[r]
(1)Phòng GD&ĐT Huyện Lục Ngạn
Trờng THCS Mü An §Ị thi chän häc sinh giái cÊp huyệnNăm học: 2010-2011 Môn :Toán - Lớp :
(Thời gian làm bài: 120 phút) Bài 1 (2đ):
Tìm nghiệm nguyên dơng x, y, z cho:
x
+ 1y +
z
=1
Bài 2 (1đ):
So sánh 23100 32100
Bài 3 (2đ):
Tìm số nguyên dơng nhỏ thoả mÃn điều kiện:Chia cho d 1,chia cho d 2,chia cho d vµ chia cho d
Bài 4 (2đ):
Cho tam giác AHM vuông H Kẻ phân giác MN ( NAH).VÏ tia AE MN t¹i E AE
cắt MH B
Tính SABM , SABH biết AM= p, AN= q
Bài 5 (1đ):
Tìm số tự nhiên n nhỏ cho số a= 28+211+2n số phơng
Bài 6 (2đ):
Tìm nghiệm nguyên phơng trình : x2 + y2 + z2 = x2y2.
Ngời đề Xác nhận hiệu trởng
Ngun Träng Kh¸i Ngun Anh Xu©n
híng dÉn chÊm thi Häc kú II
Môn: Toán Năm học:2010- 2011
Câu Đáp án Thang
điểm Bài
(2đ) Giả sử x y z > 1x + y
1
+
z
z
1
z
0< z3
+ Nªu z=
x
+1y =0 Không có giá trị x, y thoả m·n
(2)+ NÕu z =
x
+ 1y =
2
Cã x y
x
+ 1y 2y
2
2y 0< y 4 y= {1,2,3,4}
ã y=1
x
+ =
2
Kh«ng cã giá trị x thoả mÃn
ã y= th×
x + =
Không có giá trị x thoả mÃn
ã y=
x + =
x=6 (6,3,2) nghiệm ã y= th×
x + =
x=4 (4,4,2) lµ nghiƯm
+ NÕu z =
x
+ 1y =
3
Cã x y
x
+ 1y 2y
3
2y 0< y 3 y= {1,2,3 } • y=1 th×
x
+ =
3
Không có giá trị x thoả mÃn
ã y=
x + =
x=6 (6,2,3) nghiệm ã y= th×
x + =
x=3 (3, 3, 3) lµ nghiÖm VËy (x, y, z) = { (6,3,2) , ( 4, 4, 2), (3, 3, 3)}= (y, x, z) = (z, y,x)
(0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25đ) Bài
(1đ) Ta có (32 )2> (32 )100>
3100> 2100
100 100 100 100
3 2.2 2
2 2 4 3
VËy 3100 2100
2 3
(0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®)
Bài
(2đ) Ta có: a
1(mod 2) ; a2(mod3) ; a3(mod 4) ; a4(mod 5)
20a40(mod 60)
15a45(mod 60) 12a48(mod 60)
47a133(mod 60)13(mod 60)
47a=60t+13
60 13 13 13
47 47
t t
a t
Đặt 13 13 47 13
47 13 13
t k k
k t k
Đặt 13
13 8
k u u
u k u
Đặt
8 5
u v v
v u v
Đặt
5 3
v p p
p v p
Đặt
3 2
p q q
q p q
Đặt
2
q
l q l
(víi t,k,u,v,p,q,lZ+)
p=2l+l=3l v=3l+2l=5l u=5l+3l=8l
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®)
(3) k=8l+5l=13l t=3.13l-1+8l=47l-1 a=47l-1+13l=60l-1
Vì a số nguyên dơng nhỏ Chọn l=1 a=59
Đáp số:a=59 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Bài (2đ)
Ta có:AME BME BAH EA = EB; MA = MB = p
*AHB đồng dạng AEN ( g.g)
AE AH =
AN AB
AH = AE
AN AB = q AB 2
* AHB đồng dạng MEA (g.g)
EA BH =
AM AB
BH = AE
AM AB =
p AB
2
2
* Xét ABH vuông H AB2 = BH2+AH2
AB2 = 4p AB + 4q AB
AB2 =
2 2 2. q p q p
AH = 2
2. q p q p
; BH = 2
2. q p p q
* DiÖn tÝch ABM : S =
2
AH MB = 2
3. q p
q p
(®vdt)
* DiÖn tÝch ABH : S =
2
AH HB = 2 2 2
3 ) ( q p q p (®vdt) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25đ) (0,25đ) Bài
(1đ) + Nếu n = a =
8+211+28 = 29 (1+4) = 29 (lo¹i)
+ NÕu n< a = 28 ( + 2n-8) n = { 1,2 7} a kh«ng phải số
chính phơng
+ Nếu n > a =28 ( + 2n-8)
a số phơng ( + 2n-8) = p2 2n-8 = (p-3).(p+3)
Cã (p+3)-(p-3) =6 2n-8 lµ tÝch hai số có hiệu số phải
luỹ thừa p - =
p + = p = Víi p =5 2n-8 = 2.8 = 24 n - = n = 12
KL : n = 12
(0,25®) (0,25®)
(0,25®) (0,25®) Bài
(2đ) Vì x , y có vai trß nh ta cã:
VP = x2y2 = (xy)2
) (mod ) (mod
TH1:x chẵn ,y lẻ :Suy VP (mod 4)
Tõ (*) suy z lẻ
Đặt x = 2a, y = 2b+1 , z = 2c +1 (a,b,c thuéc Z)
Khi VT có dạng (4d +2) ,d Z
VT (mod 4)
V« lý
TH2:x lỴ ,y lỴ :Suy VP (mod 4) Từ (*) suy chẵn
Đặt x = 2a+1, y = 2b+1 , z = 2c (a,b,c thuéc Z)
Khi VT có dạng (4d +2) , d Z
VT (mod 4)
(4)TH3:x ch½n ,y ch½n : VP (mod 4)
Tõ (*) suy z chẵn Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c PT (*) 4a2 + 4b2 + 4c2 = 16a2b2
a2 + b2 + c2 = 4a2b2
Dễ dàng đợc a,b,c chẵn Đặt a = 2A, b = 2B, c= 2C PT (*) 4A2 +4B2 + 4C2 = 64A2B2
A2 + B2 + C2 = 16A2B2
Lập luận tơng tự nh trên,nếu( x0 , y0 , z0 ) nghiệm phơng trình (*) ; ;
2k 2k 2k
x y z
Z Z Z
, k N* Do : x0 = y0 = z0 =
Ngợc lại :( , 0, ) nghiệm phơng trình KL:PT cho có nghiệm ( , , )
(0,25®)
(0,25®) (0,25®)
Ngời đề Xác nhận hiệu trởng