lý thuyết về la bàn con quay

www.hanghaikythuat.edu.tf Muốn khử sai số ñó ta dịch chuyển trọng tâm của con quay về phía S của trục chính con quay sao cho mô men trọng lượng con quay sẽ tạo nên tiến ñộng trong mặt ph[r]

www.hanghaikythuat.edu.tf Chương Lý thuyết la bàn quay 1.1 Khái niệm quay Nói chung quay là cấu trúc gồm có thành phần quay dao ñộng, và nó cho phép ta ño ñạc và phát quay không gian quán tính tảng mà trên ñó ta ñặt quay Trong các dụng cụ quay có hình dạng ñối xứng quay quanh ñiểm cố ñịnh và quay nó có thể chuyển ñộng tự không gian Với ñiểm tức thời ñó gọi là ñiểm treo vật - Trong trường hợp ñiểm treo quay trùng với trọng tâm quay gọi là quay cân - ðối với quay chế tạo la bàn quay là quay có hình dạng là hình trụ dẹt Con quay tự do: Là quay có tổng mô men ngoại lực tác dụng lên nó Nếu gọi L là tổng mô men ngoại lực thì: L = 1.2 Hệ toạ ñộ sử dụng la bàn quay 1.2.1 Hệ toạ ñộ vuông góc Hình vẽ 1-1 - ðiểm trùng với tâm quay - OX là trục chính quay - OY, OZ nằm mặt phẳng quỹ ñạo chuyển ñộng quay Trục 0X trùng với trục chính quay và quay quay quanh trục này với vận tốc góc là Ω 1.2.2 Hệ tọa ñộ oX0Y0Z0 cố ñịnh không gian Có trục 0X0 trùng với ñường N, S (chân trời), trục 0Z0 vuông góc với mặt phẳng chân trời, trục 0Y0 nằm mặt phẳng chân trời và vuông góc với trục 0X0 Giả sử trường hợp ñặt quay vị trí hình vẽ (12) Khi ñó gọi α là góc tiến ñộng và ñược tính sau: www.hanghaikythuat.tk www.hanghaikythuat.edu.tf α nằm mặt phẳng X00Y0 tính từ 0X0 ñến hình chiếu trục 0X trên mặt phẳng X00Y0 theo chiều ngược kim ñồng hồ Hình vẽ 1-2 β gọi là góc trương ñộng: là góc nằm mặt phẳng X00Y0 và trục 0X với chiều cho ta ñứng từ ñầu dương trục Y, véc tơ góc β quay ngược chiều kim ñồng hồ Các trục Y và Z ñược gắn chặt với quay và quay cùng với quay không tham gia vào chuyển ñộng quay riêng quay 1.2.3 Hệ tọa ñộ OX1Y1Z1 Hệ toạ ñộ chuyển ñộng không gian có trục Z1, Y1nằm mặt phẳng quỹ ñạo chuyển ñộng quay và quay với quay quanh trục X www.hanghaikythuat.tk www.hanghaikythuat.edu.tf Hình vẽ 1-3 Giả sử quay quay góc ϕ quanh trục X ñó góc ϕ xác ñịnh ZZ1 hay YY1 và nằm mặt phẳng Y0Z Khi ñó góc ϕ gọi là góc quay riêng quay Với các góc α, β lập nên hệ toạ ñộ ta có thể xác ñịnh vị trí tức thời quay không gian Trục X0 Y0 Cos β cos α Cos β sin α Cos (900 - α) X Cos (900 + α) - cos α sinα Y Sin β cos α Z Z0 -Sinβ Sin β Cos (900 + α) sinα cos β 1.3 Mô men ñộng lượng Trong phần lý thuyết ta ñã biết: q = m.v Nếu lấy ñiểm I có trọng khối là m thì ñó: qi = m v i Hình vẽ 1-4 Với : q i là ñộng lượng ñiểm www.hanghaikythuat.tk www.hanghaikythuat.edu.tf vi là tốc ñộ dài ñiểm ñó Giả sử quay quay với vận tốc góc là Ω thì ñó ñiểm I cách trọng tâm O khoảng cách là r thì vận tốc dài ñiểm ñó là: vi = r ∧ Ω m V : là véc tơ ñộng lượng theo chiều tiếp tuyến ñường tròn quỹ ñạo ñiểm ñó vẽ lên Mô men ñộng lượng kí hiệu là hi hi = r ∧ mi vi (1.1) Ta lấy ñạo hàm bậc (1) theo thời gian dv d h d ri = × mi vi + ri × mi i dt dt dt Trong ñó ñại lượng : ta có : d ri dt = vi ; d ri × mi vi = ; dt ri × mi d vi = ri ∧ mi J (1.2) (Trong ñó dt Từ công thức (2) suy dH = ∑ Li = L dt J là gia tốc chất ñiểm) (Trong ñó L là tổng mô men ngoại lực) Vậy ñạo hàm véc tơ mô men ñộng lượng theo thời gian tổng véc tơ mô men ngoại lực tác dụng vào quay Véc tơ h nằm trên trục XX và có chiều cho từ ñó ta nhìn thấy ñiểm A quay ngược chiều kim ñồng hồ Mô men ñộng lượng toàn vật là: H = h + h2 + + hn www.hanghaikythuat.tk www.hanghaikythuat.edu.tf Hình vẽ 1-5 h1, hn là mô men ñộng lượng phần tử H là mô men ñộng lượng toàn Khi ñó ñộ lớn: h1= m1.v1.r1 h2= m2.v2.r2 + hn= mnvn.rn n Do ñó H = ∑ m i v i r i (1.3) i =1 Mà vi = ri.Ω Vậy: H= n iΩ ∑ mi r i =1 Mà Ω ñiểm vật ñều nhau: n Nên H = Ω ∑ mi ri n ∑ mi ri2 là mô men quán tính vật kí hiệu là j Vậy: H = Ω j (1.4) www.hanghaikythuat.tk www.hanghaikythuat.edu.tf Từ (1.4) suy véc tơ H i cùng chiều với tốc ñộ góc Ω Từ công thức mô men quán tính vật ta thấy: n J = ∑ mi ri Mô men quán tính vật phụ thuộc vào r và m Muốn tăng mô men quán tính vật lên ta phải tăng trọng lượng lên làm tăng kích thước vật ðiều này hoàn toàn không có lợi chế tạo Ta thấy tập trung khối lượng càng xa trục thì càng tăng j lên ñó người ta cấu tạo quay ñĩa dẹt có khối lượng tập trung vành ñĩa Một ñại lượng khác phụ thuộc vào H ñó là tốc ñộ quay, ñó ñể tăng Ω cách tăng tần số nguồn ñiện cung cấp cho mô tơ quay Ta có ñịnh lý mô men ñộng lượng ñược phát biểu sau: “ðạo hàm theo thời gian véc tơ mô men ñộng lượng ñối với ñiểm nào ñó vật mô men ngoại lực chính tác dụng lên vật ” Từ (1.2) ta có : dm v dh = ri × i i = li dt dt li là mô men ngoại lực tác dụng lên ñiểm i n dh = L ,trong ñó H = ∑ hi dt L là tổng mô men ngoại lực tác dụng lên vật ðịnh lý có thể phát biểu cách khác: “ðạo hàm theo thời gian véc tơ mô men ñộng lượng tốc ñộ dài chuyển ñộng véc tơ ñó” r dH r Từ (1.5) có: =U dt r r Suy ra: L = U r ( U là véc tơ ñộ dài) www.hanghaikythuat.tk www.hanghaikythuat.edu.tf Hình vẽ 1-6 1.4 Các tính chất quay 1.4.1 Tính bền vững quay Con quay ñược gọi là quay tự mà có tổng mô men các ngoại lực (L) tác dụng lên nó không Theo ñịnh lý mô men ñộng lượng quay ta có: L = suy dH = Const dt (Tức là ñại lượng hướng không ñổi) Nếu quay không bị ngoại lực nào tác dụng lên quay thì trục chính quay giữ nguyên hướng không gian 1.4.2 Tính tiến ñộng quay Cũng ñịnh lý véc tơ mô men ñộng lượng ta có: dH r  = Ly  r  dt ⇒ L = U  y dH r  =U  dt  Nếu có mô men ngoại lực F tác dụng vào trục chính quay (như hình 17) gây mô men ñối với trục y có thành phần véc tơ nằm chiều dương trục y www.hanghaikythuat.tk www.hanghaikythuat.edu.tf Hình vẽ 1-7 ω t = U L = H H (1.6) Từ công thức (1.6) ta có: - Tốc ñộ góc tiến ñộng quay tỷ lệ thuận với mô men ngoại lực và tỷ lệ nghịch với mô men ñộng lượng - Với chiều tiến ñộng cho ta ñứng theo véc tơ góc tiến ñộng ωñ nhìn thấy r r véc tơ mô men ñộng lượng H tiến tới véc tơ mô men ngoại lực L theo ñường ngắn ngược chiều kim ñồng hồ Phân tích trường hợp lực tác dụng hình vẽ (1-8) tìm vận tốc góc tiến ñộng Hình vẽ 1-8 www.hanghaikythuat.tk www.hanghaikythuat.edu.tf 1.5 Mô men kháng quay Giả sử quay có lực F tác dụng thì theo ñịnh luật Niu tơn, quay xuất lực F ' cùng ñộ lớn ngược chiều, F = − F ' Ta nhân hai vế r r ∧ F = −r ∧ F ′ Hình vẽ 1-9 Ở bên phải phương trình là mô men kháng R y , bên trái là mô men quay với L y Xét chuyển ñộng quay ñồng và ñang quay xung quanh trục X với vận tốc góc Ω = const Với lực F = const tác ñộng gây mô men ngoại lực là theo chiều dương (+) trục Y, ta thấy trục chính quay chuyển ñộng quay quanh trục OZ trùng với mô men ngoại lực ngược chiều kim ñồng hồ góc bé nhất; vận tốc góc tiến ñộng là ñều, có giá trị là: không ñổi nên ωt = const ωt = Ly H , vì Ly là mô men ngoại lực Bây ta tìm công thức tính mối liên hệ vận tốc góc ñộng lượng H Ta có: R = H ωt www.hanghaikythuat.tk ωt với mô men www.hanghaikythuat.edu.tf Ta xét chất ñiểm thứ i có khối lượng mi quay, theo lý thuyết ta coi chất ñiểm này chuyển ñộng phức hợp có gia tốc: Ja = Jr + Je + Jc Trong ñó, Cliolit J a là gia tốc tuyệt ñối , J r là gia tốc tương ñối, J c là gia tốc Ta xét thành phần gia tốc riêng biệt: J r = Jτ + J n ; Jτ là gia tốc tiếp tuyến, chuyển ñộng ñều có giá trị không; J n là gia tốc pháp tuyến hướng tâm, nó cân với gia tốc quán tính ly + tâm Vậy lực quán tính ly tâm chuyển ñộng tương ñối là: f r = − mi J n dấu trừ (-) công thức nó biểu thị ngược chiều với gia tốc pháp tuyến mặt mặt phẳng chính quay ñi qua tâm, không gây mô men bỏ qua không xét + Xét thành phần Je : Trong chuyển ñộng theo thì trục chính quay, quay quanh trục OZ ta có: J r = J eτ + J en Trong ñó J eτ là gia tốc tiếp tuyến chuyển ñộng theo không (vì ωt = const ), lúc này còn lại gia tốc pháp tuyến J en hướng tâm sinh lực quán tính ly tâm theo: f e = −mi J en , nó nằm mặt phẳng chính quay song song với trục X gây mô men với trục X làm tăng giảm vận tốc quay riêng quay, không gây tiến ñộng nên bỏ qua - Xét gia tốc Ta có: J c: J c = 2.ωt ∧ V r ; ñộ lớn J c = 2.ωt Ω cos ϕ (1.7) Hướng gia tốc theo chiều dương trục X nó sinh lực quán tính Cliolit: f c = −m.J c ; dấu trừ (-) công thức ngược chiều với gia tốc J c , ñộ lớn : f c = m.2.ωt Ω.r cos ϕ ðể tính khối lượng m, ta xét phần tử vi phân khối lượng ñó V là thể tích phần tử vi phân, γ là khối lượng riêng www.hanghaikythuat.tk m = V γ , 10 www.hanghaikythuat.edu.tf Hình vẽ 1-10 m = r.dr.dϕ h.γ Trong ñó h là ñộ dày hình trụ dẹt quay Ta thấy f c gây mô men với hai trục: f c = r.dϕ dr.h.γ 2ωt Ω.r cos ϕ = 2.ωt Ω.γ h.r dr cos ϕ dϕ Mô men gây với trục Y có ñộ lớn là: dR y = a f c = r cos ϕ 2ωt Ω.γ h.dr cos ϕ dϕ (a (1.8) = r cos ϕ là khoảng cách từ chất ñiểm ñến trục Y) ðể xét toàn mô men kháng trên trục Y quay ta tích phân hai vế phương trình (8), vì quay là ñồng chất nên γ cố ñịnh và các số là số ta ñưa ngoài tích phân, ta có: R 2π R y = 2.γ h.Ω.ωt ∫ r 3dr Trong ñó: π R h.γ = M ; Vậy cos ϕ dϕ = (π R hγ ).R 2ωt Ω ∫ M là khối lượng toàn quay R y = M R ωt Ω = J Ω.ωt = H ωt www.hanghaikythuat.tk 11 Trong ñó: J= www.hanghaikythuat.edu.tf M R là mô men quán tính hình trụ dẹt ñối với trục chính quay Tính mô men kháng Rz quay: dRz = b f c ; ñó b là khoảng cách từ chất ñiểm thứ i ñến trục Z và có giá trị là: b = r sin ϕ thay các giá trị trên và tích phân vế ta có: R 2π 0 Rz = 2.h.γ Ω.ωt ∫ r 3.dr ∫ sin ϕ cos ϕ dϕ = Vì 2π ∫ sin ϕ cos ϕ dϕ = 0 Xét trường hợp tổng quát xuất mô men ngoại lực Ly và Lz trên hai trục thì Rz ≠ ta có thể viết dạng cụ thể sau: R y = H ∧ ω z , ñộ lớn R y = H ω z sin( H , ω z ) ; R z = H ∧ ω y , ñộ lớn Rz = H ω y sin( H , ω y ) Trong la bàn quay sin( H , ω y ) = và sin( H , ω z ) = 1, ñó: R y = H ω z và Rz = H ω y Nhận xét: - Mô men kháng tồn quay, ñặt quay trên trái ñất thì thành phần vận tốc góc trái ñất tác ñộng vào quay gây - Mô men kháng quay là lực Cliolit sinh - Mô men kháng là ñại lượng véc tơ có hướng ñược xác ñịnh cho, ñứng theo chiều nó, nhìn xuống chân thấy véc tơ mô men ñộng lượng chuyển ñộng ngược chiều kim ñồng hồ ñến trùng với vận tốc góc tiến ñộng quay góc bé 1.6 Ảnh hưởng ngoại lực tác dụng liên tục và xung lực tới quay Ứng dụng phương pháp Kudrevit: 1- Lập hệ toạ ñộ OX0Y0Z0 cố ñịnh 2- Không tính ñến tốc ñộ góc ñất chuyển ñộng 3- Lập hệ toạ ñộ OXYZ gắn liền với quay 4- Cho quay lệch sang chiều dương góc α và chếch lên góc β www.hanghaikythuat.tk 12 www.hanghaikythuat.edu.tf Hình vẽ 1-11 5- Lập các véc tơ tốc ñộ góc α& , β& 6- Xác ñịnh các hình chiếu trên trục Y là q và trên trục Z là R Ta có: q = β& ; R = α& cos β 7- Tìm mô men kháng quay Ry = H α& cos β và Rz = H β& && và 8- Tìm gia tốc góc α (1.9) β&& 9- Xác ñịnh mô men quán tính && cos β và I β&& Iα (I mô men quán tính ñối với trục Y và Z) 10- Ta giả thiết rằng: Có lực F tác dụng lên quay và gây lên mô men ñối với trục OY, véc tơ mô men nằm trên trục Y hướng chiều dương và cho ngoài mô men ngoại lực ñó không còn mô men nào khác 11- Tích mô men quán tính ñây mô men quán tính vì ñiểm O ñứng yên chuyển ñộng ñều 12- Ta cộng các mô men theo các trục Y và Z: www.hanghaikythuat.tk 13 www.hanghaikythuat.edu.tf Iβ&& + R y = L y  từ  Iα&& cos β − Rz  Iβ&& + Hα& cos β = L y   Iα&& cos β − Hβ& =  công thức (1.9) ta có (1.10) Giả sử góc lệch quay khỏi vị trí cho trước bé, có nghĩa là cos β =1 Từ (1.10) ta có: Iβ&& + Hα& = L y   Iα&& − Hβ& =  (1.11) (1.11) là hệ phương trình vi phân tuyến tính ñặc trưng cho chuyển ñộng quay tác dụng mô men ngoại lực ðưa biến số X = α& và Y = β& vào (1.11) ta có: IY& + HX = L y (A) IX& − HY = (B) Nhân (B) với i sau ñó cộng (A) với (B) chuyển sang biến số phức Z=Y + i.X Ta có: IZ& − iHZ = L y (1.12) Tìm phương trình tương ñương IP – iH = ñó P là nghiệm âm i H = P = iωo ta ñược: I Z = N e iω o t + Z r Trong ñó: N là số phức bất kỳ; ñây cho N = C1 + iC2 C1 & C2 là số thực thuộc nghiệm phương trình (1.12) Zr là nghiệm riêng phương trình (1.12) Zr= - Ly iH =i Ly H ứng dụng công thức ơle ta có thể tính ñược Z: Z = (C1 + iC2 )(Cosωot + i sin ωot ) + i Ly H Ta phân tích nó thành phần thực và phần ảo Z = C1 Cos ω t − C sin ω t + i (C Cos ω t + C1 sin ω t + Ly H ) (C) Suy từ (A) ta có các Y và X tương ứng kết hợp với (B) và (C) ta có: www.hanghaikythuat.tk 14 www.hanghaikythuat.edu.tf Y = β& = C1 Cos ω t − C sin ω t   Ly  X = α& = C Cos ω t + C1 sin ω t +  H (1.13) ðể xác ñịnh số C1 và C2 ta có ñiều kiện ban ñầu sau: Khi t = thì trục chính quay có toạ ñộ: α& t = ; α o = ; β t = = β0 Thay vào (1.12) ta có: C1 = β0 và C2=- Ly H Thay C1 và C2 vào (13) ta có:   H Ly Ly  α& = − cos ω t + β sin ω t +  H H β& = β cos ω t + Ly sin ω t (1.14) Lấy tích phân theo t (14) tìm ñược α và β: β&0   H ω0 ω0  (1.15) Ly Ly β0 α =− sin ω t − cos ω t + t + C 4  H ω0 H ω0 β= sin ω t − Ly cos ω t + C Dựa vào ñiều kiện ban ñầu ñể tìm C3 và C4 ðiều kiện trên: t = α t =0 = α , β t =0 = β Thay vào (15) ta có: Ly  H ω   β0  C4 = α0 + ω0   C3 = β + (1.16) Thay C3 và C4 (16) vào (15) ta có: www.hanghaikythuat.tk 15 www.hanghaikythuat.edu.tf L  &0 + y (1 − cos ω t ) + β sin ω t β β =  H ω0 ω0  L L α = α + β (1 − cos ω t ) − y sin ω t + y t  H ω0 H ω0 (1.17) Biểu thức (1.17) biểu thị quy luật chuyển ñộng quay tác ñộng ngoại lực liên tục phân tích α và β ta rút kết luận: Dưới tác dụng ngoại lực quay hoàn thành chuyển ñộng phức hợp gồm góc tiến ñộng với tốc ñộ góc tiến ñộng ñiều hoà với tần số là ω0 = ωt = Ly H Ngoài còn dao ñộng H J = Ω (H = JΩ) I I Khi tốc ñộ góc quay quay lớn thì ω0 có trị số xấp xỉ Ω, biên ñộ dao ñộng ñiều hoà bé Quỹ ñạo chuyển ñộng nó hay trương ñộng Với dao ñộng bé ta không thể xác ñịnh ñược nó Trong kỹ thuật người ta không ñể ý tới dao ñộng ñiều hoà ñó mà ta coi tác dụng ngoại lực thì quay tiến ñộng với tốc ñộ góc ωt = LY H *Kết luận: Tiến ñộng quay không có quán tính nghĩa là mô men ngoại lực thôi tác dụng thì quay thôi tiến ñộng Quán tính quay sinh trường ñộng không sinh tiến ñộng, ñó có mô men ngoại lực tác dụng tức thời Xung lực thì làm cho quay có tốc ñộ góc ban ñầu β’0 Khi ñó:  β '0  β=β + sin ω t  ω  β 0'  (1 − cosω t ) α = α + ω  (1.18) (1.18) là biểu thức xác ñịnh chuyển ñộng quay có xung lực tác dụng nghĩa là LY = còn tốc ñộ β0 ≠ ta thấy quay quay xung quanh vị trí ban ñầu nó theo chiều thẳng ñứng 1.7 Phương trình rút gọn chuyển ñộng quay Iβ&& + Hα& = Ly   (1.19) & & & Iα − Hβ =  Từ phương trình (19) là phương trình ñầy ñủ chuyển ñộng quay tác dụng ngoại lực: Nếu ta không tính ñến trương ñộng thì (18) trở thành: www.hanghaikythuat.tk 16 www.hanghaikythuat.edu.tf  Hα& = L y  − Hβ& = Lz (1.20) (20) là phương trình rút gọn với nghiệm nó là: Ly  = t = + C1 α  H   β = − Lz t + C  H (1.21) Với ñiều kiện ban ñầu t = 0, α t = = α , β t =0 = β0 Thay vào (21) ta tính ñược:  C1 = α  C = β (1.22) Thay vào (21) ta có: Ly  = + t α α  H   β = β − Lz t  H (1.23) So sánh với (1.16), bỏ trương ñộng, ta có: β  β + sin ω t β =  ω0  β α = α + (1 − cos ω t )  ω0 Như nghiệm nó giống Tóm lại: Khi có ngoại lực tác dụng vào quay thì quay chuyển ñộng có tiến ñộng và trương ñộng Khi có xung lực tác dụng thì nó quay mặt phẳng cân nó, nghĩa là không lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến 1.8 Chuyển ñộng quay trái ñất Giả sử tốc ñộ góc quay ñất là ωñ ñược phân thành hai phần: ω1 nói lên quay ñất quanh ñường NS ω1 = ωñcosϕ ; ω2 = ωñsinϕ www.hanghaikythuat.tk 17 www.hanghaikythuat.edu.tf Hình vẽ 1-12 ðường NS gọi là ñường tý ngọ Nếu ta nhìn từ ñầu mút véc tơ ω1 ta thấy phần E luôn ñi xuống, phần W luôn ñi lên Tại xích ñạo ω1= ωñ có trị số lớn nhất, thành phần ω2 ñặc trưng cho chuyển ñộng ñất quanh trục thẳng ñứng Z,n ω2 thay ñổi theo vĩ ñộ người quan sát Tốc ñộ góc ωñ = 2Π Π = 24h 12h 1.9 Khảo sát chuyển ñộng nhìn thấy quay tự ñối với mặt phẳng kinh tuyến và mặt phẳng chân trời Giả sử ta có quay tự mà trục chính nó hướng lên ñịnh tinh nào ñó không gian có chiều hướng không ñổi Ngôi chuyển ñộng vĩ tuyến thiên thể α ≈ A (α là góc tiến ñộng quay A là phương vị thiên thể) ∆ ≈900 - δ với ñại lượng β và α luôn luôn thay ñổi Ta có công thức tính ñộ cao thiên thể thiên văn: Sin h = sinϕ sinδ + cosδ Cost Tương tự ta có: Sin β = sinϕ sinδ + cosϕ Cosδ.cost Ta lại có công thức tính phương vị thiên văn: CotgA= cosϕ tgδ Cost - sinϕ tgt Tương tự ta có: Cotgα = cosϕ tgδ Cost - sinϕ tgt Nếu ñặt trục chính quay song song với trục PNPS thì nó cho ta vĩ ñộ người quan sát: www.hanghaikythuat.tk 18 www.hanghaikythuat.edu.tf sinβ = sinϕ (24) ∆ ≈ 90 - δ δ = 90 thì ∆ = 0 ðiều này có nghĩa là nó nằm mặt phẳng kinh tuyến người quan sát và lệch khỏi mặt phẳng chân trời vĩ ñộ người quan sát, còn tất các trường hợp khác thì ta ñều thấy trục chính quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến và chân trời 1.10 Thí nghiệm Fucô 10.1 Thí nghiệm Fucô ñã dùng quay và hạn chế chiều quay nó quanh trục Y ðầu tiên ông ñặt nó nằm mặt phẳng chân trời và lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến góc α Hình vẽ 1-13 Ta có: ωx= ωñ cosϕ cosα ωY = ωñ cosϕ sinα ωY là thành phần hữu ích chuyển ñộng quay ñất gây nên quay chuyển ñộng xung quanh trục Y với tốc ñộ góc ωY Như quay ngoài chuyển ñộng với tốc ñộ góc Ω còn quay quanh trục Y tốc ñộ góc ωY Do hạn chế chiều quay quanh trục Y sinh mô men kháng Ry Dưới tác dụng mô men kháng Ry quay chuyển ñộng quanh trục Z và ñi mặt phẳng kinh tuyến với vận tốc góc ω t = Ry H Ry= H.ωt = H.ωtcosϕ sinα Chu kỳ dao ñộng quay: www.hanghaikythuat.tk 19 T= 2Π ω02 www.hanghaikythuat.edu.tf = 2Π I jΩ.ω t cos ϕ Nếu không có ma sát thì nó là dao ñộng không tắt Nếu có ma sát thì nó là dao ñộng tắt dần 1.10.2 Thí nghiệm Hạn chế chiều quay nó quanh trục Z ðặt quay có vị trí ban ñầu nằm mặt phẳng kinh tuyến trục chính lệch với PNPS góc θ Như quay có thể quay quanh trục X và Y Ta phân tích ωñ làm hai thành phần ωX và ωY - Thành phần ωX làm cho quay quay quanh trục X trục chính quay không biến ñộng - Thành phần ωZ làm cho quay, quay quanh trục Z Như thành phần ωX làm cho quay quay chậm ñi với tốc ñộ góc ωX = ωñ cosθ, thành phần ωZ = ωñ sinθ là thành phần chuyển ñộng trái ñất gây nên Hình vẽ 1-14 Trong trường hợp này quay ngoài chuyển ñộng tự quay với tốc ñộ góc Ω còn tiến ñộng quay trục Z với ωZ = ωñ sinθ Do hạn chế chiều quay quay quanh trục Z nên sinh mô men kháng RZ làm cho trục chính quay quanh trục Y trở trục PNPS Qua thí nghiệm thứ Fucô này cho chúng ta thấy ta hạn chế chiều quay quay quanh trục Z thì trục chính quay vĩ ñộ nơi ñặt máy Chu kỳ dao ñộng quay ñến trục và trụ là: www.hanghaikythuat.tk 20 www.hanghaikythuat.edu.tf T = 2Π I jΩ.ω d Chu kỳ này không phụ thuộc vào vĩ ñộ người quan sát 1.11 Các phương pháp biến quay thành la bàn quay 1.11.1.Phương pháp hạ thấp trọng tâm quay Hạ thấp trọng tâm quay cách hạ thấp trọng tâm phần vỏ nó Hình vẽ 1-15 ðầu tiên ñặt trục quay song song với mặt phẳng chân trời và lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến góc 900 ðoạn OG = a - Xét trường hợp I: Trọng lượng P ñi qua gốc toạ ñộ nên không gây mô men với trục nào - Xét trường hợp II: Do ñất quay ñi góc β ñó P ñược phân làm thành phần P1 = P sinβ P2 = P cosβ Thành phần P2 ñi qua gốc toạ ñộ không gây mô men với trục nào Thành phần P1 gây mô men với trục Y Thành phần véc tơ mô men này có chiều hướng theo chiều dương trục Y, trên hình vẽ có hướng từ ngoài Thành phần Ly làm cho quay tiến ñộng quanh trục Z với vận tốc góc ωt Do Ly nằm mặt phảng kinh tuyến NS ñó trục chính quay ñi mặt phẳng kinh tuyến NS với vận tốc góc tiến ñộng là ω t = www.hanghaikythuat.tk L H 21 www.hanghaikythuat.edu.tf L = P.l = P.a sinβ ⇒ ωt = mga sin β H (1.25) ðặt mga = B là mô men trọng lực lớn thay vào (1.25) ta có: ωt = B.sin β H (1.26) Trong trường hợp góc lệch bé thì: sinβ ≈ β Thay vào (26) ta có góc tiến ñộng quay là ω t Như trục chính = B β H r H luôn N (ñối với quay có trọng tâm thấp) Nếu ñặt vị trí trục chính quay ban ñầu lệch với mặt phẳng kinh tuyến góc α phía E và song song với mặt phẳng chân trời Trong chuyển ñộng quay trái ñất thì phía E mặt phẳng chân trời luôn luôn ñi xuống; Do ñó trục chính quay vừa hướng N vừa ñi lên có nghĩa là tồn ωt, β Những thành phần trên làm cho trục quay vừa ñi lên lại vừa sang N ñến gặp mặt phẳng kinh tuyến thì β lớn nhất, nghĩa là ω t = B β lớn Thành phần ωt lớn kinh tuyến ñó trục H chính quay không thể dừng lại ñó ñược mà tiếp tục sang (W) Mặt phẳng chân trời W ñi lên, trục chính quay ñi xuống cho ñến trục chính quay gặp mặt phẳng chân trời phía W thì β = 0, ỏ = -ỏ max Trục chính quay chuyển ñộng hướng N và ñi xuống cho ñến gặp mặt phẳng kinh tuyến thì ỏ = 0, õ = -õ max ðiều này có nghĩa là tồn mô men Ly làm cho trục chính quay không dừng lại mà tiếp tục chuyển ñộng sang phía E ñể hoàn thành chu kỳ dao ñộng không tắt nó Nếu ñem trải mặt phẳng, quỹ ñạo chuyển ñộng ñầu nút trục chính quay chuyển ñộng trên thì nó là hình elíp dẹt Tóm lại quay có trọng tâm thấp hoàn toàn thành chu kỳ dao ñộng không tắt quanh mặt phẳng kinh tuyến, quỹ ñạo ñầu mút trục chính quay là hình elíp dẹt www.hanghaikythuat.tk 22 www.hanghaikythuat.edu.tf Hình vẽ 1-16 1.11.2 Phương pháp dựng bình thuỷ ngân thông ðể biến quay thành la bàn quay người ta sử dụng bình thuỷ ngân N, S thông ( chất lỏng thuỷ ngân có thể thay chất lỏng khác có tính chất tương ñương) Giả sử vị trí 1: ðặt trục chính quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến góc 900 và song song với mặt phẳng chân trời không có lượng thuỷ ngân dư sinh Khi ñất quay làm lệch mặt phẳng chân trời với trục chính quay góc β Tại vị trí 2, làm cho thuỷ ngân dịch chuyển từ bình sang bình sinh lượng thuỷ ngân dư có trọng lượng là P Hình vẽ 1-17 www.hanghaikythuat.tk 23 www.hanghaikythuat.edu.tf Từ hình vẽ ta thấy mức nước Hg bình N cao bình S ñó Hg chảy từ bình N ñến S sinh lượng thuỷ ngân dư có khối lượng là P gây mô men ñối với trục Y Phân tích P làm thành phần P1 = P.sinβ: Không gây mô men ñối với trục nào P2 = P.cosβ: gây mô men ñối với trục Y, mô men Ly có hướng phía sau quay dẫn ñến xuất ωt làm cho ñầu N trục chính quay tiến phía S ngược với trường hợp quay có trọng tâm thấp ωt = Ly H Ly = P2ρ P2 = V.γ.g.cosβ; V=2.s.ρ.tgβ Ly = 2s.ρ.tgβ.γ.g.ρ.cosβ = 2ρ2s.tgβ.γ.g.cosβ Ly = C.sin β với C = 2ρ2.s.γ.g Trong ñó: - γ là khối lượng riêng chất lỏng - s là thiết diện ống - ρ là khoảng cách từ tâm quay ñến tâm khối chất lỏng dư - g gia tốc trọng trường ( 9,8 m/s2) - C gọi là mô men trọng khối lớn Trường hợp góc lệch bé sinβ ≈ β, ta có: Ly = C.β Thành phần Ly làm cho trục chính quay tiến ñộng với vận tốc là ωt = C β H Tóm lại ta thấy trục chính quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến góc β nào ñó thì nó trở mặt phẳng kinh tuyến Bởi có góc β mặt phẳng chân trời quay quanh ñường NS sinh vận tốc góc ωt phụ thuộc vào góc lệch β nó quay có trọng tâm thấp dao ñộng không tắt quanh mặt phẳng kinh tuyến Quỹ ñạo ñầu nút trục chính quay trên mặt phẳng là hình elíp dẹt Chương Lý thuyết quay chuyển ñộng trên cố ñịnh 2.1 Khảo sát chuyển ñộng la bàn quay có bình thuỷ ngân thông Trước tiên ñặt cho trục chính la bàn quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến góc α và chênh góc β www.hanghaikythuat.tk 24 www.hanghaikythuat.edu.tf Hình vẽ 2-1 Hq có chiều cho H tới q theo chiều ngược chiều kim ñồng hồ với góc bé Mô men r hướng âm và q hướng âm vì thành phần gây mô men ñây xét là thành phần quay ñất làm cho sinh cột dầu dư ñể có ñược góc tiến ñộng Thành phần: ωz = ω1 cosα cos(900 - β) = ω1 cosα sinβ ωY = ω1 sinα α& là vận tốc góc quay, quay quanh trục Z β& là vận tốc góc quay, quay quanh trục Y Với trục Z: - H( β& - cosϕ sinα) = Trong kỹ thuật người ta thường bỏ qua giá trị a mà ñảm bảo ñược kỹ thuật vì cosϕ, cosα, cosβ ñều nhỏ Với góc lệch α và β bé thì ta có: Sin α ≈ α Sinβ ≈ β Cosα ≈ Cosβ ≈ Thay vào phương trình trên ta ñược: H ( α& - ωñsinϕ) + Cβ = (2.1.a) -H ( β& - ωñcosϕ α) = (2.1.b) www.hanghaikythuat.tk 25 www.hanghaikythuat.edu.tf (2.1a, 2.1b) là hệ phương trình vi phân chuyển ñộng quay có bình thuỷ ngân thông Lấy phương trình (2.1.a) vi phân lần ta có: && + Cβ& (theo góc) ta có β Hα β& ðưa = H H α (−) suy β& = − α&& C C vào (1.b) ta có: -H ( Hay −H α&& − ωñcosϕ.α) = C H2 C α&& + Hωñcosϕ.α = (2.2) Trong phương trình biểu thị dao ñộng lắc vật lý ta có: Iα&& + mglα = (2.3) Trong ñó: m:khối lượng lắc l: chiều dài cánh tay ñòn g: gia tốc trọng trường I: Mô men quán tính ñối với trục lắc So sánh (2.2) với (2.3) ta thấy: H C tương ứng với I gọi là mô men quán tính ñộng Hωñcosϕ ứng với mgl (là mô men quán tính hồi lắc) gọi là mô men ñịnh hướng quay Trường hợp ñã ñịnh hướng với góc α nào ñó thì: Hωñcosϕα Bây ta ñi tìm nghiệm riêng phương trình (2.2) nó ñặc trưng cho vị trí cân ñộng trục chính quay vị trí cân ñộng thì α& và α&& = 0, α = αr ñó αr = là nghiệm phương trình vị trí cân ñộng Vậy trục chính quay vị trí cân ñộng nằm mặt phẳng kinh tuyến Ta có thể viết (2.2) dạng khác: H C α&& + α&& + H ω d cos ϕ α = H ω d cos ϕ α C H2 = α&& + H C.ω d cos ϕ α = α&& + ω 02 α = H www.hanghaikythuat.tk 26 www.hanghaikythuat.edu.tf Trong ñó: ω 02 = C ω d cosϕ H Giải phương trình trên theo phương pháp ơle ta có nghiệm: α = C1cosω0t + C2sinω0t (2.4) Với ñiều kiện ban ñầu: t = 0, sinω0t = cosω0t = α& = t = α = α0 thay vào (4) ta có: α0 = C1 + ⇒ C1 = α0 α0 là góc lệch ban ñầu quay Lấy vi phân (4) theo thời gian ta có: α& = - C1ω0sinω0t + C2ω0cosω0t Thay ñiều kiện ban ñầu ta có: = + C2ω0 suy C2 = Vậy nghiệm phương trình là: α = α0cosω0t (2.5) (5) là phương trình biểu thị quy luật chuyển ñộng quaycó bình thuỷ ngân thông mặt phẳng phương vị Kết ta thấy quay hoàn thành dao ñộng không tắt mặt phẳng phương vị với chu kỳ T0 = Π H ; C ω d cos ϕ (T0 = Π I ) H ωd cos ϕ Nếu so sánh chu kỳ dao ñộng không tắt la bàn quay có bình thuỷ ngân thông với chu kỳ dao ñộng quay (thí nghiệm Fucô) thì T0 Fucô nhỏ Xét trục chính quay chuyển ñộng theo chiều cao Ta gọi vị trí cân ñộng trục chính quay theo chiều cao là βr Từ phương trình (1.a) H(α - ωñsinϕ) + Cβ = (2.6) Tại vị trí cân ñộng thì α = thay vào (6) ta có: H ωñsinϕ = Cβ suy βr = H ω d sin ϕ C www.hanghaikythuat.tk (2.7) 27 www.hanghaikythuat.edu.tf Như vị trí cân ñộng thì trục chính quay nằm mặt phẳng kinh tuyến và chênh góc βr = H ω d sin ϕ ; Như có cột thuỷ ngân dư C có trọng khối Pm nào ñó tạo thành mô men trọng lực là Cβr Thành phần mô men này làm cho trục chính quay tiến ñộng với vận tốc góc: ωt = Cβ r H Tại vị trí cân ñộng thì α& = nghĩa là vận tốc góc riêng quay ñối với mặt phẳng kinh tuyến ñó ωt = ω2 = ωñsinϕ ðiều này có nghĩa là trục chính quay vị trí cân ñộng tiến ñộng với vận tốc góc vận tốc góc kinh tuyến quay quanh trục thẳng ñứng Như trục chính quay nằm mặt phẳng kinh tuyến Từ (1.a) ta có: H ( α& -ωñsinϕ) + Cβ = hay H α& + Cβ = H ωñ sinϕ Từ (2.7) ta có: H α& + Cβ = Cβr (8) (βr là góc trương ñộng vị trí cân ñộng) Lấy vi phân (2.5) theo thời gian ta có: α& = - α0ω0sinω0t (2.9) Thay (9) vào (8) ta có: -Hα0ω0sinω0t ± C.β = C.βr Suy β - βr = H ω 0α C sin ω t (2.10) Tóm lại ta có: (2.10) là phương trình biểu thị trục chính quay chuyển ñộng mặt phẳng kinh tuyến theo chiều thẳng ñứng (2.5) là phương trình biểu thị trục chính quay chuyển ñộng mặt phẳng nằm ngang Nếu tiếp tục phân tích chuyển ñộng trục chính quay rút kết luận sau: Chuyển ñộng la bàn quay có bình thuỷ ngân thông theo các toạ ñộ α và β là dao ñộng ñiều hoà vị trí cân ñộng thì toạ ñộ nó ñược xác ñịnh: αr = βr = H ω d sin ϕ C Cả hai chuyển ñộng ñiều hoà ñó ñều có chu kỳ là: www.hanghaikythuat.tk 28 www.hanghaikythuat.edu.tf T0 = Π H lệch pha 900 C ω d cos ϕ Phương trình quỹ ñạo ñầu nút trục chính quay là: Muốn tìm quỹ ñạo nó ta khử t biểu thức (2.5) và (2.10) α Từ (2.5) ta có: Từ (10) ta có: α0 = cosω0t (β − βr )C = sin H ω0α (2.11) ω0 t (2.12) Bình phương hai vế (2.11) và (2.12) ta có: α2 α 02 = cos2 ω d t (β − βr )2 C H ω 02 α 02 (2.13) = sin2ω0t (2.14) Cộng (13) với (14) ta có: α α 2 + (β − βr )2 C H ω 02 α 02 =1 (2.15) Biểu thức (15) cho ta thấy quỹ ñạo chuyển ñộng trục chính quay là ñường elíp có toạ ñộ O, βr và bán kính trục lớn là: (β − β r ) C α α 2 và bán kính trục nhỏ là: H ω 02 α 02 đó là hình elắp dẹt mà mắt thường chúng không nhìn thấy ựược 2.2 Bộ phận tạo dao ñộng tắt dần la bàn quay 2.2.1 ðối với la bàn có trọng tâm thấp www.hanghaikythuat.tk 29 www.hanghaikythuat.edu.tf Hình vẽ 2-2 Trên ñầu quay người ta gắn bình dầu thông Một bình N và bình S Khi bình dầu nghiêng ñi góc nào ñó thì gây lượng dầu làm cho chu kỳ dao ñộng quay tắt dần Như người ta cấu tạo bình và thiết diện ống thông cho dao ñộng dầu bình với dao ñộng bình lệch 1/ chu kỳ Khi ñó bình nghiêng ñi 1/ chu kỳ thì khối lượng dầu bình Khi bình trở lại vị trí ban ñầu thì khối lượng dầu dư ñạt cực ñại Nghĩa là dao ñộng dầu bình lệch 1/ chu kỳ so với lắc quay Khi quay trở vị trí ban ñầu thì dầu chảy từ bình này sang bình khác ñạt cực ñại Lượng dầu dư P1 gây mô men Ly1 gây tiến ñộng ω = C1 t1 Còn P gây tiến ñộng ω = t1 β H β H (β ñối với quay có trọng tâm thấp) P1 gây tiến ñộng phụ còn P gây tiến ñộng chính Hai thành phần P1 và P gây tiến ñộng có cùng chiều và có ngược chiều Do ñó dao ñộng trục chính quay không phải là hình elíp mà là dao ñộng tắt dần theo ñường xoắn ốc và cuối cùng ổn ñịnh mặt phẳng kinh tuyến Trong các góc 1/4 thứ và thứ thì dao ñộng ngược chiều có lợi và 1/4 còn lại dao ñộng cùng chiều có lợi Ta thấy phương pháp này ñược ứng dụng la bàn quay Kype 4, RFT (ðức), AMYP (Nga), Hukushin (Nhật) www.hanghaikythuat.tk 30 www.hanghaikythuat.edu.tf 2.2.2 ðối với la bàn có bình thuỷ ngân thông ðể biến quay thành dụng cụ hướng thì phải triệt tiêu dao ñộng không tắt Người ta dùng hai phương pháp: a Gắn lệch bình thuỷ ngân ñi góc ε Góc ε thường = 1,50 ÷ 20 và gắn lệch sang W, và người ta chia hai bình thành bình thông Hình vẽ 2-3 Khi trục chính quay lệch khỏi mặt phẳng chân trời góc β thì sinh cột thuỷ ngân dư sinh Ly và gây lên mô men Lz (Do gắn lệch mô men Ly = D.sinε.β ; Lz = D.cosε.β), ε bé ñó: Ly = D.β ε Lz = D.β D là mô men trọng khối khối lượng chất lỏng dư gây Thành phần Ly làm cho quay tiến ñộng quanh Z còn Lz làm cho quay tiến ñộng quanh Y Lz làm cho góc β nhỏ ñi, dẫn tới ωt nhỏ ñi ñó dao ñộng này tắt dần Phương pháp này dùng GK (Nga) và Spery (Mỹ) b Gắn bình thuỷ ngân vào vòng ñứng gắn vật nặng phía W Giả sử ñầu N trục chính quay lệch khỏi mặt phẳng chân trời góc là β, thì P phân làm thành phần, thành phần song song với X ( P x) gây mô men với trục Z là Lz và gây mô men với trục Y là Ly Thành phần song song với trục Z (Pz) gây mô men với trục X không làm tiến ñộng cho quay bỏ qua không xét thành phần này www.hanghaikythuat.tk 31 www.hanghaikythuat.edu.tf Hình vẽ 2-4 Ta có mô men trên các trục: ðộ lớn: Lz = P a sinβ Lx = P a cosβ (không xét) Ly = P a1 sinβ a là khoảng cách từ trục Z ñến trọng tâm vật nặng phía W a1 là khoảng cách từ trọng tâm vật nặng ñến trục Y Trong phạm vi góc β bé sinβ ≈ β ðặt P.a = D , P a1 = D1 gọi là mô men trọng khối vật nặng phía Tây Thành phần Lz kết hợp ñưa trục chính quay mặt phẳng chân trời, thành phần Ly cùng với mô men tiến ñộng chính khối lượng thuỷ ngân dư tạo ñưa trục chính quay mặt phẳng kinh tuyến N, S trái ñất Như trục quay ñồng thời tham gia hai tiến ñộng : tiến ñộng mặt phẳng chân trời và tiến ñộng mặt phẳng kinh tuyến NS theo quy luật xoắn trôn ốc tắt dần Phương pháp này thường ñược áp dụng la bàn quay MRK Nga, Tokyo Keiky Nhật 2.3 Khảo sát dao ñộng tắt dần la bàn quay có bình thuỷ ngân thông ñặt trên cố ñịnh Bây ta thành lập phương trình vi phân chuyển ñộng tắt dần quay có phận tạo dao ñộng Từ hệ phương trình với chuyển ñộng không tắt quay ta cộng thêm mô men Lz vào trường hợp ñầu N trục chính quay lệch khỏi chân trời góc β ñi lên và mô men trên trục Y Ta có hệ phương trình sau: www.hanghaikythuat.tk 32 www.hanghaikythuat.edu.tf H (α& − ω d sin ϕ ) + Cβ = - với Ly = Cβ (2.16 a) H (β& − ω d cos α ) − Dβ = với Lz = Dβ (2.16 b) Xét với quay có trọng tâm thấp ta có phương trình tương tự Nếu ta thay (16 a) và (17 b) H = (- H) ; - Cβ = +Cβ ; - Dβ = Dβ Giải hệ phương trình (16 a, 16 b) Từ (16 a) ta có: β =− H H α& + ω d sin ϕ C C (2.17) ðạo hàm (17) theo α và β ta có: β& = − H α&& C (2.18) thay (18) vào (16 b) ta có: H  H   H  α&& − ω d cos ϕ  − D − α& − ω d cos ϕ  = C  C   C  - H− Hay H2 C α&& + H ω d cos ϕ α + DH DH α& − ω d sin ϕ = C C (2.19) Tìm nghiệm riêng phương trình (19) cách thay ñiều kiện ñầu vào phương trình Ta có vị trí cân ñộng thì α& && vào (19) ta có: Thay α& và α H ω d cos ϕ α = = α&& = DH ω d sin ϕ C Tại vị trí cân ñộng α = αr ta có: αr = D tgϕ C (ðơn vị: Radian) (2.20) Công thức (20) cho ta vị trí cân ñộng quay mặt phẳng phương vị Vậy vị trí cân ñộng trục chính quay không nằm mặt phẳng kinh tuyến mà lệch sang ñông góc αr trục chính chênh lên phía trên ñầu N Tại phía S thì ngược lại Ta gọi sai số tắt dần quay là αr ñược ký hiệu là; δd = D tgϕ C (ðơn vị: Radian) www.hanghaikythuat.tk 33 www.hanghaikythuat.edu.tf Muốn khử sai số ñó ta dịch chuyển trọng tâm quay phía S trục chính quay cho mô men trọng lượng quay tạo nên tiến ñộng mặt phẳng phương vị với tốc ñộ góc ωñsinϕ có hướng từ E ñến W Khi ñó phương trình (2.16 a, 2.16 b) có dạng: H (α& ) + Cβ = - Hβ& + H ω d cos ϕ α − Dβ = H α& C H && Từ (c) ta có: β& = − α C Từ (a) ta có: β =− (a) (b) (c) (d) Thay (c), (d) vào (b) ta có: H2 C α&& + H ω d cos ϕα + Tại vị trí cân ñộng α& = α&& = ; DH α& = C (e) α = αr β = βr Thay vào (e) và (c) suy αr = và βr = (2.21) (2.21) là toạ ñộ vị trí cân ñộng trục chính quay ðể tìm chu kỳ dao ñộng tắt dần quay ta ñi tìm nghiệm riêng phương trình (e) không có vế phải H2 C α&& + H ω d cos ϕα + DH α& = C Dạng khác: α&& + ðặt D = 2h; H ωd C H cos ϕα + ωd C H D α& = H cos ϕ = ω 02 (2.22) Khi ñó ta có: α&& + 2hα& + ω α = và nghiệm là: α = e − ht ( 2 C1 e j h −ω t 2 + C e − j h −ω t ) Dùng công thức ơle ñể biến ñổi ta có: α = e-ht(C1cosωñt + C2sinωñt) (2.23) www.hanghaikythuat.tk 34 www.hanghaikythuat.edu.tf Với tần số góc tắt dần: ωñ = ω 02 − h Vậy nghiệm phương trình vi phân tổng quát có vế phải α = e-ht(C1cosωñt + C2sinωñt) + αr = e-ht(C1cosωñt + C2sinωñt) + (*) D tgϕ C β = e − ht (C1 cos ωd t + C2 sin ωd t ) + Tương tự ta có: H ωd sin ϕ C (**) Trong ñó C1 , C2 , C3 , C4 là số tích phân ñược xác ñịnh theo ñiều kiện ñầu Tại t = thì α = α o thay vào phương trình (*) ta có : C1 = α Tại t = + thì α& = α& o = thay vào phương trình (*) ta có : C2 = β&0 Tương tự ta có: C3 = ; C4 = ωd Vậy phương trình tổng quát (*) (**) là: D tgϕ C β& ω H sin ϕ β = e − ht sin ωd t + d ωd C α = α e − ht cos ωd t + Nhìn vào phương trình trên ta có nhận xét sau: Dao ñộng trục chính quay mặt phẳng phương vị ( α ) là tắt dần theo quy luật hàm cos, theo mặt phẳng chiều cao ( β ) theo quy luật hàm sin Tổng hợp hai dao ñộng trục chính quay mặt phẳng kinh tuyến NS và mặt phẳng chân trời là ñường xoắn trôn ốc tắt dần - Chu kỳ dao ñộng - T d = 2Π ω = d ω −h 2 so với chu kỳ dao ñộng không tắt T Vậy Tñ > T0 - 2Π = 2Π ω (2.24) (2.25) Vĩ ñộ càng cao thì chu kỳ dao ñộng càng lớn, thời la bàn quay mặt phẳng kinh tuyến (NS) càng chậm www.hanghaikythuat.tk 35 www.hanghaikythuat.edu.tf Góc lệch trục chính quay khỏi mặt phẳng kinh tuyến gian mặt phẳng kinh tuyến càng chậm và ngược lại - Muốn khởi ñộng la bàn quay thì ta phải khởi ñộng trước từ ñến - ðặc trưng cho hệ số tắt dần ta ñưa hệ số f = α = α = α = α α α α càng lớn, thời - α α( n n +1) =- e h Td dấu (-) công thức biểu thị biên ñộ giảm dần theo thời gian Qua thực nghiệm ta thấy vĩ ñộ chuẩn ϕ* thì chu kỳ nó Tñ = 84,4m Ta có bảng quan hệ T0, Tñ vĩ ñộ ϕ khác nhau: ϕ0 20 30 40 50 60 70 80 T0 60 62 65 68 74 84 103 140 Tñ 62 65 68 73 80 92 112 190 Chương Ảnh hưởng chuyển ñộng tàu ñối với la bàn ñặt trên tàu 3.1 Sai số tốc ñộ la bàn quay Trái ñất chúng ta ñược xem hình cầu và luôn quay quanh mình nó với vận tốc góc là ự d Khi tàu hành trình trên biển tức là nó ñang thực chuyển ñộng phức hợp Do la bàn quay ñược ñặt trên tàu nên nó tham gia vào các chuyển ñộng tàu Trong các chuyển ñộng ñó thì chuyển ñộng thẳng ñều ñã gây sai số tốc ñộ cho la bàn quay Sai số tốc ñộ la bàn quay phát sinh tàu chuyển ñộng với tốc ñộ và hướng không ñổi Giả sử ta có tàu chạy với HT = const và vận tốc V không ñổi Phân tích V theo thành phần: vn = V cos HT  v E = V sin HT (3.1) Ta xem tàu chuyển ñộng trên ñất theo ñường cong nó là chuyển ñộng tương ñối còn chuyển ñộng tàu theo trái ñất gọi là chuyển ñộng theo Ta lập hệ toạ ñộ chân trời ñi qua trọng tâm tàu: N, E, r www.hanghaikythuat.tk 36 www.hanghaikythuat.edu.tf Hình vẽ 3-1 Nt V HT E Giả sử tàu chuyển ñộng quanh trái ñất với vận tốc V Phân V thành thành phần Vn và VE VE biểu thị tàu chuyển ñộng quanh Pn, Ps www.hanghaikythuat.tk 37 www.hanghaikythuat.edu.tf ω Pn Ps = VE r r = Rñ cosϕ Suy ω PnPs = VE Rd cos ϕ Tàu chạy theo cung vòng lớn với vận tốc ω là: ω= Vn Rd Bây ta ñi tìm hình chiếu véc tơ lên trục N, E, n các thành phần: VE Rd cos ϕ ; ωñ Chiếu lên trục N ta có: Vn ; Rd U = ω d cos ϕ + Lên trục E: U2 = − Lên trục n: U3 = − VE Rd Vn (3.2) Rd VE Rd cos ϕ sin ϕ − ω d sin ϕ Thay (3.1) vào hệ (3.2) ta có: www.hanghaikythuat.tk 38 www.hanghaikythuat.edu.tf Hình vẽ 3-2 ω1 = ωñ cosϕ + V sin HT Rd ω2 =- V cos HT Rd ω3 = - V sin HT sin ϕ − ω d sin ϕ Rd cos ϕ Với các thành phần U1, U2, U3 ta thành lập phương trình chuyển ñộng quay có bình thuỷ ngân thông có tính ñến chuyển ñộng tàu so với trái ñất ñây ta coi tàu tham gia gồm chuyển ñộng tương ñối và chuyển ñộng theo, ñó ta kể ñến thành phần U1 và U2 Ta vẽ các véc tơ mô men ñộng lượng, véc tơ mô men kháng Sau ñó lấy tổng hình chiếu các véc tơ mô men lên các trục cho cân và rút gọn ta có H (α& − U ) + C.β = H [β& − (U1α + U ) ] = (a) (b) ðây là hệ phương trình vi phân chuyển ñộng quay có sai số tốc ñộ ðể xác ñịnh sai số ta tìm nghiệm riêng phương trình trên tức là tìm vị trí cân ñộng vị trí cân ñộng vị trí cân α = αr suy α& = ; β = βr suy β& = H U thay C V sin HT U = (ωd sin ϕ + o tgϕ Rd Thay α& =0 vào (a) suy βr = Thay β& = vào (b) suy α βr = r =− U2 U1 H V sin HT (ωd sin ϕ + o tgϕ ) C Rd www.hanghaikythuat.tk 39 www.hanghaikythuat.edu.tf Thay giá trị α r = VN Rd Rd ωd + VE Rd =− V cos HT (Rad) Rd ωd cos ϕ + V sin HT αr gọi là sai số tốc ñộ Vậy tàu ñi với hướng HT không ñổi và vận tốc không ñổi thì trục chính quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến góc αr Từ phương trình trên ta thấy αr phụ thuộc vào vận tốc và hướng ñi tàu Nếu V càng lớn thì αr càng lớn và HT lớn thì αr nhỏ dần Dấu (-) biểu thị trục chính quay lệch sang E mang dấu (+) tàu ñi góc 900- 2700 thì αr mang dấu (+) Trục chính quay lệch sang W mang dấu (-) Như tàu ñi các góc phần tư 00 – 900; 2700 – 3600 αr mang dấu (-) trục chính quay lệch sang W Tàu ñi xích ñạo thì αr càng bé và tàu ñi cực thì αr càng lớn Tàu ñi theo hướng NS thì αr = 0, tàu ñi theo hướng EW thì αr max Nếu ta tính theo hướng la bàn thì ta có HT = HL + δv (δv là sai số la bàn) δv bé ta có thể thay δv = tgδv Thay δv = αr δv = − V cos( HL + δ v ) Rd ω d cos ϕ + V sin (HL + δ v ) tgδv = − V cos( HL + δ v ) Rd ω d cos ϕ + V sin (HL + δ v ) [RdWdcosϕ + Vsin(HL +δv)]sinδv = - Vcos(HL + δv).cosδv RdWdcosϕ sinδv = - V[sin(HL +δv)]sinδv - cos(HL + δv).cosδv] = - Vcos(HL + δv - δv ) = - V.cosHL Sinδv = − V cos HL R d ω d cos ϕ suy δv = − V cos HL R d ω d cos ϕ áp dụng công thức sina sinb + cosa cosb = cos (a - b) Thay Rd ωd =900 Sinδv = − V cos HL 900 cos ϕ www.hanghaikythuat.tk (3.3) 40 www.hanghaikythuat.edu.tf Công thức biểu thị sai số tốc ñộ ta thấy sai số không phụ thuộc vào loại tàu, cỡ tàu mà phụ thuộc vào tốc ñộ tàu, hướng la bàn, tốc ñộ tàu chạy ðể khử sai số này người ta dùng nhiều phương pháp như: giới, bán tự ñộng trọng la bàn Kype hay RFT ðức có loại la bàn không có phận khử sai số tốc ñộ trực tiếp trên máy mà sử dụng bảng, giản ñồ, ñồ thị ñể tính sai số Như muốn có ñược hướng chính xác người ta tra bảng tìm sai số Người ta dựa vào công thức (3) ñể lập bảng sai số Hướng ϕ1 thật Vận tốc - + - 90 180 12 … ϕ2 Hệ thống khử sai số tốc ñộ la bàn quay Kype - Như ta ñã biết sai số tốc ñộ phát sinh tàu chạy với hướng và tốc ñộ không ñổi với hướng và tốc ñộ khác ta có sai số khác ðể khử sai số này người ta làm hệ thống cho có biến thiên theo quy luật công thức sau: δv = − V cos HT R d ω d cos ϕ + V sin HT Người ta gắn hai ñĩa A và B có tâm nằm trên trục dọc tàu ðĩa A ñược gắn vào cầu theo và khoét rãnh P hướng E la bàn Trong rãnh có chất C ñể gắn với ñĩa b và ñĩa B có thể chuyển ñộng quay, chuyển ñộng tịnh tiến trên trục dọc tàu Ta có ñoạn O1C = Rñωñ theo tỷ lệ ñịnh ta ñiều chỉnh V1 cho trượt trên trục dọc tàu cho OO1 = Vsecϕ Khi ñó O1C là hướng E ñĩa B lệch với hướng E ñĩa A góc ε (ε chính là sai số δv) Ta có: tgε = OD DO1 + O2C OD = OO1cosHT O1D = OO1sinHT O1C = Rdωd Có tgε = V sec ϕ cos H V sec ϕ sin HT + V sin HT www.hanghaikythuat.tk 41 www.hanghaikythuat.edu.tf Chia cho Secϕ ta có tgε = V cos HT R d ω d cos ϕ + V sin HT So sánh với phương trình tính sai số tốc ñộ ta thấy nó hoàn toàn giống Như ta ñiều chỉnh OO1 = VSecϕ thì ta ñược δv = ε 3.2 Ảnh hưởng thành phần gia tốc ñặt trên tàu Khi có mô men ngoại lực nào tác dụng vào phận nhạy cảm ñều làm cho quay tiến ñộng Có nghĩa là ñộ chính xác la bàn quay phụ thuộc vào các mô men ngoại lực tác dụng vào quay Qua thí nghiệm ta thấy ngoại lực tác dụng lớn vào quay là lực quán tính Thành phần lực quán tính này sinh tàu thay ñổi tốc ñộ, tàu quay trở, tàu lắc ðặc ñiểm lực này sinh có thay ñổi sau ñó ñi Xét ý nghĩa lực quán tính tác dụng vào phận nhạy cảm Muốn chúng ta giả thiết lực quán tính tác dụng vào phận nhạy cảm muốn chúng ta giả thiết lực quán tính tác dụng vào phận nhạy cảm theo phương nằm ngang và vào trọng tâm G cầu quay Ta coi chuyển ñộng quay là chuyển ñộng phức hợp gồm chuyển ñộng tương ñối, chuyển ñộng theo và chuyển ñộng Côriolít ứng với các thành phần gia tốc r r r J ;J ;J r e c Theo ñịnh lý hợp gia tốc ta có: r r r r J = Jr + Je + Jc Những thành phần này gây các thành phần lực quán tính tương ứng r r r r r mJ = − mJr − mJe − mJc thành phần lực - mJe là lực ly tâm chuyển ñộng quay ñất gây nên Do ñó ta coi nó là thành phần trọng khối Thành phần ñến nó r r mJc << − mJr Do ñó tính toán ta không ñể ý Tóm lại : Toàn lực quán tính tác dụng lên phận nhạy cảm ta coi còn thành phần lực chuyển ñộng tương ñối gây r r r F = − mJr = − mV Nếu tàu ñi theo hướng thành phần lực tác dụng vào nằm mặt phẳng nằm ngang Vậy ta có thể phân hai thành phần song song với trục X là Fx, song song với trục Y là Fy Thành phần Fx gây mô men ñối với trục Y www.hanghaikythuat.tk 42 www.hanghaikythuat.edu.tf Ly = Fx.a = - m.a.V& Thành phần Fy gây mô men ñối với trục X ñó không gây tiến ñộng ñối với quay Thành phần Ly gây tiến ñộng với góc tiến ñộng là: ωz = Ly − m.a.V& = H H − m.a.g V& − B.V& = ωz = Hg Hg (3.4) thành phần ly sinh tàu thay ñổi chuyển ñộng (Thay ñổi vận tốc) và gây tiến ñộng trục chính quay ðây là tiến ñộng phụ hay là tiến ñộng quán tính Xét ảnh hưởng mô men lực sinh tàu thay ñổi tốc ñộ Từ phương trình (3.4) ta thấy tàu thay ñổi tốc ñộ thời gian t0 ứng với V0, V1 nào ñó làm cho trục chính quay lệch ñi góc là: t1 t1 β t0 t0 Hg ∫ ω z dt = ∫ − = = − − β .V& x dt ∆t = t1- (theo trục chính quay) t1 ∫ V& x dt Hg t β (V x − V x ) r Hg r (3.5) Tại thời ñiểm t0 ứng với Vx0 Tại thời ñiểm t1 ứng với Vx1 Dấu (-) ñứng trước tích phân biểu thị tàu chuyển ñộng hướng n thì trục chính quay chuyển ñộng hướng W Như vị trí cân ñộng trục chính quay hướng sang W góc b b = δV1 - δV0 (3.6) δV0 là sai số tốc ñộ tàu ñạt tốc ñộ V0 và δV1 là sai số tốc ñộ tàu ñạt tốc ñộ V1 Từ phương trình biểu thị sai số tốc ñộ ta có; δv = − V cos HL (3.7) R d ω d cos ϕ V.cosHL = Vx So sánh (6) và (7) ta có: www.hanghaikythuat.tk 43 www.hanghaikythuat.edu.tf b= − (V x1 − V x0) Rd ω d cos ϕ b= − ∆Vx R d ω d cos ϕ (3.8) Tóm lại ta thấy tàu chuyển ñộng có vận tốc hướng n thì trục chính quay tiến ñộng W và ngược lại Góc tiến ñộng (Hay tiến ñộng củ trục chính quay) có trường hợp sau: -Tốc ñộ góc tiến ñộng lớn tốc ñộ thay ñổi - Tốc ñộ góc tiến ñộng nhỏ tốc ñộ thay ñổi - Tốc ñộ góc tiến ñộng tốc ñộ thay ñổi Ta thấy trường hợp ñầu tàu chuyển ñộng có gia tốc ñều làm cho vị trí trục chính quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến hay không nằm ngang vị trí cân ñộng mà nhanh chậm hai trường hợp ñều có sai số quán tính Trong trường hợp thứ thì trục chính quay luôn luôn bám sát vị trí cân ñộng Theo ñiều kiện Sube muốn cho vị trí trục chính quay sau tàu quay trở xong nằm vị trí cân ñộng thì: ∫ Wz dt = b ðây là ñiều kiện ñể trục chính quay luôn luôn bám sát vị trí cân Từ (3.5) và (3.8) ta có: − B & − ∆Vx Vx = H g Rd ωd cos ϕ Suy B = H g Rd ωd cos ϕ Rd H = g B.ωd cos ϕ ; Với V&x = ∆Vx (3.9) ω0 = B.ωd cosϕ H Ta thấy bên trái là chu kỳ dao ñộng không tắt lắc toán học có chiều dài cánh tay ñòn chiều dài bán kính ñất Với chu kỳ dao ñộng nó là: www.hanghaikythuat.tk 44 www.hanghaikythuat.edu.tf 2Π Rd H = 2Π g B.ωd cos ϕ Thay Rñ = 6.378.000 m g = 9,81 m/ s Ta có: T0 = Π 6.378.000 = 84,4m ( Chu kỳ dao ñộng lắc trái 9,81 ñất) Vậy muốn cho trục chính quay chuyển vị trí cân ñộng không chao thì chu kỳ dao ñộng không tắt quay là T0 = 84,4m, ta tránh ñược sai số mô men quán tính nằm ngang sinh Muốn có ñược chu kỳ dao ñộng không tắt trên thì ta phải thay ñổi (a) khoảng cách từ trọng tâm ñến tâm hình học quay ta phải thay ñổi tốc ñộ góc ω Với loại la bàn thì ta có vĩ ñộ chuẩn khác Kype ϕ* (vĩ ñộ chuẩn) = 600 Ta có sai số quán tính loại I: δj’ = b ± (δv2-δv1), sai số quán tính loại I là sai số chu kỳ dao ñộng quay ≠ 84,4m tàu thay ñổi chế ñộ chuyển ñộng sinh b là lượng dịch chuyển trục chính quay thời gian ∆t và: b= − B∆V cos HL H g (3.10) Tại vĩ ñộ chuẩn: ϕ = ϕ* từ phương trình (9) ta có: B B = suy = H g Rd ωd cos ϕ * H g Rd ωd cos ϕ H.g = B.Rñ cosϕ* thay vào (10) ta có: b= − B.∆V cos HL − ∆V cos HL = B.Rd ωd cos ϕ * Rd ωd cos ϕ * Tại vĩ ñộ ϕ tàu ñang chạy ta có: δ V −δ V1 = − ∆V cos HL Rd ωd ω cos ϕ www.hanghaikythuat.tk (3.11) 45 www.hanghaikythuat.edu.tf δ 1j = − .∆V cos HL ∆V cos HL + Rd ωd cos ϕ * Rd ωd cos ϕ Mặt khác ta lại có từ (11) − (δ V − δ V 1) Rd ωd cosϕ = ∆V cos HL (3.12) Thay vào ta có: δ  cosϕ  − 1  cos ϕ *  = (δ V − δ V 1) j (3.13) Ta có mối quan hệ T0* và T* là: T* = T0* cos ϕ * cos ϕ (phút) Ta có phương trình vi phân chuyển ñộng quay tàu thay ñổi chuyển ñộng và ñóng phận tạo dao ñộng tắt dần lại ñó ta có D = Và phương trình vi phân có dạng: BVN  − Bβ = 0  g  HVr &  Hβ − H ω1α −  Rd − H (α& ) + H ω − (3.14) Trong ñó VN là vận tốc tàu chuyển ñộng tàu theo kinh tuyến Giải phương trình (3.14) ta ñược δ j chính xác δ 1j =1− t T *2 V N sin T *02 Rd ω1 2Π (t − t ) (t – t0) là khoảng thời gian tàu thay ñổi, chuyển ñộng Trong trường hợp tàu giữ nguyên hướng mà thay ñổi tốc ñộ thì tính: δ = j T *02 −T *2 *2 T *02 − T q δ j ñược v cos(ωqt ) − V cos ω t Rd ω1 Trong ñó ωq là tần số vòng quay trở ωq = 2Π Tq (Tq là chu kỳ quay trở) www.hanghaikythuat.tk 46 www.hanghaikythuat.edu.tf Tóm lại ta thấy: Tại vĩ ñộ ϕ* thì không có sai số quán tính loại I Sai số này ñạt giá trị cực ñại sau tàu thay ñổi chuyển ñộng xong trục chính quay tiến ñộng ñến δj1 và bắtñầu dao ñộng tắt dần a là ñiểm ñầu nút véc tơ mô men ñộng lượng H bắt ñầu dao ñộng sau tàu thay ñổi tốc ñộ Nếu vĩ ñộ khác ta có vị trí khác Trường hợp ϕ2 < ϕ* thì ñầu mút véc tơ H nằm bên trái ñiểm cân (NL2) và tiếp tục dao ñộng tắt dần ñiểm cân Do ñó sai số δ j có (+) có (-) kim lệch sang E W Khi có dao ñộng làm cho dầu chảy từ bình này sang bình khác sinh cột dầu dư làm cho quay tiến ñộng Do ñó trục chính quay lệch khỏi vị trí cân ñộng Trong trường hợp trên ta thấy D gây mô men Ly làm cho trục chính quay tiến ñộng gây sai số quán tính loại vĩ ñộ ϕ* mặc dù không có sai số quán tính loại có sai số quán tính loại 2, sai số này ñạt giá trị Max tàu thay ñổi tốc ñộ Khoảng 1/4 chu kỳ dao ñộng (khoảng 20 phút) Sai số quán tính loại luôn luôn làm cho trục chính quay tiến ñộng chậm so với vị trí cân ñộng Khi trục chính quay chuyển ñộng chưa ñến vị trí cân (NL2) thì xuất sai số δj2 Sai số này làm cho trục chính quay dao ñộng thời gian sau ñó trở vị trí NL2 Gọi δj0 là sai số quán tính tổng cộng thì: δj0 = δj1 + δj2 Sai số quán tính tồn mãi sau tiếng ñồng hồ nó tắt hẳn ðể xác ñịnh sai số ñó người ta cho tàu chạy các vĩ ñộ ϕ khác Sai số quán tính có vị trí số cực ñại lần ñầu và lần thứ hai gần nhau, sau ñó tắt dần theo f (hệ số tắt dần) có trị số (-) và trị số (+) Nếu cộng các ñiện tích trị số (-) và (+) lại thì ta thấy ñiện tích (-) gần ñiện tích (+) vì sai số này thay ñổi nhiều, ñó muốn có ñộ chính xác cao thì: -Sau tàu thay ñổi tốc ñộ từ 60 – 150m xác ñịnh vị trí tàu phương vị -Xác ñịnh sai số la bàn nên thực tàu ñứng yên nó ñã chạy với tốc ñộ và hướng không ñổi sau ÷ 2,5h Dùng la bàn quay ñể khử ñộ lệch la bàn từ cách: Cho tàu chạy các hướng chính sau ñó ñưa la bàn từ hướng theo la bàn quay coi ñay là phương pháp gần ñúng, muốn chính xác ta cho tàu neo và dùng tàu lai ñể quay trở 3.3 Sai số tàu lắc www.hanghaikythuat.tk 47 www.hanghaikythuat.edu.tf Ta thấy tàu lắc giống lắc xung quanh tâm lắc nó Với chu kỳ lắc phụ thuộc vào chiều cao tâm lắc Qua nghiên cứu ta thấy ảnh hưởng lắc ngang ñến la bàn quay lớn lắc tổng hợp Do ñó ñây ta cần khắc phục sai số lắc ngang là ñủ Tàu lắc sóng ñánh vào xung lực Ta thấy chu kỳ lắc và chu kỳ sóng biểu thị chu kỳ lắc lớn chu kỳ sóng biển và ñối với các tàu vận tải bình thường chu kỳ lắc khoảng từ ÷ 14s ñối với sóng truyền lan trên biển Khi tàu lắc sinh gia tốc lắc sóng có chu kỳ, ñó gia tốc lắc có tính chất chu kỳ có nghĩa là trị số và chiều hướng nó thay ñổi Trị số tức thời gần ñúng J = Jm sinωkt ωk: Tần số lắc Im: Biên ñộ lắc t: Thời gian Hình vẽ 3-3 Ta xét ảnh hưỏng tàu lắc ñối với la bàn quay có trọng tâm thấp Ta giả sử sóng lan truyền từ NE ñến SW GA = a sinx Khi góc lệch bé thì GA = a.x ÷ II r J gia tốc lắc hướng theo phương truyền sóng sinh lực quán tính F từ vị trí I Ta phân tích F thành hai thành phần: FW, FE song song với FW và FN, FS song song với NS www.hanghaikythuat.tk 48 www.hanghaikythuat.edu.tf Xét thành phần FE và FW ñều làm cho trọng tâm lệch quanh trục X Do ñó không gây tiếng ñộng ñối với quay Còn thành phần FN và FS gây mô men ñối với trục Y và Z Tại vị trí I: L1z; L1y0 II Lz, Ly thành phần Ly lắc gây nên thì sau chu kỳ nó ñổi dấu với giá trị trung bình nổtng chu kỳ ðối với L3 có hướng ñi lên làm cho H tiến tới L3 Do ñó vị trí cân ñộng thì trục chính quay lệch khỏi chân trời góc β Do ñó có Lz thì β tăng lên, trục chính quay ñi lên ñó ωt > ω2sinϕ Gọi sai số lắc là δJk Tìm quy luật biến ñổi sai số lắc Ta giả sử tàu chạy theo NE, trên tàu có ñặt 1bcq có trục chính trùng với N Ta thành lập phương trình chuyển ñộng quay tàu lắc Giả sử tàu lắc ngang sinh gia tốc lắc và lực quán tính lắc Fk Phân Fk Fkx, Fky r F K = r F r KX +F KY Tàu lắc trọng tâm quay lắc quanh ñiểm treo nó sinh lực quán tính lắc tác dụng lên nó vị trí I và II ta thấy: Fkx = Fk sinHL; Fky = Fk cosHL Tại vị trí I: Fkx (ứng với FkN) hướng ngoài Tại vị trí II: Fky (ứng với FkS) hướng vào Hình vẽ 3-4 Ta có: Fky = Fk cosHL, Fkx = Fk sinHL Fk = m.JmsinωKt Ta thấy tàu ñi hướng 00 thì: www.hanghaikythuat.tk 49 www.hanghaikythuat.edu.tf Fkx = 0, Fk = Fky Mà Fky gây mô men ñối với trục X Do ñó không làm cho trục chính quay tiến ñộng tàu ñi HL = thì không có sai số lắc Tàu ñi theo hướng E ( hướng 900 ) thì: Fkx = Fk ; Fky = Fkx chu kỳ thì ñổi dấu hai lần Nửa chu kỳ ñầu Fkx hướng N, nửa chu kỳ sau hướng S, ñó giá trị trung bình Cho nên sai số lắc sinh chu kỳ Vậy tàu ñi theo các hướng chính thì sai số = Fky gây mô men ñối với Y và Z Ly chu kỳ ñổi dấu hai lần nên giá trị trung bình không xét ñến Ly Lz không ñổi dấu nên sinh sai số lắc Ta có: Lz = L sinx Trường hợp x bé ta có Lz = Fkx.a.x Lz = a.x.m.Jmsinωkt sinHL ðể thành lập phương trình ta cộng các véc tơ mô men lại và cho cân ñây thành phần mô men lực quán tính tàu lắc gây Thành phần mô men trọng lượng có giá trị BX Mô men lực quán tính thân quay là I X&& Cuối cùng ta có: I X&& +BX = Fkx.a Thay Fkx vào ta có: I X&& + B X& = m.Jmsinωkt.a.sinHL Giải ta ñược: X = K Jm cos HL sin ω K t g (K là hệ số giảm lắc) Thay X vào Lz ta có; Lz = a.X.m.ImsinωKt.sinHL = a.K Ta có: Jm g cos HL sinωKt.m.JmsinωKt.sinHL B = mga Sin2HL = sinHLcosHL và sin2ωKt = (1 − cos ω k t ) Biến ñổi Lz ta có: www.hanghaikythuat.tk 50 www.hanghaikythuat.edu.tf - sin2ωKt = (1 − cos ω k t ) 2 Jm Lz = BK g2 sin HL(1 − cos ω k t ) Ta thấy Lz có thành phần, thành phần biến ñổi và thành phần cố ñịnh Thành phần biến ñổi thay ñổi trị số lần chu kỳ lắc ñó sai số chu kỳ (Cos2ωKt là thành phần biến ñổi) Ta không xét ñến thành phần biến ñổi này Xét thành phần cố ñịnh Lz = BK Jm g2 sin HL ðể xét ảnh hưởng Lz ñối với la bàn quay người ta cho Lz cân với mô men ñịnh hướng quay trục chính nó lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến góc αK Mô men ñịnh hướng M = Hωñcosϕ.αK Lz = M suy Lz = BK Suy ra: αK= BK αK= δ K j = BK Jm g2 Jm g2 Jm g2 sin HL = Hωñcosϕ.αK sin HL sin HL H ω d cos ϕ H ω d cos ϕ Từ công thức tính δjK ta thấy δjK mang tính chất ẳ vòng ñó tịa các hướng NE, SW thì δjK có giá trị (+) và NW, SE thì có trị số (-) còn các hướng chính thì δjK = 0, xích ñạo δjK có trị số nhỏ trị số gần cực La bàn quay và la bàn quay La bàn quay là loại la bàn mà cầu nhạy cảm có quay La bàn quay gồm quay giống hệt kích thước, vận tốc, trọng lượng v.v Trục chính quay lệch với ñường NS X1 = X2 trường hợp này λ = 450 Hai mô men ñộng lượng H1 = H2 www.hanghaikythuat.tk 51 www.hanghaikythuat.edu.tf Toàn ñược ñặt vào cầu có trọng tâm thấp tâm hình học 8mm cách nối các quay với nhau, ñó nó có thể chuyển ñộng quanh trục z và cùng quay cùng quay vào ñó là cách nối theo hình bình hành nghịch Khi quay quay bảo ñảm X1 =X2 H0 là mô men tổng hợp quay ta có: H0 =2H1cosX1 = 2H1cos450 H0 = H1 Khi có mô men Ly tác dụng vào thì làm cho quay cùng tiến ñộng ñến Ly, làm cho quay ñều tiến ñộng quay Cả cầu quay (quả câù nhạy cảm) giống quay có trọng tâm thấp www.hanghaikythuat.tk 52