Dương Quốc Việt NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM DƯƠNG QUỐC VIỆT Cơ sở LÍ THUYẾT MODULE (T i lần thứ hai) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM Mã số: 01,01.10/95-Đ H 2013 Mục lục Lời nói đầu Đại cương module 11 Đ ịn h n g h ĩa m o d u le v ví d ụ 11 11 M o d u le c o n 13 M o d u le t h n g 14 M o d u le x o ắ n 15 C tr iệ t c ủ a m o d u l e 16 T giao m o d u le c o n 18 T ổ n g v giao m o d u le 18 M o d u le s in h m ộ t t ậ p 19 Đ ồng c ấ u v đ ịn h lí đ n g c ấ u m o d u l e 23 Đ ồng c ấ u m o d u le 23 M ộ t v i đ ịn h lí đ n g c ấ u 25 M odule, m o d u le v m o d u le th n g T í c h t r ự c t i ế p , t ố n g t r ự c t i ế p , d ã y k h p v g iớ i h n II T ích tổ n g trự c tiế p m o d u l e 31 31 1, X ây d ự n g tíc h tổ n g trự c t i ế p 31 T ín h p h ổ d ụ n g c ủ a tíc h v tổ n g trự c t i ế p 32 T trự c tiế p tro n g 37 D ãy k h p 41 Giới h n 47 G iới h n n g h ị c h 47 Giới h a n t h u â n 53 MỤC Lực M o d u le t ự d o , m o d u l e h ữ u h n s i n h , m o d u l e x ả n h v m o d u le n ộ i x M odule tự d o M o d u le tự h n g củ a m o d u le tự d o M ột số" t ín h c h ấ t b ả n m o d u le tự d o X ây d ự n g m ộ t m o d u le tự n h ậ n m ộ t tậ p cho trư c m s M o d u le-h ữ u h n s in h tr ê n v n h giao h o n Đ ịn h lí H a m ilto n -C a y le y raỏ r ộ n g M o d u le h ữ u h n s in h tr ê n v n h đ ịa p h n g M odule x ả n h v m o d u le nội x M o d u le x ả n h M o d u le n ô i x a Địa phương hóa hạng mở rộng module 63 63 63 67 70 72 72 76 79 79 83 91 K h n iệ m đ ịa p h n g h ó a M ột sơ^ tín h c h ấ t c ủ a đ ịa p h n g h ó a H n g mở rộ n g c ủ a m o d u l e 91 95 105 T íc h t e n x c ủ a m o d u l e X ây d ự n g tíc h t e n x M ột sơ" tín h c h ấ t b ả n củ a tíc h t e n x T ích ten x v d ã y k h p , m o d u le p h ẳ n g T ích te n x v đ ịa p h n g h ó a 109 110 115 121 126 M o d u le N o e t h e r v m o d u i e A r t i n M odule N o e t h e r P h â n tíc h n g u y ê n sơ tro n g m o d u le N o e t h e r M o d u le n g u y ê n sơ v p h â n tíc h n g u y ê n sơ 131 131 138 139 Id e a l n g u y ê n tô" liê n k ế t C ác t h n h p h ầ n n g u y ê n sơ b ấ t b i ế n M odule A rtin ' 144 152 157 M odule có độ d i h ữ u h n Độ d i c ủ a m o d u l e Đ ặc tr n g c ủ a m o d u le có độ d i h ữ u h n Đ ặc t r n g c ủ a v n h A r t i n 162 162 167 170 3 Mực t.ục N h ó m A b el h ữ u h n s in h v m o d u le t r ê n v n h c h ín h 173 N hóm A bel h ữ u h n s in h 173 S ự p h â n tíc h n h ó m c y c l i c 174 C ấ u tr ú c c ủ a n h ó m A hel h ữ u h n s i n h 175 M odule tr ê n v n h c h í n h 186 M o d u le tự t r ê n v n h c h í n h 186 C ấ u tr ú c c ủ a n h ữ n g m o d u le h ữ u h n s in h tr ê n v n h c h ín h 190 T i l i ệ u tham khảo 199 Lời nói đầu C ấ u trú c m odule x u ấ t h iệ n tro n g h ầ u h ế t lí th u y ế t to n học h iệ n đại, có k h ả n ă n g th ô n g n h ấ t m ộ t cách b ả n c h ấ t cấ u tr ú c v n h , id eal, n h ó m A bel, k h n g g ia n vectơ T ín h lin h h o t v p h ổ q u t củ a cấ u tr ú c m o d u le đ ã m a n g lạ i n h ữ n g ứ n g d ụ n g to lớn T h n g q u a lí •th u y ế t m o d u le, b n có dịp soi sá n g , củ n g lí th u y ế t v ề k h ô n g g ian vectơ v n h iề u lí th u y ế t to n học k h ác S ách với tiê u đê “Cơ sở lí th u y ế t m o d u le ” n h ằ m p h ụ c v ụ trự c tiế p cho việc học tậ p g iả n g d ạy K h o a T o án , T rư n g Đ ại học S p h m H Nội N ội d u n g c ủ a s c h gồm v â n đ ề sau: C h n g Đ i c n g v ề m o d u le , tr ìn h b ày n h ữ n g v ấ n đ ề c h u n g n h ấ t m o d u le, m o d u le con, m o d u le th n g , m o d u le x oắn, t r i ệ t m o d u le, tổ n g v giao m o d u le con, h ệ s in h v đ ịn h lí đồng cấ u m o d u le C h n g T íc h t r ự c t i ế p , t ố n g t r ự c t i ế p , d ã y k h p v g iớ i h n , bao gồm v â n đề; x ây d ự n g tích tổ n g trự c tiế p , tín h p h ổ d ụ n g c ủ a tíc h v tổ n g trự c tiế p , tổ n g trự c tiế p tro n g , d ãy k h p v •cl c ù n g giới h n n g h ịc h v th u ậ n C h n g M o d u le t ự d o , m o d u l e h ữ u h n s i n h , m o d u l e x ả n h v m o d u l e n ộ i x , gồm v ấ n đề: h n g v tín h p h ổ d ụ n g c ủ a m o d u le tự do, Đ ịn h lí H a m ilto n -C a y le y mở rộ n g , h ệ s in h cực tiể u c ủ a m o d u le h ữ u h n s in h tr ê n v n h đ ịa p h n g , m o d u le x ả n h v m o d u le nội xạ C h n g Đ ịa p h n g h ó a v h n g m r ộ n g c ủ a m o d u l e , v iế t vế đ ịa p h n g h ó a c ủ a m o d u le v mở rộ n g k h i n iệm h n g củ a m o d u le, c ù n g với tín h b ảo to n d ãy khớp q u a đ ịa p h n g h ó a I.ỜI NÓI ĐẨU C h n g T í c h t e n x c ủ a m o d u le , xây d ự n g tíc h te n x c ủ a m odule, q u a n h ệ g iữ a ten x đ với d ãy khớp vổi đ ịa p h n g h óa, m odule p h ă n g C h n g M o d u l e N o e t h e r v m o d u l e A r t i n , b n m o d u le N o eth er, m o d u le n g u y ê n sơ p h â n tíc h n g u y ê n sơ, id eal n g u y ê n tô liê n k ế t, t h n h p h ầ n n g u y ên sơ b ấ t b iế n , m o d u le A rtin , m o d u le có độ d ài h ữ u h n v c ấ u trú c v n h A rtin C h n g N h ó m Abel h ữ u h n s i n h v m o d u l e t r ê n v n h chính, v iế t p h â n tíc h cấ u trú c củ a n h ó m A bel v cấu tr ú c c ủ a m odule tr ê n v n h c h ín h C ù n g với m ộ t h ệ th ô n g b i tậ p p h o n g p h ú , sá c h m ong đ p ứ n g đông đảo đôi tư ợ n g b ạn đọc Nội d u n g c ủ a sá c h m ộ t h ệ th ô n g mở bao gồm n h iề u lí th u y ế t k h ác n h a u liên q u a n đ ến c ấ u tr ú c m odule, c u n g cấ p m ộ t vốh k iế n th ứ c n ề n tả n g q u a n trọ n g g iú p 'b n đọc tiế p c ậ n đưỢc với n h ữ n g lí th u y ế t to n học h iệ n đại k h c C ũ n g cầ n n h ấ n m n h rằ n g , tr u tư ợ n g sức m n h c ủ a to n học nói c h u n g v đ i s ố nói riên g , n h n g cũ n g đ ể lạ i n h ữ n g m ặ t tr i củ a T h ậ t đ n g tiếc, để tiệ n cho việc tr in h b y m có k h n g n h ữ n g k h i n iệ m to n học "h iệ n đ ại h ó a" m ộ t lớp vỏ ngôn n g ữ siê u tr u tư ợ n g , đ iề u n y đôi k h i k h iế n cho ngư ịi đọc k h ó n h ậ n r a b ả n c h ấ t c ủ a c h ú n g T ro n g giáo t r ì n h n ày , c h ú n g tô i cơ' g ắ n g tr ìn h b ày h ệ th ô n g k h i n iệ m n g ô n n g ữ đơn giản, g iảm tả i tố i đa n h ữ n g n g ô n n g ữ tr u tưỢng k h ô n g c ầ n th iế t, b ám s t th e o nguồn gốc r a đòi c ủ a ch ú n g , cùng' n h ữ n g ví d ụ đ a d ạn g , giú p b n đọc th ấ y ý n g h ĩa v b ả n c h ấ t củ a k h i n iệ m n ày Đó c ũ n g m ột tiê u ch í t r ì n h b y x u y ê n su ố t to n sách T ro n g trìn h biên soạn, tác giả nhận đưỢc hỗ trỢ đắc lực củ a T h S L ê V n Đ ín h , giúp công việc so n th ả o m a u ch ó n g h o n th iệ n T ác g iả x in ghi n h ậ n đ n h giá cao s ự trỢ giúp T ác g iả c ũ n g x in c h â n th n h cám ơn GS T S K H Đỗ Đ ức T h i; T S B ùi H u y H Ĩềii; T S Đ m V ăn N hỉ n h ữ n g góp ý b ổ ích 188 Chương? NHĨMABGLIỈỪU HẠN SĨNH VÀ MODULK TRẼN VANH CIIÍNH V ậy M = Spaii({í)i},£/) Đ ặ t / ' = {ỉ e / I bị ^ } , th ì họ {k}i^ì> c ũ n g m ộ t hệ s in h c ủ a M B ây t a c ầ n c h ứ n g m in h họ n y độc lậ p tu y ế n tín h T h ậ t v ậy, g iả sử tr i lại, k h i tồ n tạ i m ộ t tô hỢp tu y ế n tín h ơ\bị^ + íV2ồÌ2 H- • • • + mbi„, = với ù < i'i < • ■• < hn th u ộ c I' v am Ỷ 0- T ác đ ộ n g p h é p c h iế u vào tổ hỢp tu y ế n tín h n ày , ta ĩì\ J=1 Do A m ộ t m iề n n g u y ê n v íVto 7^ n ê n o.;,,, = 0, v d ẫ n đ ế n = (m âu th u ẫ n ) V ậy lậ p t h n h rnột cd sở c ủ a A/ v A/ m ột ,4-m odule tự □ Đ ị%n h lí 2.2 G iả s T m ộ• t m o d u le tự• d o m ộ• t vàn h A M m ộ t m o d u le T có h n g hữu h n n K h i tồn tạ i n p h ầ n íử » 1, , Oín A uà m ộ t sở T chứa n p h ầ n t e u - ■■ , cho (i) Cóc p h ầ n tử axe-u - ■- , (hien lậ p th n h m ộ t sở của hí (ii) chia h ết ữj+i với m ọi 'i = , , rỉ — Chứng minh N ếu M = th ì k ế t q u ả tầ m th ò n g T a m u ô n c h ứ n g minh định lí với M Ỷ 0- Coi T = Gọị F tập tất dạng tu y ế n tín h tr ê n T, k h i t a n h ậ n tậ p id e a l { f { M ) I / e F} G iả sử f ị { M) = Acvị m ộ t p h ầ n tử đ i c ủ a tậ p n y u m ộ t p h ầ n tử c ủ a M cho /i(íí) = Với g e F t a ch ỉ r a r ằ n g g{ĩi) e Aoíi T h ậ t v ậy , đ ặ t g{n) = /i, v g iả sử Aữi + Aậ = Ay, k h i tồ n tạ i X , f i e A cho Aoíi + ịj,p = J X ét d n g tu y ế n tín h / = A/i + ịig, ta có f(u) = A /i(?/,) + ng{u) = Aftj + /i/? = G / ( M ) T su y r a /( M ) Ấ D Ấtti- Do tín h tố ĩ đ i c ủ a Ấữi , n ê n f { M ) = Acy, MODULR TRẼN VÁNH CHÍNH 189 Do An] = A^; Đ iều n y d ẫ n đ ến ;i e A(\ị V ậy với m ọi d n g tu y ế n tín h g : T A ta có /;( //.) € -4oi Áp dụng kết vừa vào phép chiếu A :r = ,4 t a có Pi {i i ) G -4oi v i m ọ i i e ỉ Đ i ề u n y có n g h ĩ a c c t o độ c ủ a u p h ả i bội củ a fV| G iả sử u = (o:]£í)*e/ = Đ ặ t ei = ta có u = a-iei v «1 = /i( u ) = f i { ei ) Yĩ A m ộ t m iề n n g u y ê n , n ê n su y r a /■] (f'i) = L ấ y Tị - / f ^(0), ta ch ứ n g m in h (a) T = Ae Ị © T| Giả sử X e 4C| n T ị K hi :r = í f ’i G 4) X G T ] , nên /i(.^-) = /i(C n) = i i ) = í l = ^ = T suy r a X = 0, tứ c Aci n Ti = {0} B ây giò v iế t m ỗi p h ầ n tử X e T dưói dạng.T - /i( x ) e i + (.r - / i ( x) ei ) T a có f\{x)e\ e Ấei- M ặ t k h c , từ /) (•Ỉ-' - /i('í’)f'i) = /i(-í-) - /i(-ỉ-)/i(fi) == fì{^) - /i(^') = 0, ta r ú t r a X — fỉ{x)e.ị G T [ V ậy T = Aei + Ti, T - Aẻi Ti (b ) A / = Á \ ( ‘.\ Kíy VỚI M \ = h ỉ n T \ Trưốc hết A(yự\ n M] = {0} Af] n Ti = {0} Mặt khác, với X e M, th ì /i(.r) e f[{M) = /lo:i, n ê n /i(.r) = Arvi với A G A n T a v iế t r e M d n g ^ = AoiT) + x —Aữiei L ú c đ ó Ao|P| € 4('V|('| D o ;r G M v í/ = fV|P| € M, n ê n ;r - ArtiCi G M L ại /i (.r - Acviei) = j\{x) - Afti/i(e,) = Aữ) - Aoíi = 0, n ê n t a có X - Aciiiei G Ti T đ ó s u y r a X - AqiCi M = Acvici © ilí] M n Ti = M i- V ậ y 190 Chương 7, NHÓM ABKL I lữư IlẠK SJ\'H VÀ MODUI.E TRÊN VÀNH CHỈNH B ây giò giả sừ g : T ch ứ n g m in h r ằ n g m ộ t d n g tu y ế n tín h tù y ý, t a c ầ n (c ) g { Ấ U ) c T h ậ t vậy, giả sử g[ M\ ) ^ 4oi ta ,c h ọ n d n g tu y ế n tín h / : T = Ar, © r, ^ cho / trù n g với /i f [ M) = trê n A -ÌT i v t r ù n g v i (j t r ê n T ] , t h ì = An, + g{ M, ) Đ iều n y m â u th u ẫ n vối tín h tơ i đ ại củ a id e a l A a \ V ậy (c) ch ứ n g m in h T rê n đ ây t a đ ã xác đ ịn h p h ầ n tử Q i v (’], đ n g th i có tổ n g trự c tiế p (a) v (b) B ây giò ta c h ứ n g m in h đ ịn h lí b ằ n g q u y n p th e o h n g c ủ a M G iả sử đ ịn h lí đ ú n g với n - Vì Ti m ộ t m o d u le tự do, M\ m ộ t m odule c ủ a T| có h n g n - 1, n ê n th e o g iả th iế t q u y n p tồ n tạ i n - p h ầ n tử ■1«n c ủ a ,4 v m ộ t sở B] củ a Tị c h ứ a r? - p h ầ n tử e.ỵ ,e„ cho ị o ('2 ^■■■■ m ột sở củ a củ a đồng th ò i cvị ch ia h ế t o ,;+1 với m ọi i = , n - T (a) v (b) t a có {(Vl‘2 '"2 k + ■• • + bl,ZỊị- G Aịj\ n \ > Az^: } 1=2 \Ị = aiZi + ■■■+ 0.hZk, ta nhận aiò|2i + (o,2^i ~ ^h)z2 + ■■• + [0kb\ - ỉh.)zk = S u y r a (lịb-ịZị = 0, p'"lfl]'bị Vì (lị n g u y ê n tô 'c ù n g n h a u với p, n ê n ]f\hị T t a có híjjí = N h v ậy N = Ayi â A z ã ã ã Azk, v từ ta thu 4;:2 • ' • © — AịJ'2 ■■• Ẳyi- B ây giò sử d ụ n g q uy n p ta dễ d n g su y r a đ iều p h ả i c h ứ n g m in h □ C h ứ ng m in h Đ ịn h lí 2.8 S ự tồ n tạ i củ a m ộ t p h â n tíc h n h tro n g p h t b iể u c ủ a đ ịn h lí su y r a từ Đ ịn h lí 2.6, cịn tí n h d u y n h ấ t c ủ a d ãy sô" n g u y ê n d n g (• = eị ^ ^ f'k tro n g p h â n tíc h su y r a từ Bổ đề 2.9 K ế t hợp Đ ịn h lí 2.7 v Đ ịn h lí 2.8 ta th u đ ịn h lí s a u □ 196 Chương NHOM ABRL Hữu HẠN SI\’H VÀ MODUI-E TRẼN VÀNH CHÍNH Đ ị n h lí 2.10 Cho M Ỷ tó m ộ t m odu le xoắn hữu h ạn sin h m ộ t vàn h với sơ'm ủ có p h â n tích tiêu chuẩn exp(.ì/) = p'[‘ • ■■ K h i tồn d u y n h ấ t d ã y s ố nguyên dương