thức n1 = 118

Vì n1 = 118 > 100 (100 cỡ mẫu có) nên ta cần điều tra

thêm 118 – 100 = 18 sản phẩm

2) Trường hợp ước lượng khoảng cho tỉ lệ

Ta xét trường hợp cỡ mẫu lớn Khi đó, ta có cơng thức ước lượng khoảng cho tỉ lệ p với độ tin cậy :

n n n n

n F (1 F ) n F (1 F )

(F z ;F z ) (z )

n n với 2

Do ta có cơng thức độ xác ước lượng là:

n n

F (1 F )

z (1)

n

- Nếu biết cỡ mẫu n độ tin cậy ta tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z thoả (z ) = /2 Từ ta tìm độ xác theo (1)

- Nếu biết cỡ mẫu n độ xác từ (1) ta suy

n n

n z

F (1 F )

Tra bảng giá trị hàm Laplace ta tìm (z ) Từ suy độ tin cậy = (z )

- Nếu biết độ xác độ tin cậy từ (1) ta suy ra:

2

n n

2

(16)

Chú ý raèng n n

z F (1 F ) khơng số ngun, nữa, ta biết ước lượng, cỡ mẫu lớn ước lượng xác Do thực tế ta có yêu cầu:

2

n n

2

z F (1 F )

n (2)

Gọi n1 số nguyên n nhỏ thoả (2); n0 cỡ mẫu có

Nếu n1 n0 ta khơng cần điều tra thêm cỡ mẫu

đang có thỏa (2)

Nếu n1 > n0 ta cần điều tra thêm n1- n0 số

liệu để đảm bảo tổng số liệu n1 thoả (2)

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39

Số sản phẩm 20 16 16 13 18

Những sản phẩm có tiêu X từ 19 cm trở xuống xếp vào loại B

a) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại B với độ xác 8% đạt độ tin cậy bao nhiêu?

b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại B với độ xác 9% độ tin cậy 96% phải điều tra thêm sản phẩm nữa?

Giaûi

Các số liệu toán xét nhiều lần Nhắc lại :

- Cỡ mẫu n = 100

- Tỉ lệ mẫu sản phẩm loại B Fn = 0,17

a) Đây toán xác định độ tin cậy = 1- lượng tỉ lệ sản phẩm loại B với độ xác = 8% = 0,08

(17)

n n

F (1 F ) z

n (z ) = /2 Suy

n n

n 100

z 0, 08 2,13

F (1 F ) 0,17(1 0,17)

Tra bảng giá trị hàm Laplace ta độ tin cậy

2 (z ) (2,13) 2.0, 4834 96, 68%

Vậy độ tin cậy đạt 96,68%

b) Đây toán xác định cỡ mẫu ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại B với độ xác = 9% = 0,09 độ tin cậy

= 1- = 96% = 0,96

Ta có cơng thức tính độ xác ước lượng:

n n

F (1 F ) z

n (z ) = /2 = 0,96/2 = 0,48

Tra bảng giá trị hàm Laplace ta z = 2,06 Suy

2

n n

2

z F (1 F ) n

Thực tế yêu cầu:

2

n n

2

z F (1 F ) 2,06 0,17(1 0,17)

n 73,92

0,09

Giá trị n nguyên nhỏ thoả bất đẳng thức n1 = 74

Vì n1 = 74 < 100 (100 cỡ mẫu có) nên ta không cần điều

tra thêm sản phẩm

2.5 Ước lượng khoảng cho phương sai

Xét đám đơng X có phân phối chuẩn mẫu (X1, X2, , Xn),

ta có cơng thức ước lượng khỏang cho phương sai 2 = D(X) với

(18)

Trường hợp 1: M(X) biết:

2

i i

2

1

2

(X

)

(X

)

;

trong 2

2

cho bảng phân phối chi bình phương 2(n) với n bậc tự do thỏa P( 2) ;

2 i

(X ) tổng bình phương maãu (X1 - , X2 - , , Xn- )

Trường hợp 2: M(X) chưa biết:

2

1

2

(n 1)S (n 1)S

;

trong

2

vaø

2

cho bảng phân phối chi bình phương 2 (k) với k = n-1 bậc tự thỏa P( 2) ; S2

phương sai mẫu hiệu chỉnh

Bảng phân phối chi bình phương 2 (n) với n bậc tự

cho ta giá trị thỏa P( 2) Ví dụ: với n = 30;

= 0,01 ta coù 37,57

(Trong số tài liệu khác, kí hiệu giá trị mà

2

P( ) Theo nghóa 2 giá trị

1 mà ta

đã xét trên)

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39

Soá sản phẩm 20 16 16 13 18

(19)

a) Biết giá trị trung bình X 25cm b) Chưa biết giá trị trung bình X Giải

a) Giả thiết cho ta = M(X) = 25 Ta có ước lượng khoảng phương sai với độ tin cậy = - = 95% ( = 0,05) là:

2

i i

2

1

2

(X

)

(X

)

;

Ta lập bảng:

Xi - -12 -8 -4 12

ni 20 16 16 13 18

Từ ta tìm cỡ mẫu n = 100; i

(X ) 5728

Tra bảng phân phối chi bình phương 2 (n) với n = 100 bậc tự

do ta được:

2 2

0,05 124,3 vaø 0,95 77,93

Vậy ước lượng khoảng phương sai là:

5728 5728; (46,08;73,50) 124,3 77,93

Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, phương sai tiêu X loại sản phẩm từ 46,08(cm2) đến 73,50(cm2)

b) Ta có ước lượng khoảng phương sai với độ tin cậy = - = 95% ( = 0,05) là:

2

1

2

(n 1)S (n 1)S

;

Các số liệu toán tính ví dụ trước Nhắc lại :

- Cỡ mẫu n = 100 -

X

26

,

36

(

cm

).

-

(

7

,

4827

)

(

).

(20)

Tra bảng phân phối chi bình phương 2 (n-1) với n-1 = 99 100

bậc tự ta được:

2 2

0,05 124,3 vaø 0,95 77,93

Vậy ước lượng khoảng phương sai là:

2

99.(7,4827) 99.(7,4827); (44,59;71,13) 124,3 77,93

Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, phương sai tiêu X loại sản phẩm từ 44,59(cm2) đến 71,13(cm2)

§3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT

3.1 Kiểm định giả thiết kỳ vọng

1) Bài tốn: Xét đám đơng X có kỳ vọng = M(X) chưa biết Với số (0 < < 1) bé, dựa vào mẫu (X1, X2,…,

Xn) để kiểm định giả thiết:

H0: = 0 ( 0 số ) với giả thiết đối H1: 0

với mức ý nghĩa

2) Qui tắc kiểm định: Ta có trường hợp: Trường hợp 1: n 30; 2 = D(X) biết:

Bước 1: Tính t (X 0) n .

Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z thoả (z )=(1- )/2 Bước 3: Kiểm định cách so sánh |t| với z :

Nếu |t| z chấp nhận giả thiết H0: =

Nếu |t| > z bác bỏ giả thiết H0: =

Trường hợp 2: n 30; 2 = D(X) chưa biết:

Bước 1: Tính t (X 0) n . S

Neáu |t| z chấp nhận giả thiết H0: =

(21)

Trường hợp 3: n < 30; X có phân phối chuẩn; 2 = D(X) biết:

Qui tắc kiểm định giống trường hợp

Trường hợp 4: n < 30; X có phân phối chuẩn; 2 = D(X) chưa biết:

Bước 1: Tính t (X 0) n . S

Bước 2: Đặt k = n - Tra bảng phân phối Student ứng với bậc tự k mức ý nghĩa tìm giá trị t tk

Bước 3: Kiểm định cách so sánh |t| với t :

Nếu |t| t chấp nhận giả thiết H0: =

Nếu |t| > t bác bỏ giả thiết H0: =

3) Chú ý thay đổi giả thiết đối: Trường hợp giả thiết đối mang dấu bất đẳng thức qui tắc kiểm định có thay đổi tương ứng sau:

Kiểm định H0: = 0 với giả thiết đối H1: > 0

Bài toán thường đặt X 0 Khi giá trị

0

(X ) n

t t (X 0) n

S dương

Ta có qui tắc kiểm định tương tự trên, thay so sánh |t| với z t ta so sánh t với z2 t2 Cụ thể:

Đối với trường hợp 1, 2, 3: Nếu t z2 chấp nhận

giả thiết H0: = Nếu t > z2 bác bỏ giả thiết H0: =

Đối với trường hợp 4: Nếu t t2 chấp nhận giả thiết

H0: = Neáu t > t2 bác bỏ giả thiết H0: =

Kiểm định H0: = 0 với giả thiết đối H1: < 0

Bài toán thường đặt X Khi giá trị

0

(X ) n

t t (X 0) n

S âm

Ta có qui tắc kiểm định tương tự trên, thay so sánh |t| với z t ta so sánh -t với z2 t2 Cụ

theå:

Đối với trường hợp 1, 2, 3: Nếu -t z2 chấp nhận

(22)

Đối với trường hợp 4: Nếu -t t2 chấp nhận giả thiết

H0: = Nếu -t > t2 bác bỏ giả thiết H0: =

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39

Số sản phẩm 20 16 16 13 18

Những sản phẩm có tiêu X từ 19cm trở xuống xếp vào loại B

a) Giả sử trung bình tiêu chuẩn tiêu X 29cm Hãy nhận định tình hình sản xuất với mức ý nghĩa 1%

b) Theo qui định, gía trị trung bình tiêu X 25cm Các số liệu thu thập từ sản phẩm máy sản xuất Với mức ý nghĩa 2% kết luận sản phẩm máy sản suất có tiêu X cao qui định hay không?

c) Bằng phương pháp sản xuất mới, sau thời gian, người ta thấy giá trị trung bình tiêu X sản phẩm loại B 16cm Hãy cho kết luận phuơng pháp với mức ý nghĩa 2% (Giả sử X có phân phối chuẩn)

d) Theo số liệu thống kê cũ, gía trị trung bình tiêu X sản phẩm loại B 16,5cm Các số liệu thu thập sau áp dụng phương pháp sản xuất Hãy cho kết luận nhận định cho phương pháp có tác dụng làm giảm tiêu X sản phẩm loại B với mức ý nghĩa 2% (Giả sử X có phân phối chuẩn)

Giải

Các số liệu tốn tính : - Cỡ mẫu n = 100

- Kỳ vọng mẫu X:

X

26

,

36

(

cm

).

- Phương sai mẫu hiệu chỉnh X:

S

(

7

,

4827

)

(

cm

).

- Cỡ mẫu loại B: nB = 17

- Kỳ vọng mẫu XB:

X

B

15

,

1176

(

cm

).

- Phương sai mẫu hiệu chỉnh XB:

S

B

(

2

,

0580

)

(

cm

).

(23)

H0: = 29 với giả thiết đối H1: 29

Vì n 30; 2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định sau:

Bước 1: Ta có

0

(X

) n

(26,36 29) 100

t

3,5281.

S

7,4827

Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z thoả (z ) = =(1- )/2 = 0,99/2 = 0,495

ta z = 2,58

Bước 3: Kiểm định

Vì |t| = 3,5281 > 2,58 = z nên ta bác bỏ giả thiết H0:

=29

Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, tình hình sản xuất khơng bình thường giá trị trung bình tiêu X khơng tiêu chuẩn

b) Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng = M(X) với mức ý nghĩa = 2% = 0,02:

H0: = 25 với giả thiết đối H1: > 25

Vì n 30; 2= D(X) chưa biết, nên ta kiểm định sau:

Bước 1: Ta có

0

(X ) n (26,36 25) 100

t 1,8175

S 7,4827

Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2 thoả

(z2 ) = (1- )/2 = 0,96/2 = 0,48 ta z2 = 2,06

Bước 3: Kiểm định

Vì t =1,18175 < 2,06 = z2 nên ta chấp nhận giả thiết

(24)

Kết luận: Với mức ý nghĩa 2%, kết luận sản phẩm máy sản suất có tiêu X cao qui định

c) Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng

B = M(XB) tiêu X = XB sản phẩm loại B với mức

ý nghóa = 2% = 0,02:

H0: B = 16 với giả thiết đối H1: B 16

Vì nB < 30, XB có phân phối chuẩn, 2B= D(XB) chưa biết, nên ta

kiểm định sau: Bước 1: Ta có

B B

B

(X ) n (15,1176 16) 17

t 1,7678

S 2,0580

Bước 2: Đặt k = nB -1 = 16 Tra bảng phân phối Student

ứng với k = 16 = 0,02 ta t = 2,583 Bước 3: Kiểm định

Vì |t| = 1,7678 < 2,583 = t nên ta chấp nhận giả thiết H0: B = 16

Kết luận: Với mức ý nghĩa 2%, phương pháp khơng có tác dụng làm thay đổi giá trị trung bình tiêu XB

sản phẩm loại B

d) Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng

B = M(XB) tiêu X = XB sản phẩm loại B với mức

ý nghóa = 2% = 0,02:

H0: B = 16,5 với giả thiết đối H1: B < 16,5

Vì nB < 30, XB có phân phối chuẩn, 2B= D(XB) chưa biết, nên ta

(25)

B B B

(X ) n (15,1176 16,5) 17

t 2,7696

S 2,0580

Bước 2: Đặt k = nB - = 16 Tra bảng phân phối Student

ứng với k = 16 = 0,04 ta 2t = 2,2354 Bước 3: Kiểm định

Vì -t = 2,7696 > 2,2354 = t2 nên ta bác bỏ giả thiết H0: B = 16,5, nghóa chấp nhận B < 16,5

Kết luận: Với mức ý nghĩa 2%, phương pháp có tác dụng làm giảm giá trị trung bình tiêu XB sản phẩm loại

B

3.2 Kiểm định giả thiết tỉ lệ

1) Bài tốn: Xét đám đơng X có tỉ lệ p chưa biết Với số (0 < < 1) bé, dựa vào mẫu (X1, X2,…, Xn) để kiểm

định giả thiết:

H0: p = p0 (p0 số ) với giả thiết đối H1: p p0

2) Qui tắc kiểm định:

Bước 1: Tính n

0 (F p ) n t

p q với q0 = 1- p0

Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace tìm z thoả (z )=(1- )/2 Bước 3: Kiểm định cách so sánh |t| với z :

Nếu |t| z chấp nhận giả thiết H0: p = p0

Nếu |t| > z bác bỏ giả thiết H0: p = p0

3) Chú ý thay đổi giả thiết đối: Trường hợp giả thiết đối mang dấu bất đẳng thức qui tắc kiểm định có thay đổi tương ứng sau:

Kiểm định H0: p = p0 với giả thiết đối H1: p > p0

Bài toán thường đặt Fn > p0 Khi giá trị

n

0 (F p ) n t

(26)

Ta có qui tắc kiểm định tương tự trên, thay so sánh |t| với z ta so sánh t với z2 Cụ thể: Nếu t z2

thì chấp nhận giả thiết H0: p = p0 Nếu t > z2 bác bỏ giả

thiết H0: p = p0

Kiểm định H0: p = p0 với giả thiết đối H1: p < p0

Bài toán thường đặt Fn < p0 Khi giá trị

n

0 (F p ) n t

p q seõ aâm

Ta có qui tắc kiểm định tương tự trên, thay so sánh |t| với z ta so sánh -t với z2 Cụ thể: Nếu -t z2

thì chấp nhận giả thiết H0: p = p0 Nếu -t > z2 bác bỏ giả

thiết H0: p = p0

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39

Số sản phẩm 20 16 16 13 18

Những sản phẩm có tiêu X từ 27cm trở lên dược xếp vào loại A

a) Một tài liệu cũ cho tỉ lệ sản phẩm loại A 60% Hãy nhận định phương pháp với mức ý nghĩa 1%

b) Tỉ lệ sản phẩm loại A trước 40% Các số liệu thu thập sau áp dụng kỹ thuật Với mức ý nghĩa 3%, nói kỹ thuật làm tăng tỉ lệ sản phẩm loại A hay không?

Giải

Ta tính được:

- Cỡ mẫu n = 100

- Tỉ lệ mẫu sản phẩm loại A Fn = 47/100 = 0,47

a) Đây toán kiểm định giả thiết tỉ lệ p sản phẩm loại A với mức ý nghĩa = 1% = 0,01:

(27)

Ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có

n

0

(F

p ) n

(0, 47 0, 6) 100

t

2, 6536.

p q

0, 6(1 0, 6)

Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z thoả (z ) = (1 - )/2 = 0,99/2 = 0,495

ta z = 2,58

Bước 3: Kiểm định:

Vì|t|= 2,6536 > 2,58 = z nên ta bác bỏ giả thiết H0: p=0,6

Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, tài liệu thống kê cũ dã lạc hậu, khơng cịn phù hợp với thực tế

b) Đây toán kiểm định giả thiết tỉ lệ p sản phẩm loại A với mức ý nghĩa = 3% = 0,03:

H0: p = 40% = 0,4 với giả thiết đối H1: p > 0,4

Ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có

n

0

(F

p ) n

(0, 47 0, 4) 100

t

1, 4289.

p q

0, 4(1 0, 4)

Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2 thoả

(z2 ) = (1 - )/2 = 0,94/2 = 0,47

ta z2 = 1,88

Vì t = 1,4289 < 1,88 = z2 nên ta chấp nhận giả thiết

H0: p = 0,6

(28)

3.3 Kiểm định giả thiết phương sai

1) Bài tốn: Xét đám đơng X có phân phối chuẩn với phương sai 2 = D(X) chưa biết Với số (0 < < 1) bé,

hãy dựa vào mẫu (X1, X2,…, Xn) để kiểm định giả thiết:

H0: 2 = 02( số ) với giả thiết đối H1: 2 02

2) Qui tắc kiểm định: Bước 1: Tính

2 (n 1)S

t

Bước 2: Tra bảng phân phối chi bình phương 2 (n-1) với n-1

bậc tự tìm giá trị 2

vaø

2

Bước 3: Kiểm định cách so sánh t với 2

2

Nếu

1

t 2

chấp nhận giả thiết H0: = 02

Neáu t <

2

t > 2

thì bác bỏ giả thieát H0: = 02

Kiểm định H0: 2 = 02 với giả thiết đối H1: 2 > 02

Bài toán thường đặt S2 >

02

Ta có qui tắc kiểm định tương tự trên, thay so sánh t với

2

vaø

2

, ta so sánh t với 2 Cụ thể: Nếu t 2

thì chấp nhận H0: = 02 Nếu t > bác boû H0: = 02

Kiểm định H0: 2 = 02 với giả thiết đối H1: 2 < 02

Bài toán thường đặt S2 <

02

Ta có qui tắc kiểm định tương tự trên, thay so sánh t với

2

vaø 2

, ta so sánh t với

1 Cụ thể: Nếu

t

1 chấp nhận H0: = 02 Nếu t < 21 bác bỏ

(29)

Ví duï: Đường kính chi tiết máy đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn Người ta đo thử 28 chi tiết máy máy sản xuất tìm phương sai mẫu hiệu chỉnh S2 = (2,0853)2 (cm2)

a) Khi máy hoạt động bình thường độ lệch chuẩn X chi tiết máy máy sản xuất 1,8cm Với mức ý nghĩa 1%, xét xem máy có hoạt động bình thường khơng

b) Theo qui định mới, độ lệch chuẩn X lớn 1,6cm phải điều chỉnh lại máy Với mức ý nghĩa 5%, có phải điều chỉnh lại máy khơng?

Giải Ta coù:

- Cỡ mẫu n = 28

- Phương sai mẫu hiệu chỉnh X: S2 (1,9231) (cm ).2

a) Đây toán kiểm định giả thiết phương sai

2 = D(X) với mức ý nghĩa = 1% = 0,01:

H0: = (1,8)2 với giả thiết đối H1: (1,8)2

Bước 1: Ta có:

2

0

(n 1)S 27.(2,0853)

t 36,2373

(1,8)

Bước 2: Tra bảng phân phối chi bình phương 2 (k) với

k = n – = 27 bậc tự do, ta tìm 20,005

49,65

2

0,995

2

11,80765 Bước 3: Kiểm định: Vì

1

11,80765 t = 36,2373 2

49,65 nên ta chấp nhận giả thiết H0: = (1,8)2

Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, máy hoạt động bình thường

b) Đây tốn kiểm định giả thiết phương sai

(30)

H0: = (1,6)2 với giả thiết đối H1: > (1,6)2

Bước 1: Ta có:

2

0

(n 1)S 27.(2,0853)

t 45,8628

(1,6)

Bước 2: Tra bảng phân phối chi bình phương 2(k) với

k = n – = 27 bậc tự do, ta tìm 2

0,05 40,11

Vì t = 45,8628 > 40,11 nên ta bác bỏ giả thiết H0: = (1,6)2, nghóa chấp nhận > (1,6)2

Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, phải điều chỉnh lại máy 3.4 Kiểm định giả thiết so sánh hai kỳ vọng

1) Bài tốn: Xét hai đám đơng X, Y với kỳ vọng

X = M(X) Y = M(Y) chưa biết Với số (0 < < 1)

khá bé, dựa vào mẫu

1

1 n

(X , X , , X ) vaø

2

1 n

(Y , Y , , Y ) để kiểm định giả thiết:

H0: X = Y với giả thiết đối H1: X Y

2) Qui tắc kiểm định: Gọi n1, n2 cỡ mẫu

X Y Ta có trường hợp:

Trường hợp 1: n1 30 n2 30:

Bước 1: Tính

2

X Y

1

X Y t

S S

n n

Nếu |t| z chấp nhận giả thiết H0: X = Y

(31)

Trường hợp 2: n1 < 30 n2 < 30; X Y có phân phối chuẩn:

Bước 1: Tính

2

X Y

1

X Y t

S S

n n

Bước 2: Đặt k = n1 + n2 - Tra bảng phân phối Student ứng với bậc

tự k mức ý nghĩa tìm giá trị t tk

Bước 3: Kiểm định cách so sánh |t| với t :

Neáu |t| t chấp nhận giả thiết H0: X = Y

Nếu |t| > t bác bỏ giả thieát H0: X = Y

Kiểm định H0: X = Y với giả thiết đối H1: X > Y

Ta có qui tắc kiểm định tương tự trên, thay so sánh |t| với z t ta so sánh t với z2 t2 Cụ thể:

Đối với trường hợp 1: Nếu t z2 chấp nhận giả

thiết H0: X = Y Nếu t > z2 bác bỏ giả thiết H0: X = Y

Đối với trường hợp 2: Nếu t t2 chấp nhận giả thiết

H0: X = Y Neáu t > t2 bác bỏ giả thiết H0: X = Y

Kiểm định H0: X = Y với giả thiết đối H1: X < Y

Ta đưa việc kiểm định giả thiết:

H0: Y = X với giả thiết đối H1: Y > X

và đưa trường hợp vừa xét (Thực chất ta so sánh -t với z2 t2 )

Ví dụ: Theo dõi giá cổ phiếu hai công ty A B số ngày, người ta tính số liệu sau:

Kỳ vọng mẫu Độ lệch mẫu hiệu chỉnh Công ty A 38,24 2,2

Coâng ty B 37,10 1,5

(32)

1%, nói có khác biệt thực giá cổ phiếu trung bình hai cơng ty A B hay khơng?

b) Cho biết số liệu có từ 20 ngày theo dõi giá trị cổ phiếu (mỗi ngày giá trị cho công ty).Với mức ý nghĩa 4%, nói giá cổ phiếu trung bình công ty A thực cao công ty B hay không (Giả sử giá trị cổ phiếu có phân phối chuẩn)?

Giải

a) Đây toán kiểm định so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghĩa = 1% = 0,01:

H0: A = B với giả thiết đối H1: A B

Vì n1 = n2 = 31 > 30 nên ta kiểm định sau:

Bước 1: Ta có:

A B

2 2

A B

1

X X 38,24 37,1

t 2,3838

S S (2,2) (1,5)

n n 31 31

ta z = 2,58

Vì|t|= 2,3838 < 2,58 = z nên ta chấp nhận giả thiết

H0: A = B

Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, giá trị cổ phiếu trung bình hai cơng ty A B xem nhau, nghĩa khơng có khác biệt thực giá cổ phiếu trung bình hai công ty A B

b) Đây toán kiểm định so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghĩa = 4% = 0,04:

(33)

Vì n1 = n2 = 20 < 30 giá trị cổ phiếu XA, XB có

phân phối chuẩn nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có:

A B

2 2

A B

1

X X 38,24 37,1

t 1,9147

S S (2,2) (1,5)

n n 20 20

Bước 2: Đặt k = n1 + n2 – = 38 Tra bảng phân phối

Student ứng với k = 38 = 0,08 ta 2t = 1,799 Bước 3: Kiểm định:

Vì t = 1,9147 > 1,799 = t2 nên ta bác bỏ H0: A = B, nghóa

là chấp nhận A > B

Kết luận: Với mức ý nghĩa 4%, xem giá trị cổ phiếu trung bình cơng ty A thực cao cơng ty B

3.5 Kiểm định giả thiết so sánh hai tỉ lệ

1) Bài tốn: Xét hai đám đơng X, Y X có tỉ lệ p1; Y

có tỉ lệ p2 chưa biết Với số (0 < < 1) bé,

dựa vào mẫu

1

1 n

(X , X , , X ) vaø

2

1 n

(Y , Y , , Y ) để kiểm định giả thiết:

H0: p1 = p2 với giả thiết đối H1: p1 p2

2) Qui tắc kiểm định: Gọi n1, n2 cỡ mẫu

Fn1, Fn2 tỉ lệ mẫu X Y Ta có qui tắc kiểm

định sau:

Bước 1: Tính n1 n2

0

1

F F t

1 p (1 p )

n n

với n1 n2

1

n F n F p

n n

Neáu |t| z chấp nhận giả thiết H0: p1 = p2

(34)

Kiểm định H0: p1 = p2 với giả thiết đối H1: p1 > p2

Ta có qui tắc kiểm định tương tự trên, thay so sánh |t| với z ta so sánh t với z2 Cụ thể: Nếu t z2

thì chấp nhận giả thiết H0: p1 = p2 Nếu t > z2 bác bỏ giả

thiết H0: p1 = p2

Kiểm định H0: p1 = p2 với giả thiết đối H1: p1 < p2

Ta đưa việc kiểm định giả thiết:

H0: p2 = p1 với giả thiết đối H1: p2 > p1

và đưa trường hợp vừa xét (Thực chất ta so sánh –t với z2 )

Ví dụ: Khảo sát số sản phẩm loại hai kho I II, ta thu số liệu sau:

Số sản phẩm Số phế phaåm

Kho I 100

Kho II 200 24

a) Với mức ý nghĩa 5%, nói chất lượng hàng hai kho hay không?

b) Với mức ý nghĩa 1%, nói chất lượng hàng kho I tốt kho II khơng?

Giải

Từ giả thiết toán ta suy ra:

- Đối với kho I: Cỡ mẫu n1 = 100; tỉ lệ mẫu phế phẩm

Fn1 = 0,04

- Đối với kho II: Cỡ mẫu n2 = 200; tỉ lệ mẫu phế phẩm

Fn2 = 0,12

- n1 n2

1

n F n F 100.0,4 200.0,12

p

n n 100 200 75

a) Đây toán kiểm định giả thiết so sánh hai tỉ lệ với mức ý nghĩa = 5% = 0,05:

(35)

Bước 1: Ta có:

n1 n2

0

1

F F 0,04 0,12

t 2,2454

7 1

1 1

p (1 p ) 75 75 100 200 n n

ta z = 1,96

Vì|t|= 2,2454 > 1,96 = z nên ta bác bỏ giả thiết

H0: p1 = p2

Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, chất lượng hàng hai kho không

b) Đây toán kiểm định giả thiết so sánh hai tỉ lệ với mức ý nghĩa = 1% = 0,01:

H0: p1 = p2 với giả thiết đối H1: p1 < p2

Ta kiểm định sau:

Bước 1: Tính t Bước câu a) ta t= -2,2454 Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2 thoả

(z2 ) = (1 - )/2 = 0,98/2 = 0,49

ta z2 = 2,33

Vì -t = 2,2454 < 2,33 = z2 nên ta chấp nhận giả thiết

H0: p1 = p

Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, chất lượng hàng kho I không tốt kho II

3.6 Kiểm định giả thiết phân phối

(36)

H0: X có phân phối theo qui luật cho

với giả thiết đối:

H1: X khơng có phân phối theo qui luật cho

2) Qui tắc kiểm định:

Giả sử mẫu thu gồm k nhóm có dạng:

Xi x0-x1 x1-x2 xi-1-xi xk-1-xk

ni n1 n2 ni nk

Thông thường ta lập mẫu với giá trị ni khơng

q bé (ni 5, chấp nhận ngoại lệ cho hai khoảng đầu

cuoái)

Đối với trường hợp rời rạc, ta thay khoảng xi-1-xi

i i

i x x

x

2 , nữa, X lấy vơ hạn giá trị, ta cịn phải

thay khoảng cuối xk-1-xk (xk-1,+ ) (hoặc khoảng đầu x0-x1

(- , x1), cần) Dựa vào phân phối cho H0 để tính

xác suất pi = P(X = xi)

Đối với trường hợp X liên tục, ta thay khoảng đầu x0-x1

(- , x1); thay khoảng cuối xk-1-xk (xk-1,+ ) dựa vào phân

phối cho H0 để tính xác suất pi = P(xi-1 X xi)

Chú ý: Khi tính pi, chưa biết tham số phân

phối cho ta thay ước lượng không chệch từ mẫu xét

Ta có qui tắc kiểm định sau: Bước 1: Tính k i i

i i

(n np ) np

Bước 2: Tra bảng phân phối chi bình phương 2 (k-r-1) với k-r-1

bậc tự do, tìm giá trị 2, r số tham số chưa biết

của phân phối

Bước 3: Kiểm định cách so sánh 2 với 2

Neáu 2 thì chấp nhận giả thiết H

0;

Nếu 2 > 2 thì bác bỏ giả thiết H

(37)

Ví dụ 1: Điều tra 160 gia đình vùng dân cư người ta thu bảng số liệu sau:

Soá gái Số gia đình 16 48 62 30

Với mức ý nghĩa 5%, cho số gái gia đình có phân phối nhị thức hay khơng?

Giải

Gọi X số số gái gia đình Bài tốn yêu cầu kiểm định giả thiết:

H0: X có phân phối nhị thức X B(4,p) với p chưa biết

H1: X khơng có phân phối nhị thức

Trước hết ta thay p tỉ lệ mẫu số gái gia đình:

n 1.48 2.62 3.30 4.4

p F 0,4344

160.4

Ta tính pi = P(X = i) theo công thức Bernoulli:

i i i

i

p C (0,4344) (0,5656) Cụ thể ta tính được:

p0 = 0,1023; p1= 0,3144; p2 = 0,3622; p3=0,1855; p4=0,0356

Ta laäp baûng:

Xi ni pi npi (ni-npi)2/npi

0 16 0,1023 16,368 0,0083 48 0,3144 50,304 0,1055 62 0,3622 57,952 0,2828 30 0,1855 29,68 0,0035 4 0,0356 5,696 0,5050 Toång n = 160 2 = 0,9051

Bước 1: Ta có k i i i i

(n np ) 0,9051

np

Bước 2: Số tham số chưa biết r = (do p chưa biết) Ta có k - r – = -1- = Tra bảng phân phối chi bình phương

2 2(3) với bậc tự do, ta được: 2

0,05 7,815

Vì 2=0,9051 < 7,815 = 2 nên

ta chấp nhận giả thiết H0

Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, cho số gái

(38)

Ví dụ 2: Quan sát số người đến trung tâm bưu điện 110 khoảng (mỗi khoảng phút) ta thu kết sau:

Số người Số khoảng 19 34 19 15 12 11

Gọi X số người đến trung tâm khoảng thời gian phút.Với mức ý nghĩa 3%, cho X có phân phối Poisson hay khơng?

Giải

Bài toán yêu cầu kiểm định giả thiết:

H0: X có phân phối Poisson X P(a) (a chưa biết)

H1: X phân phoái Poisson

Trước hết ta thay a kỳ vọng mẫu

i i

1

a X X n

n

Ta tính pi = P(X = xi) theo công thức: i

i e

p

i!

và lập baûng:

0 19 0,135335 14,8869 1,136408 34 0,270671 29,7738 0,599882 19 0,270671 29,7738 3,898554 15 0,180447 19,8490 1,184584 12 0,090224 9,9246 0,434001 (5;+ ) 11 0,052653 5,7918 4,683405 Toång n = 110 2 =11,9368

(n np ) 11,9368

np

Bước 2: Số tham số chưa biết r = (do a chưa biết) Ta có k - r – = -1- = Tra bảng phân phối chi bình phương

2 (4) với bậc tự do, ta được: 2

0,03 10,7119

Vì 2= 11,9368 > 10,7119 = 2 nênta bác bỏ giả thiết H

0

(39)

Ví dụ 3: Khảo sát tiêu X loại sản phẩm ta thu kết sau:

Xi 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30

Số sản phaåm 14 33 27 19

Kiểm định giả thiết X có phân phối chuẩn với mức ý nghĩa 2% Giải

Bài toán yêu cầu kiểm định giả thiết:

H0: X có phân phối chuẩn X N( , 2) ( , chưa biết)

H1: X phân phối chuaån

Trước hết xấp xỉ:

i i

2 2 2

i i

1

X X n 25,74; n

1

S X n (X) (2,3034)

n

Ta tính pi = P(xi-1 X xi) theo công thức:

i i i i

i x x x 25,74 x 25,74

p ( ) ( ) ( ) ( )

2,3034 2,3034

trong hàm Laplace, lập bảng:

(- , 22) 0,0516 5,16 0,656 22-24 14 0,1720 17,20 0,595 24-26 33 0,3203 32,03 0,029 26-28 27 0,2927 29,27 0,176 (28,+ ) 19 0,1635 16,35 0,430 Toång n = 100 2 =1,886

(n np ) 1,886

np

Bước 2: Số tham số chưa biết r = (do , 2 chưa biết) Ta

coù k - r – = – - = Tra bảng phân phối chi bình phương

2 (2) với bậc tự do, ta được: 2

0,02 7,824

Vì 2= 1,886 < 7,824 = 2 nênta chấp nhận giả thiết H

0

(40)

3.7 Kiểm định giả thiết tính độc lập

1) Bài tốn: Từ hai Yùam đông X Y ta tiến hành quan sát kết bảng sau:

Y X

y1 yj yk mX

x1 n11 n1j n1k m1

xi ni1 nij nik mi

xh nh1 nhj nhk mh

nY n1 nj nk n

trong

nij số lần (X,Y) = (xi,yj) với i h; j k;

mi = k

ij j

n số lần X = xi với i h;

nj = h

ij i

n số lần Y = yj với j k;

n = h k ij

i j

n cỡ mẫu (X,Y)

Với số (0 < < 1) bé, dựa vào mẫu để kiểm định giả thiết: H0: X Y độc lập

với giả thiết đối H1: X Y không độc lập

2) Qui tắc kiểm định:

Ta có qui tắc kiểm định sau: Bước 1: Tính h k

ij i j

n với ij ij

i j

(n ) m n

Bước 2: Tra bảng phân phối chi bình phương 2 ((h-1)(k-1)) với

(h-1)(k-1) bậc tự do, tìm giá trị 2

Bước 3: Kiểm định cách so sánh 2 với 2:

Nếu 2 thì chấp nhận giả thiết H

0;

Nếu 2 > 2 thì bác bỏ giả thiết H

(41)

Ví dụ: Một cơng ty điều tra sở thích khách hàng loại mẫu khác mặt hàng Kết thu sau:

Mẫu hàng Ý kiến

A B C

Thích 43 30 42

Không thích 35 53 39 Không có ý kiến 22 17 19

Hỏi mặt hàng trên, có phân biệt sở thích khách hàng loại mẫu hàng A, B, C hay không với mức ý nghĩa 3%?

Giải:

Bài tốn u cầu kiểm định giả thiết:

H0: Sở thích khách hàng độc lập với loại mẫu hàng,

nghĩa khơng có phân biệt sở thích khách hàng loại mẫu hàng

H1: Sở thích khách hàng không độc lập với loại mẫu

hàng, nghĩa có phân biệt sở thích khách hàng loại mẫu hàng

Ta lập bảng: Mẫu hàng Ý kiến

A B C Tổng

Thích 43

11 0,160783

30

12 0,078261

42

13 0,153391

115

Không thích 35

21 0,096457

53

22 0,221181

39

23 0,119764

127

Khoâng yù kieán 22

31 0,083448

17

32 0,049828

19

33 0,062241

58

Toång 100 100 100 n=300

trong ij tính theo công thức: ij ij

i j

(n )

m n Cụ thể:

2

(42)

Bước 1: Ta có

ij

n 7,6062

Bước 2: Ta có (h-1)(k-1) = (do h = k = 3) Tra bảng phân phối chi bình phương 2(4) với bậc tự do, ta được:

2

0,03 10,7119

Vì Nếu 2=7,6062 < 10,7119 = 2 nên ta chấp nhận giả thiết

H0

Kết luận: Với mức ý nghĩa 3%, khơng có phân biệt sở thích khách hàng loại mẫu hàng

BÀI TẬP

Bài 1: Để khảo sát chiều cao X giống trồng, người ta quan sát mẫu có kết qủa sau:

X(cm) 95-105 105-115 115-125 125-135 135-145 145-155 155-165

Số 10 10 15 30 10 10 15

a) Ước lượng chiều cao trung bình giống trồng với độ tin cậy 96%

b) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình giống trồng với độ tin cậy 99% độ xác cm cần phải điều tra thêm nữa?

c) Nếu ước lượng chiều cao trung bình giống trồng với độ xác 4,58cm đạt độ tin cậy bao nhiêu? d) Một tài liệu thống kê cũ cho chiều cao trung bình

giống trồng 127cm Hãy cho kết luận tài liệu với mức ý nghĩa 1%

e) Những trồng có chiều cao từ 135cm trở lên gọi “cao” Hãy ước lượng tỉ lệ “cao”với độ tin cậy 95%

(43)

g) Nếu ước lượng tỉ lệ những “cao” với độ tin cậy 95% độ xác 11% cần phải điều tra thêm nữa?

h) Trước đây, tỉ lệ “cao” loại trồng 40% Các số liệu thu thập sau áp dụng kỹ thuật Hãy cho kết luận kỹ thuật với mức ý nghĩa 5% i) Những trồng có chiều cao từ 105cm đến 125cm gọi

những loại A Hãy ước lượng chiều cao trung bình loại A với độ tin cậy 95% (GS X có phân phối chuẩn) j) Bằng phương pháp mới, sau thời gian người ta thấy chiều

cao trung bình loại A 119,5cm Hãy cho kết luận phương pháp với mức ý nghĩa 1% (GS X có phân phối chuẩn)

k) Giả sử X có phân phối chuẩn Với độ tin cậy 95%, ước lượng phương sai X hai trường hợp :

a) Biết kỳ vọng X 130 cm

b) Chưa biết kỳ vọng X

l) Khi canh tác bình thường phương sai chiều cao X 300cm2 Hãy nhận định tình hình canh tác với mức ý nghĩa

5% (GS X có phân phối chuẩn) Bài 2: Cho số liệu Bài

a)Giả sử trung bình tiêu chuẩn chiều cao X 125cm Có thể khẳng định tình hình canh tác làm tăng chiều cao trung bình giống trồng với mức ý nghĩa 1% hay không? b)Giả sử trung bình tiêu chuẩn chiều cao X 134cm Có thể

khẳng định tình hình canh tác làm giảm chiều cao trung bình giống trồng với mức ý nghĩa 2% hay không? c)Sau áp dụng phương pháp canh tác mới, người ta thấy

chiều cao trung bình loại A 114cm Hãy kết luận xem phương pháp có làm giảm chiều cao trung bình loại A hay không với mức ý nghĩa 3% (Giả sử X có phân phối chuẩn)

(44)

e)Sau áp dụng phương pháp sản xuất, người ta thấy tỉ lệ loại A 35% Hãy kết luận xem phương pháp có làm tăng tỉ lệ loại A lên hay không với mức ý nghĩa 2% f) Một tài liệu thống kê cũ cho tỉ lệ loại A 20% Hãy xét xem tình hình canh tác có làm tăng tỉ lệ loại A hay không với mức ý nghĩa 5%?

g)Trước đây, phương sai chiều cao X 250cm2 Xét xem

tình hình canh tác có làm chiều cao trồng biến động với mức ý nghĩa 5% hay khơng ? (GS X có phân phối chuẩn)

Bài 3: Để khảo sát đường kính chi tiết máy người ta kiểm tra số sản phẩm hai nhà máy Trong kết sau đây, X đường kính chi tiết máy nhà máy sản xuất Y đường kính chi tiết máy nhà máy sản xuất Những sản phẩm có chi tiết máy nhỏ 19cm xếp vào loại C

X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sản phẩm 19 20 26 16 13 18 Y(cm) 13-16 16-19 19-22 22-25 25-28 28-31 31-34 Số sản phẩm 25 26 18 15 11

a) Có thể kết luận đường kính trung bình chi tiết máy hai nhà máy sản xuất hay khơng với mức ý nghĩa 1%?

b) Có thể cho đường kính trung bình chi tiết máy nhà máy thứ sản xuất lớn đường kính trung bình chi tiết máy nhà máy thứ sản xuất hay không với mức ý nghĩa 5%?

c) Xét xem đường kính trung bình chi tiết máy nhà máy thứ sản xuất có nhỏ đường kính trung bình chi tiết máy nhà máy thứ sản xuất hay không với mức ý nghĩa 2%?

d) Với mức ý nghĩa 4%, tỉ lệ sản phẩm loại C hai nhà máy sản xuất có không?

(45)

f) Hãy nhận xét ý kiến cho tỉ lệ sản phẩm loại C nhà máy thứ sản xuất nhỏ tỉ lệ sản phẩm loại C nhà máy thứ sản xuất với mức ý nghĩa 5%?

Bài 4: Sản phẩm sản xuất dây chuyền tự động đóng gói theo qui cách sản phẩm/hộp Với mức ý nghĩa 1%, xét xem số sản phẩm loại I có hộp có phải ĐLNN có phân phối nhị thức hay khơng Biết kiểm tra 100 hộp người ta thấy có 75 hộp có sản phẩm loại I, 20 hộp có sản phẩm loại I; hộp có sản phẩm loại I

Bài 5: Quan sát số lượng ký sinh trùng hồng cầu số bệnh nhân mắc loại bệnh máu ta có kết sau:

Số lượng ký sinh trùng Số bệnh nhân 40000 8621 1259 99 21

Với mức ý nghĩa 1%, xem số lượng ký sinh trùng ĐLNN có phân phối Poisson hay khơng?

Bài 6: Để tìm hiểu lượng mủ X (g) cao su cho ta ngày, ghi nhận 100 ta có kết sau:

Lượng mủ (g) 200-210 210-220 220-230 230-240 240-250 250-260 260-270

Số 2 8 14 30 25 12 9

Với mức ý nghĩa 1% coi lượng mủ cao su X ĐLNN có phân phối chuẩn hay khơng?

Bài 7: Điều tra số người dùng không dùng cà phê ta có bảng kết sau:

Mất ngủ Dùng cà phê

Có Không

Có 30 48

Khoâng 15 75