Tổng hợp các kiến thức quan trọng về Giới hạn Toán 11

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất. Vững vàng nền tảng, Kh[r]

Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

TỔNG HỢP CÁC KIẾN THỨC QUAN TRỌNG VỀ GIỚI HẠN

TOÁN 11

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I Giới hạn hữu hạn dãy số 1 Định nghĩa

 Định nghĩa 1: Ta nói dãy số

 

un có giới hạn n dần đến dương vô cực viết

lim n

nu  viết tắt limun 0 un 0 , số hạng dãy số có giá trị tuyệt

đối nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở

 Định nghĩa 2: Ta nói dãy số

 

un có giới hạn số thực a n dần đến dương vô cực

viết lim n

nu a , viết tắt limun a un a , nlim



una



0 2 Một vài giới hạn đặc biệt

a) lim1

n  ;

1

lim k

n  với k nguyên dương

b) limqn 0 q 1

c) Nếu un c (c số) limun limcc II Định lý giới hạn hữu hạn

Định lý 1:

a) Nếu limun a , limvn b

 lim



unvn



 a b  lim



unvn



 a b  lim



u vn n



a b

 lim n n

u a

v  b(nếu b0 )

b) Nếu un 0 với n limun a thìa0 lim un  a III Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn u u u1, 2, 3, , un có cơng bội q với q 1 gọi cấp số nhân lùi vơ hạn Tổng S

của cấp số nhân là:

1 1

1

u

S u u q u q

q

    

 IV Giới hạn vô cực

1 Định nghĩa:

 Ta nói dãy số

 

un có giới hạn  với số dương tùy ý, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Khi ta viết lim

 

un  

lim( )un   un  

 Ta nói dãy số

 

un có giới hạn  với số âm tùy ý, số hạng dãy số, kể từ

số hạng trở đi, nhỏ số âm

Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

a) limnk   với k nguyên dương b) limqn   q1

3 Định lý 2:

a) Nếu limun a limvn   lim n

n

u

v 

b) Nếu limun  a , limvn 0 vn 0 với n lim n n

u

v  

c) Nếu limun   limvn  a lim



u vn n



  V Một số lưu ý:

Khi làm tập trắc nghiệm, ta làm tập tự luận, sau tính tốn chọn kết phù hợp với yêu cầu toán

Ngồi sử dụng nhận xét để có kết nhanh chóng, xác Có số tập nhận xét nhanh để loại trừ phương án không phù hợp

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1 Định lý:

a) Giả sử

 

0

lim

xx f x L

 

lim

xx g x M Khi đó:



 

 

0

lim

xx f x g x  L M



 

 

0

lim

xx f x g x  L M



   

0

lim

xx f x g x L M



 

 

lim

x x

f x L

g x M

  (nếu M0)

b) Nếu f x

 

0với xJ\

 

x0 , J khoảng chứa x 0 L0

 

lim

xx f x  L 2 Một vài giới hạn đặc biệt

 lim k

xx   với k nguyên dương  lim k

xx   k số lẻ  lim k

xx   k số chẵn 3 Một vài quy tắc giới hạn vô cực

Định lý giới hạn tích thương hai hàm số áp dụng hàm số có giới hạn hữu hạn

Sau số quy tắc tính giới hạn tích thương hai hàm số hai hàm số có giới hạn vơ cực

Nếu

 

0

lim

xx f x  L

 

lim

xx g x  

   

0

lim

xx f x g x   (dấu “+” hai giới hạn dấu dấu “- “ hai giới hạn khác

Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

 

 

lim

x x f x g x

 

 

 

lim

x x g x

f x

   (dấu “+” hai giới hạn dấu dấu “-“ hai giới hạn khác dấu

Các quy tắc áp dụng cho trường hợp :

0

xx, xx0 , x  x 

HÀM SỐ LIÊN TỤC

1 Hàm số liên tục điểm

Định nghĩa: Giả sử hàm số f x xác định khoảng

 

K x0K Hàm số y f x

 

gọi liên

tục xx0

 

 

0

0

lim

xx f x  f x

Hàm số không liên tục xx0 gọi gián đoạn x 0 2 Hàm số liên tục khoảng, đoạn

Hàm số y f x

 

liên tục khoảng liên tục điểm khoảng Hàm số

 

y f x gọi liên tục đoạn

 

a b liên tục khoảng ;

 

a b , lim

 

 

xa f x f a 

;

 

 

lim

x b

f x f b



 

3 Một số định lý

Định lý 1: Hàm số đa thức liên tục tập Hàm số phân thức hữu tỉ (thương hai đa thức)

hàm số lượng giác ysinx , ycosx , ytanx, ycotx hàm số liên tục tập xác định chúng

Định lý Giả sử y f x

 

yg x

 

hai hàm số liên tục điểm x0 Khi đó:

a) Các hàm số y f x

   

g x , y f x

   

g x y f x g x

   

liên tục điểm x 0

b) Hàm số

 

 

f x y

g x

 liên tục x 0 g x

 

0 0

Định lý Nếu hàm số f x liên tục đoạn

 

 

a b ; f a f b

   

0 tồn điểm

 

;

Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn

Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia