Phương pháp quy nạp toán học

Dãy số Cấp số cộng Cấp số nhân §2. §3. §4. CHƯƠNG III Dãy số Cấp số cộng Cấp số nhân §1. Phương pháp quy nạp Toán học Chương III DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC PHÉP QUY NẠP PHÉP SUY DiỄN PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN PHÉP SUY DiỄN PHÉP QUY NẠP “Quy nạp và suy diễn gắn chặt với nhau như phân tích và tổng hợp” PHÉP QUY NẠP LÀ GÌ ? Ph. Ăngghen “Quy nạp và suy diễn gắn chặt với nhau như phân tích và tổng hợp” (18201895) Hoạt động 1: Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai b) nN thì P(n) , Q (n) đúng hay sai P(n): “ >3n +1 ” và Q(n): “  n ” với nN Xét hai mệnh đề chứa biến: ? ? P(n) : “ 3n > 3n+1 ” Q(n) : “ 2n > n ” Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) : “ 3n > 3n+1 ” và Q(n) : “ 2n > n ” a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai? b. Với mọi nN thì P(n), Q(n) đúng hay sai? Trả lời: P(n) : “ 3n > 3n+1 ” Q(n): “ 2n > n ” b. Với mọi nN P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn là đúng hay sai. vì ta không thể kiểm tra hết với mọi nN 3 9 27 81 243 4 7 10 13 16 2 8 16 32 5 4 3 2 1 4 T Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ F Với n =1;2;3;4;5 P(n) Sai Với n =1;2;3;4;5 Q(n) Đúng Ghi nhận: Muốn chứng tỏ một kết luận là SAI, ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp sai là đủ Muốn chứng tỏ một kết luận là ĐÚNG, ta phải chứng minh nó đúng với mọi trường hợp Với nN thì việc làm phép thử với một số giá trị của n ( cho dù làm được với một số lượng lớn) cũng không thể coi đó là chứng minh. Do đó, Phương pháp quy nạp toán học là phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán dạng này §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1: Bước 2: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp). I. Phương pháp quy nạp Toán học: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Bước3 : Chứng minh rằng với nN thì : 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n2 (1) Giải: 1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 12 = 1 .Vậy (1) đúng. 2) Đặt VT = Sn. Giả sử với n = k  1 ta có: Sk = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k –1) = k2 (gt quy nạp) 3) Ta chứng minh (1)cũng đúng với n = k+1 : Ví dụ 1: II. Ví dụ áp dụng : Sk+1=1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + 2(k + 1) – 1 = (k +1)2 Thật vậy: Sk+1= Sk+ 2(k + 1) – 1 = k2 + 2k + 1 = ( k + 1)2 Vậy: (1) đúng với mọi nN. 1 1 + 3 = 1 + 3 + 5 = 1 + 3 + 5 + 7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 1 4 = 22 9 = 32 16 = 42 25 = 52 = 12 + 3 + 5 + 7 + 9 n +...+ (2n – 1) = n2 2 .2 1 .1 3 .3 4 .4 5 .5 .n Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN Chứng minh : 1 + 3 + 5 + 7+ … + (2n – 1) = n2 Chứng minh rằng với nN thì n3 – n chia hết cho 3. Giải : Đặt An = n3 – n (1) 1) Với n = 1, ta có : A1= 0 … 3 2) Giả sử với(1) đúng với n = k  1, ta có: Ak = (k3 – k) … 3 (giả thiết quy nạp) 3) Ta chứng minh Ak+1 ... 3 Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3 (k+1) = k3 +3k2 +3k +1 k 1 = (k3 k) +3(k2+k) = Ak+ 3(k2+k) Ak … 3 và 3(k2+k) ... 3 nên Ak+1 … 3 . Vậy: An = n3 – n chia hết cho 3 với mọi nN. Ví dụ 2: Ví dụ 2 Chứng minh rằng với mọi nN Nhóm 2: HOẠT ĐỘNG NHÓM CMR : Với mọi nN có un = 13n –1 6 … Nhóm 1: Hoạt động 2: HOẠT ĐỘNG NHÓM Thật vậy: CMR : Với mọi nN có un = 13n – 1 6 (2) … uk+1 = 13k+1– 1 = 13k .13 –1 = 13k.(12+1) – 1 = 12.13k +13k – 1 = 12.13k + uk Nhóm 1: Nhóm 2: Chứng minh rằng với mọi nN Lời giải: +) Với n = 1, ta có ,đẳng thức (1) đúng. +) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là (GTQN) Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh: Thật vậy: Vậy với mọi nN, ta có: Chú ý: Bài tập số 3 ( trang 82 – sgk Đại số Giải tích 11) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2, ta có các bất đẳng thức : a) 3n > 3n + 1 b) 2n+1 > 2n + 3 Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 2 Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  2 (giả thiết quy nạp) Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 . Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên ) thì : Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p . Ở bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  p (giả thiết quy nạp) Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 . Củng cố: Nắm vững các bước thực hiện một bài toán chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1 (hoặc n = p ). Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k  1 (hoặc với số tự nhiên bất kỳ n = k  p) (giả thiết quy nạp) Bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 . Cần chú ý vào giả thiết quy nạp và dựa vào yêu cầu của bài toán để kết luận. Dặn dò: 1 Làm lại các bài tập vừa tiếp thu tại lớp 2 Làm các bài tập 1 2 trang 82 SGK. 3 Xem bài : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”trang 83 SGK

§1 §2 §3 §4 §1 PHÉP QUY NẠP LÀ GÌ PHÉP SUY DiỄN PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN PHÉP QUY NẠP “Quy nạp suy diễn gắn chặt với phân tích tổng hợp” PHÉP SUY DiỄN  CÁI CHUNG  TỔNG QUÁT  CÁI RIÊNG  CỤ THỂ PHÉP QUY NẠP Ph Ăng-ghen (1820-1895) “Quy nạp suy diễn gắn chặt với phân tích tổng hợp” Hoạt động 1: Xét hai mệnh đề chứa biến: n n P(n): “ >3n +1 ” Q(n): “  n ” với nN* a) Với n = 1,2,3,4,5 P(n), Q(n) đúng hay sai P(n) : “ 3n > 3n+1 ” Q(n) : “ 2n > n ” b) nN* P(n) , Q (n) đúng hay sai Xét mệnh đề chứa biến P(n) : “ 3n > 3n+1 ” Q(n) : “ 2n > n ” a Với n = 1, 2, 3, 4, P(n), Q(n) hay sai? b Với nN* P(n), Q(n) hay sai? Trả lời: a P(n) : “ 3n > 3n+1 ” n 3n 27 81 243 Q(n): “ 2n > n ” n 2n F 2 10 T Đ 13 Đ 16 16 Đ 32 ? 3n+1      ? n      Đ Đ Đ Đ Đ Vớikhẳng n =1;2;3;4;5 n =1;2;3;4;5 b Với mọiVới nN* P(n) sai; Q(n) chưa thể định chắn Q(n)với Đúng P(n) hay sai Sai ta kiểm tra hết nN* Ghi nhận:  Muốn chứng tỏ một kết luận SAI, ta cần một trường hợp sai đủ  Muốn chứng tỏ một kết luận ĐÚNG, ta phải chứng minh với trường hợp  Với nN* việc làm phép thử với mợt số giá trị n ( cho dù làm với một số lượng lớn) khơng thể coi chứng minh Do đó, Phương pháp quy nạp tốn học phương pháp hữu hiệu để giải toán dạng §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC I Phương pháp quy nạp Toán học: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên n = k  (gọi giả thiết quy nạp) Bước3 : Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + II Ví dụ áp dụng : Ví dụ 1: Giải: Chứng minh với nN* : + + + + (2n – 1) = n2 (1) 1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 12 = Vậy (1) đúng 2) Đặt VT = Sn Giả sử với n = k  ta có: Sk = + + + + (2k –1) = k2 (gt quy nạp) 3) Ta chứng minh (1)cũng đúng với n = k+1 : Sk+1=1 + + + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1)2 Thật vậy: Sk+1= Sk+ [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + = ( k + 1)2 Vậy: (1) với nN* Chứng minh : + + + 7+ … + (2n – n 1).n = n2 Quan sát phần minh họa cho ví dụ 5.5 4.4 = 12 Mệnh đề phụ thuộc vào số tự +nhiên = nN* = 22 3.3 2.2 1.1 + + = = 32 + + + = 16 = 42 + + + + = 25 = 52 + + + + + + (2n – 1) = n2 … … … … Vídụ dụ2 2: Ví Chứng minh với nN* n3 – n chia hết cho Giải : Đặt An = n3 – n (1) 1) Với n = 1, ta có : A1= 2) Giả sử với(1) đúng với n = k  1, ta có: Ak = (k3 – k) (giả thiết quy nạp) 3) Ta chứng minh Ak+1 Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3- (k+1) = k3 +3k2 +3k +1- k -1 = (k3- k) +3(k2+k) = Ak+ 3(k2+k) Ak 3(k2+k) nên Ak+1 Vậy: An = n3 – n chia hết cho với nN* Hoạt động 2: HOẠT ĐỘNG NHĨM I Phương pháp quy nạp tốn học Để chứng minh mệnh đề với nN* ta thực theo bước sau: B1: Kiểm tra mệnh đề với n=1 B2: Giả sử mệnh đề với n = k  (Giả thiết qui nạp-GTQN) B3: Ta chứng minh mệnh đề với n=k+1 II Ví dụ áp dụng: HOẠT ĐỘNG NHĨM : Với nN* có un = 13n –1 … CMR Chứng minh với n N*     n  n( n  1) (1) … (2) Với n = ta có: (Mệnh đề (2) đúng) = 13 –1 =12 k Giả sử mệnh đề (2) với n = k ≥ 1, nghĩa là: k = 13 – Ta phải chứng minh (2) với n = k + 1, tức : Thật vậy: … u uk+1= 13k+1 – … u un = 13n – … CMR : Với nN* có uk+1 = 13k+1– = 13k 13 –1 Vậy với nN*, ta có uk un = 13n – … Vì : 12.13k … … = 13k.(12+1) – = 12.13k +13k – = 12.13k + uk (2) Chứng minh với n N* n(n  1)     n  (1) Lời giải: 1(1  1) VT(1)      VP(1) ,đẳng thức (1) đúng +) Với n = 1, ta có k (k  1)     k  +) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa (GTQN) Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức phải chứng minh: (k  1)[( k  1)  1]     k  ( k  1)  (2) Thật vậy: VT (2)  (1     k )  ( k  1) k (k  1) (k  1)  (k  1)  1   (k  1)   VP (2) 2 Vậy với mọi nN*, ta có: n(n  1)     n  (1) Chú ý: Bài tập số ( trang 82 – sgk Đại số & Giải tích 11) Chứng minh với mọi số tự nhiên n  2, ta có bất đẳng thức : a) 3n > 3n + b) 2n+1 > 2n + •Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = •Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên n = k  (giả thiết quy nạp) •Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1  Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p số tự nhiên ) : •Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p •Ở bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên n = k  p (giả thiết quy nạp) •Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1  Củng cố: Nắm vững bước thực hiện toán chứng minh phương pháp quy nạp tốn học •Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1 (hoặc n = p ) •Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k  (hoặc với số tự nhiên n = k  p) (giả thiết quy nạp) •Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 •Cần ý vào giả thiết quy nạp dựa vào yêu cầu toán để kết luận Dặn dò: 1/ Làm lại tập vừa tiếp thu tại lớp 2/ Làm tập 1& trang 82 SGK 3/ Xem : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”trang 83 SGK ... lượng lớn) coi chứng minh Do đó, Phương pháp quy nạp toán học phương pháp hữu hiệu để giải tốn dạng §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC I Phương pháp quy nạp Tốn học: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng... PHÉP QUY NẠP LÀ GÌ PHÉP SUY DiỄN PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN PHÉP QUY NẠP ? ?Quy nạp suy diễn gắn chặt với phân tích tổng hợp” PHÉP SUY DiỄN  CÁI CHUNG  TỔNG QUÁT  CÁI RIÊNG  CỤ THỂ PHÉP QUY NẠP Ph... HOẠT ĐỘNG NHĨM I Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề với nN* ta thực theo bước sau: B1: Kiểm tra mệnh đề với n=1 B2: Giả sử mệnh đề với n = k  (Giả thiết qui nạp- GTQN) B3: Ta