Chuyên đề đối xứng tâm đối xứng trục đối xứng đồ thị đối xứng và công thức chuyển trục

Chuyên đề đối xứng tâm đối xứng trục đối xứng đồ thị đối xứng và công thức chuyển trụcChuyên đề đối xứng tâm đối xứng trục đối xứng đồ thị đối xứng và công thức chuyển trục giúp các em nắm được các kiến thức cơ bản, các bài toàn thường gặp và cách giải các bài toán về đối xứng tâm đối xứng trục đối xứng đồ thị đối xứng và công thức chuyển trục.

CHUYÊN ĐỀ ĐỐI XỨNG TÂM ĐỐI XỨNG- TRỤC ĐỐI XỨNG- ĐỒ THỊ ĐỐI XỨNG VÀ CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC A KIẾN THỨC CƠ BẢN : Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) 1.Nếu f(x) hàm số chẵn : Đồ thị có đối xứng qua trục Oy - Có nghĩa ,trục Oy trục đối xứng Nếu f(x) hàm số lẻ : Đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Cho hai điểm A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  đường thẳng d : mx+ny+p=0 Nếu A B đối xứng qua đường thẳng d phải thỏa mãn hệ sau : k AB kd  1 y y ; voi:k AB   x2  x1 Trungdiêm I  d Cho điểm I( x0 ; y0 ) Nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương véc tơ OI công  x  x0  X  y  y0  y thức chuyển trục :  Khi phương trình đồ thị (C) hệ : Y=F(X;y0;x0) B GHI NHỚ : - Đối với đồ thị hàm phân thức , giao hai tiệm cận tâm đối xứng - Đối với hàm số bậc ba tọa độ điểm uốn tọa độ tâm đối xứng - Đối với hàm số trùng phương trục Oy trục đối xứng đồ thị hàm số C CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP I.CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CĨ TRỤC ĐỐI XỨNG CÁCH GIẢI Có hai cách * Cách - Giả sử trục đối xứng có phương trình : x  x0 Gọi điểm I  x0 ;0     x  x0  X y  Y OI - Chuyển  Oxy    IXY     - Viết phương trình đường cong (C) tọa độ : Y=F(X;x0;y0) (*) - Buộc cho (*) hàm số chẵn : ( Cho hệ số ẩn bậc lẻ ) - Giải hệ ẩn số bậc lẻ ta suy kết cần tìm * Cách Nếu với x  x0 trục đối xứng : f( x  x0 )  f  x0  x  với x , ta thu kết Ví dụ Cho hàm số y  x  x3  x  x   C  Chứng minh đường thẳng x=1 trục đối xứng đồ thị (C) ( Hoặc : Chứng minh đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình trục đối xứng ? ) GIẢI Trang - Giả sử đường thẳng x= x0 trục đối xứng đồ thị (C) Gọi I( x0 ;0)  x  x0  X y  Y   OI - Chuyển :  Oxy    IXY     - Phương trình (C) hệ tọa độ : Y   x  x0    x  x0    x  x0    x  x0   4 2  Y  X   x0   X   x0  x0  X   x0  x0  x0   X   x0  x0  x0  x0   - Để hàm số chẵn hệ số ẩn bậc lẻ số hạng tự không :  x0      x0  x0  x0    x0    x0  x0  x0  x0   Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , phương trình trục đối xứng : x=1 Ví dụ Tìm tham số m để đồ thị hàm số : y  x  x3  mx  Cm  có trục đối xứng song song với trục Oy GIẢI - Giả sử đường thẳng x= x0 trục đối xứng đồ thị (C) Gọi I( x0 ;0)    x  x0  X y  Y OI - Chuyển :  Oxy    IXY     - Phương trình (C) hệ tọa độ : Y  X   x0   X   x0  3x0  m  X   x0  12 x0  2mx0  X  x0  x0  mx0 4  x  1  - Để hàm số chẵn :    x  1  4 x0  120  2mx0  m   II Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng CÁCH GIẢI Ta có hai cách giải Cách - Giả sử đồ thị (C) có tâm đối xứng I  x0 ; y0     x  x0  X  y  y0  Y OI - Chuyển :  Oxy    IXY     - Viết phương trình (C) hệ tọa độ : Y=F(X;x0;y0) (*) - Buộc cho (*) hàm số lẻ : ( Cho hệ số ẩn bậc chẵn ) - Giải hệ ( với hệ số ẩn bậc chẵn ) ta suy kết Cách Nếu đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng : f ( x0  x)  f ( x0  x)  y0 với x Trang VÍ DỤ MINH HỌA x2 Ví dụ ( ĐH-QG-98) Cho (C) : y  x 1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Giả sử (C) có tâm đối xứng I I  x0 ; y0  - Phương trình (C) viết lại thành dạng : y  x   x 1  x  x0  X  y  y0  Y   OI - Chuyển :  Oxy    IXY     Y  y0   x0  X    - Phương trình (C) hệ :  x0  X    Y  X   x0   y0   X   x0  1  x0   y0   x0    I 1;   x0    y0  - Để hàm số lẻ :  Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(1;2) Ví dụ (ĐH-NNI-99) Cho hàm số y  x x 1 C  a Khảo sát vẽ đồ thị (C) b Chứng minh giao hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị (C) GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Hàm số viết lại : y   x 1 - Giả sử (C) có tâm đối xứng I  x0 ; y0     x  x0  X  y  y0  Y OI - Chuyển :  Oxy    IXY     Y  y0   - Phương trình (C) hệ :  x0  X    Y   y0   X   x0  1 Trang 1  y0   x0  1   I  1;1  x0    y0  - Để hàm số lẻ :  Nhận xét : Giao hai tiệm cận (-1;1) trùng với I Chứng tỏ giao hai tiệm cận tâm đối xứng (C) III Tìm tham số m để ( Cm ) : y=f(x;m) nhận điểm I( x0 ; y0 ) tâm đối xứng CÁCH GIẢI Nếu f(x;m) hàm số phân thức hữu tỷ : - Tìm tọa độ giao hai tiệm cận Giả sử giao hai tiệm cận J(a;b) a  x0 m b  y0 - Để I tâm đối xứng buộc J trùng với I ta suy hệ :  Nếu f(x;m) hàm số bậc ba  y ''( x; m)   x  a   J  a; b   y  f ( x; m) y  b - Tìm tọa độ điểm uốn :   a  x0 m b  y0 - Tương tự , đẻ I tâm đối xứng , ta cho J trùng vố I ta suy hệ :  Vídụ Tìm m để đồ thị hàm số y   x3  3mx  m  Cm ; m   nhận điểm I(1;0) tâm đối xứng GIẢI 6x 3x 6x  6mx  y ''    6m Cho y''=0    6m  0;  x  m  xu m m m m - Tính yu  y  xu ; m     3m.m4   2m5   U  m2 ; 2m5   m  m  1 m  - Để I tâm đối xứng : cho U trùng với I :     m  1  2m   m   Ta có : y '   - Vậy với m=-1 m=1 I(1;0) tâm đối xứng đồ thị Ví dụ (ĐH-Luật -99) x   m   x  2m  Cho hàm số y  x2  Cm  Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng GIẢI - Ta viết lại hàm số ; y  x  m  Chứng tỏ với m đồ thị ln có tiệm cận xiên x2 với phương trình : y=2x+m tiệm cận đứng : x=2 - Gọi J giao hai tiệm cận , J(2;m+4) Trang 2   m  3 m   - Để I làm tâm đối xứng ta buộc J trùng với I , nghĩa ta có hệ :  - Vậy với m=-3 I tâm đối xứng đồ thị Ví dụ 5.( ĐH-CĐ-2000) Cho hàm số y  x3  3x  3mx  3m   Cm  Tìm m để  Cm  nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng GIẢI - Tìm tọa độ điểm uốn : Ta có : y '  3x  x  3m;  y ''  x  y ''   x   ; x   xu Tính yu  y 1    3m  3m   6m  2;  U 1;6m   1  m0 6 m   - Để I tâm đối xứng :  - Vậy với m=0 , I tâm đối xứng đồ thị IV TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ Bài toán : Cho đồ thị (C) : y=f(x) , tìm đồ thị cặp điểm M,N đối xứng qua điểm A đường thẳng d: Ax+By+C=0 ( cho sẵn ) CÁCH GIẢI - Giả sử M  x0 ; y0   (C )  y0  f  x0  1 - Tìm tọa độ điểm N theo x0 , y0 cho N điểm đối xứng M qua A ( qua d ) Nên ta có : yN  f  xN    - Từ (1) (2) ta tìm tọa độ điểm M,N Ví dụ ( ĐH-GTVT-97) Cho hàm số y  x3  mx  x  Xác định m để đồ thị hàm số có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ O GIẢI Giả sử M  x0 ; y0  N  -x ;  y0  cặp điểm đối xứng qua O, nên ta có :  y0  x0  mx0  x0  1    y0   x0  mx0  x0     Lấy (1) cộng với (2)vế với vế ,ta có : mx02    3 Để (3) có nghiệm m