Bài 4: 6 điểm Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, trên tia đối của tia CD lấy E sao cho CE=a.. b/ Gọi M là trung điểm của AB.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT TP BẮC GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2015-2016 Môn: Toán lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) H x 2y x2 y2 x 1 y 1 x y y 1 x y x 1 Cho biÓu thøc : a/ Rót gän H b/ T×m c¸c cÆp sè nguyên (x;y) cho gi¸ trÞ cña H = Bài 2: (4,5 điểm) 2 a/Tìm giá trị bé M= x y xy x 10 y 100 b/Cho x, y, z đôi khác và x+y+z=0 x y xz xy yz A xy yz zx 3xyz Tính giá trị biểu thức Bài 3: (4,5 điểm) a/Cho a, b là số hữu tỉ thoả mãn a b2 ( ab 2 ) 4 a b Chứng minh ab+2 viết dạng bình phương biểu thức hữu tỉ 2 b/ Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn xz=y2 và x z 99 7 y Bài 4: (6 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a, trên tia đối tia CD lấy E cho CE=a Gọi N là trung điểm BE, từ B vẽ BH vuông góc với DN ( H DN ) a/ Chứng minh AHC 90 b/ Gọi M là trung điểm AB Chứng minh tam giác DMN vuông cân 4 4 c/ Tính HA HB HC HD theo a y Bài 5: (1 điểm) Tìm các số tự nhiên x,y thõa mãn x x 3 Họ tên thí sinh SBD: (2) HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN LỚP Bài Bài a 2,5đ Nội Dung H Điểm 4đ x y2 x2 y2 x 1 y x y y x y x x y x y x ( x 1) y y 1 x 1 y 1 x y x y x 1 y 1 x ( x 1) y y 1 x 1 y 1 x y = x y x 1 x y y 1 x ( x 1) y y 1 x 1 y 1 x y = x y x 1 x ( x 1) x y y 1 y y 1 x 1 y 1 x y = x x 1 y 1 ( y 1) y y 1 ( x 1)( x 1) x 1 y 1 x y = x 1 y 1 ( x y x xy y ) x 1 y 1 x y = x y x 1 xy( x y) x y x y x y x 1 y 1 xy x y x 1 y 1 x y x 1 y 1 x y = = b/ 1,5đ 0,5 0,5 = xy x y 0,5 0,5 Vậy H= xy x y với x y; x 1; y 1 xy x y 6 x 1 y 1 5 H=6 5x x 1; 5 -Nếu x 1 x 2 y 2 y 1 loai vì y 1 0,75 -Nếu x x 0 y y thỏa mãn -Nếu x 5 x 6 y 1 y 0 thỏa mãn 0,25 0,25 -Nếu x x y y thỏa mãn KL nghiệm Bài a/ 2,5đ 0,5 0,25 4,5 đ 2 Ta có M= x y xy x 10 y 100 2 2M= x 10 y 12 xy x 20 y 200 x 2 x y y ( y y 16) 180 = 2x y 2 = ( y 4) 180 180 2x y 2 vì 1,0 0; y 0 Dấu “=” có x y 0 và y 0 x=5 và y=4 M 90 Dấu “=” có x=5 và y=4 1.0 0.5 (3) b/ 2,0đ Vây M bé M=90 x=5 và y=4 x y xz xy yz xy ( x y ) z ( x y ) ( x y ) xy z Ta có Vì x+y+z=0 z x y z xz yz Vậy x y xz xy yz ( x y ) xy z z ( x y ) xy xz yz z x y x( y z ) z ( y z) ( x y)( y z)( x z ) = Vì x+y+z=0 nên ta có Ta có xy xyz xy (2 y z ) xy ( y x x y z ) xy ( y x) Tương tự ta có 2yz2+xyz=yz(z y) và 2zx2+xyz=zx(x-z) Vây 2xy2 +xyz+2yz2+xyz+2zx2+xyz=xy(y-x)+ yz(z y) + zx(x-z) = xy(y-x)+ yz(z y) + zx(x-z) y x z y = xy(y-x)+ yz(z y) zx = xy(y x)+ yz(z y) zx(y-x) zc(z y) =(y x)(y z)(x z)= (x y)(y z)(x z) x y y z x z x y y z x z Vậy M= Bài a/ 2đ 0,75 0,5 0,5 0,25 4,5 đ a b2 ( ab 4 ab 2 ) 4 a b 2ab a b a b Đặt a+b=s và ab=p Ta có ( p 2) s2 p 4 s ps ( p 2) 4s s2 s s2 ( p 2) p 0 s p 0,7 0 s p 0 p s ab a b Vị a, b là số hữu tỉ nên ab+2 là bình phương biểu thức hữu tỉ 0,75 0,5 b/ 2,5đ 2 x z xz 99 7 y Vì xz=y nên ta có x z 99 7 y 2 2 2 x z y 99 7 y y x y 99 y x z y x z 99 993 y x z Vì x, y,z nguyên dương nên 3y+x+z 5 y x z 9,11,33,99 10 y 20 y (loại) -Nếu 3y+x+z=9 Ta có 3y x z=11 10 y 20 y (loại) -Nếu 3y+x+z=11 Ta có 3y x z=9 50 y 100 y (loại) -Nếu 3y+x+z=99 Ta có 3y x z=1 -Nếu 3y+x+z=33 Ta có 3y x z=3 y 36 y 6 x z 20 z 20 x Mà xz =y2 nên ta có x(20 x)=36 x 20 x 36 0 x1 2; x2 18 +Nếu x=2 ta có z=18 +Nếu x=18 ta có y=2 Vây ta có (x;y;z)=(2;6;18)=(18;6;2) Bài 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 6đ (4) a/ 2đ b/ 2đ c/ 2đ Gọi O là giao điểm AC và BO, ta có OA+OC ( tc hv) HO là trung tuyến tam giac AHC Xts tam giác BHD vuông H , có OB=OC ( tc hv) HO là trung tuyến thuộc cạnh huyền BD 1 HO= BD mà AC=BD ( tc hv) nên HO= AC Vét tam giác AHC có HO là trung tuyến, mà HO= AC.nên AHC vuông H.Vậy AHC 90 Ta có OA=OB và AOB 90 ( tchv) AOB vuông cân, mà MA=MB nên OA là trung tuyến OA AB MB AOB vuông O và OA là phân giác AOB MOB AOB 450 MOD 1350 BCE 900 Ta CA=CB=a , (gt) ECB vuông cân CBE 450 MBE 1350 MOD MBE 0,75 0,5 0,5 0,5 OC BE BN Ta có OA là đường TB BDE , mà OD=OC OD BN Xét MOD và MBN có MO=MB; OD=BN; MOD MBN 135 MOD MBN MD MN và DMO NMB , ta có cân O mà OM là trung tuyến nên OM là đường cao BMO 90 DMN DMO OMN NMB OMN BMO 900 0,5 Vậy tam giác DMN vuông cân Ta có AHC vuông H, theo Pitago ta có HA2 HC AC BA2 BC a a 2a HA2 HC 2a HA4 HC HA2 HC 4a Vẽ HK vuông góc với AC ta có HA HC HK AC ( vì cùng diện tích tam giác AHC) HA2 HC AC HK 2a HK 4 2 4 4 2 Vây ta có HA HC 4a HK 4a HA HC 4a 4a HK 0,5 4 2 Vẽ HF vuông góc với BD, chứng minh tương tự ta có HB HD 4a 4a HF HA4 HB HC HD 8a a HK HF Vây Ta có Xét tứ giác OKHF có O K F 90 nên tứ giác OKHF là hình chữ nhật 2 a2 HA HB HC HD 8a 4a 6a Vậy 4 4 0,5 0,5 0,5 AC 2a a AC 4 Vậy ta có HK2 +HF2 =KF2 =OH2= Bài 0,75 0,5 1đ (5) 1đ x 2 x x 1 x x 0 ( x 2)( x 3) 0 x 3 -Với y=0 ta có x 1 x x 3 x x 0 ( x 1)( x 4) 0 x 4 -Với y=1 ta có y -Với y 2 9 Xét x phép chia cho ta có x=3k ;x=3k+1 ; x=3k+2 vơi k N 2 + x=3k ta có x x 9k 15k không chia hết x2 -5x+7 không chia hết cho 2 + x=3k+1 ta có x x 9k 9k không chia hết cho 2 + x=3k+2 ta có x x 9k 3k không chia hết x2 -5x+7 không chia hết cho Vậy với y 2 vế phai không chia hết ch9 còn vế phải luông chia hết cho nên không tồn tai số tự y nhiên x, y thỏa mãn x x 3 Vậy ta có (x;y)=(2;0)=(3;0)=(1;1)=(1;4) 0,25 0,25 0,5 (6)