Treân nöûa maët phaúng bôø AB chöùa ñieåm C , keõ tieáp tuyeán Ax cuûa ñöôøng.. troøn (o).[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN NĂM HỌC : 2006 - 2007 MƠN : TỐN LỚP 9 (Thời gian làm 150 phút ) Bài 1: (4 điểm)
1) Cho ba số x , y , z tùy ý Chứng minh : x4+y4+z2+1
2x(xy2- x + z + 1)
2) Cho a, b , c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : abc (a+b – c).(b + c – a).(c +a – b)
Baøi 2: (4 điểm)
1) Giải phương trình: 2x 1 = + x 3 2) Giải hệ phương trình:
x y z 1 x 2y 4z 8 x 3y 9z 27
Bài 3: (4 điểm)
1) Tính giá trị biểu thức: A = 1
a 1 + 1
b 1 với a = 1
2 3 b = 1 2 3 2) Cho biểu thức: P = x x 1 x 1
x 1 x 1
: x x
x 1
với x > x 1 a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị x để P = 3 Bài 4: (4 điểm)
Gọi M N trung điểm cạnh AD BC hình chữ nhật ABCD Trên tia đối tia DC lấy điểm P Giao điểm AC với đường thẳng PM làQ Chứng minh QNM = MNP
Bài : (4 điểm)
Cho đường trịn (o) đường kính AB =2R C điểm thuộc đường tròn (C
A;CB) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C , kẽ tiếp tuyến Ax đường
tròn (o) Gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q Tia AM cắt BC N.
1) Chứng minh tam giác BAN MCN tam giác cân.
2) Khi MB = MQ Chứng minh tồn biểu thức : BC2+2R.BC – 4R2 = 0 HẾT.
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2006 – 2007
TÓAN: TỐN - LỚP
BÀI NỘI DUNG ĐIỂM
Bài (4 đ)
1) x4+ y4+ z2+1
2x(xy2- x + z +1) (1) x4+ y4+z2+1- 2x2y2+ 2x2-2xz- 2x
(x4+ y4- 2x2y2) + (x2- 2x +1) + (x2- 2xz + z2) (x2- y2)2+ (x – 1)2+ (x – z)2
(2) Bất đẳng thức (2)
Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh 2) abc (a+ b- c).(b+c-a).(c+a-b) Ta có : a + b – c >
b + c – a > c + a – b >
Aùp dụng bất đẳng thức Cô Si cho a + b – c b + c – a a + b – c +b +c – a (a b c).(b c a)
2b (a b c).(b c a)
b (a b c).(b c a) (1) Tương tự :
a (a b c).(c a b (2) c (b c a).(c a b) (3) Nhân vế (1); (2) ; (3) Ta có:
abc
(a b c)(b c a)(a b c)(c a b)(b c a)(c a b) abc (a b c) (b c a) (c a b)
abc (a+ b – c)(b+c-a)(c+a-b)
0.5 0.5 0.5 0.5
0.25
0.25
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 Baøi
(4đ) 1) Giải phương trình : 2x 1 = + x 3 (1) ÑK : 2x 0
x 0
x 3 Từ (1) Ta có x = x 3
x2 = 16(x - 3) x2 - 16x + 48 = 0 (x –4)(x –12) = x 0
x 12 0
x 4 x 12
thỏa ĐK : x Vậy nghiệm phương tình laø : x1 = ; x2 = 12
0.5
0.5 0.5
0.5 UBND HUYỆN CẦU KÈ
(3)2) Giải phương trình :
x y z 1 x 2y 4z 8 x 3y 9z 27
(2) Lấy (2) trừ (1) Ta có y + 3z = Lấy (3) trừ (2) Ta có y + 5z = 19
Ta có heä y 3z 7
y 5z 19
Suy z =-6 ; y= -11
Theá z =6 ; y= -11vào phương trình (1) Suy x =6
Vậy nghiệm hệ
x 6 y 11 z 6
0.5
0.5 0.5
0.5
Bài (4 đ)
1) Ta có : a = 1
2 3 =
2 3
4 3
=2 - 3
b = 1
2 3 =
2 3 4 3
= + 3
Do : A = 1
a 1 + 1 b 1 =
1
2 3 1 +
1 2 3 1
= 1
3 3 + 1
3 3 = 6
9 3 = 1
2) a) Rút gọn P
P = x x 1 x 1
x 1 x 1
: x x
x 1
(1)
Ta coù : A = x x 1 x 1
x 1 x 1
=
3
x 1 x 1
- x 1 x 1
0.5 0.5
0.5 0.5
(4)=
x x x 1 x 1 x 1
-
x 1 x 1
=2 x x 1
B = x x x 1
=
x x x x 1
= x
x 1 Từ (1) suy P = A: B
=2 x x 1
: x x 1 =
2 x x 1
x 1 x
= 2 x x b) Khi P = Suy
2 x
x
= 3
3x + x - =0 x + x
3 - 3 2 =
2
1 5
x
6 6
= x 1 x 2
3
=0
x 0 2
x 0
3
x 1 4 x
9
x =1 (Loại x 1) x = 4
9 (Thỏa ĐK) Vậy x = 4
9
0.25
0.25
0.25
(5)Bài (4 điểm)
Gọi I giao điểm MN AC Ta AMCN hình bình hành (AM =NC AM//NC) Nên I trung điểm MN AC
Qua I kẽ đường vng góc với MN cắt QN H Ta có : IH// NC suy QH QI
HN IC IM// CP suy QM QI
MP IC Dođó QH QM
HN MP
Suy HM// NP Do M1 N2 (1)
Mặt khác : MHN có đường cao IH đường trung tuyến nên cân H Do : N1 M1 (2)
Từ (1) (2) suy : N1 N2 Hay QNM MNP
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Baøi
(4đ) 1) Kẻ BM DoAB đường kính (o) nên
AMB 90
Suy BM AN nên BM đường cao BAN Mà B1 B2 nên BM đường phân giác BAN Do đóBAN cân B
Suy BAM MNB (1)
Mặt khác : AC BQ Ta có C1 B1 (cùng chắn cung AM) MàMCN 90 C1
Suy MCN 90 B1
Ta lại có BAM 90 B1
Nên suy MCN BAM (2) Từ (1) (2) suy MNB MCN Nên MCN cân M 2) Khi MB =MQ BMQ cân M Do B2 Q2 (1) Xét MNQ MCB có :
MB = MQ ( GT )
MN = MC (CMN cân ) Nhưng MNQ 180 MNC
MCB 180 MCN
MNC MCN
Do MNQ MCB (2) Từ (1) (2) suy QMN BMC
Do MNQ =MCB (c.g.c) Suy QN =BC Mặt khác AB2 = BC BQ
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25
0.5
(6)1 2 1
B C
A D
N
M
P
Q I
H
=BC.( BN + NQ)
=BC.(AB + BC) (Vì BN=AB ; NQ = BC) Suy BC.( BC + 2R) =4R2
Hay BC2+ 2R.BC – 4R2 = 0
0.5
Ghi chuù:
Học sinh có thểlàm cách khác nếuđúng hưởng trịn điểm câu,
Hình vẽ 4 Hình vẽ 5
1 2
1
2 O
B
A Q x
C
M