Đang tải... (xem toàn văn)
Chøng tá r»ng AM vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn cña parabol t¹i M.[r]
(1)Parabol
I) Định nghĩa: Parabol tập hợp điểm mặt phẳng cách đờng thẳng cố định điểm F cố định không thuộc .
Nh : M Parabol MF = MH (H chân đờng vng góc hạ từ M xuống ) * Điểm F tiêu điểm parabol.
* Đờng thẳng đợc gọi đờng chuẩn
II) Ph ơng trình tắc parabol: Chọn hệ toạ độ nh sau; Trục 0x đờng thẳng y qua tiêu điểm F vuông góc với đờng chuẩn ,
H M(x;y) hớng dơng từ P đến F (P giao điểm 0x với ) Trục 0y trung trực PF Gốc toạ độ trung điểm MF=x+ p/ PF Phơng trình tắc parabol:
P x
(-p/2;0) F(p/ 2;0) ( p đợc gọi tham số tiêu , p > 0) M(x;y) Parabol y2 = 2px đoạn MF gọi bán kính
qua tiªu cđa điểm M MF=x+p
2
III) Hình d¹ng cđa parabol:
1 Parabol nhận 0x làm trục đối xứng O(0;0) đỉnh parabol
3 F(p/ ; 0) tiêu điểm Phơng trình đờng chuẩn x = - p/ IV) Các dạng ph ơng trình khác parabol :
y y y y M(x;y) M(x;y) M(x;y) F(0;p/2) y=p/2 x x=p/2 x x x -p/2 F(p/2;0) F y=- p/2 F
(-p/2;0) (0;-p/2)
V) TiÕp tuyÕn cña parabol : Cho parabol y2 = 2px
1 Gi¶ sư M(x0 ; y0) điểm parabol Tiếp tuyến parabol M :
2 Đờng thẳng () Ax + By + C = lµ tiÕp tun cđa parabol y2 = 2px pB2 = 2AC
VI) Bài tập:
1.Viết Phơng trình parabol biết:
a) 0x trục đối xứng tiêu điểm F( ; 0) b) 0x trục đối xứng tiêu điểm F(- 2; 0) c) Tiêu điểm F(0 ; 1) đờng chuẩn y = -
2.(ĐH KTQD 99 )Cho parabol y2 = 4x Một đờng thẳng qua tiêu điểm parabol cho
và cắt parabol hai điểm phân biệt A B Chứng minh tích khoảng cách từ A B đến trục parabol đại lợng khơng đổi
3.(§H Ngoại ngữ 98) Cho parabol y2 = 4x
a) Chứng minh từ điểm N tuỳ ý thuộc đờng chuẩn parabol kẻ đợc hai tiếp tuyến đến parabol mà hai tiếp tuyến vng góc vi
b) Gọi T1 ,T2 lần lợt hai tiếp điểm hai tiếp tuyến nói câu Chứng minh
-ng thng T1T2 qua điểm cố định N chạy đờng chuẩn parbol
c) Cho M điểm thuộc parabol ( M khác đỉnh parabol) Tiếp tuyến M parabol cắt trục 0x , 0y lần lợt A , B Tìm quỹ tích trung điểm I AB M chạy parabol cho
Bµi tËp: Parabol
4.(ĐH Mỏ - Địa chất 98, Đề Câu Va) Cho parabol y2= 64x đờng thẳng có phơng trình :
4x + 3y + 46 = Xác định điểm M parabol cho khoảng cách từ đến đờng thẳng cho ngắn Tính khoảng cách
5 Cho parabol y2 = 4x Lập phơng trình tiếp tuyến parabol trờng hợp sau:
a) Ti điểm có hồnh độ x = y < b) Biết tiếp tuyến qua điểm M(3 ; 4)
c) Biết tiếp tuyến vng góc với đờng 2x + y + = Tìm toạ độ tiếp điểm
d) Tìm quỹ tích điểm mặt phẳng toạ độ mà từ kẻ đợc hai tiếp tuyến tới parabol hai tiếp tuyến vng góc với
e) Một điểm K nằm parabol y2= 4x Gọi K hình chiếu K 0y Chứng minh
r»ng tiÕp tun cđa parabol t¹i K ®i qua trung ®iĨm cđa OK’
y2 = 2px
y2= 2px y2= - 2px x2 = 2py x2 = - 2py
pB2 =2AC
y0y= p(x0+x)
pB2=- 2AC
y0y=- p(x+x0)
pA2= 2BC
x0x= p(y+y0)
pA2=-2BC
x0x = - p(y+y0)
(2)6.( Đề 101/ Câu Va) Hãy xác định tiếp tuyến chung elip x
2
8 +
y2
6 =1 vµ parabol y
2= 12x
7 Cho hai parabol có phơng trình y2 = 2px y = ax2 + bx + c Chứng minh hai parabol đó
cắt bốn điểm phân biệt bốn điểm nằm đờng trịn
8 (ĐH QG 97) Cho điểm A(0 ; 2) parabol (P) có phơng trình y = x2 Xác định điểm M
(P) cho AM ngắn Chứng tỏ AM vuông góc với tiếp tuyến parabol M 9.Đà nẵng 97 Cho y2 = 16x (P)
a) Lập phơng trình tiếp tuyến với (P) cho vng góc với đờng có phơng trình 3x - 2y + =
b) Lập phơng trình tiÕp tun víi (P) qua diĨm M(- ; 0)
10 ĐH Kiến trúc 2001 Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho (P) có đỉnh gốc toạ độ qua điểm A( ; 2√2 ) Đờng thẳng d qua điểm I ( 5/2 ;1) cắt (P) hai điểm M , N cho MI = IN Tính độ dài đoạn MN /s: MN = 35
11.ĐH Nông nghiệp 2001 Cho (P) có phơng trình y2 = 8x
a) Toạ độ tiêu điểm phơng trình đờng chuẩn (P)
b) Qua tiêu điểm kẻ đờng thẳng cắt (P) hai điểm A , B Chứng minh tiếp tuyến với (P) A B vng góc với
c) Tìm quỹ tích điểm M mà từ kẻ đợc hai tiếp tuyến với (P), cho chúng vng góc vi
12 Y Khoa Thái bình 2001 Cho (P) y= x2 - 4x + M(4;3) lµ điểm (P) Viết phơng trình
đờng trịn tiếp xúc với (P) M có tâm nằm trục hoành
13 Dự bị khối A 2003 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề vng góc 0xy, cho parabol (P) có phơng trình y2=x điểm I(0;2) Tìm toạ độ hai điểm M , N thuộc (P) cho: ⃗IM=4 ⃗IN .
14 ĐH PCCC 2001 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn xOy, cho parabơn (P) có phơng trình y2=8x đờng thẳng (T) có phơng trình x+y+3=0 Xác định điểm M thuộc (P), điểm N thuộc
(T) để đoạn MN ngắn tìm độ dài ngắn
15 ĐH SP Quy nhơn 2001 Cho parabol x2 = 2y họ đờng thẳng 2mx - 2y + 1= Chứng minh
rằng với giá trị tham ssố m , đờng thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt M ,N tiếp tuyến với parabol M , N vng góc với
16 Cho parabol y2= 4x Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm I (3 ; 1) cắt parabol hai điểm
M vµ N , cho I trung điểm MN
13 ĐH Cảnh sát 2001 Cho (P) có phơng trình y2 = 2x điểm A , B ,C ph©n biƯt thc (P) cã
tung độ lần lợt a , b ,c
a) Viết phơng trình tiếp tuyến ta , tb , tc lần lợt A , B ,C (P)
b) Chứng minh A, B, C thay đổi (P), tiếp tuyến ta, tb, tc tạo thành tam