Chuyên đề “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI” không những giúp học sinh hoàn thiện hơn về các phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà còn củng cố kiến thức về [r]
(1)PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI TRONG
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Cho tam thức bậc hai
f x
( ) ax
bx c a
(
0)
Bài toán 1:
Muốn chứng minh
f x( ) 0, x R, ta chứng minh
0
a
Hoặc chứng minh
f x
( ) 0,
x
R
, ta chứng minh
0
a
Bài toán 2:
Muốn chứng minh
0
Ta chứng minh
f x
( ) 0,
x
R
hoac f x
( ) 0,
x
R
Bài toán 3
Muốn chứng minh
0,ta chứng minh f(x) có nghiệm chọn
một cách sau :
1)
Chỉ nghiệm cụ thể f(x).
2)
Chỉ số
mà
a f ( ) 0. 3)
Chỉ số
,
sao cho f
( ) ( ) 0
f
Bài toán 4
(2)1
CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG
I Áp dụng toán 1
Muốn chứng minh
f x( ) 0, x R, ta chứng minh
0
a
Hoặc chứng minh
f x
( ) 0,
x
R
, ta chứng minh
0
a
1 Ví dụ 1:
Chứng minh
a b R a
,
, 2
5
b
2
2
ab
2
a
8
b
5 0
Hướng dẫn:
Xét f(a) =
2a2 (a b1) 5 b2 8b5Ta có
2 2
4
a b b b
2
36
a b
Vì
2
1 0,
b b
nên
a 0, b.Vậy
f a
0,
a b
,
Dấu ‘=’ xảy
1
0
1 1
( )
2
a
b b
b a
f a a
2.V í d ụ :
Chứng minh :
x y
,
R
: 3
x
2
5
y
2
4
xy
8
x
2
y
9 0
(1)
Hướng dẫn:
Biến đổi (1) dạng :
f(x) = 3x
2+ 4(y + 2)x + 5y
2– 2y +
0
(3)* Các ví dụ tương tự
:
1
2 2
,
,
2
1
4
4
0
x y
x y
x
y
xy x
xy
2
x y z
, ,
:19
x
2
54
y
2
16
z
2
16
xz
24
yz
36
xy
0
2 Ví dụ 2:
Cho a, b, c cạnh tam giác.
Chứng minh rằng:
x y
, : (ax + by)(x + y) cxy 1
Hướng dẫn
Ta có:
ax + by
x y
cxy
ax
2
a b c xy by
0 2
Nếu y = (2)
ax2 0 x (1)chứng minh
Nếu y
0,đặt t = x/y
Khi (2)
at2
a b c t b
0Xét f(t) =
2
at
a b c t b
Có
2
4
t a b c ab
( )t a a b c b b c a c c a b
Vì a, b, c cạnh tam giác nên
t0
f t
( ) 0,
t
Vậy BĐT (1) chứng minh.
3.Ví dụ 3:
Chứng minh rằng:
x y
,
thì
2
1 ( ) 3(*)
x y xy x y
Hướng dẫn
(*)
x
2
y
2
xy
1
3
x
3
y
0
Xét f(x) =
2 3 3 1
(4)Có
(
y
3)
2
4(
y
2
3
y
1)
( 3
y
1)
23
0,
y
f x
( ) 0,
x y
,
Vậy (*) chứng minh.
* Các ví dụ tương tự
1 Cho t < z < y Chứng minh
2
: 8( )
x x y z t xz yt
2 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác x, y, z
thoả mãn
ax + by +cz = 0
Chứng minh rằng:
a xy + yz +zx
0
b yz + bxz +cyz
0
4 Ví dụ 4:
a Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác.Chứng minh rằng:
2 2
pa
qb
pqc
với p,q thoả mãn p + q = 1.
b Ngược lại cho a, b, c số dương thoả mãn
pa
2
qb
2
pqc
2p + q = 1
thì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác.
Hướng dẫn
a a, b, c độ dài ba cạnh tam giác
a b c
0;
a c b
0;
b c a
0
Xét f(p) =
pa
2
qb
2
pqc
2Thay q = – p vào f(p) ta có
f p
( )
c p
2
(
a
2
b
2
c p b
2)
2
2 2
4
2p
a
b
c
c b
(5)( ) 0,
,
f p
p q
2 2
pa qb pqc
(đpcm)
4
b Ngược lại a, b, c độ dài ba đoạn thẳng thoả mãn:
2 2
pa
qb
pqc
(*) với p + q =
f(p) =
2 2 2
0,
,
c p
a
b
c p b
p q
0
p a b c a b c a c b b c a
a b c a b c a c b b c a
a, b, c độ dài ba cạnh tam giác
5 Ví dụ 5:
Cho
a
336
abc = Chứng minh
2
2
3
a
b
c
ab bc ca
(*)
Hướng dẫn
Có bc =
a
nên (*)
2
2
( )
3 a
b c a b c
a
Xét f( b+c ) =
2
2
3
(
)
3
a
b c
a b c
a
Có
2
2 4
3
a a
a
2 36
3 a a
Vì
a
336
nên
0
f b c
(
) 0
đpcm.
II Áp dụng toán 2
Muốn chứng minh
0
Ta chứng minh
f x
( ) 0,
x
R
hoac f x
( ) 0,
x
R
(6)Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki:
a a
1, , , , , ,
2a b b
nb
n
Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2
1 2
n n
n
n
a b
a b
a b
a
a
a
b
b
b
5
Hướng dẫn
Chọn tam thức bậc hai cho tam thức có:
a b
1a b
2a b
n n
2
a
12a
22a
n2
b
12b
22b
n2
Ta ln có:
a x b
1
1
2
a
n
b
n
2
0,
x
a
12a
n2
x
22
a b
1a b
2a b x b
n n
12b
n20,
x
1
2 2 2 2 2
1 1
0
'
0
n
n n n n
a
a
a
a b
a b
a
a
b
b
đpcm.
Dấu ‘=’ xảy
a x b
1
a x b
2
a x b
n
n
0
1
n n
a
a
a
b
b
b
2 Ví dụ 2:
Cho học sinh chứng minh toán cụ thể bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho số a, b, x, y
,chứng minh rằng:
2 2 2 2 2
ax+by
a
b
x
y
III Áp dụng toán 3:
Muốn chứng minh
0,ta chứng minh f(x) có nghiệm chọn
(7)4)
Chỉ nghiệm cụ thể f(x).
5)
Chỉ số
mà
a f ( )6)
Chỉ số
,
sao cho f
( ) ( ) 0
f
6
1 Ví dụ 1:
Cho a, b, c m thoả mãn
2
am
c
bm
.Chứng minh rằng:
b
24ac
Hướng dẫn
1 Nếu a =
b
20
(ln đúng)
2 Nếu a
0
Xét tam thức bậc 2: f(x) =
ax2 bx cTừ giả thiết
2
am
c
bm
ta có
2 2
2
am
c
bm
2
0
am
bm c am
bm c
Mà
2
( )
(
)
f m
am
bm c
f
m
am
bm c
Nên f(m)f(-m)
hay tam thức bậc hai f(x) ln có nghiệm
x0
2
4
b
ac
(đpcm)
2 Ví dụ 2:
Chứng minh rằng:
2 2 2 2
1, , ,2 n 0;1 , 1 n n
a a a a a a a a a
(8)Hướng dẫn
Xét f(x) =
2 2
1 2
1
n
n
x
a
a
a x
a
a
a
Ta có: f(1) = 1-
2 2
1 2
1
a
a
a
n
a
a
a
n=
a a
1
1
a a
2
1
a a
n
n
1
7
Vì
a a
1, ,
2a
n
0;1
nên f(1)
0
a a
1, , ,
2a
n
0;1
f(x) ln có nghiệm
2 2 2 2
1 2
1
a
a
a
n4
a
a
a
n0
2 2 2 2
1 2
1
a
a
a
n4
a
a
a
n
3 Ví dụ 3:
Cho
p
2
q
2
a
2
b
2
c
2
d
2Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2
pq ac bd
p
a
b
q
c
d
Hướng dẫn
Từ giả thiết có:
2 2 2
0
p
a
b
q
c
d
Nên hai số hạng
2 2
;
2p
a
b
q
c
d
phải có số ln lớn 0
Khơng tính tổng qt giả sử
2 2
0
p
a
b
Xét f(x) =
2 2 2 2
p a b x pq ac bd x q c d
=
2 2
ax-c
px q
bx d
Vì
2 2
p
a
b
(9)Ta có
2
ax-c
q
f bx d
p
f(x) ln có nghiệm
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
' 0
0
pq ac bd
p
a
b
q
c
d
pq ac bd
p
a
b
q
c
d
8
đpcm.
* Ví dụ tương tự (Chứng minh bất đẳng thức Aczela)
Cho
a
1
a
2
a
n
0,
b b
1, , ,
2b
n
Chứng minh rằng:
2
2 2 2
1
n
n 1 2
n n
a
a
a
b
b
b
a b a b
a b
IV Một số ví dụ lượng giác:
1.Ví dụ 1
a) Cho x, y
, chứng minh rằng:
2
1 sin
22 sin
osy
1
os
20
x
y
x
y c
c
y
b) Cho
ABC
,
x y z
, ,
,
chứng minh rằng:
x
2
y
2
z
2
2
xyc
osC + 2yzcosA + 2zxcosB
Hướng dẫn
a) Xét tam thức f(x) =
2
1 sin
22 sin
os y
1
os
2x
y
x
y c
c
y
Ta có
2
1
'
sin 2
1
0
2
y
b) Xét tam thức f(x) =
2
2
osC + zcosB
22
osA
x
x yc
y
z
yzc
Ta có
2
'
ysinC - zcosB
0
(10)2.Ví dụ 2:
Cho
ABC
, chứng minh rằng:
a)
3
osA + cosB + cosC
2
c
b)
A
B
C
3 3
os
os
os
2
2
2
2
c
c
c
c)
2 2
9
sin
sin
sin
4
A
B
C
9
d)
2 2
3
os
os
os
4
c
A c
B c
C
e)
2 2
3
sin
sin
sin
2
2
2
4
A
B
C
Hướng dẫn
+ Sử dụng công thức lượng giác để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh
dạng f(t)
(t: hàm số lượng giác)
+ Tính chứng minh cho
0a) cosA + cosB + cosC -
3
0
2
2
2
A+B
A-B
3
2 os
os
1 2sin
0
2
2
2
2
A - B 1
2sin
2sin
os
0
2
2
2
2
C
c
c
C
C
c
Xét f(t) =
2
A - B 1
2
2 os
2
2
t
t c
Với t = sin
2
C
Có
2
'
os
1 0
2
A B
c
(11)
f t
( ) 0,
t
đpcm.
10
Chương III : Phương pháp nghiên cứu - Kết nghiên cứu
) Phương pháp nghiên cứu :
Tìm tòi , sưu tập tài liệu ,xây dựng hệ thống tập dạy thử nghiệm nhiều lớp học sinh, qua rút kinh nghiệm để xây dựng hệ thống tập hoàn chỉnh )Kết :
Học sinh thấy hứng thú nghiên cứu bất đẳng thức
III Phần kết luận
Chuyên đề “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI” giúp học sinh hoàn thiện phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà củng cố kiến thức tam thức bậc hai, theo tơi phương pháp khó cần phổ biến rộng rãi đông đảo học sinh Sai sót điều khó tránh chun đề này, tơi xin trân trọng ý kiến đóng góp nhận xét độc giả qua địa “Đoàn Thị Hồng Cẩm – Gv Tổ Tốn Trường THPT Hịn Gai – Tp Hạ Long”
IV.Tài liệu tham khảo
1.Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức – Tg Trần Tuấn Anh
Tam thức bậc hai ứng dụng - Tg Lê Sĩ Đồng ; Lê Minh Tâm
(12)Người viết :
Đoàn Thị Hồng Cẩm
ĐỀ SỐ 1(số 3-2008 báo THTT)
(Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề)
(13)Cho đồ thị
2 2 1
m
x x m
C
x
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số ứng với m =
b) Tìm m để
Cm
có điểm cực đại, điểm cực tiểu gốc toạ độ O lập thành tam giác vuôngO
Câu (2 điểm)
a) Giải phương trình:
sin 3x sin sinx x
b) Giải hệ phương trình:
2 2 3
.log log log log 12 log log
x y y x
x x y y
Câu 3 (2 điểm)
a) Tính tích phân sau:
2 sin ; os dx x
I J dx
c x x x
b) Cho bốn điểm A (5 ; ; 3) , B (1 ; ; 2), C (5 ; ; 4), D (4 ; ; 6) Chứng minh hai đường thẳng AB CD chéo Tính khoảng cách AB CD viết phương trình đường vng góc chung chúng
Câu (2 điểm)
a) Giải phương trình
2(x 2)
3 4x 4 2x 2
3x1b) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh
2 1 1a b b
a a b
II.PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chọn làm câu 5A câu 5B) Câu 5A (2 điểm) (Dành cho THPT không phân ban)
a) Cho n số nguyên dương với n2 Chứng minh rằng: 2C1n 2Cn2 2Cn3 n C2 nn n n( 1).2n
b) Cho tam giác ABC Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB; sáu đường thẳng song song với BC bảy đường thẳng song song với CA Hỏi đường thẳng tạo hình bình hành, hình thang?
Câu 5B (2 điểm) (Dành cho THPT phân ban)
Cho đường thẳng
có phương trình x 2y 2 0 elip
E có phương trình2 x y Giả sử đường thẳng
cắt
E hai điểm B Ca) Tìm điểm A thuộc elip
E để tam giác ABC cân Ab) Tìm điểm A thuộc elip (E) để diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn
(14)
ĐỀ SỐ 2(
s
ố -2008 báo THTT)(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu (2 điểm)
Cho hàm số
y = x42(m 2)x2m2 5m5 (Cm)
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị
C1 hàm số m =2) Với giá trị m đồ thị
Cm
có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cựcđại cực tiểu lập thành tam giác
Câu (2 điểm)
1) Giải phương trình
1 osx os2x os3x2
c c c
2) Giải hệ phương trình
2
1
1
2log 2 log
log log
x y
x y
xy x y x x
y x
Câu (2 điểm)
1) Tính tích phân
3
11 x x I dx x
2) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh
4 4 4
3 3
3 ( ) ( )
a b b c c a
bc b c ca c a
ab a b
Câu ( điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình
2x + y + z –1 = đường thẳng (d) có phương trình
2 2
x y y z
1) Tìm toạ độ giao điểm A (d) (P) Tính số đo góc tạo (d) (P)
2) Viết phương trình đường thẳng ()đi qua A,
nằm mặt phẳng (P) cho góc tạo hai đường thẳng
(d) 450.II.PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh chọn câu 5a câu 5b) Câu 5a (2 điểm) (Theo chương trình THPT khơng phân ban)
1) Viết phương trình đường trịn qua hai điểm A(2 ; 5), B(4 ; 1) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + =0
2) Với n số nguyên dương, chứng minh hệ thức
2 2
1
2
2
2
n n
n n n n
n
C C n C C
Câu 5b ( điểm) (Theo chương trình THPT phân ban thí điểm)
1) Giải phương trình
8
4
2
1
log log log
(15)2) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, chiều cao a Gọi E, K trung điểm cạnh AD BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK
-Hết -ĐỀ SỐ 3(số -2008 THTT)
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu (2 điểm)
Cho hàm số
2 x y x
(1)
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1)
b) Tìm giá trị tham số a để đường thẳng (d) : y = a(x – 3) cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt có giao điểm có hồnh độ lớn
Câu (2 điểm)
a) Giải phương trình 2sin5x2sin os3x c 2x c os2x - sinx = (1) b) Giải hệ bất phương trình
3
4
3 10
5 5
x x x
x x x x
Câu (2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz cho tứ diện ABCD với: A (4 ; ; 4), B (3 ; ; 1), C (1 ; ; 5) , D (1 ; ; 1)
a) Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng AD lên mặt phẳng (ABC)
b) Tìm điểm K đường thẳng AC điểm H đường thẳng BD cho đoạn thẳng HK có độ dài nhỏ
Câu ( điểm)
a) Tính tích phân
1
2
3
2 t anx os
x
e x
I x dx
x c x
b) Chứng minh với số nguyên m 2, ta có
2 2
2 1 1 m m m m
II PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chọn làm câu 5A câu 5B) Câu 5A ( điểm) ( Theo chương trình THPT khơng phân ban)
a) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Descartes Oxy cho elip (E) có phương trình 16x2 25y2 400
Tìm điểm S (E) cho bán kính qua tiêu điểm bên trái (E) có độ dài nhỏ
b)Trong chơi dã ngoại tổ học sinh , hai học sinh chụp với kiểu ảnh để làm kỉ niệm ( kiểu ảnh có hai người) Hỏi tổ học sinh có người , biết phim có 36 kiểu chụp vừa đủ
(16)a) Giải bất phương trình
2
0,3
log (log
) 0
4
x
x
x
b)Cho hình chóp S.ABCD Hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với đáy Đáy ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn tâm O , bán kính R Xác định tâm tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết SA = h
- Hết
-ĐỀ SỐ 1
(Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu (2 điểm)
Cho đồ thị
2 2 1
m
x x m
C
x
c) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số ứng với m =
d) Tìm m để
Cm
có điểm cực đại, điểm cực tiểu gốc toạ độ O lập thành tam giác vuôngO
Câu (2 điểm)
c) Giải phương trình:
sin 3x sin sinx x
d) Giải hệ phương trình:
2 2 3
.log log log log 12 log log
x y y x
x x y y
Câu 3 (2 điểm)
c) Tính tích phân sau:
2 sin ; os dx x
I J dx
c x x x
d) Cho bốn điểm A (5 ; ; 3) , B (1 ; ; 2), C (5 ; ; 4), D (4 ; ; 6) Chứng minh hai đường thẳng AB CD chéo Tính khoảng cách AB CD viết phương trình đường vng góc chung chúng
Câu (2 điểm)
c) Giải phương trình
2(x 2)
3 4x 4 2x 2
3x1d) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh
2 1 1a b b
a a b
II.PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chọn làm câu 5A câu 5B) Câu 5A (2 điểm) (Dành cho THPT không phân ban)
c) Cho n số nguyên dương với n2 Chứng minh rằng: 2C1n 2Cn2 2Cn3 n C2 nn n n( 1).2n
(17)d) Cho tam giác ABC Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB; sáu đường thẳng song song với BC bảy đường thẳng song song với CA Hỏi đường thẳng tạo hình bình hành, hình thang?
Câu 5B (2 điểm) (Dành cho THPT phân ban)
Cho đường thẳng
có phương trình x 2y 2 0 elip
E có phương trình2 x y Giả sử đường thẳng
cắt
E hai điểm B Cc) Tìm điểm A thuộc elip
E để tam giác ABC cân Ad) Tìm điểm A thuộc elip (E) để diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn
ĐỀ SỐ 2
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu (2 điểm)
Cho hàm số
y = x42(m 2)x2m2 5m5 (Cm)
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị
C1 hàm số m =2) Với giá trị m đồ thị
Cm
có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cựcđại cực tiểu lập thành tam giác
Câu (2 điểm)
3) Giải phương trình
1 osx os2x os3x2
c c c
4) Giải hệ phương trình
2
1
1
2log 2 log
log log
x y
x y
xy x y x x
y x
Câu (2 điểm)
3) Tính tích phân
3
11 x x I dx x
4) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh
4 4 4
3 3
3 ( ) ( )
a b b c c a
bc b c ca c a
ab a b
Câu ( điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình
2x + y + z –1 = đường thẳng (d) có phương trình
2 2
x y y z
3) Tìm toạ độ giao điểm A (d) (P) Tính số đo góc tạo (d) (P)
4) Viết phương trình đường thẳng ()đi qua A,
nằm mặt phẳng (P) cho góc tạo hai đường thẳng
(d) 450. (18)Câu 5a (2 điểm) (Theo chương trình THPT khơng phân ban)
3) Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A(2 ; 5), B(4 ; 1) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + =
4) Với n số nguyên dương, chứng minh hệ thức
2 2
1
2
2
2
n n
n n n n
n
C C n C C
Câu 5b ( điểm) (Theo chương trình THPT phân ban thí điểm)
3) Giải phương trình
8
4
2
1
log log log
2 x 4 x x
4) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, chiều cao a Gọi E, K trung điểm cạnh AD BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK
-Hết -ĐỀ SỐ 3
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu (2 điểm)
Cho hàm số
2 x y x
(1)
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1)
b) Tìm giá trị tham số a để đường thẳng (d) : y = a(x – 3) cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt có giao điểm có hồnh độ lớn
Câu (2 điểm)
c) Giải phương trình 2sin5x2sin os3x c 2x c os2x - sinx = (1) d) Giải hệ bất phương trình
3
4
3 10
5 5
x x x
x x x x
Câu (2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz cho tứ diện ABCD với: A (4 ; ; 4), B (3 ; ; 1), C (1 ; ; 5) , D (1 ; ; 1)
c) Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng AD lên mặt phẳng (ABC)
d) Tìm điểm K đường thẳng AC điểm H đường thẳng BD cho đoạn thẳng HK có độ dài nhỏ
Câu ( điểm)
a) Tính tích phân
1
2
3
2 t anx os
x
e x
I x dx
x c x
b) Chứng minh với số nguyên m 2, ta có
2 2
2 1 1 m m m m
(19)b) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Descartes Oxy cho elip (E) có phương trình 16x2 25y2 400
Tìm điểm S (E) cho bán kính qua tiêu điểm bên trái (E) có độ dài nhỏ
b)Trong chơi dã ngoại tổ học sinh , hai học sinh chụp với kiểu ảnh để làm kỉ niệm ( kiểu ảnh có hai người) Hỏi tổ học sinh có người , biết phim có 36 kiểu chụp vừa đủ
Câu 5B ( điểm) ( Theo chương trình THPT phân ban)
a) Giải bất phương trình
2
0,3
log (log
) 0
4
x
x
x
b)Cho hình chóp S.ABCD Hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với đáy Đáy ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn tâm O , bán kính R Xác định tâm tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết SA = h
- Hết
-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG HỊN GAI
-SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
(20)GIÁO VIÊN : ĐOÀN THỊ HỒNG CẨM
TỔ : TOÁN TIN
Hạ Long - Tháng năm 2008
I.Phần mở đầu :
I.1 Lý chọn đề tài
Trong q trình giảng dạy , tơi thấy toán
: “ Chứng minh bất đẳng thức” tốn khó loại tốn phổ thơng , đường chứng minh lại phong phú đa dạng Trong chương trình toán lớp 10, học sinh học tam thức bậc hai , học bất đẳng thức em lại chưa dạy cách sử dụng tam thức bậc hai vào chứng minh bất đẳng thức mà lại phương pháp chứng minh hiệu , dễ sử dụng.Vì tơi viết đề tài “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI” giúp em lớp 10 v lớp 12 nghiên cứu bất đẳng thức dễ dàng hơn, đạt kết cao kỳ thi Học sinh Giỏi cấp kỳ thi Đại học cao đẳng
(21)
Giảng dạy cho đối tượng học sinh lớp 10 lớp 12
I.3 Thời gian - Địa điểm
Từ đầu năm học 2007 – 2008 , trường THPT Hịn Gai
I.4 Đóng góp mặt lý luận , mặt thực tiễn
Giúp học sinh có nhìn tổng qt, phong phú tồn diện giải tốn : “ Chứng minh bất đẳng thức”, đồng thời củng cố kiến thức tam thức bậc hai
II.Nội dung
Chương 1: Tổng quan
Trong chương trình Tốn cấp THPT , lý thuyết tam thức bậc hai vừa nội dung vừa công cụ giải toán quan trọng ; Các dạng toán bất đẳng thức dạng tốn khó thường gặp đề thi ĐH - CĐ để phân loại thí sinh đề thi học sinh giỏi ,một số học sinh thường e ngại gặp phải dạng toán , đề tài “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI” phần giúp đỡ học sinh giải hai vấn đề