Dương Quốc Việt (Chủ biên) Lê Văn Đính - Đặng Đình Hanh - Đào Ngọc Minh Nguyễn Cơng Minh - Trương Thị Hồng Thanh - Phan Thị Thuỷ BÀI TẬP ■ Lí thijyết Module NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM DƯƠNG QUỐC VIỆT (Chủ biên) - LÊ VĂN ĐÍNH ĐẶNG ĐÌNH HANH - Đ À O NGỌC MINH -N G U Y Ễ N CỒNG MINH TRƯƠNG TRỊ HỔNG THANH - PHAN THỊ THUỶ BÀI TẬP LÍ THUYẾT MODULE ■ (Tái lần thứ nhất) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM Mã số: 01.01.09/95 - ĐH 2013 Mục lục Lời n ó i đ ầ u I Tóm tắ t lí th u y ết tập Đ ại c n g v ề m o d u le Module, module module th n g Tổng giao module c o n Đồng cấu định lí đồng cấu m o d u l e 11 11 14 17 T ích tr ự c tiế p , tổ n g trự c tiế p , d ã y k hớ p v g iớ i h n Tích tổng trực tiếp m o d u le Tổng trực tiếp Dãy k h p Giới hạn 23 23 27 29 32 M o d u le tự d o, m o d u le h ữ u h n sin h , m o d u le x ả n h m o d u le n ộ i xạ Module tự d o Module hữu hạn sinh vành giao hoán Module xạ ảnh module nội x 39 39 42 45 Đ ịa p h n g h ó a h n g m rộ n g c ủ a m o d u le Khái niệm địa phương h ó a Một sơ'tính chất địa phương h ó a Hạng mở rộng m o d u le 51 51 53 58 T ích te n x c ủ a m o d u le Xây dựng tích ten x 61 61 MỤC LỤC Một sơ' tính chất tích t e n x Tích tenxơ dãy khớp, module phẳng Tích tenxơ địa phương h ó a 64 66 68 M o d u le N o e th e r v m o d u le A r tin Module N o e t h e r Phân tích nguyên sơ module Noether Module Artin Module có độ dài hữu h n 71 71 74 81 83 N h ó m A b el h ữ u h n s in h v m o d u le tr ê n v n h c h ín h Nhóm Abel hữu hạn sinh Module vành c h í n h 87 87 92 II 97 H ướng dẫn giải Đ i cư n g v ề m o d u le Module, module module th n g Tổng giao module c o n Đồng cấu định lí đồng cấu m o d u l e } T íc h tr ự c t iế p , tổ n g tr ự c tiế p , d ã y k h p v g iớ i h n Tích tổng trực tiếp m o d u le Tổng trực tiếp Dãy k h p Giới h n 99 99 101 104 109 109 114 116 122 M o d u le tự d o, m o d u le h ữ u h n s in h , m o d u le x ả n h v m o d u le n ộ i xạ Module tự d o Module hữu hạn sinh vành giao h o n Module xạ ảnh module nội x 131 131 135 138 Đ ịa p h n g h ó a v h n g m r ộ n g c ủ a M o d u le Khái niệm địa phương h ó a Một số" tính chất địa phương h ó a Hạng mở rộng m o d u le 149 149 152 159 MỤC LỤC T ích te n x c ủ a m o d u le Xây dựng tích te n x Một sơ^ tính chất tích t e n x Tích tenxơ dãy khớp, modulephẳng Tích tenxơ địa phương h ó a 165 165 170 173 180 M od u le N o e th e r v m o d u le A rtin Module N o e t h e r Phân tích nguyên sơ module N o e t h e r Module Artin Module có độ dài hữu h n 183 183 188 196 198 N h ó m A b el h ữ u h n sin h v m o d u le tr ê n v n h c h ín h Nhóm Abel hữu hạn sinh Module vành c h í n h 203 203 206 T ài liê u th a m k h ả o 11 Lời n ói đầu Giáo trinh nhằm phục vụ trực tiếp cho việc g iả n g d y học tập môn Cơ sở lí thuyết module Sách gồm hai phần: Phần I tóm tắt lí thuyết đ ề tập tương ứng; Phần II lời giải Hệ thống tóm tắ t lí thuyết tập rút từ giáo trinh Cơ sở lí th u y ế t m o d u l e tác giả Dương Quốc Việt [8] Thông qua hệ thống tập này, bạn đọc có điều kiện hiểu său rộng thêm lí thuyết củng kĩ thuật đa dạng mà lời g iả i sách mang lại Cuốn sách hoàn thành nhóm g iả n g viên trẻ làm việc Bộ mơn Đại số, Khoa Tốn-Tin, Trường Đ ại học Sư p h m Hà Nội chủ tri tác giả Dương Quốc Việt Chúng tin đồng nghiệp bạn sinh viên thơng qua giảng dạy học tập đóng góp thêm lời g iả i khác cách nhin khác, làm phong phú thêm nội du n g sách C ác tá c g iả C h n g MODULE NOETHER VÁ MODULE ARTIN §4 MODULE CĨ ĐỘ DÀI HỮU HẠN 4.1 N module cực đại Aí Ỷ khơng có module p Ầí cho N p M, tức module thương MI N khác có hai module Theo định nghĩa, điều có nghĩa M / N module đơn 4.2 Vì M module N oether nên tập module thực M có phần tử cực đại Mi Theo Bài tập 4.1, M/ Mị module đơn Lại Mi module N oether nên tập module thực Mị có phần tử cực đại ầÍ , mà theo Bài tập 4.1, module thương M 1/M đơn Cứ tiếp tục vậy, ta xây dựng dãy module M nêu 4.3 Nếu M có độ dài hữu hạn /1-module Artin, theo Bài tập 3.2, A/ Ann{ M) vành Artin Ngược lại, A/ Ann{M) vành Artin vành Noether, Bài tập 1.1 Bài tập 3.2, M vừa module Noether, vừa module Artin A, tức M có độ dài hữu hạn 4.4 Ta biết ideal / c Ann(M) cấu trúc A-module y4//-module M nhau, nghĩa là, N /1-module M /l//-m o d u le M Từ suy dãy hỢp thành yl-module M dãy hỢp th àn h v4//-module M, £a {M) - Ểa/!{M) 4.5 Nếu n — từ dãy khốp > Mi > ta suy Mi = 0, ảó Ì a { M i ) = Còn n = dãy khóp > > A/2 > cho ta Mi ^ M2, Ia{M ) - Trường hỢp n = chứng minh ỏ Đ ịnh lí 4.6 Bây giò giả sử n ^ điều cần chứng minh với 7í - N hận xét dãy khớp > Mi M2 M —^ M„ - > M O D U L E C Ó D Ộ D À I H Ữ U H Ạ N 9 CÓ t h ể c ắ t t h n h h a i d ã y k h p s a u - ►Mi - > ẤÍ * M 2/ K e r /2 » 0, > Af2/Kei72 » > • ■■ * Mn » Bởi trường hỢp n = giả thiết quy nạp, ta có - Ì A Ì A h ) + / ( ^ / ) - ế.4(A/2/Ker/2) = , -f^(M 2/K er/2) + £ 4(^/3) - ■■• + Từ dễ dàng suy = = 4.6 Giả sử M = Mo D Mi D ■■■ D M„ = {0 ; dãy module A/ cho = A/ ! \ với ỉ\ ideal nguyên tô' A, / = l , , 'II (dãy tồn Định lí 2.17) Do M có độ dài hữu hạn nên Ass(M) = Supp(M) = { P i : , P „ } Hơn nữa, ideal đểu cực đại, dãy dãy hỢp thành M Với p e Ass(Af), kí hiệu np sô" số I e { , , n} cho p, = p Dễ thấy 77 = EpsAss(a/) Bây giò p e Ass(AỈ) ta có (M,^:/M,)p = ( A / P , ) p ^ ApJP,Ap, P r = P , P i ^ P Suy [0 Do f.Ap{Mp) = = ^Ap i4M) = n= Pt Ỷ p ' I i p nr^ PeAss{AỈ) P€Ass(A/) Như 20 C h o n g 6, m o d u l p : n o e t h e r v ả m o d u l k a r t i n 4.7 Vì S~KA vành N oether (theo Hệ 1.7) nên ta cần chứng tỏ ideal nguyên tô"của 5’ M đểu cực đại Bởi Định lí 2.3, Chương 4, ta có Spec(5~M) = IQ e Spec{A), Q n = 0} Giả sử Q ideal nguyên t ố A không giao với s Khi Q Q u PeAss(/i) Theo Định lí tránh nguyên tô', tồn p G Ass(/4) cho Q c p Do tính cực tiểu p ta suy Q = p Như Spec(5“M ) = { - ‘P I p e Ass(/Í)} Vì phần tử Ass(/1) cực tiểu nên chúng đơi khơag chứa nhau, ideal ngun tô' >S'"M cực đại Vậy vành Artin 4.8 Giả sử ^ = n ”=i phân tích vành Artin A thành tích trực tiếp vành Artin địa phương Ta chứng minh vành (sai khác đẳng cấu) xác định tởi A Thật vậy, kí hiệu : A —> ìằ phép chiếu lên thành phần thứ i A đặt Q, = K e r p , Ta thấy nr=i Q i , a„) e y4 I a, ^ 0} - 0- Gọi rti; ideal cực đại A, dặt Khi ideal nguyên tố A, th ế ló ideal cực đại Do m, linh vành A, (xem Hệ 1.9) nên ta có V Õ Ĩ = ] / p Ĩ ^ ) = Px = p Từ suy ọ , ideal nguyên sơ Như = Q ,là phân tích nguyên sơ thu gọn ideal A Lại ideal Mị cực đại nên thành phần nguyên sơ Q^ cô lập Vậy Qi xác định A, A, = A / Q i diy xác đinh A 201 MODULE CÓ DỘ DÀI HỬU HẠN 4.9 Giả sử A/ module có độ dài hữu hạn vành N oether Vì yA nn(M ) = rìpeAss(A) ^ (Mệnh để 2.22) A8a(/1) gồm ideal cực đại (xem Định lí 2.17) nên có ideal cực đại tTii, ,m„ A cho mi • rrinM = 0, Bởi Bài tập 4.4, với i = 1, , n, module thương ưii • ■• m,_j A'//mj ■• ■m, A/ l không gian vectơ trường y4/m, ỉ /'mi ■■ A/m, mi ■• ■ rrii ■■• m,7Ì/ = dim ,4/m, Do Ì a { M) =^ Ì a n M ^mj ■• • m,_i M V r r ii • • ■m 1= ,M \ n /rrii ■• •m,_i'N = J ] d im Aịm, 1=1 4.10 Cho M 4-module có độ dài hữu hạn s tập đóng nhân A Trước tiên giả sử A/ /4-module đơn Khi có ideal cực đại p A cho A'í = A/ p Ta có Supp(/V/) = {P } S - ^ M s S ~ \ A / P ) ^ S^^A/S-^P Dễ thấy s ~^p = p n Ỷ 0, ~ ' p ideal cực đại p n = Từ suy /V/ (nếu p n ^ 0), module đơn (nếu p n = 0) Như Ếs~ía{S~^M) ^ Ễ a { M ) , dấu xảy p n = với Supp(.'\/') = { P} Bây xét trường hợp tổng quát Giả sử M = A/„ D A/i D ■■ D M n = {0} dãy hỢp thành hí Theo ta có ,= \ , =1 Ta thấy dấu xảy p n s = ựì với p e Supp{Aĩ) Chương NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH VÀ MODƯLE TRÊN VÀNH CHÍNH §1 NHĨM ABEL HỦXl HẠN SINH 1.1 Kí hiệu ỉ đơn vị ảo ta có biểu diễn c = M© Mi, nhóm cộng c phân tích Cịn tính khơng phân tích Q chứng tỏ lòi giải Bài tập 2.3(ii), Chương 1.2 Xét nhóm Abel sơ' hữu tỉ Q Rõ ràng r(Q) = Tuy nhiên Q khơng phải nhóm Abel tự (xem lịi giải Bài tập 1.2, Chương 3) Do Hệ 1.9 khơng cịn bỏ giả thiết hữu hạn sinh 1.3 (i) Ta có N \ , { X e V') = {(.r,;y) e X = ẽ r I rn{x,ịj) = (0 ,0)} ^ I = {(.r y) e X © r I ,7: G — O/niy — y yv,„(v')} = Y„(A') © /Y,„(y) (ii) Đặt n = IA'| d = (m n) Bởi Định lí Lagrange định nghĩa Nm{X), với X e Nyn{X), ta có nx = rnx = dx = Nếu X nhóm cyclic iV,„(A') nhóm cyclic, ta suy A^m(A')| ^ d M ặt khác, a phần tử sinh X dễ thấy C h n g N H Ó M ABEL HỮU HẠN S I NH VÀ M O n U L E TRÊN’ VÀNH CH INH 204 |.V,„(.Y)| ^ d Vậy phần tử {n/d)a có cấp (ỉ {n/d)a € |/V ,„W | = r f= (m J A '|) 1.4 (i) Ta có m { X e y ) = { m { x , y) I {x y) € X ® Y e = -'{mx,niy) I = 777,X (I) X e V'} m Y (ii) Nếu X nhóm cyclic sinh a ĩii X nhóm cyclic sinh rna Dễ thấy phần tử rna có cấp \ x\ / {ni IA'l) Do J7lX X {m |X|)' 1.5 Giả sử X nhóm Abel A nhóm chia X Theo Bài tập 3.11, Chương 3, A Z-module nội xạ Từ suy dãy khớp Z-module A ^ X - > X / A - > chẻ ra, tức A hạng tử trực tiếp X Rõ ràng Q nhóm chia R Theo điều vừa chứng minh trên, Q hạng tử trực tiếp K Do M nhóm Abel phân tích 1.6 Để tiện trình bày, ta gọi biểu diễn số tự nhiên s dạng s — Si + ■■■+ Sk vối Si ^ ^ Sk ^ phân hoạch s Theo Hệ 1.14, sơ" kiểu nhóm Abel câp rn sơ phán tích m = ■■■ in, số í., > chia hết cho với i = 1, , n - (lưu ý tương ứng 1-1 phân tích dạng m dạng phân tích nói đến Hệ 1.14) Giả sử m = /i ■• ■ phân tích Do m = p'ĩ' ■■■ nên với í = 1, , n, ta viết — Pl Ps ■ với = n - 1, Nhớ m ^ tị ‘ tn v ằ ti chia hết cho ta suy ^ kjn > kj = kji + ' ' ' kjrì N H Ó M ABEL H ủ v HẠN SI NH với J = , Do ta bỏ tổng kji + ■■■+ k.jn sô' hạng thu phân hoạch kj Ngược lại, giả sử với J = 1, s, ta có phân hoạch kj kj = kji + ■■■+ kjn^ Đặt n = max{?ỉ^ I ^ J ^ s} kji = với n, + ^ ta lấy ^ ^ Khi ^ = n nhận sơ' ngun í, > 1, f, chia hết cho /,^ 1, phân tích m dạng 771 ^ íi ■■■í„ Như có tương ứng 1-1 phân tích dạng m với gồm s thành phần: thành phần thứ phân hoạch k ị , thành phần thứ s phân hoạch kg Số P(k]) ■■ P(ks) Từ lập luận ta suy số số kiểu nhóm Abel cấp 771 1.7 Giả sử A" nhóm Abel hữu hạn sinh có hạng r Khi có s ố nguyên dương í[ t„ cho A — © ■■ ■ G} ■ Bây xem X Z-module Tập phần tử không ước không z s = z \ { } Dễ thấy S~'Zi = với i = 1, , n Do ^ S ~‘Z’' s (S^^ZỴ = Q" Bởi Q’’ môt Q == 5'“ ^Z-module tư hạng ;■ nên theo định nghĩa, X Z-module hạng r 1.8 Ta có 150 = 2.3.5'^, có hai cách phân tích 150 = 150 = 5.30 Vậy có hai kiểu nhóm Abel cấp 150 với đại diện Zi 5n, Tương tự, có kiểu nhóm Abel cáp 360 với đại diện ^360- ^ © ^isn- ^ © ^120- © Zf,o, Zj2 ÍĨ; Z'2 z,í)iì kiểu nhóm Abel cấp 450 với đại diện ^450- ^3 íỉ) ^150- ^5 ^90, ^15 ^:in- Z3Q â 'Zi(i đ Z30, C h n g NHÓM ABEL H ữ u HẠN SIMM VÀMODUI.R TRÊN' V À \H CHÍNH §2 MODULE TRÊN VÀNH CHÍNH 2.1 Độc giả tự giải 2.2 Ta cần chứng m inh M nhóm M \à nhóm Abel tự hạng khơng vượt q /; Với ÌI = 0, điều cách hiên nhiên Giả sử V > điêu phải chứng minh cho Q ^ VI ^ n - Xét phép chiếu /; ; z cho (.Ci, 1-^ ri Vì p{M) nhóm z nên tồn sơ" ngun d cho p{M) =