Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)đề thi học sinh giỏi Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài : (2đ)
Chứng minh đẳng thức sau:
P=(a+b+c)2 + (b+c-a)2(c+a-b)2(a+b-c)2= 4(a2+b2+c2)
Bài 2: (1,5đ) Chứng minh rằng:
a Nếu m số nguyên (2m+1)-1 chia hết cho 8; b Hiệu bình phơng hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 4; c Hiệu bình phơng hai số lẻ liên tiếp chia hết cho
Bài 3: (2đ)
Phân tích thành nhân tử: A=(x+y+z)3-x3-y3-z3
Bài 4: (2đ)
Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc sau: B = x2-2xy+2y2-4y+5
Bài 5: (2,5đ)
Cho hỡnh thang ABCD (BC//CD), đờng phân giác A❑ B❑ giao E, C❑ D❑ giao F
1 Chøng minh EF ®i qua trung ®iĨm cđa AB vµ CD
2 Nếu đờng phân giác gặp điểm hình thang ABCD C có gỉ đặc biệt
-Hết đề
thi -Đáp án đề Toán 1 Bài : (2đ)
Viết vế trái đẳng thức dới dạng:
[(b+c)+a]2 + [(b+c)-a)]2+[a+(b-c)]2+[(a-(b-c)]2 0,5®
Ta nhËn xÐt rằng:
(A+B)2+(A-B)2=2(A2+B2) 0,5đ
Ta có (áp dụng cặp tơng ứng):
P=2[(b+c)2+a2] + 2[a2+(b-c)2] 0,5đ
=4a2+2[(b+c)2+(b-c)2]
(2)=4(a2+b2+c2) (®pcm) 0,5đ
Bài 2: (1,5đ) a 0,5đ
Ta có:
(2m+1)2-1=(2m+1+1)(2m+1-1) 0,25đ
=4m(m+1)
m(m+1) hai số nguyên liên tiếp nên chắn có số ch½n Do vËy tÝch m(m+1) chia hÕt cho
VËy 4m(m+1) chia hÕt cho 0,25® b 0,5đ
Lấy số chẵn 2n số chẵn liền sau 2n+2 Hiệu:
(2n+2)2-(2n)2=4(n+2), chia hÕt cho 0,5®
c.0,5®
LÊy số lẻ 2n+1 số lẻ liền trớc lµ 2n-1 Ta xÐt hiƯu;
(2n+1)2- (2n-1)2
= [(2n+1)+ (2n-1)][ (2n+1)- (2n-1)] 0,25® = 8n, chia hÕt cho 0,25đ Bài 3: (2đ)
A=(x+y+z)3-x3-y3-z3
= [(x+y+z)3-x3] –(y3+z3)
0,5®
= (x+y+z-x)[( x+y+z)2 + (x+y+z)x+x2]- (y+z)( y2-yz+z2)
= (y+z)[( x+y+z)2 + (x+y+z)x+x2]- (y+z)( y2-yz+z2)
= (y+z)( x2+y2+z2 +2xy+2xz +2yz +x2+xy+xz+x2-y2+yz-z2) 0,5®
= (y+z)( 3x2+3xy+3xz +3yz)
= (y+z)( 3x2+3xy+3xz +3yz) 0,5®
= 3(y+z)[(x2+xy)+(xz +yz)]
= 3(y+z)[x(x+y)+z(x +y)]
= (x+y) (y+z)(x +z) 0,5đ Bài 4: (2®)
B = x2-2xy+2y2-4y+5
Tách số hạng ta đợc:
B = x2- 2xy+y2+y2- 4y +4 + 0,5®
= (x2- 2xy+y2)+(y2- 4y +4) + 1
= (x-y)2 + (y - 2)2 + 0,5®
Do (x-y)2 0 ; (y - 2)2 0
0,5đ
Nên B = (x-y)2 + (y - 2)2 + 1 1
Khi x = y v y = th× B=1à
VËy giá trị nhỏ B = x2-2xy+2y2-4y+5 0,5đ
Bài 5: (2,5đ) Vẽ hình 0.5 đ
P
B C
F E
Q
2
(3)Nếu E F trùng ta có đờng phân giác hình thang đồng quy, lúc PE+EF+FQ= AD+BC
2 , EF=0 nên PQ=
AD+BC (2)
Kết hợp với (1) (2) ta có: BC+AD
2 =
AD+BC
2 , nghÜa lµ
AB+CD=AD+BC
Vậy đờng phân giác hình thang đồng quy có tổng hai đáy tổng hai cạnh bên
-Hết đáp án -Không phải đáp án:
Đề thi có trang tự động cập nhật (tác giả khơng đa trực tiếp), có lỗi q trình biên soạn thầy (cơ) báo giúp trang
http://yuio.violet.vn
Cám ơn thầy (cô)! Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh
A M N D
1 0,5®
Giả sử đờng phân giác B❑ C❑ gặp AD M N Vì tứ giác ABCD hình thang cân nên A❑ + B❑ =2V
Mµ A❑
1 = A
❑
2 , B
❑
1 = B
❑
2 A
❑
2 nªn A
❑
2 + B
❑
1 =1V Từ suy BE AE Tơng tự ta có cf DF
Ta l¹i cã AMB❑ = B❑2 (slt) vµ B❑1 = B❑2 suy AMB❑ = B❑1 nªn
Δ MAB cân đỉnh A
Tơng tự Δ MDC cân đỉnh D
Từ suy AE DF trung tuyến tam giác tơng ứng, dẫn đến EF đờng trung bình hình thang BMNC
Suy EF//AD EF gặp AB CD P Q
ABM có EF//AM EB=EM nên PE đờng trung bình, suy PA=PB Tơng tự ta chứng minh đợc QC=QD
2 0,5đ
Từ chứng minh ta cã PQ = BC+AD
2 (1) , xÐt tam giác AEB vuông
ở E, EP trung tuyến thuộc cạnh huyền AB nên EP= AB
2 , t¬ng tù ta cã
FQ= CD
(4) http://yuio.violet.vn