Tính theo a khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD) và góc giữa đường thẳng SC với (ABCD).. Câu 4.[r]
(1)SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT HỒNG LĨNH
ĐÈ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 12 NĂM HỌC 2016 - 2017
MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút Câu (4,0 điểm)
y=x3− (a −1) x2+3 (2 a+1) x+1 |x1− x2|≤ 2√5 a) Tìm điều kiện tham số a để hàm
số đạt cực trị hai điểm x1, x2 thoả mãn
2 x3+x +(2 x −3 )√1− x>0 b) Giải bất phương trình Câu (2,0 điểm)
Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm: x+√4 − x2=m+x√4 − x2
Câu (2,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 2a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Biết đường thẳng AC vng góc với đường thẳng SD Tính theo a khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD) góc đường thẳng SC với (ABCD)
Câu (2,0 điểm)
ab+a+b=3 Cho hai số thực dương a, b thoả mãn Tìm giá trị lớn biểu thức
P= 3 a
b+1+
3 b
a+1+
ab a+b−(a
2 +b2)
_ Hết _
- Thí sinh không sử dụng tài liệu. - Giám thị khơng giải thích thêm.
(2)Câu Đáp án Điểm
1.a
y '=3 x2− (a −1) x+3 (2 a+1 ) Ta có
⇔ Hàm số có cực trị y’ = có nghiệm phân biệt a>4
a<0
⇔ Δ>0 ⇔¿ (*)
1,0
|x1− x2|≤ 2√5⇔(x1+x2) 2− x
1x2≤ 20 ⇔ (a −1)2− (2 a+1)≤ 20 4<a ≤5
−1 ≤ a<0 ¿
⇔− 1≤ a ≤5 Kết hợp điều kiện (*) ta được: 1,0
1.b
x ≤ 1 ĐK: ⇔2 x3
+x >2(√1− x)3+√1 − x Phương trình (1) (2) y=f (t)=2t3
+t f ' (t )=6 t2+1>0 ,∀ t ∈ R Xét hàm số , ta có: ⇒ Hàm số y = f(t) đồng biến R
1,0
⇔ f (x )>f(√1 − x)⇔√1− x< x⇔{ x ≥ 0
x2+x −1>0 ⇒ x >
− 1+√5 (2)
x ≤ 1 − 1+√5
2 <x ≤1 Kết hợp với điều kiện , suy BPT có nghiệm là:
1,0
2
−2 ≤ x ≤2 Điều kiện:
t=x+√4 − x2 [−2 ;2] Đặt Xem t hàm số x, xét hàm số t :
t '=1− x
√4 − x2=
√4 − x2− x
√4 − x2 t '=0⇔ x=√2 ,
[−2 ; 2] Bảng biến thiên t :
−2 ≤t ≤2√2 Điều kiện ẩn t là: (Thí sinh phải trình bày cách
tìm điều kiện t, điều kiện sai khơng tính điểm)
1,0
x -2 2 t’ +
-t
-2
2 2
(3)t2=4 +2 x√4 − x2 x√4 − x2=t −4 − 2t
+t +2=m Þ PT trở thành
f (t)=−1
2t
+t+2 [−2 ;2√2] Xét hàm số tập
f ' (t)=− t+1 f ' (t)=0⇔ t=1 ,
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên f(t), phương trình ban đầu có nghiệm
−2 ≤ m≤5
2 t∈[− 2;2√2] f (t)=m Û phương trình có nghiệm Û
1,0
3
⇒SH⊥(ABCD) SH=a√3 H trung điểm AB ,
d(C , (SAD))=d(B , (SAD))=a√3 1,0
AC⊥ (SHD) AC⊥ HD ⇒ ∠AHD =∠DAC ⇒ ⇒AH
AD= AD CD
⇒ AD=a√2 ⇒CH=a√3 , Hai tam giác ADH DCA đồng dạng
(Thí sinh phải trình bày cách tính CH) α ⇒α=450 Gọi góc SC (ABCD)
1,0
4
2
2
2 2
3
3
1 1
a b ab a b
a b ab ab
P a b a b ab
b a a b a b ab a b
-
- -
3
t a b Þ ab - t
2
2
2 3
3
3
t t t t
P t t
t t t
- -
- -
⇒ Đặt t<3
và
2
1 12
2
4 t t t
-
2 2
0
3
4 12
4
t
a b t
t ab t
t t
- Þ Þ
-
Ta
có:
1,0
t -2 f’(t) +
(4)-2≤ t <3 Do đó: 12
( )
f t t t
t
-
2≤ t <3 ⇒ f ' (t )=− 2t +1−12
t2 <0 Xét hàm số với
¿ f(t)≤ f(2)=6 ,∀ t ∈¿ Hàm số y = f(t) nghịch biến
2 ⇒ P ≤32 Vậy MaxP = a = b = 1.
1,0