PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI TRONG.doc

PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Cho tam thức bậc hai 2 ( ) ax ( 0)f x bx c a = + + ≠ Bài toán 1: Muốn chứng minh ( ) 0,f x x ≥ ∀ ∈ R , ta chứng minh 0 0 a >   ∆ ≤  Hoặc chứng minh ( ) 0,f x x > ∀ ∈ R , ta chứng minh 0 0 a >   ∆ <  Bài toán 2: Muốn chứng minh 0 ∆ ≤ Ta chứng minh ( ) 0, ( ) 0,f x x hoac f x x ≥ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ R R Bài toán 3 Muốn chứng minh 0 ∆ ≥ ,ta chứng minh f(x) có nghiệm và có thể chọn một trong các cách sau : 1) Chỉ ra nghiệm cụ thể của f(x). 2) Chỉ ra một số α mà . ( ) 0.a f α ≤ 3) Chỉ ra 2 số , ( ). ( ) 0sao cho f f α β α β ≤ Bài toán 4 Sử dụng kết quả: [ ] ( )( ) 0, ;x x x a b α β − − ≤ ∀ ∈ 1 CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG I . Áp dụng bài toán 1 Muốn chứng minh ( ) 0,f x x ≥ ∀ ∈ R , ta chứng minh 0 0 a >   ∆ ≤  Hoặc chứng minh ( ) 0,f x x > ∀ ∈ R , ta chứng minh 0 0 a >   ∆ <  1. Ví dụ 1: Chứng minh rằng 2 2 , ,2 5 2 2 8 5 0a b R a b ab a b ∀ ∈ + − − − + ≥ Hướng dẫn: Xét f(a) = 2 2 2 2 ( 1) 5 8 5a a b b b − + + − + Ta có ( ) ( ) 2 2 4 1 2 5 8 5 a b b b   ∆ = + − − +   ( ) 2 36 1 a b ⇔ ∆ = − − Vì ( ) 2 1 0,b b− ≥ ∀ nên 0, . a b ∆ ≤ ∀ Vậy ( ) 0, ,f a a b ≥ ∀ Dấu ‘=’ xảy ra 1 0 1 1 1 ( ) 0 2 a b b b a f a a =  ∆ = =    ⇔ ⇔ ⇔    + = = =     2.V í d ụ 2 : Chứng minh rằng : 2 2 , : 3 5 4 8 2 9 0x y x y xy x y∀ ∈ + + + − + ≥R (1) Hướng dẫn: Biến đổi (1) về dạng : f(x) = 3x 2 + 4(y + 2)x + 5y 2 – 2y + 9 ≥ 0 2 * Các ví dụ tương tự : 1. ( ) 2 4 2 2 2 3 , , 2 1 4 4 0x y x y x y xy x xy ∀ ∈ + + + + − ≥ ¡ 2. 2 2 2 , , :19 54 16 16 24 36 0x y z x y z xz yz xy ∀ ∈ + + − − + ≥ ¡ 2. Ví dụ 2: Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: ( ) , : (ax + by)(x + y) cxy 1x y ∀ ≥ Hướng dẫn Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ax + by ax 0 2x y cxy a b c xy by + ≥ ⇔ + + − + ≥ Nếu y = 0 thì (2) 2 ax 0 (1)x ⇔ ≥ ∀ ⇒ được chứng minh Nếu y 0,≠ đặt t = x/y Khi đó (2) ( ) 2 0at a b c t b ⇔ + + − + ≥ Xét f(t) = ( ) 2 at a b c t b + + − + Có ( ) 2 4 t a b c ab ∆ = + − − ( ) ( ) ( ) t a a b c b b c a c c a b ⇔ ∆ = − − + − − + − − Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên 0 ( ) 0, t f t t ∆ < ⇒ > ∀ Vậy BĐT (1) được chứng minh. 3.Ví dụ 3: Chứng minh rằng: ,x y ∀ thì ( ) 2 1 ( ) 3(*)x y xy x y + − + ≥ + Hướng dẫn (*) 2 2 1 3 3 0x y xy x y ⇔ + + + − − ≥ Xét f(x) = ( ) 2 2 3 3 1x y x y y+ − + − + Có 2 2 ( 3) 4( 3 1)y y y ∆ = − − − + 2 ( 3 1)y ⇔ ∆ = − − 3 0, ( ) 0, , .y f x x y ⇒ ∆ ≤ ∀ ⇒ ≥ ∀ Vậy (*) được chứng minh. * Các ví dụ tương tự 1. Cho t < z < y. Chứng minh rằng ( ) 2 : 8( )x x y z t xz yt ∀ ∈ + + + > + ¡ 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác và x, y, z ∈¡ thoả mãn ax + by +cz = 0 Chứng minh rằng: a. xy + yz +zx ≤ 0 b. yz + bxz +cyz ≤ 0 4. Ví dụ 4: a. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.Chứng minh rằng: 2 2 2 pa qb pqc + > với p,q thoả mãn p + q = 1. b. Ngược lại cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn 2 2 2 pa qb pqc+ > và p + q = 1 thì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Hướng dẫn a. a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác 0; 0; 0a b c a c b b c a ⇒ + − > + − > + − > Xét f(p) = 2 2 2 pa qb pqc+ − Thay q = 1 – p vào f(p) ta có 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )f p c p a b c p b= + − − + ( ) 2 2 2 2 2 2 4 p a b c c b⇒ ∆ = − − − ( ) ( ) ( ) ( ) p a b c a b c a c b b c a ⇔ ∆ = − + + + − + − + − Vì a, b, c là ba cạnh của tam giác nên 0 p ∆ < ( ) 0, ,f p p q ⇒ > ∀ 2 2 2 pa qb pqc ⇒ + > (đpcm) 4 b. Ngược lại nếu a, b, c là độ dài ba đoạn thẳng thoả mãn: 2 2 2 pa qb pqc + > (*) với p + q = 1 thì f(p) = ( ) 2 2 2 2 2 2 0, ,c p a b c p b p q + − − + > ∀ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 p a b c a b c a c b b c a a b c a b c a c b b c a ⇒ ∆ = − + + + − + − + − < ⇔ + + + − + − + − > ⇒ a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác 5. Ví dụ 5: Cho 3 36a > và abc = 1. Chứng minh rằng 2 2 2 3 a b c ab bc ca + + > + + (*) Hướng dẫn Có bc = 1 a nên (*) ( ) 2 2 3 ( ) 0 3 a b c a b c a ⇔ + − + + − > Xét f( b+c ) = ( ) 2 2 3 ( ) 3 a b c a b c a + − + + − Có 2 2 3 4 3 a a a   ∆ = − −  ÷   2 36 3 a a − ⇔ ∆ = Vì 3 36a > nên 0 ( ) 0f b c ∆ < ⇒ + > ⇒ đpcm. II. Áp dụng bài toán 2 Muốn chứng minh 0 ∆ ≤ Ta chứng minh ( ) 0, ( ) 0,f x x hoac f x x ≥ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ R R 1. Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki: 1 2 1 2 , , , . , , , n n a a a b b b∀ ∈¡ Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n n a b a b a b a a a b b b + + + ≤ + + + + + + 5 Hướng dẫn Chọn tam thức bậc hai sao cho tam thức đó có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n n a b a b a b a a a b b b ∆ = + + + − + + + + + + Ta luôn có: ( ) ( ) 2 2 1 1 0, n n a x b a b x − + + − ≥ ∀ ∈ ¡ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 0, n n n n a a x a b a b a b x b b x ⇒ + + − + + + + + + ≥ ∀ ∈ ¡ ⇒ ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 0 ' 0 n n n n n a a a a b a b a a b b = = = =   ∆ = + + − + + + + ≤   ⇒ đpcm. Dấu ‘=’ xảy ra 1 1 2 2 0 n n a x b a x b a x b ⇔ − = − = = − = 1 2 1 2 n n a a a b b b ⇔ = = = 2. Ví dụ 2: Cho học sinh chứng minh những bài toán cụ thể của bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho 4 số a, b, x, y ∈ ¡ ,chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ax+by a b x y ≤ + + III. Áp dụng bài toán 3: Muốn chứng minh 0 ∆ ≥ ,ta chứng minh f(x) có nghiệm và có thể chọn một trong các cách sau : 4) Chỉ ra nghiệm cụ thể của f(x). 5) Chỉ ra một số α mà . ( ) 0.a f α ≤ 6) Chỉ ra 2 số , ( ). ( ) 0sao cho f f α β α β ≤ 6 1. Ví dụ 1: Cho a, b, c và m thoả mãn 2 am c bm + ≤ .Chứng minh rằng: 2 4acb ≥ Hướng dẫn 1. Nếu a = 0 thì 2 0b ≥ (luôn đúng) 2. Nếu a 0 ≠ Xét tam thức bậc 2: f(x) = 2 ax bx c − + Từ giả thiết 2 am c bm + ≤ ta có ( ) ( ) 2 2 2 am c bm+ ≤ ( ) ( ) 2 2 0am bm c am bm c ⇔ + + − + ≤ Mà 2 2 ( ) ( ) f m am bm c f m am bm c  = − =   − = + +   Nên f(m)f(-m) ≤ 0 hay tam thức bậc hai f(x) luôn có nghiệm 0 x ⇒ ∆ ≥ 2 4b ac ⇔ ≥ (đpcm) 2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng: [ ] ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 , , , 0;1 , 1 4 n n n a a a a a a a a a ∀ ∈ + + + + ≥ + + + Hướng dẫn Xét f(x) = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 n n x a a a x a a a − + + + + + + + + Ta có: f(1) = 1- ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 n n a a a a a a+ + + + + + + + = ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 n n a a a a a a − + − + + − 7 Vì [ ] 1 2 , , 0;1 n a a a ∈ nên f(1) [ ] 1 2 0 , , , 0;1 n a a a≤ ∀ ∈ ⇒ f(x) luôn có nghiệm ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 4 0 n n a a a a a a ⇒ ∆ = + + + + − + + + ≥ ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 4 n n a a a a a a ⇒ + + + + ≥ + + + 3. Ví dụ 3: Cho 2 2 2 2 2 2 p q a b c d+ > + + + Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 pq ac bd p a b q c d − − ≥ − − − − Hướng dẫn Từ giả thiết có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0p a b q c d − − + − − ≥ Nên một trong hai số hạng ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ;p a b q c d − − − − phải có một số luôn lớn hơn 0 Không mất tính tổng quát nếu giả sử ( ) 2 2 2 0p a b − − > Xét f(x) = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2p a b x pq ac bd x q c d − − − − − + − − = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ax-cpx q bx d − − + − Vì ( ) 2 2 2 p a b − − nên p ≠ 0 Ta có ( ) ( ) 2 2 ax-c 0 q f bx d p   = − − − ≤  ÷   ⇒ f(x) luôn có nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' 0 0pq ac bd p a b q c d pq ac bd p a b q c d ⇒ ∆ ≥ ⇒ − − − − − − − ≥ ⇒ − − ≥ − − − − 8 ⇒ đpcm. * Ví dụ tương tự (Chứng minh bất đẳng thức Aczela) Cho 1 2 1 2 0, , , , n n a a a b b b− − − > ∀ ∈¡ Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 n n n n a a a b b b a b a b a b − − − − − − ≤ − − − IV. Một số ví dụ trong lượng giác: 1.Ví dụ 1 a) Cho x, y ∈¡ , chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 2 2 1 sin 2 sin osy 1 os 0x y x y c c y + + + + + > b) Cho , , , ,ABC x y z ∆ ∀ ∈ ¡ chứng minh rằng: 2 2 2 2 osC + 2yzcosA + 2zxcosBx y z xyc+ + ≥ Hướng dẫn a) Xét tam thức f(x) = ( ) ( ) 2 2 2 1 sin 2 sin os y 1 osx y x y c c y + + + + + Ta có 2 1 ' sin 2 1 0 2 y   ∆ = − − <  ÷   b) Xét tam thức f(x) = ( ) 2 2 2 2 osC + zcosB 2 osAx x yc y z yzc − + + − Ta có ( ) 2 ' ysinC - zcosB 0 ∆ = − ≤ 2.Ví dụ 2: Cho ABC ∆ , chứng minh rằng: a) 3 osA + cosB + cosC 2 c ≤ b) A B C 3 3 os os os 2 2 2 2 c c c + + ≤ c) 2 2 2 9 sin sin sin 4 A B C + + ≤ 9 d) 2 2 2 3 os os os 4 c A c B c C + + ≥ e) 2 2 2 3 sin sin sin 2 2 2 4 A B C + + ≥ Hướng dẫn + Sử dụng công thức lượng giác để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng f(t) ≤ 0 (t: là một hàm số lượng giác) + Tính và chứng minh cho 0∆ ≤ a) cosA + cosB + cosC - 3 0 2 ≤ 2 2 A+B A-B 3 2 os os 1 2sin 0 2 2 2 2 A - B 1 2sin 2sin os 0 2 2 2 2 C c c C C c ⇔ + − − ≤ ⇔ − + − ≤ Xét f(t) = 2 A - B 1 2 2 . os 2 2 t t c + − Với t = sin 2 C Có 2 ' os 1 0 2 A B c − ∆ = − ≤ ( ) 0,f t t ⇒ ≤ ∀ ⇒ đpcm. 10 [...]... lớp 10, các học sinh được học về tam thức bậc hai , được học về bất đẳng thức nhưng các em lại chưa được dạy cách sử dụng tam thức bậc hai vào chứng minh bất đẳng thức mà đây lại là một phương pháp chứng minh rất hiệu quả , dễ sử dụng.Vì vậy tôi viết đề tài “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI giúp các em lớp 10 v à lớp 12 nghiên cứu bất đẳng thức được dễ dàng hơn, đạt được kết... : Phương pháp nghiên cứu - Kết quả nghiên cứu • ) Phương pháp nghiên cứu : Tìm tòi , sưu tập trong tài liệu ,xây dựng hệ thống bài tập dạy thử nghiệm trên nhiều lớp học sinh, qua đó rút kinh nghiệm để xây dựng một hệ thống bài tập hoàn chỉnh • )Kết quả : Học sinh thấy hứng thú hơn trong nghiên cứu bất đẳng thức III Phần kết luận Chuyên đề “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI ... tổng quát, phong phú toàn diện hơn trong giải quyết bài toán : “ Chứng minh bất đẳng thức , đồng thời củng cố kiến thức về tam thức bậc hai II.Nội dung Chương 1: Tổng quan Trong chương trình Toán cấp THPT , lý thuyết về tam thức bậc hai vừa là nội dung vừa là công cụ giải toán quan trọng ; Các dạng toán về bất đẳng thức là dạng toán khó thường gặp trong các đề thi ĐH - CĐ để phân loại thí sinh hoặc... thức III Phần kết luận Chuyên đề “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI không những giúp học sinh hoàn thiện hơn về các phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà còn củng cố kiến thức về tam thức bậc hai, vì vậy theo tôi đây là một phương pháp mặc dù hơi khó nhưng rất cần được phổ biến rộng rãi trong đông đảo học sinh Sai sót là điều khó tránh trong chuyên đề này, vì vậy tôi xin... TRUNG HỌC PHỔ THÔNG HÒN GAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN TỔ : ĐOÀN THỊ HỒNG CẨM : TOÁN TIN Hạ Long - Tháng 5 năm 2008 I.Phần mở đầu : I.1 Lý do chọn đề tài Trong quá trình giảng dạy , tôi thấy bài toán : “ Chứng minh bất đẳng thức là một trong những bài toán khó nhất trong các loại toán ở phổ thông , bởi con đường chứng... đề thi ĐH - CĐ để phân loại thí sinh hoặc trong các đề thi học sinh giỏi ,một số học sinh thường e ngại khi gặp phải dạng toán này , đề tài “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI sẽ phần nào giúp đỡ học sinh giải quyết cả hai vấn đề trên Chương 2 : Nội dung vấn đề nghiên cứu ... xin trân trọng mọi ý kiến đóng góp và nhận xét của độc giả qua địa chỉ “Đoàn Thị Hồng Cẩm – Gv Tổ Toán Trường THPT Hòn Gai – Tp Hạ Long” IV.Tài liệu tham khảo 1.Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức – Tg Trần Tuấn Anh 2 Tam thức bậc hai và ứng dụng - Tg Lê Sĩ Đồng ; Lê Minh Tâm V Nhận xết của HĐKH cấp trường Người viết : Đoàn Thị Hồng Cẩm ĐỀ SỐ 1(số 3-2008 báo THTT) (Thời gian làm bài:180 phút,... trình THPT không phân ban) 1) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2 ; 5), B(4 ; 1) và tiếp xúc với đường thẳn phương trình 3x – y + 9 =0 n n 1 2 2 2 n 2 2) Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức ( Cn ) + 2 ( Cn ) + + n ( Cn ) = C2 n 2 Câu 5b ( 2 điểm) (Theo chương trình THPT phân ban thí điểm) 1 1 8 log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 4 x 1) Giải phương trình 2 4 2) Cho hình chóp... trình THPT không phân ban) 3) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2 ; 5), B(4 ; 1) và tiếp xúc với đường thẳn phương trình 3x – y + 9 = 0 n n 1 2 2 2 n 2 4) Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức ( Cn ) + 2 ( Cn ) + + n ( Cn ) = C2 n 2 Câu 5b ( 2 điểm) (Theo chương trình THPT phân ban thí điểm) 1 1 8 log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 4 x 3) Giải phương trình 2 4 4) Cho hình chóp... Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 2 x − y − 2 = 0  y + 2z + 2 = 0 2x + y + z –1 = 0 và đường thẳng (d) có phương trình  3) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) Tính số đo góc tạo bởi (d) và (P) 4) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ )đi qua A, ( ∆ ) nằm trong mặt phẳng (P) sao cho góc tạo hai đường thẳng ( ∆ ) và (d) bằng 450 II.PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh . PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Cho tam thức bậc hai 2 ( ) ax ( 0)f x bx c a = + + ≠ Bài toán 1: Muốn chứng. sinh được học về tam thức bậc hai , được học về bất đẳng thức nhưng các em lại chưa được dạy cách sử dụng tam thức bậc hai vào chứng minh bất đẳng thức mà đây lại là một phương pháp chứng minh. thú hơn trong nghiên cứu bất đẳng thức III. Phần kết luận Chuyên đề “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI không những giúp học sinh hoàn thiện hơn về các phương pháp chứng