PHUONG PHAP TAM THUC BAC HAI TRONGdoc

Chuyên đề “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI” không những giúp học sinh hoàn thiện hơn về các phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà còn củng cố kiến thức về [r]

PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Cho tam thức bậc hai f x( ) ax bx c a ( 0) Bài toán 1:

Muốn chứng minh f x( ) 0,  x R, ta chứng minh

0

a 

 

  

Hoặc chứng minh f x( ) 0,  x R, ta chứng minh

0

a 

 

  

Bài toán 2:

Muốn chứng minh  0

Ta chứng minh f x( ) 0,  x R hoac f x( ) 0,  x R Bài toán 3

Muốn chứng minh  0 ,ta chứng minh f(x) có nghiệm chọn

một cách sau :

1) Chỉ nghiệm cụ thể f(x). 2) Chỉ số  mà a f ( ) 0. 

3) Chỉ số  ,  sao cho f( ) ( ) 0 f  

Bài toán 4

1

CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG I Áp dụng toán 1

Muốn chứng minh f x( ) 0,  x R, ta chứng minh

0

a 

 

  

Hoặc chứng minh f x( ) 0,  x R, ta chứng minh

0

a 

 

  

1 Ví dụ 1:

Chứng minh a b R a,  , 2 5b2  2ab 2a 8b 5 0 Hướng dẫn:

Xét f(a) = 2a2  (a b1) 5 b2 8b5

Ta có    

2 2

4

a  b b b 

     

 

 

2

36

a b

   

Vì  

2

1 0,

b  b nên   a 0, b.Vậy f a   0, a b,

Dấu ‘=’ xảy

1

0

1 1

( )

2

a

b b

b a

f a a

 

  

  

      



  

 

2.V í d ụ :

Chứng minh : x y, R: 3x2 5y2 4xy8x 2y 9 0 (1) Hướng dẫn:

Biến đổi (1) dạng :

f(x) = 3x2 + 4(y + 2)x + 5y2 – 2y + 0

* Các ví dụ tương tự :

1  

2 2

, , 2 1 4 4 0

x y x y x y xy x xy

       

2 x y z, , :19x2 54y216z2 16xz 24yz36xy 0 2 Ví dụ 2:

Cho a, b, c cạnh tam giác.

Chứng minh rằng: x y, : (ax + by)(x + y) cxy 1   Hướng dẫn

Ta có:ax + by  x y  cxy  ax2 a b c xy by    0 2  Nếu y = (2)  ax2   0 x (1) chứng minh

Nếu y0,đặt t = x/y

Khi (2) at2 a b c t b    0

Xét f(t) =  

2

at  a b c t b  

Có  

2

4

t a b c ab

    

    ( )

t a a b c b b c a c c a b

          

Vì a, b, c cạnh tam giác nên   t 0 f t( ) 0, t

Vậy BĐT (1) chứng minh. 3.Ví dụ 3:

Chứng minh rằng:x y, thì  

2

1 ( ) 3(*)

x y  xy  x y

Hướng dẫn

(*) x2 y2 xy 1 3x 3y 0 Xét f(x) =  

2 3 3 1

Có  (y 3)2  4(y2  3y1)   ( 3y 1)2 3

0, y f x( ) 0, x y,

      

Vậy (*) chứng minh. * Các ví dụ tương tự

1 Cho t < z < y Chứng minh  

2

: 8( )

x x y z t xz yt

      

2 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác x, y, z  thoả mãn ax + by +cz = 0

Chứng minh rằng: a xy + yz +zx  0 b yz + bxz +cyz  0 4 Ví dụ 4:

a Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác.Chứng minh rằng:

2 2

pa qb  pqc với p,q thoả mãn p + q = 1.

b Ngược lại cho a, b, c số dương thoả mãn pa2 qb2  pqc2 p + q = 1 thì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác.

Hướng dẫn

a a, b, c độ dài ba cạnh tam giác

 a b c  0;a c b  0;b c a   0 Xét f(p) = pa2 qb2  pqc2

Thay q = – p vào f(p) ta có f p( )c p2 (a2  b2  c p b2) 

 

2

2 2 4 2

p a b c c b

     

( ) 0, ,

f p p q

  

2 2

pa qb pqc

   (đpcm)

4 b Ngược lại a, b, c độ dài ba đoạn thẳng thoả mãn:

2 2

pa qb  pqc (*) với p + q =

f(p) =  

2 2 2 0, ,

c p  a  b  c p b  p q

       

       

0

p a b c a b c a c b b c a

a b c a b c a c b b c a

           

         

 a, b, c độ dài ba cạnh tam giác 5 Ví dụ 5:

Cho a 3 36 abc = Chứng minh

2

2

3

a

b c ab bc ca

    

(*) Hướng dẫn

Có bc =

a nên (*)  

2

2

( )

3 a

b c a b c

a

      

Xét f( b+c ) =  

2

2 3

( )

3

a b c a b c

a

    

Có

2

2 4

3

a a

a

 

     

 

2 36

3 a a    

Vì a 3 36 nên   0 f b c(  ) 0  đpcm.

II Áp dụng toán 2

Muốn chứng minh  0

Ta chứng minh f x( ) 0,  x R hoac f x( ) 0,  x R

Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki: a a1, , , , , ,2 a b bn bn  Chứng minh rằng:

     

2 2 2 2 2 2 2

1 2 n n n n

a b a b  a b  a a  a b b  b

5 Hướng dẫn

Chọn tam thức bậc hai cho tam thức có:

a b1 a b2 a bn n2 a12 a22 an2 b12 b22 bn2

           

Ta ln có:

a x b1  12  an  bn2    0, x

a12 an2 x2 2a b1 a b2 a b x bn n 12 bn2 0, x

             



     

1

2 2 2 2 2

1 1

0

' 0

n

n n n n

a a a

a b a b a a b b

   

 

         



 đpcm.

Dấu ‘=’ xảy  a x b1  a x b2    a x bn  n 0

1

n n

a a a

b b b

   

2 Ví dụ 2:

Cho học sinh chứng minh toán cụ thể bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho số a, b, x, y  ,chứng minh rằng:     

2 2 2 2 2

ax+by  a b x  y III Áp dụng toán 3:

Muốn chứng minh  0 ,ta chứng minh f(x) có nghiệm chọn

4) Chỉ nghiệm cụ thể f(x). 5) Chỉ số  mà a f   ( )

6) Chỉ số  ,  sao cho f ( ) ( ) 0 f  

6

1 Ví dụ 1:

Cho a, b, c m thoả mãn

2

am c bm

.Chứng minh rằng: b 2 4ac Hướng dẫn

1 Nếu a = b 2 0 (ln đúng) 2 Nếu a 0

Xét tam thức bậc 2: f(x) = ax2  bx c

Từ giả thiết

2

am c bm

ta có    

2 2

2

am c  bm

   

2 0

am bm c am bm c

     

Mà

2

( ) ( )

f m am bm c f m am bm c

   

 

   

 

Nên f(m)f(-m)  hay tam thức bậc hai f(x) ln có nghiệm   x 0

2 4

b ac

  (đpcm)

2 Ví dụ 2:

Chứng minh rằng:

     

2 2 2 2

1, , ,2 n 0;1 , 1 n n

a a a a a a a a a

Hướng dẫn

Xét f(x) =    

2 2

1 2

1 n n

x  a a  a x a a  a

Ta có: f(1) = 1-    

2 2

1 2

1a a  an  a a  an

= a a1  1 a a2  1  a an  n  1

7 Vì a a1, , 2 a n 0;1 nên f(1)  0 a a1, , ,2 an  0;1

 f(x) ln có nghiệm

   

2 2 2 2

1 2

1 a a an 4 a a a n 0

           

   

2 2 2 2

1 2

1 a a an 4 a a an

        

3 Ví dụ 3:

Cho p2 q2 a2 b2 c2 d2

Chứng minh rằng:      

2 2 2 2 2 2 2

pq ac bd   p  a  b q  c  d Hướng dẫn

Từ giả thiết có:    

2 2 2 0

p  a  b  q  c  d 

Nên hai số hạng    

2 2 ; 2

p  a  b q  c  d phải có số ln lớn 0

Khơng tính tổng qt giả sử 

2 2 0

p  a  b 

Xét f(x) =      

2 2 2 2

p  a  b x  pq ac bd x   q  c  d

=      

2 2

ax-c

px q   bx d

Vì  

2 2

p  a  b

Ta có    

2

ax-c

q

f bx d

p

 

   

   

 f(x) ln có nghiệm

     

     

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

' 0

0

pq ac bd p a b q c d pq ac bd p a b q c d

  

        

       

8

 đpcm.

* Ví dụ tương tự (Chứng minh bất đẳng thức Aczela) Cho a1  a2   an  0,b b1, , ,2 bn  

Chứng minh rằng:      

2

2 2 2

1 n n 1 2 n n

a  a   a b  b   b  a b a b   a b IV Một số ví dụ lượng giác:

1.Ví dụ 1

a) Cho x, y  , chứng minh rằng:

   

2 1 sin2 2 sin osy 1 os2 0 x  y  x y c  c y 

b) Cho ABC,x y z, ,  ,chứng minh rằng:

x2  y2 z2 2xycosC + 2yzcosA + 2zxcosB Hướng dẫn

a) Xét tam thức f(x) =    

2 1 sin2 2 sin os y 1 os2

x  y  x y c  c y

Ta có

2

1

' sin 2 1 0

2 y

 

     

 

b) Xét tam thức f(x) =  

2 2 osC + zcosB 2 2 osA

x  x yc  y z  yzc

Ta có  

2

' ysinC - zcosB 0

2.Ví dụ 2:

Cho ABC , chứng minh rằng:

a)

3 osA + cosB + cosC

2

c 

b)

A B C 3 3

os os os

2 2 2 2

c c c 

c)

2 2 9

sin sin sin

4

A B C 

9 d)

2 2 3

os os os

4

c A c B c C 

e)

2 2 3

sin sin sin

2 2 2 4

A B C

  

Hướng dẫn

+ Sử dụng công thức lượng giác để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh dạng f(t)  (t: hàm số lượng giác)

+ Tính chứng minh cho  0

a) cosA + cosB + cosC - 3

0 2 

2

2

A+B A-B 3

2 os os 1 2sin 0

2 2 2 2

A - B 1

2sin 2sin os 0

2 2 2 2

C

c c

C C

c

    

    

Xét f(t) =

2 A - B 1

2 2 os

2 2

t  t c 

Với t = sin 2 C

Có

2

' os 1 0

2

A B

c 

 f t( ) 0, t  đpcm.

10

Chương III : Phương pháp nghiên cứu - Kết nghiên cứu

 ) Phương pháp nghiên cứu :

Tìm tòi , sưu tập tài liệu ,xây dựng hệ thống tập dạy thử nghiệm nhiều lớp học sinh, qua rút kinh nghiệm để xây dựng hệ thống tập hoàn chỉnh  )Kết :

Học sinh thấy hứng thú nghiên cứu bất đẳng thức

III Phần kết luận

Chuyên đề “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI” giúp học sinh hoàn thiện phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà củng cố kiến thức tam thức bậc hai, theo tơi phương pháp khó cần phổ biến rộng rãi đông đảo học sinh Sai sót điều khó tránh chun đề này, tơi xin trân trọng ý kiến đóng góp nhận xét độc giả qua địa “Đoàn Thị Hồng Cẩm – Gv Tổ Tốn Trường THPT Hịn Gai – Tp Hạ Long”

IV.Tài liệu tham khảo

1.Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức – Tg Trần Tuấn Anh

Tam thức bậc hai ứng dụng - Tg Lê Sĩ Đồng ; Lê Minh Tâm

Người viết :

Đoàn Thị Hồng Cẩm

ĐỀ SỐ 1(số 3-2008 báo THTT)

(Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề)

Cho đồ thị  

2 2 1

m

x x m

C

x

   



a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số ứng với m =

b) Tìm m để Cm có điểm cực đại, điểm cực tiểu gốc toạ độ O lập thành tam giác vuông

O

Câu (2 điểm)

a) Giải phương trình:

sin 3x sin sinx x

 

   

  

   

   

b) Giải hệ phương trình:

2 2 3

.log log log log 12 log log

x y y x

x x y y

   



   

Câu 3 (2 điểm)

a) Tính tích phân sau:

2 sin ; os dx x

I J dx

c x x x       

b) Cho bốn điểm A (5 ; ; 3) , B (1 ; ; 2), C (5 ; ; 4), D (4 ; ; 6) Chứng minh hai đường thẳng AB CD chéo Tính khoảng cách AB CD viết phương trình đường vng góc chung chúng

Câu (2 điểm)

a) Giải phương trình

2(x 2)3 4x 4 2x 2 3x1

b) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh

        2 1 1

a b b

a a b

 



  

II.PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chọn làm câu 5A câu 5B) Câu 5A (2 điểm) (Dành cho THPT không phân ban)

a) Cho n số nguyên dương với n2 Chứng minh rằng: 2C1n 2Cn2 2Cn3 n C2 nn n n( 1).2n



     

b) Cho tam giác ABC Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB; sáu đường thẳng song song với BC bảy đường thẳng song song với CA Hỏi đường thẳng tạo hình bình hành, hình thang?

Câu 5B (2 điểm) (Dành cho THPT phân ban)

Cho đường thẳng   có phương trình x 2y 2 0 elip  E có phương trình

2 x y   Giả sử đường thẳng   cắt  E hai điểm B C

a) Tìm điểm A thuộc elip  E để tam giác ABC cân A

b) Tìm điểm A thuộc elip (E) để diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn

ĐỀ SỐ 2(số -2008 báo THTT)

(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu (2 điểm)

Cho hàm số

y = x42(m 2)x2m2 5m5 (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C1 hàm số m =

2) Với giá trị m đồ thị Cm có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực

đại cực tiểu lập thành tam giác

Câu (2 điểm)

1) Giải phương trình       1 osx os2x os3x

2

c c c

   

2) Giải hệ phương trình

   

   

2

1

1

2log 2 log

log log

x y

x y

xy x y x x

y x                     

Câu (2 điểm)

1) Tính tích phân

 31

1 x x I dx x  

2) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh

 

4 4 4

3 3

3 ( ) ( )

a b b c c a

bc b c ca c a

ab a b

  

  

 



Câu ( điểm)

Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình

2x + y + z –1 = đường thẳng (d) có phương trình

2 2

x y y z         

1) Tìm toạ độ giao điểm A (d) (P) Tính số đo góc tạo (d) (P)

2) Viết phương trình đường thẳng ()đi qua A,  nằm mặt phẳng (P) cho góc tạo hai đường thẳng   (d) 450.

II.PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh chọn câu 5a câu 5b) Câu 5a (2 điểm) (Theo chương trình THPT khơng phân ban)

1) Viết phương trình đường trịn qua hai điểm A(2 ; 5), B(4 ; 1) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + =0

2) Với n số nguyên dương, chứng minh hệ thức      

2 2

1

2

2

2

n n

n n n n

n

C  C  n C  C

Câu 5b ( điểm) (Theo chương trình THPT phân ban thí điểm)

1) Giải phương trình    

8

4

2

1

log log log

2) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, chiều cao a Gọi E, K trung điểm cạnh AD BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK

-Hết -ĐỀ SỐ 3(số -2008 THTT)

(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu (2 điểm)

Cho hàm số

2 x y x  

 (1)

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1)

b) Tìm giá trị tham số a để đường thẳng (d) : y = a(x – 3) cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt có giao điểm có hồnh độ lớn

Câu (2 điểm)

a) Giải phương trình 2sin5x2sin os3x c 2x c os2x - sinx = (1) b) Giải hệ bất phương trình

3

4

3 10

5 5

x x x

x x x x

             

Câu (2 điểm)

Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz cho tứ diện ABCD với: A (4 ; ; 4), B (3 ; ; 1), C (1 ; ; 5) , D (1 ; ; 1)

a) Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng AD lên mặt phẳng (ABC)

b) Tìm điểm K đường thẳng AC điểm H đường thẳng BD cho đoạn thẳng HK có độ dài nhỏ

Câu ( điểm)

a) Tính tích phân

1

2

3

2 t anx os

x

e x

I x dx

x c x

                    

b) Chứng minh với số nguyên m 2, ta có

2 2

2 1 1 m m m m                 

II PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chọn làm câu 5A câu 5B) Câu 5A ( điểm) ( Theo chương trình THPT khơng phân ban)

a) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Descartes Oxy cho elip (E) có phương trình 16x2 25y2 400

Tìm điểm S (E) cho bán kính qua tiêu điểm bên trái (E) có độ dài nhỏ

b)Trong chơi dã ngoại tổ học sinh , hai học sinh chụp với kiểu ảnh để làm kỉ niệm ( kiểu ảnh có hai người) Hỏi tổ học sinh có người , biết phim có 36 kiểu chụp vừa đủ

a) Giải bất phương trình

2

0,3

log (log ) 0

4 x x x   

b)Cho hình chóp S.ABCD Hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với đáy Đáy ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn tâm O , bán kính R Xác định tâm tính bán

kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết SA = h

- Hết

-ĐỀ SỐ 1

(Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề)

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu (2 điểm)

Cho đồ thị  

2 2 1

m

x x m

C

x

   



c) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số ứng với m =

d) Tìm m để Cm có điểm cực đại, điểm cực tiểu gốc toạ độ O lập thành tam giác vuông

O

Câu (2 điểm)

c) Giải phương trình:

sin 3x sin sinx x

 

   

  

   

   

d) Giải hệ phương trình:

2 2 3

.log log log log 12 log log

x y y x

x x y y

   



   

Câu 3 (2 điểm)

c) Tính tích phân sau:

2 sin ; os dx x

I J dx

c x x x       

d) Cho bốn điểm A (5 ; ; 3) , B (1 ; ; 2), C (5 ; ; 4), D (4 ; ; 6) Chứng minh hai đường thẳng AB CD chéo Tính khoảng cách AB CD viết phương trình đường vng góc chung chúng

Câu (2 điểm)

c) Giải phương trình

2(x 2)3 4x 4 2x 2 3x1

d) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh

        2 1 1

a b b

a a b

 



  

II.PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chọn làm câu 5A câu 5B) Câu 5A (2 điểm) (Dành cho THPT không phân ban)

c) Cho n số nguyên dương với n2 Chứng minh rằng: 2C1n 2Cn2 2Cn3 n C2 nn n n( 1).2n



d) Cho tam giác ABC Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB; sáu đường thẳng song song với BC bảy đường thẳng song song với CA Hỏi đường thẳng tạo hình bình hành, hình thang?

Câu 5B (2 điểm) (Dành cho THPT phân ban)

Cho đường thẳng   có phương trình x 2y 2 0 elip  E có phương trình

2 x y   Giả sử đường thẳng   cắt  E hai điểm B C

c) Tìm điểm A thuộc elip  E để tam giác ABC cân A

d) Tìm điểm A thuộc elip (E) để diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn

ĐỀ SỐ 2

(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu (2 điểm)

Cho hàm số

y = x42(m 2)x2m2 5m5 (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C1 hàm số m =

2) Với giá trị m đồ thị Cm có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực

đại cực tiểu lập thành tam giác

Câu (2 điểm)

3) Giải phương trình       1 osx os2x os3x

2

c c c

   

4) Giải hệ phương trình

   

   

2

1

1

2log 2 log

log log

x y

x y

xy x y x x

y x                     

Câu (2 điểm)

3) Tính tích phân

 31

1 x x I dx x  

4) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh

 

4 4 4

3 3

3 ( ) ( )

a b b c c a

bc b c ca c a

ab a b

  

  

 



Câu ( điểm)

Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình

2x + y + z –1 = đường thẳng (d) có phương trình

2 2

x y y z         

3) Tìm toạ độ giao điểm A (d) (P) Tính số đo góc tạo (d) (P)

4) Viết phương trình đường thẳng ()đi qua A,  nằm mặt phẳng (P) cho góc tạo hai đường thẳng   (d) 450.

Câu 5a (2 điểm) (Theo chương trình THPT khơng phân ban)

3) Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A(2 ; 5), B(4 ; 1) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + =

4) Với n số nguyên dương, chứng minh hệ thức      

2 2

1

2

2

2

n n

n n n n

n

C  C  n C  C

Câu 5b ( điểm) (Theo chương trình THPT phân ban thí điểm)

3) Giải phương trình    

8

4

2

1

log log log

2 x 4 x  x

4) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, chiều cao a Gọi E, K trung điểm cạnh AD BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK

-Hết -ĐỀ SỐ 3

(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu (2 điểm)

Cho hàm số

2 x y x  

 (1)

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1)

b) Tìm giá trị tham số a để đường thẳng (d) : y = a(x – 3) cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt có giao điểm có hồnh độ lớn

Câu (2 điểm)

c) Giải phương trình 2sin5x2sin os3x c 2x c os2x - sinx = (1) d) Giải hệ bất phương trình

3

4

3 10

5 5

x x x

x x x x

             

Câu (2 điểm)

Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz cho tứ diện ABCD với: A (4 ; ; 4), B (3 ; ; 1), C (1 ; ; 5) , D (1 ; ; 1)

c) Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng AD lên mặt phẳng (ABC)

d) Tìm điểm K đường thẳng AC điểm H đường thẳng BD cho đoạn thẳng HK có độ dài nhỏ

Câu ( điểm)

a) Tính tích phân

1

2

3

2 t anx os

x

e x

I x dx

x c x

                    

b) Chứng minh với số nguyên m 2, ta có

2 2

2 1 1 m m m m                 

b) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Descartes Oxy cho elip (E) có phương trình 16x2 25y2 400

Tìm điểm S (E) cho bán kính qua tiêu điểm bên trái (E) có độ dài nhỏ

b)Trong chơi dã ngoại tổ học sinh , hai học sinh chụp với kiểu ảnh để làm kỉ niệm ( kiểu ảnh có hai người) Hỏi tổ học sinh có người , biết phim có 36 kiểu chụp vừa đủ

Câu 5B ( điểm) ( Theo chương trình THPT phân ban)

a) Giải bất phương trình

2

0,3

log (log ) 0

4

x x x

  

b)Cho hình chóp S.ABCD Hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với đáy Đáy ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn tâm O , bán kính R Xác định tâm tính bán

kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết SA = h

- Hết

-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG HỊN GAI

-SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

GIÁO VIÊN : ĐOÀN THỊ HỒNG CẨM

TỔ : TOÁN TIN

Hạ Long - Tháng năm 2008

I.Phần mở đầu :

I.1 Lý chọn đề tài

Trong q trình giảng dạy , tơi thấy toán

: “ Chứng minh bất đẳng thức” tốn khó loại tốn phổ thơng , đường chứng minh lại phong phú đa dạng Trong chương trình toán lớp 10, học sinh học tam thức bậc hai , học bất đẳng thức em lại chưa dạy cách sử dụng tam thức bậc hai vào chứng minh bất đẳng thức mà lại phương pháp chứng minh hiệu , dễ sử dụng.Vì tơi viết đề tài “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI” giúp em lớp 10 v lớp 12 nghiên cứu bất đẳng thức dễ dàng hơn, đạt kết cao kỳ thi Học sinh Giỏi cấp kỳ thi Đại học cao đẳng

Giảng dạy cho đối tượng học sinh lớp 10 lớp 12

I.3 Thời gian - Địa điểm

Từ đầu năm học 2007 – 2008 , trường THPT Hịn Gai

I.4 Đóng góp mặt lý luận , mặt thực tiễn

Giúp học sinh có nhìn tổng qt, phong phú tồn diện giải tốn : “ Chứng minh bất đẳng thức”, đồng thời củng cố kiến thức tam thức bậc hai

II.Nội dung

Chương 1: Tổng quan

Trong chương trình Tốn cấp THPT , lý thuyết tam thức bậc hai vừa nội dung vừa công cụ giải toán quan trọng ; Các dạng toán bất đẳng thức dạng tốn khó thường gặp đề thi ĐH - CĐ để phân loại thí sinh đề thi học sinh giỏi ,một số học sinh thường e ngại gặp phải dạng toán , đề tài “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI” phần giúp đỡ học sinh giải hai vấn đề