các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất. Vững vàng nền tảng, Kh[r]
(1)Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
TỔNG HỢP CÁC KIẾN THỨC QUAN TRỌNG VỀ GIỚI HẠN TOÁN 11
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I Giới hạn hữu hạn dãy số 1 Định nghĩa
Định nghĩa 1: Ta nói dãy số un có giới hạn n dần đến dương vô cực viết
lim n
nu viết tắt limun 0 un 0 , số hạng dãy số có giá trị tuyệt
đối nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở
Định nghĩa 2: Ta nói dãy số un có giới hạn số thực a n dần đến dương vô cực
viết lim n
nu a , viết tắt limun a un a , nlimuna0 2 Một vài giới hạn đặc biệt
a) lim1
n ;
1
lim k
n với k nguyên dương
b) limqn 0 q 1
c) Nếu un c (c số) limun limcc II Định lý giới hạn hữu hạn
Định lý 1:
a) Nếu limun a , limvn b
limunvn a b limunvn a b limu vn na b
lim n n
u a
v b(nếu b0 )
b) Nếu un 0 với n limun a thìa0 lim un a III Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn u u u1, 2, 3, , un có cơng bội q với q 1 gọi cấp số nhân lùi vơ hạn Tổng S
của cấp số nhân là:
1 1
1
u
S u u q u q
q
IV Giới hạn vô cực
1 Định nghĩa:
Ta nói dãy số un có giới hạn với số dương tùy ý, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Khi ta viết lim un
lim( )un un
Ta nói dãy số un có giới hạn với số âm tùy ý, số hạng dãy số, kể từ
số hạng trở đi, nhỏ số âm
(2)Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
a) limnk với k nguyên dương b) limqn q1
3 Định lý 2:
a) Nếu limun a limvn lim n
n
u
v
b) Nếu limun a , limvn 0 vn 0 với n lim n n
u
v
c) Nếu limun limvn a limu vn n V Một số lưu ý:
Khi làm tập trắc nghiệm, ta làm tập tự luận, sau tính tốn chọn kết phù hợp với yêu cầu toán
Ngồi sử dụng nhận xét để có kết nhanh chóng, xác Có số tập nhận xét nhanh để loại trừ phương án không phù hợp
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1 Định lý:
a) Giả sử
0
lim
xx f x L
lim
xx g x M Khi đó:
0
lim
xx f x g x L M
0
lim
xx f x g x L M
0
lim
xx f x g x L M
lim
x x
f x L
g x M
(nếu M0)
b) Nếu f x 0với xJ\ x0 , J khoảng chứa x 0 L0
lim
xx f x L 2 Một vài giới hạn đặc biệt
lim k
xx với k nguyên dương lim k
xx k số lẻ lim k
xx k số chẵn 3 Một vài quy tắc giới hạn vô cực
Định lý giới hạn tích thương hai hàm số áp dụng hàm số có giới hạn hữu hạn
Sau số quy tắc tính giới hạn tích thương hai hàm số hai hàm số có giới hạn vơ cực
Nếu
0
lim
xx f x L
lim
xx g x
0
lim
xx f x g x (dấu “+” hai giới hạn dấu dấu “- “ hai giới hạn khác
(3)Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
lim
x x f x g x
lim
x x g x
f x
(dấu “+” hai giới hạn dấu dấu “-“ hai giới hạn khác dấu
Các quy tắc áp dụng cho trường hợp :
0
xx, xx0 , x x
HÀM SỐ LIÊN TỤC
1 Hàm số liên tục điểm
Định nghĩa: Giả sử hàm số f x xác định khoảng K x0K Hàm số y f x gọi liên
tục xx0
0
0
lim
xx f x f x
Hàm số không liên tục xx0 gọi gián đoạn x 0 2 Hàm số liên tục khoảng, đoạn
Hàm số y f x liên tục khoảng liên tục điểm khoảng Hàm số
y f x gọi liên tục đoạn a b liên tục khoảng ; a b , lim
xa f x f a
;
lim
x b
f x f b
3 Một số định lý
Định lý 1: Hàm số đa thức liên tục tập Hàm số phân thức hữu tỉ (thương hai đa thức)
hàm số lượng giác ysinx , ycosx , ytanx, ycotx hàm số liên tục tập xác định chúng
Định lý Giả sử y f x yg x hai hàm số liên tục điểm x0 Khi đó:
a) Các hàm số y f x g x , y f x g x y f x g x liên tục điểm x 0
b) Hàm số
f x y
g x
liên tục x 0 g x 0 0
Định lý Nếu hàm số f x liên tục đoạn a b ; f a f b 0 tồn điểm
;
(4)Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên
danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng
xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn
Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS
THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp
dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh
Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất
các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia