PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI TRONG.doc

Phần kết luận Chuyên đề “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI” không những giúp học sinh hoàn thiện hơn về các phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà còn củng cố

PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI TRONG

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Cho tam thức bậc hai f x ( ) ax  2  bx c a  (  0)

Bài toán 1:

Muốn chứng minh f x( ) 0,  x R, ta chứng minh 0

0

a 





 



Hoặc chứng minh f x ( ) 0,    x R , ta chứng minh 0

0

a 





 



Bài toán 2:

Muốn chứng minh   0

Ta chứng minh f x ( ) 0,    x R hoac f x ( ) 0,    x R

Bài toán 3

Muốn chứng minh  0 ,ta chứng minh f(x) có nghiệm và có thể chọn một trong các cách sau :

1) Chỉ ra nghiệm cụ thể của f(x).

2) Chỉ ra một số  mà a f   ( ) 0

3) Chỉ ra 2 số  ,  sao cho f ( ) ( ) 0  f  

Bài toán 4

Sử dụng kết quả: ( x   )( x   ) 0,    x  a b ; 

1

CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG

I Áp dụng bài toán 1

Muốn chứng minh f x( ) 0,  x R, ta chứng minh 0

0

a 





 



Hoặc chứng minh f x ( ) 0,    x R , ta chứng minh 0

0

a 





 



1 Ví dụ 1:

Chứng minh rằng  a b R a ,  , 2 2  5 b2  2 ab  2 a  8 b   5 0

Hướng dẫn:

Xét f(a) = 2a2  2 (a b1) 5 b2  8b5

Ta có  a 4b12 2 5 b2 8b5

  a 36b 12

Vì b 12  0, b nên   a 0, b.Vậy f a     0, a b ,

Dấu ‘=’ xảy ra

1

( ) 0

2

a

b

b





      



 2.V í d ụ 2 :

Chứng minh rằng :  x y ,  R : 3 x2  5 y2  4 xy  8 x  2 y   9 0 (1) Hướng dẫn:

Biến đổi (1) về dạng :

f(x) = 3x2 + 4(y + 2)x + 5y2 – 2y + 9 0

2

* Các ví dụ tương tự :

1  x y ,   , x y2 4  2  x2  1  y2  4 xy x  2  4 xy3  0

2  x y z , ,   :19 x2 54 y2 16 z2 16 xz  24 yz  36 xy  0

2 Ví dụ 2:

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác.

Chứng minh rằng:  x y , : (ax + by)(x + y) cxy 1   

Hướng dẫn

Ta có:  ax + by   x y    cxy  ax2   a b c xy by     2  0 2  

Nếu y = 0 thì (2)  ax2   0 x (1) được chứng minh

Nếu y 0,đặt t = x/y

Khi đó (2) at2 a b c t b    0

Xét f(t) = at2   a b c t b    

Có  t a b c  2  4ab

Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên   t 0 f t ( ) 0,   t

Vậy BĐT (1) được chứng minh.

3.Ví dụ 3:

Chứng minh rằng:  x y , thì  x y  2  xy   1 ( x y  ) 3(*)

Hướng dẫn

(*)  x2  y2  xy   1 3 x  3 y  0

Xét f(x) = x2  y 3x y 2  3y1

Có   ( y  3)2  4( y2  3 y  1)

Vậy (*) được chứng minh.

* Các ví dụ tương tự

1 Cho t < z < y Chứng minh rằng  x :x y z t   2 8(xz yt )

2 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác và x, y, z  thoả mãn

ax + by +cz = 0

Chứng minh rằng:

a xy + yz +zx  0

b yz + bxz +cyz  0

4 Ví dụ 4:

a Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.Chứng minh rằng:

pa  qb  pqc với p,q thoả mãn p + q = 1.

b Ngược lại cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn pa2  qb2  pqc2 và p + q = 1 thì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.

Hướng dẫn

a a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác

 a b c    0; a c b    0; b c a    0

Xét f(p) = pa2  qb2  pqc2

Thay q = 1 – p vào f(p) ta có f p ( )  c p2 2  ( a2  b2  c p b2)  2

  p a2  b2  c22  4c b2 2

  p  a b c a b c a c b b c a               

Vì a, b, c là ba cạnh của tam giác nên  p 0

( ) 0, ,

4

b Ngược lại nếu a, b, c là độ dài ba đoạn thẳng thoả mãn:

2 2 2

pa  qb  pqc (*) với p + q = 1 thì

f(p) = c p2 2   a2  b2  c p b2  2  0,  p q ,

0 0

a b c a b c a c b b c a

 a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác

5 Ví dụ 5:

Cho a 3 36 và abc = 1 Chứng minh rằng

2

3

a

Hướng dẫn

Có bc = 1a nên (*)  

2

3

a

b c a b c

a

      

Xét f( b+c ) =  

2

3

a

b c a b c

a

Có

2

4 3

a a

a

2

36 3

a a



   Vì a 3 36 nên    0 f b c (  ) 0   đpcm.

II Áp dụng bài toán 2

Muốn chứng minh   0

Ta chứng minh f x ( ) 0,    x R hoac f x ( ) 0,    x R

1 Ví dụ 1:

Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki:  a a1, , , , , ,2 a b bn 1 2 bn 

Chứng minh rằng:

5

Hướng dẫn

Chọn tam thức bậc hai sao cho tam thức đó có:

1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n

Ta luôn có:

 a x b1  12    an  bn2     0, x

 a12 an2 x2 2  a b1 1 a b2 2 a b x bn n 12 bn2 0, x



1 2

n







 đpcm.

Dấu ‘=’ xảy ra  a x b1  1  a x b2  2   a x bn  n  0

1 2

1 2

n

a

2 Ví dụ 2:

Cho học sinh chứng minh những bài toán cụ thể của bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho 4 số a, b, x, y   ,chứng minh rằng:  ax+by 2   a2  b2  x2  y2

III Áp dụng bài toán 3:

Muốn chứng minh  0 ,ta chứng minh f(x) có nghiệm và có thể chọn một trong các cách sau :

4) Chỉ ra nghiệm cụ thể của f(x).

5) Chỉ ra một số  mà a f   ( ) 0

6) Chỉ ra 2 số  ,  sao cho f ( ) ( ) 0  f  

6

1 Ví dụ 1:

Cho a, b, c và m thoả mãn am2  c  bm Chứng minh rằng: b 2 4ac

Hướng dẫn

1 Nếu a = 0 thì b 2 0 (luôn đúng)

2 Nếu a 0

Xét tam thức bậc 2: f(x) = ax2  bx c

Từ giả thiết am2  c  bm ta có  am2  c 2   bm 2

  am2  bm c am    2  bm c    0

Mà

2 2

( )







Nên f(m)f(-m)  0 hay tam thức bậc hai f(x) luôn có nghiệm

  x 0

  (đpcm)

2 Ví dụ 2:

Chứng minh rằng:

1, , ,2 n 0;1 , 1 1 2 n 4 1 2 n

Hướng dẫn

1  a  a   an  a  a   an

= a a1 1  1   a a2 2  1    a an  n  1 

7

Vì a a1, , 2 a n  0;1  nên f(1)   0 a a1, , ,2 an   0;1 

 f(x) luôn có nghiệm

1 a a an 4 a a a n 0

1 a a an 4 a a an

3 Ví dụ 3:

Cho p2  q2  a2  b2  c2  d2

Chứng minh rằng:  pq ac bd   2   p2  a2  b2  q2  c2  d2

Hướng dẫn

Từ giả thiết có:  p2  a2  b2   q2  c2  d2  0

Nên một trong hai số hạng  p2  a2  b2  ; q2  c2  d2

phải có một số luôn lớn hơn 0

Không mất tính tổng quát nếu giả sử  p2  a2  b2  0

Xét f(x) =  p2 a2 b x2 2 2 pq ac bd x   q2 c2 d2

=  px q  2   ax-c 2   bx d  2

Vì  p2  a2  b2 nên p  0

Ta có f q ax-c2 bx d2 0

p

 

 

 

 f(x) luôn có nghiệm

' 0

0

  

 đpcm.

* Ví dụ tương tự (Chứng minh bất đẳng thức Aczela)

Cho a1  a2   an  0,  b b1, , ,2 bn  

Chứng minh rằng:  a12  a22   an2  b12  b22   bn2   a b a b1 1  2 2   a bn n2

IV Một số ví dụ trong lượng giác:

1.Ví dụ 1

a) Cho x, y  , chứng minh rằng:

x2  1 sin  2 y   2 sin x  y c  osy    1 c os2y  0

b) Cho  ABC ,  x y z , ,   , chứng minh rằng:

x2  y2  z2  2 xyc osC + 2yzcosA + 2zxcosB

Hướng dẫn

a) Xét tam thức f(x) = x2 1 sin  2 y   2 sin x  y c  os y    1 c os2y

Ta có

2

1

b) Xét tam thức f(x) = x2  2 x yc  osC + zcosB   y2  z2  2 yzc osA

Ta có   '  ysinC - zcosB 2  0

2.Ví dụ 2:

Cho  ABC , chứng minh rằng:

a) osA + cosB + cosC 3

2

b) os A os B os C 3 3

sin sin sin

4

9 d) os2 os2 os2 3

4

c A c  B c  C 

e) sin2 sin2 sin2 3

Hướng dẫn

+ Sử dụng công thức lượng giác để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng f(t)  0 (t: là một hàm số lượng giác)

+ Tính và chứng minh cho   0

a) cosA + cosB + cosC - 3

0

2 

2

2

A - B 1

C

c

Xét f(t) = 2 2 2 os A - B 1

t  t c 

Với t = sin

2

C

Có ' os2 1 0

2

A B

 f t ( ) 0,   t

 đpcm.

10

Chương III : Phương pháp nghiên cứu - Kết quả nghiên cứu

 ) Phương pháp nghiên cứu :

Tìm tòi , sưu tập trong tài liệu ,xây dựng hệ thống bài tập dạy thử nghiệm trên nhiều lớp học sinh, qua đó rút kinh nghiệm để xây dựng một hệ thống bài tập hoàn chỉnh

 )Kết quả :

Học sinh thấy hứng thú hơn trong nghiên cứu bất đẳng thức

III Phần kết luận

Chuyên đề “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI” không những giúp học sinh hoàn thiện hơn về các phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà còn củng cố kiến thức về tam thức bậc hai, vì vậy theo tôi đây là một phương pháp mặc dù hơi khó nhưng rất cần được phổ biến rộng rãi trong đông đảo học sinh Sai sót là điều khó tránh trong chuyên đề này, vì vậy tôi xin trân trọng mọi ý kiến đóng góp và nhận xét của độc giả qua địa chỉ “Đoàn Thị Hồng Cẩm – Gv Tổ Toán Trường THPT Hòn Gai – Tp Hạ Long”

IV.Tài liệu tham khảo

1.Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức – Tg Trần Tuấn Anh

2 Tam thức bậc hai và ứng dụng - Tg Lê Sĩ Đồng ; Lê Minh Tâm

V Nhận xết của HĐKH cấp trường

Người viết :

Đoàn Thị Hồng Cẩm

ĐỀ SỐ 1(số 3-2008 báo THTT)

(Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề)

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu 1 (2 điểm)

Cho đồ thị  

1

m

C

x

  



 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 1

b) Tìm m để C m có các điểm cực đại, điểm cực tiểu và gốc toạ độ O lập thành tam giác vuông tại O

Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình:

sin 3 sin 2 sin

b) Giải hệ phương trình:

2 2 2

.log 3 log log

.log 12 log log

  





  



Câu 3 (2 điểm)

a) Tính các tích phân sau:

4 3

sin 2

1 os 1







b) Cho bốn điểm A (5 ; 1 ; 3) , B (1 ; 6 ; 2), C (5 ; 0 ; 4), D (4 ; 0 ; 6) Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và CD chéo nhau Tính khoảng cách giữa AB và CD và viết phương trình đường vuông góc chung của chúng

Câu 4 (2 điểm)

a) Giải phương trình

2(x 2)3 4x 4  2x 2  3x 1

b) Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng    

1 1



  

II.PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chỉ được chọn làm câu 5A hoặc câu 5B)

Câu 5A (2 điểm) (Dành cho THPT không phân ban)

a) Cho n là số nguyên dương với n 2 Chứng minh rằng:

1 2 1 2 2 2 3 2 3 2 n ( 1).2n 2

b) Cho tam giác ABC Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB; sáu đường thẳng song song với BC và bảy đường thẳng song song với CA Hỏi các đường thẳng này tạo ra bao nhiêu hình bình hành, bao nhiêu hình thang?

Câu 5B (2 điểm) (Dành cho THPT phân ban)

Cho đường thẳng   có phương trình x 2y  2 0 và elip  E có phương trình 2 2 1.

8 4

  Giả sử đường thẳng   cắt  E tại hai điểm B và C

a) Tìm điểm A thuộc elip  E để tam giác ABC cân tại A

b) Tìm điểm A thuộc elip (E) để diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất

ĐỀ SỐ 2( số 3 -2008 báo THTT)

(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu 1 (2 điểm)

Cho hàm số

y = x4  2(m 2)x2 m2  5m 5 (C m)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C1 của hàm số khi m = 1

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị C m có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều

Câu 2 (2 điểm)

1) Giải phương trình 1 osx 1  os2x 1  os3x 1

2

2) Giải hệ phương trình    

2







Câu 3 (2 điểm)

1) Tính tích phân  

1 3

4 1 3

.

x x

x



2) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng

bc b c ca c a

ab a b



Câu 4 ( 2 điểm)

Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình

2x + y + z –1 = 0 và đường thẳng (d) có phương trình 2 2 0

2 2 0

x y

  





  

 1) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) Tính số đo góc tạo bởi (d) và (P)

2) Viết phương trình đường thẳng ()đi qua A,  nằm trong mặt phẳng (P) sao cho góc tạo bởi hai đường thẳng   và (d) bằng 45 0

II.PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh chỉ được chọn câu 5a hoặc câu 5b)

Câu 5a (2 điểm) (Theo chương trình THPT không phân ban)

1) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2 ; 5), B(4 ; 1) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + 9 =0

2) Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức  1 2  2 2  2

2

2

n

Câu 5b ( 2 điểm) (Theo chương trình THPT phân ban thí điểm)

1) Giải phương trình 2  4 8 2

2) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao cũng bằng a Gọi E, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK

-Hết -ĐỀ SỐ 3(số 5 -2008 THTT)

(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu 1 (2 điểm)

Cho hàm số 2

1

x y x





 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Tìm các giá trị của tham số a để đường thẳng (d) : y = a(x – 3) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt trong đó có ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 1

Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình 2sin5x2sin os3x c 2x c os2x - sinx = 0 (1)

b) Giải hệ bất phương trình







Câu 3 (2 điểm)

Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz cho tứ diện ABCD với: A (4 ; 1 ; 4),

B (3 ; 3 ; 1), C (1 ; 5 ; 5) , D (1 ; 1 ; 1).

a) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AD lên mặt phẳng (ABC)

b) Tìm điểm K trên đường thẳng AC và điểm H trên đường thẳng BD sao cho đoạn thẳng HK có

độ dài nhỏ nhất

Câu 4 ( 2 điểm)

a) Tính tích phân

1

3 4

2 t anx os

x







b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m  2, ta có

2 2

1

m

m



II PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chỉ được chọn làm câu 5A hoặc câu 5B)

Câu 5A ( 2 điểm) ( Theo chương trình THPT không phân ban)

a) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Descartes Oxy cho elip (E) có phương trình

16x225y2 400

Tìm điểm S trên (E) sao cho bán kính qua tiêu điểm bên trái của (E) có độ dài nhỏ nhất

b)Trong một cuộc đi chơi dã ngoại của một tổ học sinh , cứ hai học sinh bất kỳ đều chụp với nhau một kiểu ảnh để làm kỉ niệm ( mọi kiểu ảnh đều chỉ có hai người) Hỏi tổ học sinh có mấy người , biết rằng cuốn phim có 36 kiểu chụp vừa đủ

Câu 5B ( 2 điểm) ( Theo chương trình THPT phân ban)

a) Giải bất phương trình

2 0,3 6

4

x x x







b)Cho hình chóp S.ABCD Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Đáy ABCD là tứ giác

nội tiếp trong đường tròn tâm O , bán kính R Xác định tâm và tính bán

kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết SA = h

- Hết

-ĐỀ SỐ 1

(Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề)

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu 1 (2 điểm)

Cho đồ thị  

1

m

C

x

  



 c) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 1

d) Tìm m để C m có các điểm cực đại, điểm cực tiểu và gốc toạ độ O lập thành tam giác vuông tại O

Câu 2 (2 điểm)

c) Giải phương trình:

sin 3 sin 2 sin

d) Giải hệ phương trình:

2 2 2

.log 3 log log

.log 12 log log

  





  



Câu 3 (2 điểm)

c) Tính các tích phân sau:

4 3

sin 2

1 os 1







d) Cho bốn điểm A (5 ; 1 ; 3) , B (1 ; 6 ; 2), C (5 ; 0 ; 4), D (4 ; 0 ; 6) Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và CD chéo nhau Tính khoảng cách giữa AB và CD và viết phương trình đường vuông góc chung của chúng

Câu 4 (2 điểm)

c) Giải phương trình

2(x 2)3 4x 4  2x 2  3x 1

d) Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng    

1 1



  

II.PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chỉ được chọn làm câu 5A hoặc câu 5B)

Câu 5A (2 điểm) (Dành cho THPT không phân ban)

c) Cho n là số nguyên dương với n 2 Chứng minh rằng:

1 2 1 2 2 2 3 2 3 2 n ( 1).2n 2

d) Cho tam giác ABC Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB; sáu đường thẳng song song với BC và bảy đường thẳng song song với CA Hỏi các đường thẳng này tạo ra bao nhiêu hình bình hành, bao nhiêu hình thang?

Câu 5B (2 điểm) (Dành cho THPT phân ban)

Cho đường thẳng   có phương trình x 2y  2 0 và elip  E có phương trình 2 2 1.

8 4

  Giả sử đường thẳng   cắt  E tại hai điểm B và C

c) Tìm điểm A thuộc elip  E để tam giác ABC cân tại A

d) Tìm điểm A thuộc elip (E) để diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất

ĐỀ SỐ 2

(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu 1 (2 điểm)

Cho hàm số

y = x4  2(m 2)x2 m2  5m 5 (C m)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C1 của hàm số khi m = 1

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị C m có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều

Câu 2 (2 điểm)

3) Giải phương trình 1 osx 1  os2x 1  os3x 1

2