Đang tải... (xem toàn văn)
V.. Xác ñịnh 2 ñiểm B và C sao cho OABC là hình vuông và B nằm trong góc phần tư thứ nhất. Lập phương trình 2 ñường chéo của hình vuông ñó. Tính diện tích của tam giác ñó. Tìm toạ ñộ ñi[r]
(1)KIẾN THỨC CƠ BẢN I CÁC BIỂU THỨC TỌA ðỘ
1 Biểu thức tọa ñộ Cho a=( ;a a1 2)
và b=( ;b b1 2)
Khi đó: • a b± =(a1±b a1; 2±b2)
• k.a=(ka ka1, 2)
• 2
1
a = a +a
• 1
2 a b a b a b = = ⇔ =
• a b =a b1.1+a b2
• a⊥ ⇔b a b = ⇔0 a b1 1+a b2 =0
• 1 2
2 2 2
cos( , ) ( , 0)
a b a b
a b
a b a b
a b a a b b
+ = = ≠ + +
• a
phương với b≠0
1
1 2
a a ( , 0)
a k b b b
b b
⇔ = ⇔ = ≠
2 Tọa ñộ ñiểm
Với ñiểm (A xA;yA) (B xB;yB) Khi đó: • AB=(xB −xA;yB−yA)
• ( ) (2 )2
B A B A
AB= AB = x −x + y −y
• M chia ñoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: ;
1
A B A B
x kx y ky
M k k − − − −
3 Tọa ñộ trung ñiểm ñoạn thẳng
Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB thì: ;
2
A B A B
x x y y
M + +
4 Tọa ñộ trọng tâm tam giác
Nếu G trọng tâm ∆ABC thì: ;
3
A B C A B C
x x x y y y
G + + + +
II ðƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
1 Vectơ pháp tuyến, vectơ phương ñường thẳng a) Vectơ pháp tuyến (VTPT) ñường thẳng
Vectơ n≠0
ñược gọi vectơ pháp tuyến ñường thẳng ∆ giá n
vng góc với đường thẳng ∆
GHI NHỚ: 1) Một đường thẳng có vơ số VTPT VTPT phương với 2) Nếu n
VTPT ñường thẳng ∆ (k n k ≠0)
(2)b) Vectơ phương (VTCP) ñường thẳng Vectơ u≠0
ñược gọi vectơ phương ñường thẳng ∆ giá u
song song trùng với ñường thẳng ∆
GHI NHỚ: 1) Một đường thẳng có vơ số VTCP VTPT ñó phương với 2) Nếu u
VTCP đường thẳng ∆ (k u k ≠0)
VTCP ∆ 3) Một đường thẳng hồn tồn xác ñịnh ta biết ñiểm thuộc ñường thẳng VTCP ñường thẳng
c) Liên hệ vectơ pháp tuyến với vectơ phương ñường thẳng • Nếu n=( , )a b
VTPT đường thẳng ∆ u=( ,b −a)
u= −( b a, )
VTCP ∆ • Nếu u=( , )a b
VTCP ñường thẳng ∆ n=( ,b −a)
n= −( b a, )
VTPT ∆ 2 Phương trình đường thẳng
a) Phương trình tổng quát:
ðường thẳng ∆ có phương trình tổng qt (PTTQ) dạng: + + =0
ax by c (a2+b2 ≠0)
GHI NHỚ: 1) Vectơ pháp tuyến (VTPT) ∆: n=( ; )a b
2) ðiểm M x y( ;0 0)∈ ∆ ⇔ax0+by0+ =c
3) Nếu b≠0thì PTTQ ∆ ñưa ñược dạng: y= +kx m ( với k a b
= − , m c b
= − ) được gọi phương trình ∆∆∆∆ theo hệ số góc
4) ðường thẳng có phương trình: x y
a+ =b (a≠0,b≠0) ñi qua ñiểm ( ;0)A a (0; )B b
được gọi phương trình đường thẳng theo đoạn chắn b) Phương trình tham số
ðường thẳng ∆ có phương trình tham số (PTTS) dạng:
= +
= +
0 0
x x at y y bt (với
2
a +b ≠ , t tham số)
GHI NHỚ: 1) Vectơ phương (VTCP) ∆: u=( ; )a b
2) ðiểm
0
( M; M) M
M
x x at M x y
y y bt
= +
∈∆ ⇔
= +
có nghiệm theo t
3) Nếu a≠0, b≠0thì cách khử t từ phương trình trên, ta ñược phương trình:
0
x x y y
a b
− = −
(3)3 Cách lập phương trình đường thẳng •••• ðường thẳng ∆ ( ;0 0)
( ; )
M x y n a b
=
ñi qua điểm
có VTPT , có PTTQ là: a x( −x0)+b y( −y0)=0 •••• ðường thẳng ∆ ( ;0 0)
( ; )
M x y u a b
=
đi qua điểm
có VTCP , có PTTS là:
0 x x at y y bt
= +
= +
( t tham số)
• ðường thẳng ∆ M x y( ;0 0)
k
đi qua điểm
có hệ số góc , có phương trình: y−y0 =k x( −x0) • ðường thẳng ∆ ñi qua ñiểm (A xA;yA) (B xB;yB)có phương trình là:
( )
( )
A B A
A B A
x x x x t y y y y t
= + −
= + −
(vì AB
VTCP ∆)
hoặc: A A ( 0, 0)
B A B A
B A B A
x x y y
x x y y
x x y y
− = − − ≠ − ≠
− −
4 Vị trí tương đối hai đường thẳng
Cho ∆1: a x b y1 + + =c1 ∆2: a x b y2 + + =c2 a) Hai ñường thẳng ∆∆∆∆1, ∆∆∆∆2 cắt
1
1 2 2
0
a b
a b a b
a b ≠ ⇔ − ≠
b) Hai ñường thẳng ∆∆∆∆1, ∆∆∆∆2 song song 1
2
0
a b
a b = 1 2
0
b c
b c ≠
1 2
0
a b
a b =
1 2
0
c a c a ≠ c) Hai ñường thẳng ∆∆∆∆1, ∆∆∆∆2 trùng
1 1 1
2 2 2
0
a b b c c a a b = b c = c a = ðẶC BIỆT: Nếu a b c ñều khác 0, ta có: 2, 2, 2
• ∆1, ∆2 cắt 1
2
a b
a b
⇔ ≠ ;
• 1
1
2 2
// a b c
a b c
∆ ∆ ⇔ = ≠ ;
• 1
1
2 2
a b c
a b c
∆ ≡ ∆ ⇔ = = ; 5 Khoảng cách từ ñiểm ñến ñường thẳng
Cho M x( M;yM) ∆: ax by c+ + =0 Khi đó:
2 ( , )
d axM byM c
M
a b
+ +
∆ =
(4)6 Góc hai đường thẳng
Cho ∆1: a x b y1 + 1 + =c1 có VTPT n1= ( a b1; 1)
∆2: a x b y2 + 2 + =c2 có VTPT n2= ( a b2; 2)
Khi đó: 1 2 2
2 2 1 2
cos( , ) ,
a a b b
a b a b
+
∆ ∆ = =
+ +
1
cos(n n )
CHÚ Ý: 1) Nếu ∆1 có VTCP u1
, ∆2 có VTCP u2
cos(∆ ∆ =1, 2) u u,
1
cos( )
2) ðường thẳng d tạo với ñường thẳng ∆: y=ax b+ góc α thì: tan
k a
ka α
− = + ( với k hệ số góc đường thẳng d )
III ðƯỜNG TRỊN
1 Phương trình đường trịn
a) Dạng 1: Dạng tắc (C) : (x−a)2+(y b− )2 =R 2 ðường trịn (C) có: + Tâm: ( ; )I a b
+ Bán kính: R>0
b) Dạng 2: (C): 2+ 2+ + + =
2 2 0
x y Ax By C (điều kiện: A2+B2 − >C 0) ðường trịn (C) có: + Tâm: (I − −A; B)
+ Bán kính: R= A2+B2−C 2 Phương trình tiếp tuyến điểm
a) Nếu đường trịn (C) có dạng: (x−a)2+ −(y b)2 =R2
thì tiếp tuyến (C) ñiểm M x y là: ( ;0 0)
2
0
(x −a x)( − +a) (y −b y)( − =a) R
b) Nếu ñường trịn (C) có dạng: 2
2
x +y + Ax+ By C+ =
thì tiếp tuyến (C) điểm M x y( ;0 0) là:
0 ( ) ( )
x x+y y+A x + +x B y + + =y C
3 ðiều kiện ñể ñưởng thẳng tiếp xúc với ñường tròn:
ðường thẳng ∆: Ax+By C+ =0 tiếp xúc với ñường trịn có tâm I a b( ; ) bán kính R>0 là:
2
d( ; )I R a A b B C R
A B
+ +
∆ = ⇔ =
(5)IV CÁC ðƯỜNG CÔNIC
Elip Hypebol Parabol
Phương trình tắc
+ =
2 2
2 2 1
x y
a b
(a> >b 0) 2 b c
a = +
− =
2 2
2 2 1
x y
a b
(a>0, b>0) 2
b a
c = +
=
2
2
y px
(p>0)
ðỉnh A1(−a,0), A2(a,0),B1(0,−b),B2(0,b)
Trục Lớn : 2a
Nhỏ: 2b
Thực: 2a Ảo: 2b
Tiêu ñiểm F1(-c, 0); F2(c, 0) F(
2
p
, 0)
Tâm sai e c 1
a
= < e c 1
a
= > e =
Bán kính qua tiêu điểm
1
MF = +a ex
2
MF = −a ex
1
MF = +a ex
2
MF = − +a ex
p x
MF = +
Phương trình đường chuẩn
;
a x
e
= − x a
e
=
2
p x=−
Phương trình tiếp tuyến ñiểm
0
( ; )
M x y
0
2
1
x x y y
a + b =
0
2
. . 1
x x y y
a − b = y y0. = p x( + x0)
ðiều kiện ñể ñt ∆∆∆∆: Ax +By +C =0 tiếp xúc với cônic
2 2 2
. .
a A +b B =C a A2 2−b B2 =C2 B2
(6)BÀI TẬP I PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG THẲNG
Bài 1: Lập phương trình TQ TS đường thẳng qua điểm M có vtpt n
biết: a ( − ) =( )
M 1; ; n 2;1 b ( ) = −( )
M 0; ; n 1;3 c M(− −2; , n) = −( 2;1)
Bài 2: Lập PTTS PTTQ ñường thẳng ñi qua ñiểm M có vtcp u
biết: a M 1; ; u( − ) =( )1;
b M 5;3 ; u( ) = −( 3;1)
c M(− −3; , u) =( )3;
Bài 3: Lập phương trình đường thẳng qua điểm A B trường hợp sau: a A(−1;1 , B 2;1) ( ) b A 4; , B( ) (− −1; 2) c A(−5; , B 1;1) ( )
Bài 4: Lập phương trình ñường trung trực ñoạn thẳng AB biết:
a A 1;1 , B( ) (−3;1) b A 3; , B 1; 6( ) ( − ) c A(−4;1 , B 1; 4) ( )
d ( − )
1
A ;1 ; B 2;
2 e
−
2 1
A ; ; B ;
3 f
−
12
A ;1 ; B ;
3 2
Bài 5: Lập phương trình đường thẳng (d) biết: a qua điểm M(2;-1) có hệ số góc k = b qua điểm M(0;4) có hệ số góc k=2
3
c qua ñiểm M(-3;-1) tạo với hướng dương trục Ox góc 450 d qua điểm M(3;4) tạo với hướng dương trục Ox góc 600 Bài 6: Chuyển (d) dạng tham số biết (d) có phương trình tổng quát:
a 2x – 3y = 0; b x + 2y – = c 5x – 2y + = d 2x – = e - 3y + = f - 3x – 4y + = Bài 7: Chuyển (d) dạng tổng quát biết (d) có phương trình tham số:
a = = +
x
y t b
= −
= +
x t
y t c
= +
= −
x 3t
y
d = − = +
x 2t
y 6t e
= −
= −
x 4t
y 5t f
= −
= −
x 3t y 4t Bài 8: Tìm hệ số góc đường thẳng sau:
a 2x – 3y + = b x + = c 2y – = d 4x + 3y – = e x t
y 3t = −
= +
f
x 2t y 5t
= +
= −
Bài 9: Lập PTTQ PTTS ñường thẳng (d) ñi qua ñiểm A B biết:
a A 1; , B 2;2( − ) ( ) b A 5; , B( − ) (− −2; 4) c A 1;2 , B 1; 1( )
−
(7)Bài 10: Trong ñiểm A1(2;1), A2(−1;2), A 1;33( ), A 1; 14( − ), A5( )12;2 , A6(73;13),
( )
7
A 3;1 ñiểm nằm ñường thẳng ( )d : x t y 2t
= −
= + Bài 11: Cho ñiểm A(2;1), B(3;5) C(-1;2)
a Chứng minh A, B, C ñỉnh tam giác b Lập phương trình đường cao tam giác ABC c Lập phương trình cạnh tam giác ABC
d Lập phương trình đường trung tuyến tam giác ABC e Lập phương trình đường trung bình tam giác ABC Bài 12: Cho tam giác ABC biết A(-1;-2), B(4;-3) C(2;3)
a Lập phương trình đường trung trực cạnh AB
b Lập phương trình đường thẳng qua điểm M(3;7) vng góc với đường trung tuyến kẻ từ A tam giác ABC
Bài 13: Lập phương trình cạnh ñường trung trực tam giác ABC biết trung ñiểm cạnh BC, CA, AB là: M(2;3), N(4;-1), P(-3;5)
II ðƯỜNG THẲNG SONG SONG, VNG GĨC VỚI MỘT ðƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC Bài 1: Lập PTTQ ñường thẳng ( )∆ ñi qua A song song ñường thẳng (d) biết
a A 1;3 , d : x y 1( ) ( ) − + =0 b A(-1;0) (d): 2x + y – = c A(3;2) (d): Trục Ox d A( 1;1 , d :) ( ) x t
y 2t
= −
−
= − +
e A 3;2 , d :( ) ( ) x 2t y
= +
=
f ( )
x 2t
A(0;1), d :
y 3t = − +
= +
Bài 2: Lập PTTQ PTTS ñường thẳng ( )∆ ñi qua A vng góc với đường thẳng (d) biết: a A 3; , d :2x 5y 1( − ) ( ) − + =0 b A(− −1; , d : x 2y 1) ( ) − + − =0 c A 4;2 , d( ) ( )≡Oy
d A 1; , d :( ) ( ) x t y 2t
= +
−
= +
e ( )
x 2t A 4; ,
y 5t = +
−
= −
g ( )
x 2t A 2;3 ,
y t = −
−
= −
Bài 3: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết A(2;2) ñường cao (d1) (d2) có
phương trình ( )d1 : x+ − =y 0; d( )2 :9x 3y− + =4
Bài 4: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết C(4;1) ñường cao (d1) (d2) có
(8)Bài 5: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AB x + y – = 0, ñường cao qua ñỉnh A B (d1): x + 2y – 13 = (d2): 7x + 5y – 49 = Lập phương trình cạnh AC, BC
ñường cao thứ
Bài 6: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AC x + 4y – = 0, ñường cao qua ñỉnh A C (d1): 5x + y – = (d2): x + 2y – = Lập phương trình cạnh AB, BC
ñường cao thứ
Bài 7: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết A(3;5), ñường cao ñường trung tuyến kẻ từ đỉnh có phương trình là: ( )d1 :5x+4y 1− =0; d( )2 :8x+ − =y
Bài 8: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết B(0;3) , ñường cao ñường trung tuyến kẻ từ đỉnh có phương trình là: ( )d1 :2x 7y− +23=0; d( )2 :7x+4y 5− =0
Bài 9: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết A(3;1) ñường trung tuyến (d1) (d2)
có phương trình là: ( )d1 :2x y 1− − =0; d( )2 :x 1− =0
Bài 10: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết B(1;-1) ñường trung tuyến (d1)
(d2) có phương trình là: ( )d1 :3x 5y 12− − =0; d( )2 :3x 7y 14− − =0
Bài 11: Phương trình cạnh tam giác là: ( )d1 :x+ − =y 0; d( )2 : x 2y 5+ − =0 trực tâm H(2;3) Lập phương trình cạnh thứ
Bài 12: Phương trình cạnh tam giác là: ( )d1 :3x y− +24=0; d( )2 : 3x+4y 96− =0 trực tâm H 0;32
3
Lập phương trình cạnh thứ
Bài 13: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết B(2;-3), phương trình đường cao hạ từ A trung tuyến từ C là: ( )d1 : 3x 2y 3− + =0; d( )2 :7x+ − =y
Bài 14: Xác ñịnh toạ ñộ ñỉnh lập phương trình cạnh BC tam giác ABC biết trung điểm BC M(2;3) phương trình (AB): x – y – = 0; phương trình (AC): 2x + y =
Bài 15: Xác ñịnh toạ độ đỉnh lập phương trình cạnh BC tam giác ABC biết trọng tâm
G ;
3
phương trình (AB): x – 3y + 13 = 0; phương trình (AC): 12x + y – 29 =
Bài 16: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết trung ñiểm AB M(-3;4) hai ñường cao kẻ từ A B là: ( )d1 : 2x 5y− +29=0; d( )2 : 10x 3y 5− + =0
Bài 17: Cho tam giác ABC, ñỉnh A(2;2)
a) Lập phương trình cạnh tam giác, biết 9x- 3y- 4= 0, x+ y- = phương trình đường cao kẻ từ B, C
(9)Bài 18: Lập phương trình đường thẳng qua A(2;1) tạo với ñường thẳng 2x+3y+4=0 góc 450
Bài 19: Lập phương trình cạnh hình vng đường chéo thứ hai, biết hình vng có đỉnh (-4;5) đường chéo có phương trình 7x –y + 8=
Bài 20: Cho hai điểm P(2;5) Q(5;1) Lập phương trình đường thẳng qua P cho khoảng cách từ Q tới ñường thẳng ñó
Bài 21: Lập phương trình đường thẳng qua P(2;-1)sao cho đường thẳng với hai ñường thẳng (d1): 2x - y + = (d2): 3x +6y –1 = tạo tam giác cân có đỉnh giao hai ñường d1 d2
Bài 22: Cho P(3;0) hai ñường thẳng (d1): 2x - y - = (d2): x +y +3 = Gọi d ñường
thẳng qua P cắt d1, d2 A B Viết phương trình d biết PA = PB
Bài 7: Cho tam giác có M(-1;1) trung điểm cạnh, cịn hai cạnh có phương trình x + y – = 0; 2x + 6y +3 = Hãy xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh tam giác
Bài 23: Trên mặt phẳng tọa ñộ, cho ñiểm A(1;1) Hãy tìm diểm B ñường thẳng y = 3, ñiểm C trục hồnh cho tam giác ABC
Bài 24: Tam giác ABC cân cạnh đáy BC có phương trình x + 3y+ =0 Cạnh bên AB có phương trình : x- y + = ðường thẳng chứa cạnh AC qua M(-4;1) Tìm tọa ñộ ñỉnh C
Bài 25: Trong mp tọa ñộ Oxy lập phương trình cạnh tam giác ABC cho B(-4;5)và hai
ñường cao hạ từ hai đỉnh cịn lạicủa tam giác có phương trình: 5x + 3y –4 = 3x + 8y + 13 =
Bài 26: Trong mp Oxy, cho ba đỉnh A(10;5), B(15;-5), D (-20;0) hình thang cân ABCD Tìm điểm C biết AB song song CD
Bài 12:Trong mp Oxy cho A(1;1) đường thẳng (d) có phương trình: 4x+ 3y = 12
a) Gọi B, C giao ñiểm (d) với trục Ox Oy Xác ñịnh tọa ñộ trực tâm tam giác ABC
b) ðiểm M chạy (d), nửa ñường thẳng ñi qua hai ñiểm M,N cho AM.AN = ñiểm N chạy ñường cong nào?
Bài 27: Trong mp với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxy, cho parabol (P): y2= 4x hai ñường thẳng d: m2x +my +1 = 0, L: x – my + m2 =
Với m tham số thực khác
a) Chứng minh d L vuông góc , M giao điểm d L di ñộng ñường thẳng cố ñịnh m thay ñổi
b) Chứng minh d L tiếp xúc với (P) gọi A B tiếp ñiểm d L với ( P) Chứng minh đường thẳng AB ln qua ñiểm cố ñịnh m thay ñổi
Bài 28: Lập phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ cắt đuờng trịn ( x – 1)2 +( y + 3)2 = 25 thành mơt dây cung có độ dài
(10)III HÌNH CHIẾU VNG GĨC CỦA ðIỂM LÊN ðƯỜNG THẲNG
Bài 1: Tìm toạ độ hình chiếu vng góc H M lên ñường thẳng (d) xác ñịnh toạ ñộ ñiểm M1
ñối xứng với M qua (d)
a M( 6; 4);(d) : 4x 5y 3− − + =0 b M(1; 4);(d) : 3x+4y− =4 c M(3;5);(d) x 2t y 4t
= −
= +
Bài 2: Tìm toạ độ trực tâm H tam giác ABC xác ñịnh toạ ñộ ñiểm K ñối xứng với H qua BC a A(0;3); B(3;0); C(-1;-1) b A(-2;1); B(2;-3); C(5;0)
Bài 3: Lập phương trình đường thẳng (d1) đối xứng với ñt(d) qua ñiểm I
a I( 3;1);(d) : 2x− + − =y b I(1;1);(d) : 3x 2y 1− + =0 c I( 1;3);(d) : x t
y 2t
= −
−
= − −
d
x t
I(0;2);(d) :
y 4t = − +
= −
Bài 4: Lập phương trình ñường thẳng (d1) ñối xứng với ñường thẳng (d) qua ñt(∆) biết:
a (d) : x+2y 1− =0;( ) : 2x y 3∆ − + =0 b (d) : 2x 3y 5+ + =0;( ) : 5x∆ − + =y c (d) : 5x y 0;( ) :x y
2
+ −
+ − = ∆ =
− d
x 2t
(d) : 2x y 0;( ) :
y t = − +
− + + = ∆
= +
Bài 5: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết A(0;3); phương trình đường phân giác xuất phát từ B C (d ) : xB − =y 0;(d ) : 2xc + − =y
Bài 6: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết A(-4;3); B(9;2) phương trình phân giác xuất phát từ C (d) : x− + =y
Bài 7: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh BC: x+4y−8=0 phương trình đường phân giác xuất phát từ B C là: (d ) : yB =0;(d ) : 5x 3y 6C + − =0
Bài 8: Cho tam giác ABC biết C(3;-3); phương trình đường cao đường phân giác xuất phát từ A (d ) : x1 =2;(d ) : 3x 8y 142 + − =0
IV VỊ TRÍ TƯƠNG ðỐI CỦA ðƯỜNG THẲNG Bài 1: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau:
a (d ) :1 x t;(d ) :2 x u
y t y u
= − = −
= + = +
b
x t x 2u
(d ) : ;(d ) :
y t y u
= + = −
= − = +
c (d ) :1 x 3t;(d ) : 2x 3y 12 y t
= − +
− + =
= +
d (d ) : 3x 2y 11 + − =0;(d ) : x 3y2 + − =4 Bài 2: Cho + ≠0
b
a đt (d1) (d2) có phương trình: (d ) : (a1 −b)x+ =y 1;(d ) : (a2 2−b )x2 +ay=b a Tìm quan hệ a b để (d1) (d2) cắt xác định toạ ñộ giao ñiểm I
(11)Bài 3: Cho ñường thẳng (d ) : kx1 − + =y k 0;(d ) : (1 k )x2 − +2ky k− − =0 a CMR: ñường thẳng (d1) ln qua điểm cố định với k
b CMR: (d1) ln cắt (d2) Xác định toạ độ chúng
V GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH
Bài 1: Tìm góc đường thẳng (d1) (d2) trường hợp sau:
a (d ) : 5x 3y1 + − =4 0;(d ) : x 2y2 + + =2 b (d ) : 3x 4y 141 − − =0;(d ) : 2x 3y 12 + − =0 c (d ) :1 x 3t;(d ) : 3x 2y 22
y t = −
+ − =
= +
d (d ) : x1 +my 1− =0;(d ) : x2 − +y 2m 1− =0
Bài 2: Tính khoảng cách từ ñiểm M ñến ñường thẳng (d) trường hợp sau: a M(1; 1);(d) : x− + − =y b M( 3;2);(d) : 3x− +4y 1− =0
c M 3;2( ); (d): Trục Ox d M( 3;2);(d) : 2x− =3 e M(5; 2);(d) : x 2t
y t = − +
−
= −
f
x M(3;2);(d) :
y t =
= +
Bài 3: Cho ñường thẳng (d1):2x−3y+1=0;(d2):−4x+6y−3=0
a CMR (d1) // (d2) b Tính khoảng cách (d1) (d2)
Bài 4: Lập phương trình đường thẳng (d) qua M tạo với (∆) góc ϕ biết:
a M( 1;2);( ) : x 2y 3− ∆ − + = ϕ =0; 450 b M(2; 0);( ) : x 3t; 450
y t
= −
∆ ϕ =
= − +
c M( 2; 1);( ) : 3x 2y 1− − ∆ + − = ϕ =0; 300 d M(4;1);( )∆ ≡Oy;ϕ =300 Bài 5: Lập phương trình đường phân giác góc tạo (d1) (d2) biết:
a (d ) : 2x 3y 11 + − =0;(d ) : 3x 2y2 + + =2 b (d ) : 4x 3y1 0;(d ) :2 x 5t
y 12t
= −
+ − =
= − +
c (d ) : 5x 3y1 + − =4 0;(d ) : 5x 3y2 − + =2 d (d ) : 3x 4y1 − + =5 0;(d )2 ≡Ox Bài 6: Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cách N ñoạn r biết:
a M(2;5); N(4;1); r=2 b M(3; 3); N(1;1); r− =2
Bài 7: Lập phương trình ñường thẳng (d) ñi qua M(-2;3) cách ñều ñiểm A(5;-1) B(3;7) Bài 8: Cho ñường thẳng (d ) : 2x 3y 51 − + =0;(d ) : 3x2 + − =y
Tìm M nằm Ox cách ñều (d1) (d2)
(12)1
( ) :d x+ + =y 0; (d ) :x− − =y 0; (d ) :x−2y=0
Tìm tọa độ điểm M nằm (d3) cho khoảng cách từ M ñến (d1) lần khoảng
cách từ M ñến (d2)
Bài 10: Cho ñường thẳng ;( ):5 0;( ):4
2 : )
( 1 2 + − = 3 − + =
+ =
− =
y x d y
x d t y
t x
d
Tìm M nằm (d1) cách (d2) (d3)
Bài 11: Cho ñiểm A(2;1); B(-3;2) đường thẳng (d):4x+3y+5=0 Tìm điểm M cách A; B ñồng thời khoảng cách từ M ñến (d)
Bài 12: Cho ñường thẳng (d ) : 2x1 − + =y 0; (d ) : x2 +2y 7− =0 Lập phương trình ñường thẳng (d) qua gốc toạ ñộ cho (d) tạo với (d1) (d2) tam giác cân có đỉnh giao ñiểm (d1) (d2)
Bài 13: Cho ñiểm A(0;5); B(4;1) ñường thẳng (d) : x−4y+ =7 Tìm (d) điểm C cho tam giác ABC cân C
Bài 14: Cho ñiểm A(3;1) Xác ñịnh ñiểm B C cho OABC hình vng B nằm góc phần tư thứ Lập phương trình đường chéo hình vng
Bài 15: Cho ñiểm A(1;-1); B(-2;1) C(3;5)
a CMR: A B C ñỉnh tam giác Tính diện tích tam giác b Tìm điểm M nằm Ox cho AMB=600
Bài 16: Cho tam giác ABC có diện tích 4; ñỉnh A(1;-2) B(2;-3) trọng tâm tam giác ABC nằm ñường thẳng (d) : x− − =y Tìm toạ độ điểm C
Bài 17: Cho tam giác ABC vuông A ; biết phương trình cạnh BC là: 3x− y− 3=0; điểm A B thuộc trục hồnh Xác định toạ ñộ trọng tâm G tam giác ABC biết bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC
VI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Bài 1: Tìm (d) điểm M(xM;yM) cho xM2 +yM2 nhỏ biết:
a (d) : x+ − =y b (d):2x−3y−5=0 c
− − =
− =
t y
t x d
3 ) (
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(3;1) cắt trục toạ ñộ ñiểm phân biệt A(a;0) B(0;b) với a>0; b>0 cho:
a Diện tích tam giác ABC nhỏ b OA + OB nhỏ c 12 12
OA +OB nhỏ
(13)a A(-2;1) B(1;1) b A(1;3) B(3;-3) c A(-3;-1) B(2;3) Bài 5: Tìm (d) điểm M cho tổng khoảng cách từ M ñến A B nhỏ biết:
a (d) : x− =y 0; A(3;2), B(5;1) c (d) : x− + =y 0; A(2;1), B(1;5) b (d) : x+ =y 0; A( 1;3), B( 2;1)− −
Bài 6: Cho ñường thẳng (d) : x 2y 2− − =0 ñiểm A(1;2) B(2;5) Tìm (d) điểm M cho: a MA + MB nhỏ b MA+MB
nhỏ c MA−MB nhỏ d MA−MB lớn
VII ðƯỜNG TRÒN
Bài 1:Trong mp Oxy cho A(5;0), B(4;3 2)
a) Lập phương trình đường trịn nhận AB làm đường kính.Tìm tọa độ giao điểm đường trịn với trục hồnh
b) Lập phương trình tắc (E) qua A B Bài 2: Viết phương trình đường trịn qua A(0;6), B(4;0), C(3;0)
Bài 3: Viết phương trình ñường tròn qua A(2;-1) tiếp xúc với hai trục tọa ñộ Ox, Oy Bài 4: Cho hai ñường thẳng d1: 3x+4y+5= d2:4x-3y-5=
Viết phương trình đường trịn có tâm nằm d: x-6y-10 = tiếp xúc với d1,d2
Bài 5: Trong hệ truc Oxy, cho (Cm): x2+y2- 2mx-2(1-m)y+2m2-2m-3 =
Tìm quỹ tích tâm đường trịn Bài 6: Cho (Cm): x2+y2- 2mx+2(1+m)y-12 =
a) Tìm quỹ tích tâm đường trịn
b) Với giá trị m bán kính nhỏ
c) cho m = 2, tìm khoảng cách ngắn đường trịn với ñường thẳng: 3x –4y +12 = Bài 7: Cho hai điểm A(8;0), B(0;6) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp nội tiếp ∆OAB Bài 8: Cho hai ñường thẳng d1: 4x-3y-12= d2:4x+3y-12=
a) Xác định đỉnh tam giác có ba cạnh d1,d2, Oy
b) Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác vừa xác ñịnh Bài 9: Trong mp Oxy cho A(3;0) , B(0;4)
a) Hãy viết phương trình đường cao tam giác OAB hạ từ ñỉnh O ñường phân giác góc OAB
b) Hãy viết phương trình đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác OAB
Bài 10: Trong mp Oxy, viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC , biết cạnh AB, BC, CA có phương trình sau: y- x- 2=0, 5y- x+2= y + x – =0
(14)Bài 12: Cho đường trịn ( C): x2+y2+2x-4y-4 = A(2;5) Hãy tìm phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến đường trịn Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đường trịn M, N ; tính MN
Bài 13: Cho (C) : x2+y2-1= (C m): x2+y2- 2(m+1)x+4my-5 =
a) Chứng minh có hai đường trịn thuộc họ (Cm) tiếp xúc với ( C )
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn vừa tìm câu
Bài 14: Cho hai đường trịn: tâm A(1;0), bán kính RA =4 tâm B(-1;0) , bán kính RB=2 Tìm quỹ
tích tâm đường trịn tiếp xúc với hai đường trịn
Bài 15: Trong mp Oxy, cho họ đường trịn ( C a) có phương trình: x2+y2- 2(a+1)x-4(a-1)y+5-a =
a) Tìm ñiều kiện a ñể (C a) ñường tròn
b) Tìm a để đường trịn ( Ca) nhận y= x làm tiếp tuyến
Bài 16: Cho (C m): x2+y2- 2mx-2(m+1)y+2m-1 =
a) Chứng minh m thay dổi, họ đường trịn ln qua hai ñiểm cố ñịnh
b) Chứng minh với m, họ đường trịn ln cắt trục tung hai điểm phân biệt Bài 17: Trong mp Oxy xét họ ñường trịn có phương trình x2+y2- 2(m+1)x-2(m+2)y+6m+7=
a) Tìm quỹ tích tâm đường trịn
b) Xác định tọa độ tâm đường trịn thuộc họ cho mà tiếp xúc với Oy Bài 18: Trong mp Oxy cho hai đường trịn
(C1): x2+y2- 2x- 9y –2 = ( C2): x2+y2- 8x- 9y +16 = 0
a) Chứng minh đường trịn tiếp xúc
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn Bài 19: Cho họ đường trịn x2+y2- 2(1-m)x- 2m2y+m4= 0(m≠1)
a) Hãy tìm quỹ tích tâm họ đuờng trịn tham số m biến thiên
b) Hãy chứng tỏ rằngcác đường trịn họ ln tiếp xúc với ñường thẳng cố ñịnh Bài 20: Cho họ ñường tròn (Cm ) :x2+y2- 2mx +4my+5m2- 1=
a) Chứng minh (Cm) ln tiếp xúc với hai đường đường thẳng cố định
b Tìm m để ( C m ) cắt : x2+y2 =1 hai ñiểm phân biệt A B Chứng minh
đường thẳng AB có phương khơng đổi
Bài 21: Trong mp Oxy cho họ ñường cong (Cm ) : x2+y2+ 2mx -6y+4 - m=
a) Chứng minh (Cm ) đường trịn với m Hãy tìm tập hợp tâm đường trịn m
thay ñổi
b) Với m = 4, viết phương trình đường thẳng vng góc với(d): 3x- 4y + 10 = cắt đường trịn hai điểm A, B cho AB=6
Bài 22: Trong mp Oxy cho M (2;
(15)b) Viết phương trình dường thảng d qua M cắt hai nửa trục dương Ox, Oy A B cho diện tích tam giác OAB đvdt
c) Tìm tọa độ tâm I đường trịn nội tiếp tam giác OAB Viết phương trình đường trịn
VIII ELIP
Bài 1: Cho (E) có phương trình 3x2+5y2= 30
a) Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh, tọa ñộ tiêu ñiểm tâm sai
b) Một ñường thẳng d qua tiêu ñiểm F2(2;0) (E) , song song với trục tung, cắt (E)
hai ñiểm A B Tính khoảng cách từ A B tới tiêu điểm F1
Bài 2: Cho elip :
2
= + y
x
ñường thẳng d:x− 2y+2=0 ðường thẳng d cắt elip hai điểm B vàC Tìm tọa độ điểm A elip cho tam giác ABC có diện tích lớn
Bài 3: Trong mp Oxy ,cho elip 2
2 2
> > =
+ với a b
b y a x
a) Gọi E elip, chứng tỏ b≤OE≤a
b) A,B hai ñiểm tùy ý elip cho OA vng góc với OB Hãy xác ñịnh vị trí A, B elip ñể tam giác OAB có diện tích lớn Tìm giá trị lớn
Bài 4: Cho elip
2
2 1
x y
a +b = với tiêu điểm F(-c;0) Tìm điểm elip cho FM ngắn Bài 5: Cho elip
4
2
= +y x
điểm A(-2;0) Gọi M điểm di đơng elip Gọi H hình chiếu M trục Oy Giả sử AH cắt OM P Chứng minh M thay đổi elip P ln ln chạy đường cong ( C ) cố ñịnh Vẽ ñồ thị ñường cong ( C )
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho (E ): x2+4y2= vàhai ñiểm M(-2;m), N(2;n) với m, n > a) Gọi A1, A2 ñỉnh trục lớn (E), A2 có hồnh độ khơng âm Hãy viết
phương trình cácđường thẳng A1N, A2M xác định tọa giao điểm I chúng
b) Cho MN thay đổi cho ln tiếp xúc với ( E ) Tìm qũy tích điểm I
Bài 7: Lập phương trình tắc E biết E nhận hai đường thẳng có phương trình 3x- 2y – 20 =0 x + 6y – 20 = làm tiếp tuyến
Bài 8: Cho (E) có phương trình 16 25
2
= +y
x
a) Viết phương trình tiếp tuyến (E) M( ;2)
3
b) Tìm tọa độ điểm N (E) cho NF1= NF2
Bài 9: Học viện ngân hàng 01 a) Cho elip 2
2 2
= +
b y a x
(16)b) Cho elip
2
2 1
x y
a +b = (E) Tìm hệ thức a, b, k, m ñể (E) tiếp xúc với y= kx + m Bài 10: Trong mp Oxy cho (E) có phương trình
16 25
2
= +y
x
a) Tìm mối quan hệ k m ñểñường thẳng (d): y = kx+ m tiếp xúc với (E)
b) Khi (d ) tiếp tuyến (E), gọi giao ñiểm d với ñường thẳng x = x = -5 M, N Tính diện tích tam giác FMN theo k F tiêu điểm có hồnh độ dương
c) Xác định k để FMN có diện tích lớn Bài 11: Cho elip
4
2
= + y
x
a) Hãy chứng minh tích khoảng cách từ tiêu điểm elip tới tiếp tuyếnbất kỳ số
b) Hãy viết phương trình đường trịn qua giao ñiểm elip ñã cho với elip
16
2
= +y x
IX HYPEBOL
Bài 1: Trong mp Oxy cho hypebol (H):
2
= −y
x
a) Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh, tọa ñộ tiêu ñiểm, tâm sai tiệm cận (H) Vẽ (H) b) Tìm giá trị n để đường thẳng y = nx –1 có điểm chung với (H)
Bài 2: Trên mp Oxy cho (H) có phương trình 3x2-y2 =12
a) Tìm tọa ñộ ñỉnh, tọa ñộ tiêu ñiểm, tâm sai tiệm cận (H) Vẽ (H) b) Tìm giá trị k ñể ñường thẳng y = kx cắt (H)
Bài 3:Trong mp Oxy cho A(0;4) ñường thẳng (D): 4y – =0
a) Chứng minh tập hợp điểm M(x;y) có tỉ số khoảng cách từ đến A đến (D)
3
hypebol Xác ñịnh tiêu ñiểm, tâm sai, tiệm cận
b) Chứng minh tích khoảng cách từ N (H) đến hai tiệm cận số
Bài 4: Cho hypebol (H) có phương trình 4x2-9y2 =36 a) Tìm tọa độ ñỉnh, tiêu ñiểm, tâm sai b) Tìm m ñể (d): 2x-y+m = 0tiếp xúc với (H)
Bài 5: Cho họ đường cong (Cm) có phương trình:
25
2 2
2
± ≠ ≠
= −
+ vớim vàm
m y m
x
(17)b) Giả sử A ñiểm tuỳ ý x = A khơng thuộc trục hồnh Chứng minh với điểm A ln có đường cong họ (Cm) ñi quaA Hỏi số ñường cong ñó có
elip, hypebol?
Bài 6: Cho đường cong (H) có phương trình: x2-4y2 =16 a) Xác ñịnh bán trục vẽ dạng ñường cong (H) b) Lập phương trình tiếp tuyến (H) M(2 5;1)
Bài 7: Lập phương trình tắc hypebol với Ox trục thực, tổng hai bán trục a+b = 7, phương trình hai tiệm cận
4
x y=±
a) Tính độ dài bán trục, vẽ hypebol
b) Lập phương trình tiếp tuyến hypebol song song với đường thẳng có phương trình: 5x – 4y + 10 =
Bài 8: Cho hypebol x2-y2 =1 ñiểm T(xT;yT) hypebol Gọi d tiếp tuyến
hypebol T M, N giao ñiểm d với tiệm cận hypebol a) Viết phương trình tiếp tuyến d
b) Chứng minh T trung ñiểm ñoạn MN
c) Chừng minh diện tích tam giác OMN không phụ thuợc vào T
X PARABOL
Bài 1: Lập phương trình parabol có ñỉnh O(0;0), biết : a) Tiêu ñiểm F( 0;3)
b) ðường chuẩn có phương trình : 2x-5 = c) Trục ñối xứng Oy (P) qua ñiểm M(1; -4)
d) Tiêu ñiểm F trùng với tiêu ñiểm bên trái của elip: 5x2+9y2-45 = e) Tiêu điểm F trùng với tâm đường trịn (C): x2 +y2 +8y – =
f) Tiêu ñiểm F trùng với tiêu ñiểm bên phải (H): 16x2 –9y2 – 144 = g) ðường chuẩn tiếp xúc với đường trịn x2+y2-4=0 song song với Oy
h) Trục ñối xứng Ox chắn đường thẳng (d) : y =x đọan có ñộ dài Bài 2: Cho (P) có phương trình x2 = 2y đường thẳng (d) có phương trình : 2mx – 2y + =
a) Chứng minh với m, (d) qua tiêu ñiểm F (P) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M, N Tìm quỹ tích trung ñiểm I MN m thay ñổi
b) Tính góc tạo tiếp tuyến M, N
(18)Bài 4: Trên mp Oxy, cho parabol y2= 64x đường thẳng có phương trình 4x + 3y + 46 =
Xác ñịnh ñiểm M parabol cho khoảng cách từ đến ñường thẳng ñã cho ngắn Tính khoảng cách ñó
Bài 5: Cho parabol (P): y2= 2x
a) Xác ñịnh ñường chuẩn, tiêu ñiểm (P) vẽ (P)
b) Cho ñường thẳng d: x- 2y + = Tính khoảng cách ngắn (d) (P) Bài 6: Cho parabol y = x2 – 2x elip
9
2
= +y x
a) Chứng minh parabol elip cắt ñiểm phân biệt A, B, C, D
b) Chứng minh ñiểm nằm đường trịn Xác định tâm bán kính đường trịn
Bài 7: Cho parabol (P): y2= 16x
a) Lập phương trình tiếp tuyến (P) cho vng góc với đường thẳng d có phương trình 3x – 2y + =
b) Lập phương trình tiếp tuyến (P) qua M(-1;0)
Bài 8: Trong hệ trục vng góc Oxy cho điểm A( 0; 2) parabol (P) có phương trình y =x2 Xác định điểm M (P) cho AM ngắn Chứng tỏ AM vuông góc với tiếp tuyến (P) M Bài 9: Trên mp tọa ñộ Oxy cho hai ñường parabol y = – 3x – 2x2 y = + 9x + 2x2 Hãy xác ñịnh giá trị a, b cho ñuờng thẳng y = ax + b ñồng thời tiếp tuyến hai parabol xác ñịnh tiếp ñiểm
Bài 10: Cho parabol (P): y = x2 – 2x + ñường thẳng d phương với ñường thẳng y = 2x cho d cắt (P) hai ñiểm A B
a) Viết phương trình d hai tiếp tun (P) A B vng góc b) Viết phương trình d lhi độ dài AB=10
Bài 11: Cho (P):
=
8 27 ; 15
1x2 vàđiểm A y
a) Viết phương trình đường thẳng qua M(-1;
) vng góc với tiếp tuyến (P) M b) Tìm tất điểm N (P) cho AN vng góc với tiếp tuyến (P) N Bài 12: Cho parabol y = x2 – 2x
a) Vẽ ñường parabol