cơ sở lý thuyết mô đun và vành

Trong khi đ ó , sách và các tài liệu về một số ngành của Toán học chưa được biên soạn ở trong nưừc, mà nguồn tài liệu nhập từ nưừc ngoài vào l ạ i hiếm hoi hơn trưừc... Định lí trù mật v

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI

ITS NGUYỄN TIẾN QUANG - TS NGUYEN DUY THUẬN

Cơ SỞ LÝ THUYẾT MÔĐUN VÀ VÀNH

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC - 2001

„5 1 - 8 2 / 4 0 0 - 0 1 Mã số: DTT03B[

G Õ - O I

L Ờ I NÔI Đ Ầ U Trong những năm gần đây nhu cầu học h ỏ i của sinh viên Khoa Toán, các thầy giáo dạy Toán và nhiều n g ư ờ i k h á c quan tâm đến Toán học, ngày càng gia tăng, nhằm nâng cao hiểu biết của

m ì n h Trong khi đ ó , sách và các tài liệu về một số ngành của Toán học chưa được biên soạn ở trong nưừc, mà nguồn tài liệu nhập từ nưừc ngoài vào l ạ i hiếm hoi hơn trưừc Sinh viên k h ô n g có tài liệu

tự đọc m à chỉ học theo bài giảng của thầy ở lừp Đ i ề u đ ó gây nhiều khó khăn cho người học, đặc biệt là đ ố i vừi các sinh viên đ ạ i học

và các học viên hệ sau đ ạ i học N ó cũng hạn c h ế rất nhiều k h ả năng tự học và sáng tạo của sinh viên Vì lẽ đ ó , c h ú n g tôi mạnh dạn biên soạn cuốn sách này nhàm đáp ứng phần nào nguyện vọng học tập của nhiều bạn đọc

Cuốn sách này được biên soạn vừi mục đích làm m ộ t giáo trình thuộc chuyên ngành Đ ạ i số ở bậc Đ ạ i học và bậc Cao học

N ộ i dung của nó là những vấn đề cơ bản của lí thuyết vành

và m ô đ u n , một lí thuyết phong phú và phát triển mạnh m ẽ hiện nay N ó bao gồm bảy chương

C h ư ơ n g ì trình bày những khái niệm về m ô đ u n , m ô đ u n con, mỏđun thương, đồng cấu, tích trực tiếp, tổng trực tiếp, m ô đ u n tự

do, tích tenxơ

C h ư ơ n g l i dành cho các môđun con cốt y ế u , m ô đ u n con đ ố i cốt y ế u , m ô đ u n xạ ảnh và m ô đ u n nội xạ, bao n ộ i xạ, phủ xạ ảnh

Đ ó là những khái niệm quan trọnu của lí thuyết vành và m ô đ u n

C h ú n g đã g ó p phần thúc đẩy sự phát triển mạnh m ẽ của lí thuyết này

T ừ chương IU đến chương V I trình b à y những vấn đê cơ bản của những lừp vành và m ô đ u n quan trọng

C h ư ơ n g I U d à n h cho v à n h và m ô đ u n Noether, v à n h và

m ô đ u n A r t i n

C h ư ơ n g I V trình bày các khái niệm căn Jacobson và đế, hai

c ô n g cụ có nhiều hiệu lực trong việc nghiên cứu vành và m ô đ u n

C h ư ơ n g V dành cho vành nửa đơn, một lớp vành có cấu trúc đơn giản, gần với k h ô n g gian véctơ và đóng một vai trò quan trọng trong sự phân tích của nhiều lớp vành khác Định lí trù mật và các định lí về cấu trúc của vành đơn và nửa đơn bước đầu giúp các bạn hiểu sâu hơn m ộ t chút về lí thuyết vành

C h ư ơ n g V I trình b à y v à n h địa p h ư ơ n g v à v à n h nửa địa

p h ư ơ n g Lớp vành này có vai trò quan trọng k h ô n g nhờng trong bản thân lí thuyết vành mà còn có ứng dụng trong một số ngành toán học k h á c

C h ư ơ n g V U trình bày sơ lược vê một số vành thường gặp

n h ư v à n h c h í n h quy, vành n g u y ê n thủy, vành nửa n g u y ê n thủy,

v à n h n g u y ê n tố, vành nửa nguyên tố

C h ú n g tôi coi trọng việc trình bày đơn giản, dễ hiểu Sau

m ộ t mục hoặc m ộ t chương có một số lượng bài tập đủ để bạn đọc củng cố nhờng điều đã thu lượm được

C á c tác g i ả chân thành cảm em Giáo sư Đ o à n Quỳnh, G i á o

sư tiến sĩ Hà Huy K h o á i , Tiến sĩ Bùi Huy H i ề n đã đọc kỹ bản thảo,

g ó p nhiều ý k i ế n q u í báu để hoàn thành cuốn sách này

C h ú n g tôi hy vọng ràng cuốn sách này có thể giúp ích cho

c á c bạn học viên Cao học, sinh viên ngành Toán, các thầy giáo dạy T o á n ở c á c trường Phổ t h ô n g và nhiều bạn đọc k h á c Tuy nhiên, dù cố gắng đ ế n mấy chắc cũng không tránh k h ỏ i thiếu sót Rất mong nhận được sự g ó p ý của bạn đọc, c h ú n g tôi xin chân thành cảm ơn

CÁC TÁC GIẢ

CHƯƠNG I

MÔĐUN

§0 NHẮC LẠI VỀ VÀNH

Vành R là một tập hợp cùng với hai phép toán, trong đ ó R

là n h ó m giao hoán với phép toán cộng và là nửa n h ó m v ớ i p h é p toán nhàn; hơn nữa phép nhân phân phối đ ố i với p h é p cộng

x(y + z) = xy + xz (x + y)z = xz + yz

với mọi X, y, z E R

Phần tử trung hòa của phép cộng được kí hiệu bởi 0 (thường

gọi là phan tử không) Phần tử đơn vị nếu có của p h é p n h â n được

kí hiệu bởi Ì Nếu vành R có nhiều hơn một phần tử và có đem vị thì Ì * 0

Vành được gọi là giao hoán nếu phép nhân có tính chất giao

hoán

Vành con của vành R là tập con của R đ ồ n g thời là nửa

nhóm con đ ố i với phép nhân và là nhóm con đ ố i v ớ i p h é p cộng

N ế u f : R —» R' là một đồng cấu vành, ta kí hiệu

K e r f = Ịx e R Ị f ( x ) = 0}

và gọi là hạt nhân của đồng cấu vành f Hạt n h â n của đồng cấu

vành là một iđêan trong R Ngược l ạ i , m ỗ i iđêan của vành R được xem như hạt nhân của một đồng cấu vành f : R - » R' n à o đó Tập con ì của vành R là iđêan khi và chỉ khi n ó thỏa m ã n hai điều kiện

a - b e ì

ra <= ì, br 6 ì với m ọ i a, b <E ì và m ọ i r G R

N ế u ì là một iđêan của vành R thì n h ó m t h ư ơ n g R/I theo

p h é p toán cộng trở thành một vành với p h é p toán n h â n cảm sinh

§1 MÔĐUN - MÔĐUN CON

m l = m với m ọ i m, m' e M và m ọ i r, r' e R

N ế u O M , OR tương ứng là các phần tử trung hòa của M và R thì ta có thê dễ d à n g suy ra từ định nghĩa rằng

0Mr = 0M; mOR = O M

- ( m r ) = (-m)r = m ( - r ) , với m ọ i m G M và m ọ i r e R

T ừ nay về sau thay cho O M và OR ta sẽ viết đơn giản là 0 mà

phép nhân v ớ i vô hướng rm (r e R, m e M ) thỏa m ã n

r'(rm) = (r'r)m r(m + in') = rm + i m ' (r + r')m = rm + r'm

l m = m

với m ọ i m, m' e M và r, r' e R

Rõ ràng, nếu vành R giao h o á n thì c á c khái n i ệ m m ô đ u n phải và m ô đ u n trái trùng nhau và được gọi đơn giản là R - m ô đ u n

Đ ể thuận tiện ta sẽ nói m ô đ u n thay cho m ô đ u n p h ả i V ê kí hiệu, nếu M là một R - m ô đ u n phải (trái) ta k í h i ệ u M R ( R M ) để chỉ rõ vành cơ sở R khi cần thiết

1.2 Ví dụ

Ì P h é p nhân về bên phải trong vành R x á c định p h é p nhân với vô hướng của R lên n h ó m aben của R, thỏa m ã n c á c tiên đê của m ô đ u n B ở i vậy R là một R - m ô đ u n phải ( H i ể n n h i ê n rằng R

là một R - m ô đ u n trái v ớ i p h é p nhân bên trái trong R)

Ta nhắc l ạ i rằng các tự đồng cấu của n h ó m aben A lập thành

v à n h E n d ( A ) Trong trường hợp A là m ộ t R - m ô đ u n trái, p h é p nhân v ớ i v ô hướng hoàn toàn xác định m ộ t đ ồ n g cấu v à n h :

<p : R - » End(A)

r 1-» (p(r), v ớ i (p(r)a = ra

Hem nữa đồng cấu này biến đem vị ÌR t h à n h đơn vị i dA( i dA

kí hiệu cho đồng cấu đồng nhất của A )

Ngược l ạ i , đ ố i v ớ i m ấ i n h ó m aben A , m ấ i đồng cấu vành biến đơn vị thành đơn vị đều xác định m ộ t cấu trúc R - m ô đ u n trái

trên A với p h é p nhân với vô hướng cho bởi:

R X A - > A

(r, a) ^ (<p(r)(a)

1.4 Định nghĩa G i ả sử M là một R - m ô đ u n phải Tập con A của

M được g ọ i là môdun con của M nếu A là m ô đ u n trên R với phép

cộng và p h é p n h â n với vô hướng của M hạn chế trên A

1.5 B ổ đề Giả SÙM là một R-môđun phải Nếu A là tập con khác

rỗng của M thì các điêu kiện sau tương đương:

(a) A là môđun con trong M

(b) A là nhóm cơn cộng của môđun M và đối với mọi a e A,

mọi r e R ta có ar € A

(c) Với mọi a, b e A và mọi r, s e R ta có ar + bs g A

Chứng minh (Xem như bài tập) []

1.6 Ví dụ

Ì M ỗ i m ô đ u n M đều có các môđun con tầm thường là 0 và

M M ô đ u n con A của M được g ọ i là thực 5tvnếu A * 0 và A * M

phải của vành R Tập hợp các phần tử mQa , trong đó a chạy khắp

ì, là m ộ t m ô đ u n con của M , kí hiệu bởi m0I

4 G i ả sử A , B là hai m ô đ u n con của một R - m ô đ u n M T h ế

thì A n B sẽ là m ộ t m ô đ u n con của M và

A + Ẽ = {a + b I a G A , b e B }

là một môđun con của M

Theo bổ đề 1.5 ta có thể chứng m i n h m ộ t c á c h d ễ d à n g

mệnh đề sau

1.7 Mệnh đề Giao của một họ bất kì những môđun con cửu

R-môđun M ỉa một môđun con của M

Ví d ụ 1) 2Z n 3Z = 6Z

2) n pZ = 0, với n là tập tất cả các số n g u y ê n tố

p e 11

1.8 Định nghĩa G i ả sử X là m ộ t tập con của R - m ô đ u n M

Môđun con bé nhất A chứa X được g ọ i là môãun con sinh bởi X

và X là một tập sinh hay hệ sình của A Trong trưạng hợp A = M

ta nói X là một hệ sinh của M và M được sinh bởi X N ế u M có

một hệ sinh hữu hạn ta nói ràng M là R - m ô đ u n hữu hạn sinh

M ệ n h đề sau cho thấy m ô đ u n con sinh bởi m ộ t phần tứ

chính là môđun con xiclic

1.9 Mệnh đề Giả sử Xỉa tập con của R-môđun M Các mệnh đê

sau là rương đương:

(a) A là môđun von sinh bởi rập X

(b) A = { ^ x rx I x e X , rxe R Ị , trong đó rx = 0 hàu hết trừ

một số hữu hạn

Chứng minh Hiển nhiên tập tất cả các phần tử của M có

dạng ^ x rx, rxe R , x e X là m ô đ u n con của M v à chứa X , M ặ t

khác, m ọ i m ô đ u n con của M chứa X đều chứa các phần tử dạng

£ xrx V ậ y tập tất cả các phần tử dạng £ xrx là m ô đ u n con bé nhất

chứa X •

1.10 Ví d ụ Z-mô.đun Q các số hữu tỉ k h ô n g c ó hệ sinh hữu hạn

Thật vậy, g i ả sử X = { a i , a2, a„} là một hệ sinh hữu hạn

của Q K h i đ ó - ai có thể biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn:

là m ô đ u n con của M chứa s = u A j M ặ t k h á c , m ỗ i m ô đ u n con

chứa s cũng chứa A B ở i vậy, 'A là m ô đ u n con b é nhất chứa s,

h a y A = ^ A i •

I

Đ ơ n giản hơn, có thể xem mệnh đề 1:12 n h ư m ộ t hệ quả của

mệnh đ ề Ì 9

1.13 Định nghĩa M ô đ u n con A của m ô đ u n M được g ọ i là tối dại

nếu A & M và n ó k h ô n g chứa trong m ộ t m ô đ u n con thực sự nào

của M

1.14 Định lí Trong môđun hữu hạn sinh mỗi môđun con thực sự

được chứa trong một môđun con tối đại

Đ ể chứng minh định lí này c h ú n g ta cần tụi bổ đề Zorn B ổ

đ ề này còn được sử dụng trong hàng loạt chứng minh về sau

1.15 B ổ đê Zorn Cho A là tập sắp thứ tự Nếu ruổi tập con sắp

thứ tự hoàn toàn trong A có cận trên trong A thì A có phân tử tối

là k h á c rỗng Hơn nữa, r là sắp thứ tự theo quan hệ bao h à m Đ ể

á p dụng bổ đ ề Zorn ta cần chỉ ra m ỗ i tập con sắp thứ tự hoàn toàn

L của r có cận trên trong r Đ ặ t

c = u B , B Ễ L

Khi đó A cz c Giả thiết rằng c = M T h ế thì { m i , ms } c c,

do đ ó tồn t ạ i m ô đ u n con B Ẽ L sao cho { ư i | , ms} e B, nghĩa là

B = M , trái v ụ i g i ả thiết về r V ậ y ta phải có c e r

Theo b ổ đề Zorn trong r tồn t ạ i phần tử t ố i đ ạ i D Ta chứng

tỏ D là m ô đ u n con t ố i đ ạ i trong M Thật vậy, nếu N là m ô đ u n con

của M sao cho

D c N c M , N ^ M

thì N e r, và do tính tối đại của D trong r ta có N = D •

1.16 H ệ quả Mỗi môđun hữu hạn sinh M Ít {0} đêu chứa mỏđun

con (ối đại

Chứng minh Trong chứng minh trên ta đ ặ t A = { 0 } •

1.17 Mệnh đề (Luật m ô đ u l a ) Nếu B, c, D là những môđun con

xạ Sau đó ta có thể thử l ạ i các điều kiện của một R - m ô đ u n Đ i ề u này suy ra từ M là một R - m ô đ u n

B À I T Ậ P

1 Chứng tỏ rằng n h ó m aben A nhận cấu trúc Zm- m ô đ u n nếu và chự nếu ìĩiA = 0

2 G i ả sử A là R - m ô đ u n phải và B là n h ó m aben Chứng tỏ ràng tập các đồng cấu nhóm H o mz( A , B) có cấu trúc R - m ô đ u n phải

3 M ô đ u n MR gọi là đơn nếu M * 0 và chí có hai m ô đ u n con là 0

và M Chứng minh rằng M là đơn khi và chự khi mR = M với m ọ i

Ì) M có môđun con K tối đại với tính chất N c K và a Ễ K 2) Nếu M = aR + N thì M có môđun con tối đại K với tính chất N c K v à a i K

6 Chứng minh rằng trong môđun Qz các số hữu tỉ không có

môđun con tối đại

7 Cho A là iđêan của vành R Chứng tỏ ràng A là iđêan phái tối

đại khi và chỉ khi nó là iđêan trái tối đại

§2 ĐỒNG CÂU MÔĐUN

2.1 Định nghĩa Cho hai môđun MR, NR Một đồng cấu R-môdun

hay một ánh xạ tuyến tính f : M —> N là một ánh xạ f thỏa mãn

các điều kiện

f(x + y) = f(x) + f(y) f(xr) = f(x)r

đối với mọi X, y 6 M , r e R Nếu N = M thì f được gọi là một tự

đòng cấu của M

Một đồng cấu R-môđun còn được gọi đơn giản là một đòng

cấu nếu không cần thiết phải chí rõ vành cơ sở

Dễ thấy f : M —> N là đồng cấu môđun khi và chi khi

f(xr + ys) = f(x)r + f(y)s với mọi X, y € M , mọi r, s G R

Tập hợp tất cả các đồng cấu tự MR đến NR được kí hiệu bởi HorriR (M, N), hay đơn giản là Hom ( M , N) Tập hợp này là nhóm aben với phép cộng các đồng cấu

K e r f = Ị x e M I f ( x ) = 0} = ĩ'(0)

và gọi I m f là ảnh của f, còn Kerf là hạt nhân của f

2.2 Mệnh đề Cho đông cấu môđunỊ: M —» N và u,v tương ứng

là môãun con của M , N Khi đó:

ì) f(Ư) lã môđun con của N

2)f~'(V) = {xeM / f ( x ) e V} là môđun con của M

Đặc biệt, ỉm/ và Kerf là những môãun con tương ứng của N, M

thuộc V T ừ đ ó suy ra

f(a)r + f(b)s e V => f(ar + bs) G V

Bởi vậy, ar + bs e r ' ( V ) •

2.3 Mệnh đề Gia sử/ : X —> Y là một đòng cấu R-môđun Hai

tính chất sau đây tương đương:

(ú) Ị ỉa một đơn cấu

(b) f giản ước được bên trái, nghĩa là mọi đẳng thức

ftp/ =/(p2 đêu kéo theo Ọ/ = ip 2 , trong đó Ọ / , q>2 là những đòng

Chứng minh (a) => (b) Vì f(pi = ftp2 nên ftpi(x) = fq>2(x) với

m ọ i X <= M Nhung f là đơn cấu nên Ọi(x) = (P2M với m ọ i X e M ,

tức là (pi =

(p2-(b) => (a) G i ả sử f ( x ) = f(x') K h i đó f(x - x') = 0 G ọ i M là

m ô đ u n xiclic (x - x')R cùng với phép nhúng chính tắc

(Pi : M = (x - x')R - > X , còn Ọ: là đồng cấu 0 : M —> X , biến m ọ i phần tử của M thành

phần tử 0 trong X K h i đó dễ thấy ftpi = f(p2- Do giả thiết ta có

cpi = Ọ2- Đ i ề u này chứng tỏ

Ọ i ( x - x ' ) = X - x ' = 0, nghĩa là f đơn cấu •

2.4 Mệnh đề Giả sử Ị : X —> Y là một đòng cấu R-mỏđun Hai

tính chút sau là tươiìí> dương:

(a) f là một toàn câu

(b) f gián ước được bên phái, nghĩa là mọi đẳng thức

\ị)/f - \\i?f liêu kéo theo \ựi - \ự2, trong dó Vị//, \ự2 là những dòng

cấu từ Y tới một R-môãun bất kì N

Chứng minh (a) (b) Vì f toàn cấu nên với m ọ i y G Y

đều tồn tại X e X sao cho f(x) = y Do đó

W\(y) = Vifltx) = V 2 f ( x ) = \|/2(y),

2.5 B ổ đề Giả sử ty : A —> B là một đòng cấu R-môđun và u, V

Ị) ọ đơn cấu <^> Kenp = 0

2) cp"'(íp(U)) = u + Kercp

3) <p(cp~'(V)) = V n Imq>

Chứng minh Ì) Chứng minh dễ dàng

2) Trước hết ta chứng minh

<p"'((p(U)) <= u + Kenp

G i ả sử a 6 (p '((p(U)) K h i đó (p(a) € (f>(U), do đ ó tồn tại u € u

sao cho (p(u) = (p(a) T ừ đó

3) Dành cho độc giả xem như bài tập •

T ừ bổ đề này trực tiếp suy ra rằng nếu u là môđun con cểa

A và cp : A —> B là đơn cấu thì u = (p~'((p(U)), nghĩa là m ỗ i m ô đ u n

con cểa A biểu diễn được dưới dạng ọ ' ( V ) M ặ t khác, nếu V là

m ô đ u n con cểa B và (Ọ : A —> B là toàn cấu thì V = cp(cp ' ( V ) ) ,

nghĩa là m ô đ u n con V cểa B được biểu diễn dưới dạng (p(U)

Bây g i ờ chúng ta xem xét một sự kiện quan trọng là sự phân

cấu Hơn nữa ọ ' lù toàn cấu khi và chỉ khi (p toàn cấu

Chứng minh Xét tương ứng:

cp' : A/Kercp —> B, a + Kenp !-»(p(a)

cp' là ánh xạ Thật vậy, nếu a + Kercp = à' + Kenp thì

a' = a + u, u e Kenp Bởi vậy,

(ọ\a' + Kenp) = cp(a') = (p(a + u)

= cp(a) + (p(u) = (p(a) = ọ'(a + Kenp)

R õ ràng ọ ' là đồng cấu Hơn nữa có thể thử l ạ i ràng (p' là đơn cấu

Do (p' đơn cấu và do Imcp' = Imcp ta suy ra được ọ ' là toàn cấu khi

và chớ khi (p toàn cấu K h i đó cp' là đẳng cấu •

2.7 H ệ quả Nếu (p : A —> B là một đồng cấu R-môđun thì rương

trong đó p ỉa phép chiếu chính tắc, ì là phép nhúng chính tắc

Chứng minh R õ ràng (p chính là ọ ' nói trong định lý 2.6 v ớ i

m i ề n giá trị hạn c h ế trên Imcp •

2.8 Định lí (định lí thứ nhất về đẳng cấu) Nếu B, c là hai môđun

2.10 Định lí Già sử (Ọ : A - > B là đòng cấu môđun và a : A —» c

/ờ toàn cấu, ngoài ra K e m e Kenp Ả'/;/ í/ớ rò/? tại đò/ĩiỊ cấu

X : c —> B sao r/ỉo/

ọ = A a,

f/'/j ImẰ, = I i n ọ ,

f//7j À í/o'/ỉ cấu o Kera = Ker(p

Chứng minh (ì) Đẳng cấu (p = A,.a có nghĩa là biêu đ ồ sau

giao hoán

A — ^ B

C

Do a toàn cấu nên với mỗi phần tử X e c tồn tại phần tử

a e A sao cho a(a) = X Bây giờ ta chứng minh rằng tương ứng:

(p(a - à') = 0 hay (p(a) = (p(a') = A.(x)

D ễ thử l ạ i ràng À là đồng cấu thỏa m ã n (i) và ( i i )

Ta chứng minh (iii) Đầu tiên giả sử X là đơn cấu Do g i ả

thiết Kercc cz Kenp nên ta chi cần chứng tỏ Kercp d K e m là đủ

G i ả s ử a e Kenp K h i đó

0 = (p(a) = Ằ a(a) a(a) = 0, a e K e r a

Bây g i ờ giả sử Kera = Kenp K h i đó từ Ằ.(x) = 0 và X = a(a) suy ra:

2.11 Định nghĩa G i ả sử (p : A —> B là đồng cấu R - m ô đ u n K h i

đ ó ta đặt

Cokenp = B/Irrup (đọc là đối hạt nhân của ọ ) ,

Coimcp = A / K e r ọ (đọc là đối ảnh của (p)

N h ư vậy, Coim(p - I m ọ (do hệ quả 2.7)

bày trong định lí sau

2.12 Định lí ỉ ) Trong biếu đò các đòng cấu môđun:

Kenp — j - > B

D nếu cpiị/ = 0 thì tồn tại đòng cấu duy nhất l ị / ' ' D —> Kercp sao cho

Vị/ = / V ị / ' , với i là phép nhúng chính tác

2) Trong biếu dò các đòng cấu môđun:

nếu pcp = 0 thì tòn tại đòng cấu duy nhất ọ' : Cokenp —> c sao

cho ọ = p'.p, với p là phép chiếu chính tắc

Chứng minh ị) Từ (Ọ\ụ = 0 suy ra \m\ịi c Kercp Bởi vậy ta

u M> V|/(u) = VỊ/(u)

Rõ ràng Vịí = và nếu có xụ" : D —> Kercp sao cho Vị/ = i.\ụ"

thì đo i đơn ánh nên lị/' = xụ"

2) Dành cho độc g i ả xem như bài tập •

2.13 Định nghĩa (dãy khớp) M ộ t d ã y (hữu hạn hoặc v ô hạn)

những đồng cấu R - m ô đ u n

a (í

- > A - » B - > C - >

được gọi là khớp tại B nếu I m a = Kerp D ã y được g ọ i là khớp nếu

nó khớp tại m ọ i môđun khác v ớ i hai đầu (nếu có) của dãy

D ã y khớp dạng

a lì

0 - > A - > B - > C ^ 0 (*)

được gọi là dãy khớp ngổn

2.14 Mệnh đề Cho đòng cấu R-môđun a : A —> B Khi đó

3) Dãy 0^>A-+B-^0là khớp nếu a đẳng cấu

ngắn (*) a là đen cấu còn p toàn cấu

BÀI T Ậ P

1 Cho m ô đ u n M R Chứng minh các đ i ề u sau t ư ơ n g đ ư ơ n g :

(a) M là m ô đ u n đơn

(a) M ọ i đồng cấu khác k h ô n g M —> N là đơn cấu

(c) m ọ i đồng cấu khác k h ô n g N —> M là toàn cấu

2 G i ả sử f : M —> N là một toàn cấu R - m ô đ u n và K là môđun

con của M Chứng minh rằng:

1) N ế u K n Ker f = 0 thì f ]K : K - > N là đơn cấu

2) N ế u K + Ker f = M thì f|K : K - > N là toàn cấu

1) a là đơn cấu và y là toàn cấu

2) a là toàn cấu và y là đơn cấu

5 Giả thiết rằng R là vành giao hoán, A và B là hai R - m ô đ u n Đ ố i

với đồng cấu R - m ô đ u n (p : A —> B ta xác định

(ậr)(a) = <p(ar), Va e A , V ĩ e R

Chứng tỏ ràng khi đ ó H o mR( A , B) trở thành R - m ô đ u n Hơn nữa, k ế t luận này k h ô n g đ ú n g trong trường hợp R k h ô n g giao hoán

§ 3 TÍCH T R Ự C T I Ế P - T O N G T R Ự C T I Ế P

Trong lí thuyết m ô đ u n một mặt ta n g h i ê n cứu m ô đ u n đã cho

nhờ sự phân tích nó thành những m ô đ u n đơn giản hơn; mặt khác

ta hướng tới việc xây dựng những m ô đ u n m ớ i từ những m ô đ u n đã

cho Theo hướng thứ hai, những cấu trúc đặc biệt có ý nghĩa là

tính trực tiếp và tổng trực tiếp

3.1 Định nghĩa (Tích trực tiếp) Cho m ộ t họ những R - m ô đ u n

( A i I i G ì) K h i đó tích Đ ề các n A i = {(aj) ị i e ì, ai e A i } cùng

với phép cộng và phép nhân với vô hướng theo thành phần:

( a o + (bi) = (ai + bi)

(aj)r = (aji-)

là một R - m ô đ u n , gọi là tích trực tiếp của h ọ ( A j I i € ì)

Trường hởp Ai = A với m ọ i i e ì ta kí hiệu

n A , = A1

Ì

P h é p chiếu Pj : r i A ị —» A j là m ộ t R - đ ồ n g cấu v ớ i V j e ì

3.2 Định lí (Tính chất phổ dụng) Giả sử B là R-môđun cùng với

các đồm* cấu Pj : B —» A j Khi đó tòn tại đòng cấu duy nhất

B : B —> TỈA, sao chơ các biếu đò sau giao hoán

môáun Khi đó tươnự ứng

f : TỈA, ->riB,

I I

cho bởi f((a,)) = (fi(aj)) là một đòng cấu, được kí hiệu bài O f , vờ

ì

được i>ọi là tích trực tiếp của họ các đông cấu (fj I i e ì)

Chứng minh D à n h cho độc giả như một bài tập •

3.4 Định nghĩa (Tổng trực tiếp) Cho ( A j I i e ì) là một họ những

R - m ô đ u n M ô đ u n con của n A í gồm tất cả những phần tử (ai) mà

ai = 0 hầu hết, trừ m ộ t số hữu hạn chí số i e ì, được gọi là tốní>

trực tiếp (hay tổng trực tiếp ngoài) của họ ( A i I i 6 ì) và kí hiớu

3.5 Định lí (Tính chất phố dụng) Giở sử B là R-môđun cùng với

các đông cấu a, ' Aj —> B Khi đó tôn tại đòng câu duy nhất

_ M j

© A i - > A j

a \ i/oCj , V j e ì

B

Chứng minh Đồng cấu a : @Ai - > B được cho bởi

cho bởi f((aO) = (fi(aj)) là một đồng cấu, được kí hiệu bài ©fị vờ

được gọi là tổní> trực tiếp của họ các đòníỊ cấu (f| I i € ì)

3.7 Định nghĩa Môđun A R được gọi là tổng trực tiếp troiiiỊ của

một họ các môđun con ( A j I i e ì) nếu các điều kiện sau được thỏa

3 8 B ổ đ ề Môđun A R là tổng trực tiếp trong của một họ cúc

môãun con ( A j I i e ì) nếu và chỉ nếu mỗi phân tủa e A biêu diễn

a = ai, + a,2 + + ai n , a,j e A M , ij e ì

Chứng minh Do điều kiện 1) của định nghĩa 3.7 c ó một tập

hữu hạn ĩ € ì sao cho phần tỗ a viết được dưới dạng

a = ]T ai G i ả sỗ còn có tập hữu hạn I " e ì sao cho a = £ C j

3 j - C j = ] T ( a j - C j ) , i e J

i * j

Do điều kiện 2) ta suy ra aj - Cj = 0, hay aj = Cj Điều này xảy ra

v ớ i mọi j E J Đ ó là điều phải chứng minh

Ngược l ạ i dễ thấy sự biểu diễn duy nhất của m ỗ i phần tử

a 6 A dưới dạng £ a j , a, e A i , dẫn tới các điều kiện 1) và 2)

T ừ bổ đề 3.8 suy ra ngay các hệ quả sau

3.9 H ệ quả Giả sử A là tổn tị của những môđun con Ai,

A = 2^ A i Khi đó A là tổng trực tiếp trong nêu và chỉ nêu từ

i

a i , + a i 2 + + ai n = 0, a,j e Ajj

suy ra ã, ỉ = 0 , Ì < j < n

3.10 H ệ q u ả Môâun A là tổng trực tiếp trong của họ các môâun

©Ai - > A , (ai) £ a i

là đang câu

3.11 Chú ý Do hệ quả 3.10, từ nay về sau thay cho tổng trực tiếp

trong ta chỉ nói đơn giản là tổng trực tiếp cùng với ký hiệu © A i

Sự phân biệt tổng trực tiếp ngoài hay tống trực tiếp trong được hiểu theo từng tình huống cụ thể

3.12 Định nghĩa M ô đ u n con B của A được gọi là hạng tử trực

tiếp trong A nếu có môđun con c của A sao cho A = B © c

Môđun A * 0 được gọi là không phân tích được nếu 0 và A

là những hạng tử trực tiếp duy nhất trong A

3.13 Ví dụ 1) Giả sử V = VK là không gian véctơ trên trường K

và {ai Ị i e 1} là một cơ sở của nó Khi đó hiển nhiên

V = 0 3 i K

I

2) Trong Zz mọi môđun con đều có dạng mZ, m G N Với

m * 0, in * Ì thì mZ không là hạng tử trực tiếp Thật vậy, nếu

z = mZ © nZ thì mn e mZ PlnZ = 0 => ri = 0 => mZ = z

=> m = Ì, trái với giả thiết Vậy môđun Zz không phàn tích được

3.14 Định nghĩa Đơn cỗu a : A —» B của các R-môđun được gọi

là ché ra nếu Ima là hạng tử trực tiếp trong B Toàn cỗu

p : B - » c được gọi là ché ru nếu Ker(3 là hạng tử trực tiếp của B 3.15 Mệnh đề Ì) ĐÒM> cấu môđun a : A —> B là dơn cấu chẻ ra

khi và chỉ khi tồn tại đòng cấu p : B —> A sao cho (3a = i dA (ta nói a có nghịch đào trái) Khi đó B = Ima © Kerp

2) ĐỒM* cấu p : B —> c là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tòn lại đòng cấu Y : c —> B sao cho Py = i dc (ta nói p có nghịch dào phái) Khi đó B = Kerị3 0 Imy

Chứng minh 1 ) Giả sử a : A —» B là đơn cỗu chẻ ra Khi đó

B = Ima © B| Do mỗi phần tử b e B viết được duy nhỗt dưới dạng

a(a) + bi , ã € A, bi e B i ,

và do a là đẳng cỗu giữa A và Ima nên tương ứng

p : B -> A , a(a) + bi h-> a

là một đồng cỗu Rõ ràng Pa = i dA

Ngược l ạ i , giả sử tồn tại đồng cỗu p : B —> A sao cho

Pa = i dA Khi đó a là đơn cỗu Lỗy b e B tuy ý Thế thì

p(b - ap(b)) = 0, nghĩa là b - a(3(b) = bi e Kerp Vậy

B = Ima + Kerp

Để chứng minh Ima n KerP = 0 ta lấy a là phần tứ thuộc

giao Thế thì tồn tại X e A sao cho a(x) = a và

0 = (3(a) = Ị3(a(x)) = X => a = 0

Vậy B ='Ima © Kerị3

2) Nếu p : B —> c là toàn cấu chẻ ra thì B = Kerp © B|

Khi đó cái hạn chế Pi của p trên Bi là đẳng cấu:

(3, = P I H , : B , : C ,

Gọi ụ : Bi —» B là phép nhúng chính tắc ta được

y = ( J p : c - » B, thớa mãn (3y =

'de-Ngược lại, nếu tồn tại đồng cấu y : c —> B sao cho P Y = idc

thì y đơn cấu và p toàn cấu Áp dụng mệnh đề 1) ta được

B = Kerị3 © I my, nghĩa là p là toàn cấu chẻ ra •

3.16 Định nghĩa Dãy khớp ngắn

ù lì

O ^ A ^ B ^ C ^ O (*)

được gọi là chẻ ra nếu [ma = KerP là hạng tử trực tiếp của B

Đối với dãy khớp ngán chẻ ra ta có

3.17 Mệnh đề Đối với dãy khớp ngắn (*) các phát biếu sau

tư(/iií> dưưiìí>:

ịa) Dãv khớp Iiạấn ị*) chẻ ra

(b) a lờ đơn cấu che' ra

(c) p là toàn cấu chẻ rơ

Khi đó B = Ima © Imy - A © C, trong đó y : c -> B là

nghịch dao phai của p

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ định nghĩa và từ mệnh đê

1) 0 -> Hom(M, A) -> Hom(M, B) -> Hom(M, C)

2) 0 - » Hom(C, M) -> Hom(B, M) -> Hom(A, M)

a* = H o m ( a , id M) (tương tự với p , , P*J

Chứng minh Ì) Trước hết ta chứng minh a đơn cấu Ta có

Kera , = {u : M - » A I a u = 0}

Do a đơn cấu nên u = 0 V ậ y Kerou= 0

Bây g i ờ ta chứng minh Ima »= Kerp,

p , a , = H o m ( i dM, P ) H o m ( i dM, a )

= Hom(id|vi, Pa) = H o m ( i dM, 0) = 0

Bởi vậy I m a , c: Kei|3,

Bây g i ờ lấy u G K e i ị ỉ , , khi đó u : M —> B và Pu = 0

Theo định lí 2.10, u được phân tích qua oe, tức là tồn tại

V : M —> A sao cho u = av, nghĩa là u e I m a , Bởi vậy

KeiỊ3»c I m a

2) Kerp* = {u : c - > M I u(3 = 0 }

Do p toàn cấu nên u = 0 V ậ y (3 đơn cấu

B â y g i ờ ta chứng minh ImỊ3 = Kera* Ta có a o p = 0

(cũng như trên) nên

Imp* d Kera*

Lấy u € K e m * , u : B - » M và ù a = 0

Lại theo định lí 2.10, u được phân tích qua p, tức là tồn tại

V : c ->• M sao cho u = vp, nghĩa là u G Imp* Bởi vậy

2) 0 -> Hom(C, M) -> Hom(B, M) -> Hom(A, M) - > 0

Chứng minh 1) Theo 3.17 và 3.15 t o à n cấu p có m ộ t

nghịch đảo phải Ỵ : c —> B sao cho PY = i dc K h i đó

H o m ( i dM, P).Hom(idM, y) = H o m ( i dM, idc) = i dHo m ( M c )

-Từ đó H o m ( i dM, p) = p* là toàn cấu Bởi vậy dãy (1) là khớp

Hơn nữa theo 3.15, p* là toàn cấu chẻ ra và do đ ó dãy 1) là

2 T ự đồng cấu p : M —> M được g ọ i là lũy đảng nếu pp = p

Chứng minh ràng môđun con A của M là hạng tử trực tiếp nếu và

chỉ nếu tồn tại một đồng cấu lũy đẳng p sao cho p ( M ) = A K h i

đ ó

(b) Tôn t ạ i đồng cấu p : B —> A sao cho a = a(3a

Ì) M2 = K © M2 nếu K = M ' v ớ i (p n à o đ ó thuộc End(M) 2) N ế u K = M ' đ ố i v ớ i tự đẳng cấu ọ e End(M) thì

M2 = M i © K

8 G i ả sử {Bị I i = Ì , 2, Ị là tập hợp n à o đ ó những m ô đ u n con

trong M , ngoài ra M = ^ B , Chứng minh rằng c á c điều sau đ â y

§4 MÔĐUN T ự DO

4.1 Định nghĩa G i ả sử u = {ai I i G 1} là m ộ t tập con của

R - m ô đ u n A Ta nói rằng u là độc lập tuyến tính nếu v ớ i m ọ i tập

con hữu hạn J c ì,

^ a i ĩ i = 0, Ti € R, i e J

suy ra ĩj = 0 v ớ i m ọ i i e J

4.2 Định nghĩa G i ả sử A là R - m ô đ u n , u là tập con của A Ta nói

u là cơ sơ của A nếu u là hệ sinh v à độc lập tuyến tính trong A

là R - m ô đ u n tự do v ớ i cơ sở u = {ei I i e ì } , trong đ ó

u được g ọ i là cơ sở chính tắc của R( l )

sinh, và đ ề u đẳng cấu v ớ i z

cơ sở thì cơ sở chỉ gồm Ì phần tử, nhưng hệ như vậy không thể

sinh ra Q

4.4 Mệnh đê R-môđun A là tự do với cư sở u khi và chỉ khi mỗi

phần tử của A viết được một cách duy nhất dưới dạng:

a = aii"i + a2r2 + + amr,n, ai e u , Tị e R

Chứng minh Dễ dàng suy ra từ định nghĩa •

4.5 Mệnh đề Các điêu sau tương đương:

(a) A là R-môđun tự do

(b) A = © / 4 / , Ai — R, ị e / , với tập chỉ số Ị nào đó

Chứng minh Trước hết ta thấy rằng (a) và (b) được thỏa

mãn với A = 0 (khi đó cơ sở A là tập rạng 0 và tập ì = 0).VÌ vậy

Ta khẳng định rằng A = 0 U j R Vì u là hệ sinh nên hiến

nhiên A = R Giả sử với Uj e u ta có

m ọ i h ệ t ử c ó m ặ t trong h ệ thức trên, nghĩa là

U j R n Ọ > R ) =

0-í * j

B ở i v ậ y theo nghĩa nghĩa 3.7 ta c ó A = © Ui R

(b) => (a) G i ả sử (Pi : R - A i là các đẳng cấu nói trong mệnh

đề Ta khẳng định rằng tập hợp {(Pi(l) I i e l } là m ộ t c ơ sở của A

Thật vậy, do

Ai = <Pi(R) = (pi(l)R nên

A = © A i = © ( p i ( l ) R

Đ i ề u n à y chứng t ỏ {(Pi(l) I i €1} là h ệ sinh của A

N ế u J c I, J hổu hạn v à Z(pi(l)xj = 0, X i e R thì theo h ệ

quả 3.9

(Pi(l)Xị = ( p j ( X j ) = 0 v ớ i V i 6 J

Do <PÌ đ ẳ n g cấu n ê n Xi = 0 v ớ i V i e ì V ậ y {(Pi(l) I i G i } là

độc lập tuyến tính v à do đ ó là c ơ sở của A •

4.6 Định lí (Tính chất phổ dụng) Cho F là R-môdun tự do với cơ

sở u = { e j I i € 1} và A là R-môđưn Khi dó mọi ánh xạ

í : u —> A đêu mở rộng một cách duy nhất thành một đòng cấu

= Xf(e' )x>= ( p ( Xe'xi )

-Điều này chứng tỏ (Ọ = Vị/

Định lí d ư ớ i đây chứng tỏ tính chất phổ dụng là m ộ t đặc trưng của m ô đ u n tự do

4.7 Đ ị n h lí Giả sử u là tập con của R-môđun F, hơn nữa u và F

có tính chất: mọi ánh xạ f từ u đến R-môđun bất kì Y đêu mở rộníỊ thành một đòng cấu duy nhất (p : F —> Y Khi đó F là tự do

Chứng minh Trước hết ta chứng minh u là hệ sinh G ọ i X

là m ô đ u n con của F sinh bởi tập u Khi đó đơn cấu chính tắc

i : u —> X m ở rộng thành đửng cấu duy nhất

g : F - > X Xét đơn cấu chính tắc h : X —> F K h i đ ó

(p = hg : F —> F

là m ở rộng của i Đ ử n g thời đửng cấu đửng nhất i dF : F —> F cũng

là một m ở rộng của i Bởi vậy hg = idp Đ i ề u này chứng tỏ h phải

Chứng minh G i ả sử M có tập sinh s = {ai I i e ì } Xét

môđun tự do R( l ) với cơ sở chính tắc u = {e, I i € ì } K h i đó ánh

xạ

ĩ : u - > M , ej h-» ai được m ở rộng thành toàn cấu g : Rl l ) - > M T ừ đ ó suy ra

4.9 Mệnh đề Nếu ọ : M - > F là toàn cấu và F là R-môđun tự do

thì (p là chẻ ra

Chứng minh G i ả sử u = {u, I i € 1} là một cơ sở cịa F Đ ố i

với mỗi Ui ta chọn 2L\ e M sao cho (p(aị) = Ui- K h i đ ó ta có đồng

không là aben tự do, tức là tồn tại những Z - m ô đ u n không tự do

Định lí dưới đây khẳng định rằng đ ố i với trường K thì m ọ i K

-môđun đều tự do

4.10 Định lí Mọi không gian véctơ trên trường K đêu có cơ SƯ

Chứng minh G i ả sử K là trường và V là k h ô n g gian véctơ

trên K G ọ i E là tập tất cả các tập con độc lập tuyến tính trong V