Treân nöûa maët phaúng bôø AB chöùa ñieåm C , keõ tieáp tuyeán Ax cuûa ñöôøng.. troøn (o).[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC : 2006 - 2007
MƠN : TỐN LỚP 9
(Thời gian làm 150 phút )
Bài 1: (4 điểm)
1) Cho ba số x , y , z tùy ý Chứng minh : x
4+y
4+z
2+1
2x(xy
2- x + z + 1)
2) Cho a, b , c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh :
abc
(a+b – c).(b + c – a).(c +a – b)
Baøi 2: (4 điểm)
1) Giải phương trình:
2x 1
= +
x 3
2) Giải hệ phương trình:
x y z 1
x 2y 4z 8
x 3y 9z 27
Bài 3: (4 điểm)
1)
Tính giá trị biểu thức: A =
1
a 1
+
1
b 1
với a =
1
2
3
b =
1
2
3
2)Cho biểu thức: P =
x x 1
x 1
x 1
x 1
:
x
x
x 1
với x > x
1
a)Rút gọn P
b) Tìm giá trị x để P = 3
Bài 4: (4 điểm)
Gọi M N trung điểm cạnh AD BC hình chữ nhật
ABCD Trên tia đối tia DC lấy điểm P Giao điểm AC với đường
thẳng PM làQ Chứng minh
QNM
=
MNP
Bài : (4 điểm)
Cho đường trịn (o) đường kính AB =2R C điểm thuộc đường tròn (C
A;C
B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C , kẽ tiếp tuyến Ax đường
tròn (o) Gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q Tia AM
cắt BC N.
1) Chứng minh tam giác BAN MCN tam giác cân.
2) Khi MB = MQ Chứng minh tồn biểu thức : BC
2+2R.BC – 4R
2= 0
HẾT.
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2006 – 2007
TÓAN: TỐN - LỚP
BÀI NỘI DUNG ĐIỂM
Bài (4 đ)
1) x4+ y4+ z2+1
2x(xy2- x + z +1) (1)
x4+ y4+z2+1- 2x2y2+ 2x2-2xz- 2x
(x4+ y4- 2x2y2) + (x2- 2x +1) + (x2- 2xz + z2)
(x2- y2)2+ (x – 1)2+ (x – z)2
(2) Bất đẳng thức (2)Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh 2) abc
(a+ b- c).(b+c-a).(c+a-b) Ta có : a + b – c >b + c – a > c + a – b >
Aùp dụng bất đẳng thức Cô Si cho a + b – c b + c – a a + b – c +b +c – a
(a b c).(b c a)
2b
(a b c).(b c a)
b
(a b c).(b c a)
(1) Tương tự :a
(a b c).(c a b
(2) c
(b c a).(c a b)
(3) Nhân vế (1); (2) ; (3) Ta có:abc
(a b c)(b c a)(a b c)(c a b)(b c a)(c a b)
abc
(a b c) (b c a) (c a b)
abc
(a+ b – c)(b+c-a)(c+a-b)0.5 0.5 0.5 0.5
0.25
0.25
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 Baøi
(4đ) 1) Giải phương trình :
2x 1
= +x 3
(1) ÑK :2x 0
x 0
x
3 Từ (1) Ta có x =x 3
x2 = 16(x - 3)
x2 - 16x + 48 = 0
(x –4)(x –12) =
x 0
x 12 0
x 4
x 12
thỏa ĐK : x
Vậy nghiệm phương tình laø : x1 = ; x2 = 120.5
0.5 0.5
0.5 UBND HUYỆN CẦU KÈ
(3)2) Giải phương trình :
x y z 1
x 2y 4z 8
x 3y 9z 27
(2) Lấy (2) trừ (1) Ta có y + 3z = Lấy (3) trừ (2) Ta có y + 5z = 19
Ta có heä
y 3z 7
y 5z 19
Suy z =-6 ; y= -11
Theá z =6 ; y= -11vào phương trình (1) Suy x =6
Vậy nghiệm hệ
x 6
y
11
z 6
0.5
0.5 0.5
0.5
Bài (4 đ)
1) Ta có : a =
1
2
3
=
2
3
4 3
=2 -
3
b =
1
2
3
=
2
3
4 3
= +
3
Do : A =
1
a 1
+
1
b 1
=
1
2
3 1
+
1
2
3 1
=
1
3
3
+
1
3
3
=
6
9 3
= 1
2) a) Rút gọn P
P =
x x 1
x 1
x 1
x 1
:
x
x
x 1
(1)
Ta coù : A =
x x 1
x 1
x 1
x 1
=
3
x
1
x
1
-
x 1
x 1
0.5 0.5
0.5 0.5
(4)=
x x
x 1
x 1
x 1
-x 1
x 1
=
2
x
x 1
B =
x
x
x 1
=x
x
x
x 1
=x
x 1
Từ (1) suy P = A: B=
2
x
x 1
:x
x 1
=2
x
x 1
x 1
x
=2
x
x
b) Khi P = Suy2
x
x
= 3
3x +x
- =0
x +x
3
-3
2
=
2
1
5
x
6
6
=
x 1
x
2
3
=0
x 0
2
x
0
3
x 1
4
x
9
x =1 (Loại x
1) x =4
9
(Thỏa ĐK) Vậy x =4
9
0.25
0.25
0.25
(5)Bài (4 điểm)
Gọi I giao điểm MN AC Ta AMCN hình bình hành (AM =NC AM//NC) Nên I trung điểm MN AC
Qua I kẽ đường vng góc với MN cắt QN H Ta có : IH// NC suy
QH QI
HN IC
IM// CP suyQM QI
MP IC
DođóQH QM
HN MP
Suy HM// NP Do
M1 N2
(1)Mặt khác :
MHN có đường cao IH đường trung tuyến nên cân H Do :N1 M1
(2)Từ (1) (2) suy :
N1 N2
HayQNM MNP
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Baøi
(4đ) 1) Kẻ BM DoAB đường kính (o) nên
AMB 90
Suy BM
AN nên BM đường cao
BAN MàB1 B2
nên BM đường phân giác
BAN Do đó
BAN cân BSuy
BAM MNB
(1)Mặt khác : AC
BQ Ta cóC1 B1
(cùng chắn cung AM) MàMCN 90 C1
Suy
MCN 90
B1
Ta lại có
BAM 90
B1
Nên suyMCN BAM
(2) Từ (1) (2) suyMNB MCN
Nên
MCN cân M 2) Khi MB =MQ
BMQ cân M DoB2 Q2
(1) Xét
MNQ
MCB có :MB = MQ ( GT )
MN = MC (
CMN cân ) NhưngMNQ 180
MNC
MCB 180
MCN
MNC MCN
Do
MNQ MCB
(2) Từ (1) (2) suyQMN BMC
Do
MNQ =
MCB (c.g.c) Suy QN =BC Mặt khác AB2 = BC BQ0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25
0.5
(6)1 2 1
B
C
A
D
N
M
P
Q
I
H
=BC.( BN + NQ)
=BC.(AB + BC) (Vì BN=AB ; NQ = BC) Suy BC.( BC + 2R) =4R2
Hay BC2+ 2R.BC – 4R2 = 0
0.5
Ghi chuù:
Học sinh có thểlàm cách khác nếuđúng hưởng trịn điểm câu,