I.13: Một nhà máy sản xuất ô tô thể thao theo đơn đặt hàng với tốc độ ngày càng tăng. Tháng đầu chỉ sản xuất một chiếc; tháng thứ hai làm được hai chiếc và cứ như vậy tháng thứ n sản xuất được n chiếc.a Hãy tìm công thức truy hồi tính số ô tô sản suất được trong n tháng đầu của nhà máy.b Có bao nhiêu ô tô sản xuất được trong năm đầu tiên.c Hãy tìm công thức tường minh tính số ô tô sản xuất được trong n tháng đầu tiên của nhà máy.I.14: (Tháp Hà Nội). Một trò chơi xếp hình rất phổ cập vào cuối thế kỷ 19 gọi là Tháp Hà Nội. Tương truyền rằng, tại một ngôi tháp Hà Nội có một tấm đế bằng đồng trên đó có ba cái cọc bằng kim cương. Trên một trong ba cái cọc thượng đế đã để 64 chiếc đĩa bằng vàng với đường kính giảm dần. Ngày đêm các nhà Sư dịch chuyển đĩa sang một chiếc cọc khác theo quy tắc: mỗi lần chỉ được dịch chuyển một đĩa, mỗi đĩa có thể dịch chuyển từ một cọc này sang cọc khác bất kỳ, nhưng không được để một chiếc đĩa lên trên một đĩa khác có đường kính nhỏ hơn. Với thời gian bao lâu thì tất cả các đĩa được chuyển sang một chiếc cọc khác (nếu mỗi lần dịch chuyển mất một giây)
BT TRR MĐ BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC I/ Logic toán học I.1: Lập bảng chân trị (giá trị chân lý) cho mệnh đề sau 1/ p (q r ) 2/ p (q r ) 3/ ( p q) ( p r ) 4/ ( p q) ( p r ) 5/ ( p q) (q r ) 6/ ( p q) (q r ) I.2: Chứng minh mệnh đề sau (đồng đúng) 1/ ( p q) ( p q) 2/ (( p q) p) q 3/ ( p ( p q)) q I.3: Hãy chứng tỏ mệnh đề sau 1/ ( p z) p ( z q) q 2/ (( x y) ( y z) (t z) t ) x I.4: Chứng minh cặp biểu thức logic sau tương đương 1/ ( p q) (q p) 2/ ( p q) ( p q) 3/ p q ( p q) ( p q) I.5: Chứng tỏ cặp mệnh đề sau không tương đương 1/ ( p q) z p ( q z ) 2/ p q p q I.6: 1/ Kiểm tra suy luận sau hay sai? a/ b/ xr py x y z ry c/ pr rs ts z y z tx x p 2/ Cho p1 , p2 , … , pn mệnh đề chứng minh rằng: p1 p2 pn p1 p2 pn 3/ Dùng quy tắc suy diễn, công thức sau (đồng đúng): a/ (( x y) ( y z ) x) z b/ (( A B) ( B C ) ( D C ) ( D E) E) A c/ (A → B) ∧ (A ∨ C) ∧ (𝐶 ∨ D) → (B ∨ D) d/ ((X1 → X2) ∧ (X3 → X4) ∧ (𝑋1 → X3)) → (X2 ∨ X4) e/ (((A ∨ B) → (C ∧ D)) ∧ (C → E) ∧ 𝐸) → (𝐴𝐶) 4/ Tìm dạng chuẩn tắc tuyển (DCTT) dạng chuẩn tắc hội (DCTH) công thức sau a/ P X (Y X ) (Y ( H Z )) b/ P1 (( A B) ( A C ) (C D)) ( B D) I.7: 1/ Cho p(x, y) vị từ phụ thuộc vào hai biến x, y lấy giá trị tập {1, 2, 3} Dùng phép hội phép tuyển viết mệnh đề sau: a- x: p(x, 3) b- y: p(1, y) c- x y: p(x, y) d- x y: p(x, y) e- x y: p(x, y) f- x y: p(x, y) 2/ Cho p(x, t) phát biểu “x + t = 0” phụ thuộc vào hai biến x, t lấy giá trị tập số thực R Hãy cho biết chân trị (giá trị chân lý) mệnh đề sau viết mệnh đề phủ định nó: a/ p(2, 3) b/ p(10, -10) c/ t x : p(x, t) d/ x t : p(x, t) 3/ Cho p(u, v) phát biểu “u2 – v2 = 0” phụ thuộc vào hai biến u, v lấy giá trị tập số thực R Hãy cho biết chân trị mệnh đề sau viết mệnh đề phủ định nó: a/ p(4, 5) b/ p(6, -6) c/ v u : p(u, v) d/ u v : p(u, v) BT TRR MĐ 4/ Cho p(x, y, z) phát biểu “x + y = z” phụ thuộc vào ba biến x, y, z lấy giá trị tập số thực R Hãy xác định chân trị mệnh đề: x y z: p(x, y, z) z x y: p(x, y, z) I.8: Chứng minh mệnh đề sau: 1/ “Nếu n số lẻ n2 lẻ” , chứng minh trực tiếp 2/ “Nếu 3n + số lẻ n lẻ”, chứng minh phản chứng 3/ “Nếu số nguyên n không chia hết cho n2 1 (mod3), chứng minh phân theo trường hợp 4/ “Nếu n số nguyên lớn p ước số nguyên dương lớn nhỏ n p số ngun tố” 5/ “Có số thực a1, a2, …, an lớn hay trung bình cộng số này” 6/ Cho x, y hai số thực đó: Max(x, y) + Min(x, y) = x + y I.9: Chứng minh hay bác bỏ rằng: 1/ Có ba số nguyên dương lẻ liên tiếp số nguyên tố 2/ Tích hai số vô tỷ số vô tỷ 3/ (n2 –n + 41) số nguyên tố n số nguyên dương I.10: Bằng qui nạp toán học chứng minh n(n 1)( n 2) 1/ 1.2 2.3 n(n 1) , với n số nguyên dương 2/ 1.2 2.21 3.2 n.2 n 1 (n 1).2 n ; với n số nguyên dương (n 1)( 2n 1)( 2n 3) 3/ 12 32 52 (2n 1) , với n số nguyên không âm ( 7) n 1 4/ 2.7 2.7 2.(7) n , với n số nguyên không âm 5/ 1.1!2.2! n.n! (n 1)!1 , với n số nguyên dương 1 n 6/ , với n số nguyên dương 1.2 2.3 n.(n 1) n 7/ n n , với số nguyên n=10, 11, 12, a 0 8/ Cho ma trận A , với a, b R b a n Chứng minh rằng: A , với n số nguyên dương n 0 b I 11 1/ Cho dãy số {an} xác định đệ qui sau a0 = 1, an = an – + n , với n > Chứng minh rằng: an = + n(n+1)/2 , với n số nguyên không âm 2/ Cho dãy số {an} xác định đệ qui sau a0 = 1, an = 3an – + , với n > 3n 1 Chứng minh rằng: an = , với n số nguyên không âm 3/ Cho dãy số {an} xác định đệ qui sau a0 = 4, an = an – + 2n + , với n > Chứng minh rằng: an = n2+ 4n + , với n số nguyên không âm 4/ Cho dãy số {an} xác định đệ qui sau a2 = ; a3 = 9, an = 2an – – an – , với n > Chứng minh rằng: an = 3n , với n =2, 3, 4, … n BT TRR MĐ 5/ Cho dãy số {an} xác định đệ qui sau a0 = ; a1 = 4, an = 8an – – 16an – , với n > Chứng minh rằng: an = n.4n , với n số nguyên không âm I.12: Giải hệ thức đệ quy truy hồi tuyến tính sau: a/ an = 5an−1 − 6an−2, với n ≥ 2, a0 = 1, a1 = b/ an = −4an−1 − 4an−2, với n ≥ 2, a0 = 6, a1 = c/ an = an−2/4 , với n ≥ 2, a0 = 1, a1 = d/ an = 7an−2 + 6an−3, với n ≥ 3, a0 = 9, a1 = 10, a2 = 32 e/ an = 6an−1 − 11an−2 + 6an−3, với n ≥ 3, a0 = 2, a1 = 5, a2 = 15 f/ an = 5an−2 − 4an−4, với n ≥ 4, a0 = 3, a1 = 2, a2 = 6, a3 = I.13: Một nhà máy sản xuất ô tô thể thao theo đơn đặt hàng với tốc độ ngày tăng Tháng đầu sản xuất chiếc; tháng thứ hai làm hai tháng thứ n sản xuất n a/ Hãy tìm cơng thức truy hồi tính số ô tô sản suất n tháng đầu nhà máy b/ Có tơ sản xuất năm c/ Hãy tìm cơng thức tường minh tính số tơ sản xuất n tháng nhà máy I.14: (Tháp Hà Nội) Một trị chơi xếp hình phổ cập vào cuối kỷ 19 gọi Tháp Hà Nội Tương truyền rằng, ngơi tháp Hà Nội có đế đồng có ba cọc kim cương Trên ba cọc thượng đế để 64 đĩa vàng với đường kính giảm dần Ngày đêm nhà Sư dịch chuyển đĩa sang cọc khác theo quy tắc: lần dịch chuyển đĩa, đĩa dịch chuyển từ cọc sang cọc khác bất kỳ, không để đĩa lên đĩa khác có đường kính nhỏ Với thời gian tất đĩa chuyển sang cọc khác (nếu lần dịch chuyển giây)? BT TRR MĐ II/ Các phương pháp đếm II.1: 1/ Có xâu nhị phân khác có độ dài 10 có bis đầu bis cuối 2/ Có số chẵn khác gồm 10 chữ số tạo thành từ hai chữ số 3/ Có xâu nhị phân khác a- Có độ dài b- Có độ dài có bis bis cuối 4/ Có số điện thoại khác a- Gồm chữ số khơng có số đứng đầu b- Gồm chữ số khác khơng có số đứng đầu 5/ Có tập có khơng q phần tử tập gồm có 10 phần tử 6/ Có tập có phần tử tập gồm có 10 phần tử 7/ Một đội tuyển bóng đá gồm 15 cầu thủ có khả a- Có cách chọn 11 cầu thủ vào chơi trận khai mạc b- Trong 11 cầu thủ có cách chọn Thủ môn Đội trưởng 8/ Đội tuyển văn nghệ lớp có 10 nam 15 nữ Hỏi có cách chọn tốp người đội lên biểu diễn số nam số nữ 9/ Một phiếu trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, câu hỏi có phương án trả lời a- Có cách điền phiếu trắc nghiệm, câu hỏi trả lời b- Có cách điền phiếu trắc nghiệm, bỏ trống 10/ Một thi trắc nghiệm gồm có 100 câu hỏi điền vào đúng/sai Hỏi có cách khác mà sinh viên điền vào a- Nếu không cho phép câu hỏi để ô trống b- Nếu cho phép để ô trống 11/ Có số nguyên dương gồm chữ số a- Chia hết cho b- Chia hết cho c- Chia hết cho d- Chia hết cho e- Chia hết cho f- Chia hết cho không chia hết cho g- không chia hết cho 12/ Xét tất ánh xạ từ tập A gồm k phần tử vào tập B gồm n phần tử a/ Có ánh xạ từ A vào B b/ Có đơn ánh từ A vào B II 2: 1/ Giả sử nhóm thực hành có sinh viên a- Chứng tỏ nhóm có sinh viên nam sinh viên nữ b- Chứng tỏ nhóm có sinh viên nam sinh viên nữ 2/ Lớp CNTT có 93 sinh viên dự thi tốn rời rạc Hỏi có sinh viên đạt điểm thi nhau, thang điểm chấm gồm 10 bậc: 1, 2, ,10 3/ Trung tâm đào tạo xét học bổng cho 26 sinh viên CNTT với mức học bổng 200 nghìn đồng ; 400 nghìn đồng , 600 nghìn đồng, 800 nghìn đồng triệu đồng Hỏi có sinh viên nhận số tiền học bổng 4/ Chứng minh tập A có 11 phần tử tập X = {1, 2, …,18, 19} có hai số phần tử có tổng 20 5/ Trong kỳ thi tin học có thí sinh vào chung kết Thể lệ thi sau: Mỗi thí sinh phải giải toán Mỗi toán tính điểm Mỗi tốn sai khơng làm bị trừ điểm, số điểm bị trừ lớn số điểm đạt số điểm thí sinh coi Hãy chứng tỏ thí sinh có thí sinh điểm BT TRR MĐ III/ Cấu trúc đại số III 1: 1/ Trên tập hợp số thực R, xét quan hệ xác định sau a, b R , a b (a – b) số nguyên a- Chứng minh quan hệ tương đương R b- Tìm lớp tương đương chứa : ; 0,5 2/ Trên tập hợp số nguyên Z, xét quan hệ R xác định sau a, b Z, aRb a = b a- Chứng minh R quan hệ tương đương Z b- Xác định lớp tương đương chứa: 0; 12; - 3/ Trên tập số nguyên Z a- Chứng minh rằng: quan hệ R = { (a, b) \ a = b + 3k , với k Z } quan hệ tương đương Z b- Xác định lớp tương đương: chứa 7, chứa -1 4/ Trên tập số nguyên Z a- Chứng minh rằng: quan hệ R = { (a, b) \ a b ( mod4) } quan hệ tương đương Z b- Xác định lớp tương đương: chứa 7, chứa -2 5/ Trên tập số nguyên a- Chứng minh rằng: quan hệ R = { (a, b) \ a + b số chẵn } quan hệ tương đương Z c- Quan hệ R = { (a, b) \ a + b số lẻ } có quan hệ tương đương quan hệ thứ tự Z hay không ? 6/ Cho X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, } Trên X ta định nghĩa quan hệ R sau: x, y X: xRy x – y = 2k, kZ a/ CMR R quan hệ tương đương X b/ Tìm phân hoạch tương đương X R sinh III 2: 1/ Trong tập số thực R, quan hệ hai sau a b a b3 a b Chứng minh quan hệ tương đương R Tìm phân hoạch tương đương R sinh 2/ Ta ký hiệu B Z N quan hệ hai R B sau m, n R p, q mq np Chứng minh R quan hệ tương đương B Xác định lớp tương đương III 3: 1/ Cho tập X = {a, b, c, d} R quan hệ ngơi X có ma trận biểu diễn sau 1 0 0 1 0 MR 1 1 1 0 0 1 a- Liệt kê tất phần tử R Chứng tỏ R quan hệ thứ tự X b- Vẽ biểu đồ Hasse (X,R) 2/ Cho tập X={1, 2, 3, 4} quan hệ ngơi R X có ma trận biểu diễn sau: 1 0 0 1 1 1 MR 0 1 0 0 1 a- Liệt kê tất phần tử R Chứng tỏ R quan hệ thứ tự X BT TRR MĐ b- Vẽ biểu đồ Hasse (X, R) 3/ Trên tập Z+ tất số nguyên dương với quan hệ “chia hết” ký hiệu được xác định sau: a, b Z+, ab có k Z+ cho b= k.a a- Chứng minh quan hệ quan hệ thứ tự Z+ b- Xét tập A = {1, 2, 4, 5, 12, 20} tập Z+ Hãy tìm phần tử lớn nhất, nhỏ (nếu có), phần tử tối tiểu, tối đại tập A 4/ Cho tập X = {1, 2, 4, 5, 12, 20} với quan hệ thứ tự “chia hết” ký hiệu a- Liệt kê tất phần tử b- Hãy vẽ biểu đồ Hasse (X, ), từ phần tử lớn nhất, nhỏ (nếu có), tối đại, tối tiểu X 5/ Cho tập X = {1, 3, 6, 5, 12, 20} với quan hệ thứ tự “chia hết” ký hiệu a- Liệt kê tất phần tử b- Hãy vẽ biểu đồ Hasse (X, ), từ phần tử lớn nhất, nhỏ (nếu có), tối đại, tối tiểu X 6/ Cho tập X = { 2, 4, 3, 8, 6, 12, 24} với quan hệ thứ tự “chia hết” ký hiệu a- Liệt kê tất phần tử b- Hãy vẽ biểu đồ Hasse (X, ), từ phần tử lớn nhất, nhỏ (nếu có), tối đại, tối tiểu X 7/ Cho tập X = { 3, 6, 5, 10, 12, 30, 60} với quan hệ thứ tự “chia hết” ký hiệu a- Liệt kê tất phần tử b- Hãy vẽ biểu đồ Hasse (X, ), từ phần tử lớn nhất, nhỏ (nếu có), tối đại, tối tiểu X 8/ Cho tập E ={1, 2, 3} a/ Hãy liệt kê tất tập tập E b/ Hãy vẽ biểu đồ Hasse tập có thứ tự (P (E), ) Trong P(E) tập tất tập E quan hệ bao hàm tập hợp III Cho tập E, S = {A: A E} Chứng minh S với phép toán hai ngơi hợp , giao phép tốn bù – S đại số Bool III 1/ Với giá trị biến Bool x, y, z ta có: a- x + y + z = xyz b- x(y + z) = x + yz c- x y z x y z 2/ Tìm giá trị biến Bool x y thỏa mãn phương trình a- x y x y b- x.y = x + y 3/ Chứng minh ax + xy = x bt y yu tu t y yu t u 4/ Vẽ mạch logic thực hàm Bool : a- f ( x, y ) ( x y ) x b- f ( x, y ) ( x y )x c- f ( x, y ) xy x y d- f ( x, y ) x y x y e- f ( x, y, z ) x( y z ) 5/ Hãy tìm dạng tắc tuyển hàm Bool sau a- f ( x, y, z ) xy z b- f ( x, y, z ) x y xz f- f ( x, y, z ) ( x y ) z c- f ( x, y, z) x y z d- f ( x, y, z ) xy z e- f ( x, y, z ) ( x y ) z f- f ( x, y, z ) x y xz 6/ Khai triển cực tiểu tổng tích: abxy x y x y xy x y c- xy z x y z x yz x y z d- x yz x y z x yz x yz x y z BT TRR MĐ IV/ Lý thuyết đồ thị IV 1/ Có cạnh đồ thị có đỉnh, đỉnh có bậc 4? 2/ Cho biết đỉnh đồ thị có bậc 3, 3, 2, 2, Tìm số cạnh đồ thị vẽ đồ thị 3/ Có thể tồn đồ thị 15 đỉnh, đỉnh có bậc khơng? Hãy đồ thị có đỉnh với bậc: 3, 3, 3, 3, tồn 4/ Tìm bậc vào bậc đỉnh đồ thị G có hướng sau đây: a b c d e IV Cho G= đơn đồ thị, R quan hệ hai V gồm cặp đỉnh (x, y) cho có đường từ x tới y x=y Chứng tỏ R quan hệ tương đương V IV 1/ Hãy đơn đồ thị G có k thành phần liên thơng thành phần liên thơng tương ứng có n1, n2, …, nk đỉnh số cạnh G không vượt ∑𝑘𝑖=1 𝐶𝑛2𝑖 cạnh 2/ Cho đồ thị G hình vẽ sau: Hãy đồ thị phân đơi IV 1/ Đồ thị hình sau có đường Eluer? Nếu có đường a b d c a g f f b G1 c b a e c g d e G2 G3 d 2/ Đồ thị hình sau có chu trình Euler? Có ra, khơng có đường Eluer khơng? có đường Euler b a a b f e c e c d G1 d BT TRR MĐ G2 IV Đồ thị hình sau có chu trình Hamilton? Có ra, khơng có đường Hamilton khơng? có đường Hamilton b a b a g c e e d G1 c IV 1/ Tìm sắc số đồ thị hình đây: e f d G2 i h n o b a a e f d c b G1 j g m k c l G2 d 2/ Hãy xây dựng đồ thị đối ngẫu với đồ sau tìm số mầu cần tơ đồ đó: B F A A C D E B D B1 B2 E C D IV 1/ Trình bày thuật tốn Dijsktra để tìm đường ngắn từ đỉnh a đến đỉnh h, từ đỉnh m đến đỉnh a đồ thị có trọng số sau: a b e f j 1 k d g i 3 c h m BT TRR MĐ 2/ Tìm đường ngắn từ đỉnh a đến đỉnh b đồ thị sau: a/ X1 X2 a X3 X4 X5 X8 b X7 X6 X1 b/ X1 X2 X2 X3 a a X4 X5 X4 X5 b b X8 X8 X3 X7 X7 X6 X6 3/ Cho đồ thị có trọng số G = < X, U > sau: a 1 c e f 1 b k m 1 g 1 2 1 h n d p a/ Dùng thuật toán Prim thuật toán Kruskal để tìm khung bé b/ Tìm khung cực đại theo thuật toán tựa Kruskal c/ Dùng thuật tốn Prim để tìm khung bé có chứa cạnh (k, m) cạnh (d, p) IV 1/ Một họp có đại biểu đến dự, người quen đại biểu khác Chứng minh xếp số đại biểu ngồi xung quanh bàn tròn để người ngồi người mà đại biểu quen? 2/ Một quần đảo có n (𝑛 ≥ 2) hịn đảo mà đảo thuộc quần đảo có số đầu mối đường ngầm tới hịn đảo quần đảo khơng nhỏ n Chứng minh từ đảo tùy ý thuộc quần đảo ta đến đảo khác quần đảo đường ngầm 3/ Chứng minh đồ thị đầy đủ gồm đỉnh đồ thị phẳng? 4/ Hãy lập lịch thi mơn Tốn 1, Tốn 2, Tốn 3, Toán 4, Tin 1, Tin 2, Tin 3, Tin với số đợt thi, khơng có sinh viên thi hai mơn Tốn Tin 2, Toán Tin 1, Toán Tin 1, Toán Tin 2, Toán Tin 2, Toán Toán 2, Toán Tốn 3, Tốn Tốn 4, có sinh viên thi tổ hợp khác môn ………………………………………………… BT TRR MĐ MỘT SỐ BÀI TẬP DẠNG LÝ THUYẾT 1/ Chứng minh rằng: Nếu đơn đồ thị G = có đỉnh bậc lẻ đỉnh phải liên thơng 2/ Chứng minh rằng: Nếu đồ thị vơ hướng G = có khơng q đỉnh bậc lẻ G có đường Euler 3/ Chứng minh rằng: Đồ thị G = có khung G đồ thị liên thông 4/ Chứng minh Một đồ thị đầy đủ với n đỉnh có sắc số n Hãy cho thí dụ 5/ Cho đồ thị vơ hướng G = , có n đỉnh Chứng minh Nếu G G đồ thị liên thơng có n – cạnh …………………………… 10 ... Tốn 1, Toán 2, Toán 3, Toán 4, Tin 1, Tin 2, Tin 3, Tin với số đợt thi, khơng có sinh viên thi hai mơn Tốn Tin 2, Tốn Tin 1, Toán Tin 1, Toán Tin 2, Toán Tin 2, Toán Toán 2, Toán Toán 3, Toán Tốn... tối tiểu X 8/ Cho tập E ={1, 2, 3} a/ Hãy liệt kê tất tập tập E b/ Hãy vẽ biểu đồ Hasse tập có thứ tự (P (E), ) Trong P(E) tập tất tập E quan hệ bao hàm tập hợp III Cho tập E, S = {A: A ... 1 c e f 1 b k m 1 g 1 2 1 h n d p a/ Dùng thuật toán Prim thuật tốn Kruskal để tìm khung bé b/ Tìm khung cực đại theo thuật tốn tựa Kruskal c/ Dùng thuật tốn Prim để tìm khung bé có chứa cạnh