b) Xác ñịnh m ñể trên ñồâ thị (C m ) có một cặp ñiểm ñối xứng nhau qua gốc tọa ñộ.. Bài 11: Tìm trên ñồ thị hai ñiểm phân biệt ñối xứng với nhau qua trục tung:.[r]
(1)TÂM, ðIỂM & TRỤC ðỐI XỨNG A LÝ THUYẾT
I HÀM SỐ LẺ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1 ðịnh nghĩa: Hàm số y= f x( )ñược gọi hàm số lẻ K nếu: + x∀ ∈K thì x− ∈K (có nghĩa K đối xứng qua 0)
+ (f − = −x) f x( ) ∀ ∈x K
• Tính chất: Nếu y= f x( )là hàm số lẻ đồ thị hàm sốy= f x( )đối xứng qua góc toạ độ O(0;0) hay đồ thị hàm số y= f x( )nhận O(0;0) làm tâm ñối xứng
2 Các toán liên quan
Bài tốn 1: CMR đồ thị hàm số y= f x( ) nhận ñiểm I(a;b) làm tâm ñối xứng • Phương pháp 1: ðồ thị hàm số y= f x( )nhận ñiểm I(a;b) làm tâm ñối xứng
⇔ 2b− f(2a−x) ( ) =f x ∀ ∈x D • Phương pháp 2:
Bước 1: Tịnh tiến hệ toạ ñộ Oxy theo OI =( ; )a b
thành hệ toạ ñộ IXY, với phép biến ñổi toạ ñộ: x X a
y Y b = +
= +
Bước 2: Viết phương trình hàm số y= f x( )trong hệ toạ ñộ IXY:
( ) ( )
Y+ =b f X + ⇔ =a Y F X Bước 3: CM hàm số Y=F(X) hàm số lẻ
Bước 4: Kết luận: Vậy ñồ thị hàm số y= f x( ) nhận ñiểm I(a;b) tâm ñối xứng Chú ý: - ðồ thị hàm số y=ax3+bx2+ +cx d a( ≠0)nhận ñiểm uốn làm tâm ñối xứng
- ðồ thị hàm số:y ax b cx d + =
+ ,
2
ax bx c y
px q
+ + =
+ nhận giao ñiểm ñường tiệm cận làm
tâm đối xứng
Bài tốn 2: Tìm điều kiện tham số ñể ñồ thị hàm số y= f x( ) nhận ñiểm I(a;b) tâm ñối xứng • Phương pháp:
Bước 1: Tịnh tiến hệ toạ ñộ Oxy theo OI =( ; )a b
thành hệ toạ ñộ IXY, với phép biến ñổi toạ ñộ: x X a
y Y b = +
= +
Bước 2: Viết phương trình hàm số y= f x( )trong hệ toạ ñộ IXY:
( ) ( )
(2)Bước 3: ðồ thị hàm số nhận ñiểm I(a;b) làm tâm ñối xứng ⇔ Y=F(X) hàm số lẻ ⇒ tham số Bài tốn 3: Tìm ñiểm A, B thuộc ñồ thị hàm số y= f x( ) đối xứng qua điểm I(a;b)
• Phương pháp:
Bước 1: Lấy ñiểm (A xA; (f xA)), (B xB; (f xB))thuộc ñồ thị hàm số Bước 2: Hai ñiểm A, B ñối xứng qua I(a;b)
( ) ( )
A B
A B
x x a f x f x b
+ =
⇔
+ =
⇒ toạ ñộ A B
Bước 3: Kết luận
Bài tốn 4: Tìm đường cong đối xứng với (C): y= f x( ) qua điểm I(a;b) • Phương pháp:
Bước 1: Gọi (H) ñường cong ñối xứng với (C): y= f x( ) qua ñiểm I(a;b)
Bước 2: Khi đó, với M(x;y)∈(H) ∃M’(x’;y’)∈(C) đối xứng với M qua I(a;b) ' ( ')
' (*)
' y f x x x a y y b
=
⇔ + =
+ =
Bước 3: Khử x’, y’ từ HPT (*) , ta ñược phương trình ñường cong (H)
II HÀM SỐ CHẲN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1 ðịnh nghĩa: Hàm số y= f x( )ñược gọi hàm số chẳn K nếu: + x∀ ∈Kthì x− ∈K (có nghĩa K đối xứng qua 0)
+ (f − =x) f x( ) ∀ ∈x K
• Tính chất: Nếu y= f x( )là hàm số chẳn đồ thị hàm sốy= f x( ) ñối xứng qua trục Oy hay ñồ thị hàm số y= f x( )nhận trục Oy làm trục đối xứng
2 Các tốn liên quan
Bài tốn 1: CMR đồ thị hàm số y= f x( ) nhận ñường thẳng x=a làm trục ñối xứng • Phương pháp 1: ðồ thị hàm số y= f x( )nhận ñường thẳng x=alàm trục ñối xứng
⇔ f a( +x)= f a( −x) ∀ ∈x D • Phương pháp 2:
Bước 1: Tịnh tiến hệ toạ ñộ Oxy theo OI =( ;0)a
thành hệ toạ ñộ IXY, với phép biến ñổi toạ ñộ: x X a
y Y = +
=
(3)( ) ( ) Y = f X + ⇔ =a Y F X Bước 3: CM hàm số Y=F(X) hàm số chẳn
Bước 4: Kết luận: Vậy ñồ thị hàm số y= f x( ) nhận ñường thẳng x=a trục ñối xứng Chú ý: - ðồ thị hàm số y=ax4+bx2+c a ( ≠0) hàm số chẳn nên nhận trục Oy làm trục ñối xứng
- ðồ thị hàm số: y=ax2+ +bx c a ( ≠0) nhận ñường thẳng
2 b x
a
= − làm trục ñối xứng
Bài tốn 2: Tìm điều kiện tham số để ñồ thị hàm số y= f x( ) nhận ñường thẳng x=a trục đối xứng
• Phương pháp:
Bước 1: Tịnh tiến hệ toạ ñộ Oxy theo OI =( ;0)a
thành hệ toạ ñộ IXY, với phép biến ñổi toạ ñộ:
x X a y Y
= +
=
Bước 2: Viết phương trình hàm số y= f x( )trong hệ toạ ñộ IXY:
( ) ( )
Y = f X + ⇔ =a Y F X
Bước 3: ðồ thị hàm số nhận ñt x=a làm trục ñối xứng ⇔ Y=F(X) hàm số chẳm ⇒ tham số
Bài tốn 3: CMR đường thẳng (d):y=ax+b trục đối xứng ñồ thị (C) hàm số y= f x( ) • Phương pháp:
Bước 1: Gọi (∆) ⊥ (d): y=ax+b⇒ phường trình (∆): y 1x m a
= − +
Bước 2: Giả sử (∆) cắt (C) ñiểm A, B Khi hồnh độ A, B nghiệm phương trình:
1 1
( ) ( ) 0
f x x m f x x m
a a
= − + ⇔ + − =
Sử dụng hệ thức Viet ta tìm được:
.
A B
A B
x x
x x
+
Bước 3: Gọi I trung ñiểm AB, ta có: 2
1
A B I
I I
x x
x
y x m
a
+
=
= − +
Thay toạ ñộ I vào (d)⇒ nhận xét I∈(d)
(4)Bài tốn 4: Tìm điểm A, B thuộc ñồ thị hàm số y= f x( )ñối xứng qua đường thẳng (d):y=ax+b • Phương pháp:
Bước 1: Tìm miền xác định D hàm số y= f x( )
Bước 2: Gọi (∆) ⊥ (d): y=ax+b⇒ phường trình (∆): y 1x m a
= − +
Bước 3: Giả sử (∆) cắt (C) điểm A, B Khi hồnh ñộ A, B nghiệm phương trình:
1 1
( ) ( ) 0
f x x m f x x m
a a
= − + ⇔ + − = (*)
ðể tồn A, B (*) phải có nghiệm phân biệt thuộc D ⇒ tham số
Sử dụng hệ thức Viet ta tìm được:
.
A B
A B
x x
x x
+
Bước 3: Gọi I trung ñiểm AB, ta có: 2
1
A B I
I I
x x
x
y x m
a
+
=
= − +
- Hai ñiểm A, B ñối xứng qua (d)⇔ I∈(d) ⇔ m - Thay m vào (*) ta hồnh độ A, B là: xA, xB Khi đó: A x( A; 1xA m)
a
− + B x( B; 1xB m)
a
− +
Bài tốn 5: Tìm đường cong đối xứng với (C):y= f x( )qua đường thẳng (d):y=a • Phương pháp:
Bước 1: Gọi (H) ñường cong ñối xứng với (C):y= f x( )qua ñường thẳng (d):y=a Bước 2: Khi đó, với M(x;y)∈(H) ∃M’(x’;y’)∈(C) đối xứng với M qua (d)
' ( ')
' (*)
' y f x x x y y a
=
⇔ =
+ =
Bước 3: Khử x’, y’ từ HPT (*) , ta phương trình đường cong (H)
B BÀI TẬP
Bài 1: Tìm tâm đối xứng đồ thị hàm số sau ñây: a y = 1
3x
- x2 – 3x -
3 b y =
3
1
2
3x x x
− + − −
Bài 2: Tìm tâm ñối xứng ñồ thị hàm số sau ñây: a y =
2 x
x −
+ b y =
2
1 x
x +
− c y =
1
2
x x −
(5)Bài 3: Tìm tâm đối xứng đồ thị hàm số sau ñây: a y =
2
2
2 x x
x
+ +
+ b y =
2 3 2 x x x − +
− c y =
2 15 x x x + + +
Bài 4: Tìm đồ thị hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa ñộ O
a.y=
8 x x
−
− b y =
2
1 x x
+
+ c y =
2 x x x − − −
Bài 5: Tìm m để đồ thị có hai ñiểm phân biệt ñối xứng với qua gốc tọa ñộ O
a y = 1 2
3x +mx − x− m−3 b y = x
3
- 3x2 + m c y=2x3− +(2 m x) 2+1 d y =x3 +mx2 +9x+4 e
2
2 2
2
x x m
y
x
+ + +
=
+ f
2 2
2
x m x m
y
x
+ +
=
+
Bài 6: Cho hàm số
1 2 − + + = x x x
y có đồ thị ( C).Tìm tất cặp ñiểm ñối xứng qua ñiểm ) ; ( I
Bài 7: Cho hàm số : y = 2 x x x − + +
Tìm hàm số y = f(x) ñối xứng với ñồ thị hàm số ñã cho qua ñiểm I(-2 ; 1) Bài 8: Cho hàm số y= x3 −3mx2 +3(m2 −1)x+1−m2có ñồ thị (Cm)
a) Khảo sát vẽ ñồ thị m =
b) Xác ñịnh m ñể ñồâ thị (Cm) có cặp ñiểm ñối xứng qua gốc tọa ñộ Bài 9: Cho hàm số ( )
1 y=x +ax +bx+c
Xác ñịnh a, b, c ñể ñồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng I(0;1) ñi qua ñiểm M(1;−1) Bài 10: Cho hàm số : y = 2x3 - 3x2 + 6x -
Tìm hàm số y = f(x) có đồ thị ñối xứng với ñồ thị hàm số ñã cho qua gốc tọa độ Bài 11: Tìm đồ thị hai ñiểm phân biệt ñối xứng với qua trục tung:
a y = 2x3 – 9x2 – 12x + b y = 3 11
3x x x
− + + −
Bài 12: Cho hàm số : y = 1 x x
− +
Chứng minh ñồ thị hàm số nhận ñường thẳng y = x + trục ñối xứng Bài 13: Tìm đồ thị hai điểm phân biệt đối xứng với qua ñường thẳng y = x
a y = 2 x x x + −
− b y =
2 x x x − + −
Bài 14: Cho hàm số: y =
1 x x+
(6)Bài 15: Cho hàm số
1 − =
x x
y có đồ thị ( C) Tìm hai ñiểm A, B ñối xứng qua ñt: y = x-1
Bài 16: Tìm đồ thị
2
4
− + − =
x x x
y hai ñiểm ñối xứng qua ñt y = x Bài 17: Cho hàm số y=2x3 −3(2m+1)x2 +6m(m+1)x+1có đồ thị (Cm)
Với giá trị m đồ thị có hai ñiểm ñối xứng qua ñường thẳng y = x + Bài 18: Cho hàm số
1
1 )
2 (
+
+ + − + =
x
m x m x
y
a) Tìm m để ñồ thị có hai ñiểm phân biệt A, B cho: 5xA-yA+3=0; 5xB-yB+3=0 b) Tìm m để đồ thị có hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua ñt: x +5y +9 =0 Bài 19: Cho hàm số y=2x3 −3(2m+1)x2 +6m(m+1)x+1có đồ thị (Cm)
Với giá trị m đồ thị có hai điểm ñối xứng qua ñường thẳng y = x + Bài 20: Cho y = x4 +(m + 3)x3 + 2(m +1)x2 Với giá trị m ñồ thị có trục ñối xứng Bài 21: Cho hàm số: y = x4 – 4x3 + 12x –
a. Tìm trục đối xứng (song song với Oy) đồ thị hàm số b. Tìm hồnh độ giao ñiểm ñồ thị với trục hoành Bài 22: Cho hàm số : y = x4 + 8x3 + 32x + 14
a. Tìm trục đối xứng (song song với Oy) đồ thị hàm số b. Tìm hồnh ñộ giao ñiểm ñồ thị với trục hoành Bài 23: Cho hàm số : y = x4 – 4x3 + 8x
a Tìm trục đối xứng (song song với Oy) ñồ thị hàm số b Xác định hồnh độ giao điểm đồ thị với ñường thẳng y = Bài 24: Cho hàm số
2
2 x x y
x
− +
=
− (C) d y1: = − +x m; d2: y= +x
Tìm tất giá trị m ñể (C)cắt (d1) ñiểm phân biệt A, B ñối xứng qua (d2) Bài 25: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + (1)
a) Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị hàm số (1)
b) Chứng minh ñường thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) ñều cắt ñồ thị của hàm số (1) ba ñiểm phân biệt I, A, B ñồng thời I trung ñiểm ñoạn thẳng AB