Đang tải... (xem toàn văn)
- Chứng minh điểm đó là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác. - Chứng minh điểm đó thuộc một đường trung tuyến của tam giác và thỏa mãn một trong các tỉ lệ về tính chất tr[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
CỦA TAM GIÁC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1- Đường trung tuyến tam giác • Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến tam giác ABC
• Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến
2 Tính chất ba đường trang tuyến tam giác Ba đường trung tuyến tam
giác qua điểm Điểm gọi trọng tâm tam giác đó, điểm cách đỉnh khoảng
3 độ dài đường trung tuyến qua đỉnh
Nếu G trọng tâm tam giác
ABC
3 AG BG CG AD = BE =CF =
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác
Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt tỉ số liên quan tới trọng tâm tam giác Ví dụ Nếu ABC có trung tuyến AM trọng tâm G ta có
AG =2
3 = AM , AG = 2GM; GM =
3AM; 1A Cho ABC có hai đường trung tuyến BD, CE a) Tính tỉ số BG CG,
BD CE b) Chứng minh BD + CE >
2 BC
1B Cho ABC có BC = cm, đường trung tuyến BD, CE cắt G Chứng minh BD + CE > 12 cm
2A Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt G Trên tia đối tia PB lấy điểm E cho PE = PG Trên tia đối tia QG lấy điểm F cho QF = QG Chứng minh:
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2B Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt G Trên tia đối tia DG lấy điểm M cho D trung điểm đoạn thẳng MG Trên tia đối tia EG lấy điểm N cho E trung điểm GN Chứng minh:
a) GN = GB, GM = GA; b) AN = MB AN // MB
Dạng Chứng minh điểm trọng tâm tam giác
Phương pháp giải: Để chứng minh điểm trọng tâm tam giác, ta dùng hai
cách sau:
- Chứng minh điểm giao điểm hai đường trung tuyến tam giác
- Chứng minh điểm thuộc đường trung tuyến tam giác thỏa mãn tỉ lệ tính chất trọng tâm tam giác
3A Cho ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB Lấy G thuộc cạnh AC cho AG =
3 AC Tia DG cắt BC E Qua E vẽ đường thẳng song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng cắt F Gọi M giao điểm EF CD
Chứng minh:
a) G trọng tâm BCD;
b) BED = FDE, từ suy EC = DF; c) DMF = CME;
d) B, G, M thẳng hàng
3B Cho ABC Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM = 2CM Vẽ điểm D cho C trung điểm AD Gọi N trung điểm BD, Chứng minh:
a) M trọng tâm tam giác ABD; b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng;
c) Đường thẳng DM qua trung điểm AB
4A Cho ABC với đường trung tuyến AD Trên tia AD lấy điểm E cho AD = DE, tia BC lấy điểm M cho BC = CM Chứng minh C trọng tâm AEM
4B Cho ABC Trên đường trung tuyến AM tam giác đó, lấy hai điểm D, E cho AD = DE = EM Chứng minh E trọng tâm ABC
5A Cho ABC Vẽ trung tuyến BM Trên tia BM lấy hai điểm G, K cho BG =
3BM G trung điểm BK Gọi E trung điểm CK; GE cắt AC I Chứng minh:
a) I trọng tâm KGC; b) CI =
3 AC
5B Cho ABC, M trung điểm AC Trên đoạn BM lấy điểm K cho KM =
2 KB Điểm H thuộc tia đối tia MK cho BH = 2BK Gọi I điểm thuộc cạnh AC IC =1
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | a) Chứng minh I trọng tâm HKC E trung điểm HC E
b) Tính tỉ số IE, IC
IK MC Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng ( I trung điểm KC)
6A Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt trung điểm O đoạn Gọi M, N trung điểm BC, CD Đoạn thẳng AM, AN cắt BD I K Chứng minh:
a) I trọng tâm ABC K trọng tâm ADC; b) BI = IK = KD
6B Cho tam giác ABC, đường trưng tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = BD Gọi P, Q điểm BE cho BP = PQ = QE Chứng minh:
a) CP, CQ cắt AB, AE trung điểm AB,AE b) CP//AQ CQ//AP
Dạng Vấn đề đường trung tuyến tam giác vuông, tam giác cân, tam giác
Phương pháp giải: Chú ý tính chất tam giác vuông, tam giác cân, tam giác
7A Cho ABC vuông A, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA a) Tính ABD
b) Chứng minh ABD = BAC c) Chứng minh AM =
2BC
7B Cho ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Tính khoảng cách từ trọng tâm G ABC tới đỉnh, tam giác
8A Cho ABC , trung tuyến AM = BC a) Chứng minh BMA=2MAC CMA=2MAB b) Tính BAC
8B Cho hình vẽ, biết ABC có hai đường trung tuyến BN,CP vng góc với G Tia AG cắt BC I BC = cm
Tính độ dài GI,AG
9A Cho ABC cân A có đường trung tuyến AM a) Chứng minh AM ⊥BC
b) Biết AB = 10 cm, BC = 12 cm Tính độ dài đoạn vng góc kẻ từ B xuống AC
9B Cho ABC có AB = BC = 13 cm, AC = 10 cm, Đường trung tuyến BM, trọng tâm G Tính độ dài GM
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | i) GB = GC, GN = GM;
ii) BN = CM;
iii) ABC cân A
10B Cho ABC có hai đường trung tuyến BM CN cắt G Biết BM = CN Chứng minh AG ⊥ BC
11A Cho ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt G Biết AM = BN = CP Chứng ABC
11B Cho ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt G Biết AG = BG = CG Chứng minh ABC
III BÀI TẬP
12 Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho
AE = 2AB Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD = BC Chứng minh: a) A trọng tâm CDE;
b) Đường thẳng CA qua trung điểm DE
13 Cho bốn điểm A, B,C, D không thẳng hàng hình vẽ Gọi O giao điểm AC BD Trung điểm BD AC M, N Chứng minh AC + DB > 2MN
14 Cho ABC vuông A, AB = cm, AC = cm a) Tính BC
b) Đường thẳng qua trung điểm I BC vng góc với BC cắt AC D Chứng minh CBD=DCB
c) Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DC Chứng minh BCE vuông 15 Cho ABC vuông A, trung tuyến AM Biết AB = 6cm,
AC = 8cm
a) Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Chứng minh AMB = DMC b) Chứng minh BAC = DCA
c) Tính AM
D0 Chứng minh AM < AB+AC
16 Cho ABC có hai đường trung tuyến AM, BN vng góc với nhau, trọng tâm G Biết AM = 4,5 cm, BN cm Tính độ dài cạnh ABC
HƯỚNG DẪN
1A Gọi giao điểm hai đường trung tuyến BD,CE G GBC có: GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác)
Mà GB =
3BD, GC =
3CE nên: 3BD +
2
3CE > BC Do BD + CE >
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1B Tương tự 1A
BD + CE >
2 = 12 cm 2A a) Vì G trọng tâm ABC nên BG = 2GP, CG = 2GQ Lại có PE = PG, QF = QG nên GE = 2GP, GF = 2GQ Do BG = GE,CG = GF b) Suy GBC = GEF (c.g.c) Từ ta có EF = BC GEF =GBC => EF // BC
2B Tương tự 2A
3A a) Vì AD = AB nên A trung điểm BD => CA đường trung tuyến BCD Mà AG =
3AC => G trọng tâm BCD b) Ta có : BD || EF => BDE=DEF
và DE || BC => BED=EDF
=>BED = FDE (g.c g) => BE = DF
(hai cạnh tương ứng) (1) Mặt khác G trọng tâm BCD nên E trung điểm BC => BE = EC (2)
Từ (1) (2) suy EC = DF c) DMF = CME (g.c.g)
d) Do DMF = CME => MD = MC => M trung điểm DC => BM trung tuyến BCD => G BM => B, G, M thẳng hàng
3B Tương tự 3A
a) M thuộc đường trung tuyến BC ABD mà BM = 2CM nên M trọng tâm ABD
Do M thuộc trung tuyến AN => Ba điểm A, M, N thẳng hàng b) DM trung tuyến thứ ba
ABD nên DM qua trung điểm AB
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | C thuộc MD đường trung tuyến
của tam giác AEM (1)
Mặt khác ta có BC = 2CD BC = CM nên CM = 2CD (2) Từ (1) (2) suy C trọng tâm AEM
4B Từ giả thiết AD = DE = EM ta có AE = 2 3AM
Mà E thuộc trung tuyến AM nên E trọng tâm ABC 5A a) Theo đề BG = 2
3BM Suy BG = 2GM => GK = 2GM =>M trung điểm GK
Do I giao điểm ba đường trung tuyến KGC
b) I trọng tâm KGC nên CI =
3CM=
1 2AC =
1 3AC 5B Tương tự 5A
a) M trung điểm KH Suy I trọng tâm HKC Suy KI trung tuyến KHC
b) 1,
2
IE IC
IK = MC = Suy HI trung tuyến KHC 6A a)ABC có hai đường trung BO, AM cắt I nên
I trọng tâm ABC Tương tự ta có K trọng tâm ADC
b) Từ ý a) suy ta có: BI =2
3 BO, DK = 3DO Mặt khác BO = DO => BI = DK =
3BO =
3BD => IK =
3BC Suy ĐPCM Do BI = IK = KD
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | a) Chứng minh P,Q
trọng tâm ABC, AEC.Suy ĐPCM b) Chú ý ADP = CQD
ADQ = CDP
7A a) AMC = DMB (c.g.c)
=> ADB=DAC=> BD //AC Mà AB ⊥AC nên AB ⊥BD => ABD = 90°
b) ABD = BAC (c.g.c)
c) ABD = BAC (c.g.c) => AD = BC Mà AM =
2AD => AM = 2BC
7B Áp đụng đinh lý Pytago tam giác vng ABC tínhđược BC = 10cm
Gọi M trung điểm BC Do AM = 5cm
=> AG = 2.5 10 3AM = = cm Tương tự tính
2
2 2
52
3 3
BG= BN= AB +AN = cm
và 73
3
CG = cm
8A a) Ta có: MA = MB = MC = 1 BC => MAB, MAC tam giác cân M Do
2 ,
BMA=MAC+MCA= MAC CMA=MAB MBA+ = MAB
b) Theo ý (a) ta có (MAB MAC+ )=MBA CMA+ = 180° => BAC = 90°
8B Vì GI đường trung tuyến kẻ từ G đến BC => GI =
2BC =
2 = 2,5 cm
Lại có AI đường trung tuyến ABC, G trọng tâm => AG = 2GI = 2.2,5 = 5cm 9A a) ABM = ACM (c.c.c) AMB= AMC = 90° => AM ⊥ BC
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vẽ BC Chứng minh dt ABC =
2 BC AM =
2AC BN Từ tính BN = 9,6cm
9B Tương tự 9A BM = 12cm => GM =
3 BG =
3 12 = 4cm
10A a) BMC = CNB (c.g.c) => BM = CN b) i) Do G trọng tâm ABC nên:
GB =
3BM,GM = 3BM, GC =
3CN, GN = 3CN
Mà BM = CN nên GB = GC,GN = GM
ii) Từ ý i) suy GBN = GCM (c.g.c) => BN = CM iii) Vì BN = CM nên BN = CM => AB = AC
Do ABC cân A 10B Tương tự 10A
Chứng minh tam giác ABC cân A
Kéo dài AG cắt BC M Ta có AMB = AMC (c.c.c) Suy ĐPCM
11A Ta có BN = CP nên GB = GC,GP = GN Tương tự 10A, ta có AB = AC
Tương tự, ta có AB = BC Vậy AB = BC = CA Suy ABC
11B Ta có AG = BG = CG AG = 2 3AM, BG =
3BN, CG = 3CP
=> AM = BN = CP Tương tự 11A suy ĐPCM 12 Tương tự 3B a) Ta có BD = BC,
do EB đường trung tuyến CDE Mặt khác AE = 2AB nên A trọng tâm
CDE
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13 Ta có
OD + OA > AD OA + OB > BC OB + OC > BC OC + OD > DC
2 (OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA Hay 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA
Sử dụng kết 12 trang 93, ta có: AB + BC + CD + DA > 4MN
Suy ĐPCM
Chú ý: Trung điểm G MN gọi trọng tâm hình ABCD
14 a) BC = 10 cm
b) BDI = CDI (hai cạnh góc vng) => CBD=DCB
c) Ta có
BCD cân D => DC = DB CDE cân D => DE = DC => CD =
2BE => BCE vuông C 15 a) AMB = DMC (c.g.c) b) Chứng minh CD // AB mà AB ⊥AC nên AC ⊥ DC Từ suy
BAC = DCA (hai cạnh góc vng) c) AM = cm
d) Xét ABC có BC < AB + AC, mà BC = 2AM nên AM <
2 AB+AC
16 Vì G trọng tâm ABC nên : AG =
3AM =
3 4,5 = 3cm, BG =
3BN =
3 = 4cm ABG vuông G nên :
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây
dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS
THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành
cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất
môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - Luyên thi ĐH, THPT QG: - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí - HOC247 TV: