Sử dụng phương pháp giản đồ véc tơ quay giải bài toán dao động điều hòa

Tìm vận tốc trung bình của vật trên đoạn đường từ lúc vật bắt đầu dao động đến vị trí có li độ 5 2 cm lần thứ 2 theo chiều dương... Dạng 5: Xác định thời điểm vật qua một vị trí cho trướ[r]

Trường ĐHSPTN- Khoa Vật lý Bài tập chuyên đề: Sử dụng phương pháp giản đồ véc tơ quay giải bài toán dao động điều hòa Giáo viên hướng dẫn: Thầy Nguyễn Quang Linh Nhóm sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Miền Nguyễn Thị Tân Nguyễn Thị Hà My Thái Nguyên, tháng năm 2010 Lop12.net Mục lục: Nội dung Trang Phấn A: Kiến thức Phần B: Phân loại bài tập I Các dạng bài tập II Phương pháp giải và số bài tập minh họa Phần C: Bài tập Bài toán tổng hợp 13 Lop12.net Phần A: Kiến thức bản:  Cho vật dao động điều hòa quanh vị trí cân theo phương 0x có phương trình: x = A cos(ωt+) (1.1)  Có hệ trục tọa độ hình vẽ: ur A X  O P + ur - Để biểu diễn dao động điều hòa (1.1) người ta dùng véc tơ A có độ dài là A(biên độ), quay quanh điểm O mặt phẳng chứa trục 0x với tốc độ góc là ω ur - Ở thời điểm ban đầu t = 0, góc trục 0x và A là  (pha ban đầu) ur - Ở thời điểm t, góc trục 0x và A là ωt + , góc đó là pha dao động ur - Độ dài đại số hình chiếu vec tơ quay A trên trục 0x là: OP = A cos(ωt+) Đó chính là biểu thức vế phải (1.1) và là li độ x dao động Lop12.net Phần B: Phân loại bài tập I Các dạng bài tập bản: Dạng 1: Xác định thời gian vật từ vị trí x1 đến vị trí x2 Dạng 2: Xác định vị trí thời điểm t Dạng 3: Xác định quãng đường vật khoảng thời gian ∆t Dạng 4: Tính vận tốc trung bình khoảng thời gian ∆t Dạng 5: Xác định thời điểm vật qua vị trí cho trước Dạng 6: Xác định số lần vật qua vị trí khoảng thời gian ∆t II Phương pháp giải và số bài tập minh họa: Dạng 1: Xác định thời gian vật từ vị trí x1 đến vị trí x2: 1.1 Phương pháp giải: Cho phương trình dao động vật có dạng: x = A cos(ωt+) (cm) Bước 1: Xác định vị trí x1 trên đường tròn và N M chiều chuyển động vật(v1>0, v1<0) Bước 2: Xác định vị trí x2 trên đường tròn X2 Bước 3: Biểu diễn dao động điều hòa trên đường tròn - Vật từ vị trí x1 đến x2 tương ứng với chuyển động tròn từ M → N với vận tốc góc ω, bán kính là A · Bước 4: Xác định góc MON =  - Thời gian vật từ vị trí x1 → x2 là : ∆t = 1.2 Bài tập ví dụ : Lop12.net   X1 Bài 1: Một lắc lò xo dao động điều hòa theo phương trình : x = 5cos(5πt +π/2) (cm) Xác định thời gian ngắn vật từ vị trí cân đến vị trí x = 2,5cm theo chiều dương Giải: Tại vị trí cân có : x1=0 và v1>0, ứng với điểm J trên đường tròn - Tại vị trí x2=2,5 cm ứng với điểm N trên đường tròn - Biểu diễn dao động điều hòa trên đường tròn +Vật từ vị trí x1=0 đến vị trí x2=2,5 cm tương ứng với chuyển động tròn từ vị trí J → N với vận tốc góc ω, bán kính A -5 MN 2,5 · +Xác định góc MON = ; sin= = = ON    O 2,5 2,5 H φ M N rad Vậy thời gian vật từ vị trí x1→ x2 là: ∆t =   s  30 Bài 2: Cho lắc lò xo có m= 200g, k=80N/m, ấn xuống lò xo bị nén 6,5cm cung cấp cho vật vận tốc v=60cm/s hướng lên, vật dao động điều hòa, chọn chiều dương hướng xuống dưới, lấy g=10m/s2 Viết phương trình dao động vật Tìm khoảng thời gian lò xo bị nén chu kỳ dao động Giải: Viết phương trình dao động vật: Tại vị trí cân bằng, ta có: P = Fđh ↔ mg = k.∆l mg ↔ ∆l = k →ω = k = 20 rad/s m Lop12.net N Khi ấn xuống lò xo bị nén 6,5cm → đó vật li độ : x = l - ∆l = 6,5 - 2,5 = 4cm, cung cấp vận tốc v = 60cm/s v Biên độ dao động: A = x  ( )2 = 5cm  Phương trình dao động có dạng: x = Asin (ωt+) cm Tại thời điểm t = vật vị trí thấp nhất:  x  A sin   A sin        rad  v  A cos  cos  Vậy phương trình dao động vật: x = 5sin(20t+ π/2) cm -A Khoảng thời gian lò xo bị nén chu kỳ : M1  Ta có :  = t.ω → t =  Khoảng thời gian vật bị nén chu kỳ chính là O khoảng thời gian từ lúc vật từ li độ x = -2,5cm đến +5cm + theo chiều dương   t     4 rad M2 A    s  15 Vậy thời gian lò xo bị nén chu kỳ là :t = π/15(s) 1.3 Bài tập vận dụng : Bài 3: Cho lắc lò xo có m = 250g, k = 100N/m Tại thời điểm ban đầu kéo vật cho lò xo giãn 7,5cm buông nhẹ cho vật dao động điều hòa Chọn trục tọa độ theo chiều dương hướng lên, gốc thời gian là lúc thả vật Viết phương trình dao động vật Tìm thời gian ngắn để vật từ vị trí buông tay tới vị trí không giãn và không nén Tìm khoảng thời gian lò xo bị nén chu kỳ Đáp số :1 x = 5sin(20t - π/2) cm Vị trí lò xo không giãn và không nén(∆l0 = 0) :∆t = π/30(s) Chính lần thời gian vật từ x1 = 2,5cm đến x2 = 5cm : Lop12.net ∆t = π/30(s) Bài 4: Một lắc lò xo dao động điều hòa theo phương trình : x = 2 sin(10t+π/4) cm Xác định thời điểm đầu tiên vật vị trí có li độ x = -2 cm Vật vị trí đó các thời điểm nào Tìm khoảng thời gian ngắn để vật từ vị trí có x1 = -2cm đến vị trí x2 = 2cm Đáp số : ∆t =  (s) Vật vị trí x = -2 các thời điểm :  n ∆t + nT =  (s) ∆t = π/20(s) Dạng : Xác định vị trí vật sau khoảng thời gian ∆t 2.1 Phương pháp giải: Bước : Xác định vị trí x1 vật thời điểm t1 trên đường tròn và chiều chuyển động vật(v>0, v<0) Bước : Xác định góc quay vật sau khoảng thời gian ∆t :  = ω.∆t Bước : Xác định vị trí x2 vật thời điểm t2 trên đường tròn 2.2 Bài tập ví dụ : Bài 1: Cho vật dao động điều hòa có phương trình : x = 8cos(4πt + π) cm Chọn gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động, chiều dương hướng lên Xác định vị trí vật thời điểm 1/6(s) kể từ lúc vật bắt đầu dao động Giải : + Tại t =0: x1= -8cm, v > →vật chuyển động theo chiều dương + t  1 2 s    .t  4  rad 6 + OP = ON cos = ON cos (π - ) = cos  -8 = 4cm x1 O P Vậy vị trí vật thời điểm 1/6(s) kể từ lúc vật bắt đầu dao động là 4cm Bài 2: Cho vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 6cos(2πt +π/2) (cm) Tìm vị trí vật kể từ x=3(cm) sau thời gian t bất kỳ, sau đó 7/12 (s) Lop12.net  N Giải: Tại t = 7/12(s) ta có góc   .t  2 7     12 6 M1 M ∆ φ Chia làm hai trường hợp : O - Nếu vật theo chiều dương : · Góc quay φ = MON , hình bên Vậy vị trí vật là: x = -3 (cm) · O , tương tự ta - Nếu vật theo chiều âm, ta có  = M tìm vị trí vật là : x = 2.3 Bài tập vận dụng : -3 N + Bài 3: Một lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng k, và vật có m = 100g Tại vị trí cân O vật, lò xo giãn 25cm Người ta kích thích cho vật dao động điều hòa dọc theo trục lò xo Chọn gốc tọa độ vị trí cân bằng, chiều dương hướng lên, phương trình dao động vật là:  x = 8cos( t  )cm Nếu thời điểm t1 vật có li độ là 4cm và xuống thì thời điểm 1/3s li độ vật là ? Đáp số: x = - 8cm Bài 4: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình x  20sin 2 t (cm) Vào thời điểm nào đó vật có ly độ là 5cm thì ly độ vào thời điểm 1/8s sau đó là bao nhiêu ? Đáp số: x = 17,2cm -10,2cm Dạng 3: Xác định quãng đường vật sau khoảng thời gian ∆t 3.1 Phương pháp giải: Bước 1: Tính: ∆t = t2 – t1= n.T + t0, suy : S= 4n.A+ S0 Bước 2: Tính S0 : trường hợp đặc biệt: - Nếu t0= T/4→ S0 = A - Nếu t0= T/2→ S0 = 2A - Nếu t0= 3T/4→ S0 = 3A Trường hợp khác: trước tiên xét vị trí x1 thời điểm t1 trên đường tròn và chiều chuyển động vật (v>0, v<0) Sau đó xác định góc quay vật khoảng thời gian t0: =ω.t0, xác định vị trí x2 vật trên đường tròn Từ giản đồ véc tơ suy quãng đường S0 Lop12.net 3.2 Bài tập ví dụ: Bài 1: Cho vật dao động điều hòa có phương trình: x = 10sin(10t – π/2)cm Tính 8 s kể từ lúc vật bắt đầu dao quãng đường mà vật sau khoảng thời gian 15 động Giải: Ta có T = 2   2   s 10 x 10 t 8    t  T  2T  T  2T  t0 T 3  S  2.4 A  S0 x2 OO  x1  10 v1  Tại t = 0:  Tại t = 8 15    .t  10 x1 -10 8 16    5  (rad ) 15 3  x2  5cm Suy  → S0 = x2 – 2.x1 = + 2.10 = 25cm v2  → S = 2.4.10 + 25 = 105cm Bài 2: Cho vật dao động điều hòa có phương trình : x = 8cos(3πt – π/2)cm Tính quãng đường vật sau 11/18(s) kể từ thời điểm t = Giải: Ta có: Tại t = 0: x = và v < → vật chuyển động theo chiều âm Tại t = 11 5 (s) :  = ω.t = π + 18 · Từ giản đồ véc tơ có:  = MON , chiều dương N M O ngược chiều kim đồng hồ, suy quãng đường vật được: S = 3A + = 28 (cm) Vậy quãng đường vật sau 11/18 (s) kể từ t = là S = 28 (cm) 3.3 Bài tập vận dụng: Lop12.net -8 Bài 3: Một lắc lò xo dao động với phương trình: x = 4cos4πt(cm) Xác định quãng đường vật thời gian 3s kể từ lúc vật bắt đầu dao động Đáp số: S = 96cm Bài 4: Cho lắc lò xo treo hình vẽ, g = 10m/s2; π2 = 10 Khi vật vị trí cân lò xo giãn 4cm; t = 0, x0 = -4cm, v0 = 20 (cm/s) Bỏ qua ma sát a Viết phương trình dao động vật b Tính quãng đường vật khoảng thời gian từ t1 = 0,2s đến t2 = 0,6s Đáp số: a x = 8cos( 5 t  2 )cm b S = 32cm Dạng : Tính vận tốc trung bình khoảng thời gian ∆t 4.1 Phương pháp giải: Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: tính vận tốc trung bình khoảng thời gian ∆t thì quy bài toán tìm quãng đường khoảng thời gian đó - Trường hợp 2: tìm vận tốc trung bình trên đoạn đường S thì quy bài toán tính thời gian chuyển động vật trên đoạn đường S 4.2 Bài tập ví dụ: Bài 1: Một vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 2,5cos10πt(cm) Vận tốc trung bình chuyển động 1/8 chu kì kể từ lúc bắt đầu dao động là ? Giải:  x  2,5cm Ta có: t =   v  N → vật vị trí biên - 2,5 T  s    .t  (rad ) Tại t =  40 Từ giản đồ véc tơ ta có: OP = ON cos  2,5.cos  Suy S = PM = OM – OP = 2,5 – 1,76 = 0,74cm Vận tốc trung bình vật là: v    1, 76cm S  0, 74.40  29, 6(cm / s ) t 4.3 Bài tập vận dụng: Lop12.net O 2,5 P M Bài 2: Một vật dao động điều hòa theo trục Ox, vận tốc vật qua vị trí cân là 62,8 cm/s, và gia tốc cực đại vật là 4m/s2, lấy   10 Viết phương trình dao động vật Gốc tọa độ VTCB, gốc thời gian la lúc vật qua vị trí x  5 (cm) theo chiều dương Tìm vận tốc trung bình vật trên đoạn đường từ lúc vật bắt đầu dao động đến vị trí có li độ cm lần thứ theo chiều dương  Đáp án: x  10sin(2 t  )cm v  43,3cm / s Dạng 5: Xác định thời điểm vật qua vị trí cho trước 5.1 Phương pháp giải: Bài toán tổng quát: Cho dao động điều hoà có phương trình: Xác định thời điểm vật qua vị trí x = x1? Biện luận các trường hợp có thể xảy Bước 1: Cần xác định chính xác vị trí vật thời điểm ban đầu trên đường tròn(Vị trí M0) Bước 2: Xác định vị trí mà vật qua theo bài trên đường tròn(vị trí M1 M2) Chú ý - vị trí có toạ độ x=x1 tương ứng có vị trí trên đường tròn, vị trí đó vật theo chiều +(M1) và vị trí đó vật theo chiều âm(M2) Bước 3: Nếu tìm thời điểm qua x1 theo chiều âm ta làm sau: Lop12.net Xác định khoảng thời gian vật từ vị trí M0 tới M1 lần đầu tiên từ công thức: Bước 4: Thời điểm cần tìm là: (1) Bài toán thường gặp: Vật qua vị trí x = x1 lần thứ k theo chiều Trong biểu thức(1) lấy n=k-1 5.2 Bài tập ví dụ: Cho dao động điều hoà có phương trình: x  cos(2 t   )cm Xác định thời điểm vật qua vị trí x=-3cm lần thứ theo chiều âm Giải: Dựa vào phương trình dao động ta xác định vị trí ban đầu vật là vị trí M1 trên đường tròn Vị trí vật qua x = -3cm theo chiều âm là vị trí M2 trên đường tròn   1  s Thời gian vật từ M1 đến M2 là(HV): t    2 (với    rad ; ω = 2π(rad/s) - Thời điểm vật qua vị trí x = -3cm lần thứ theo chiều âm, suy ta có n=3 Thay số ta được: t  t  2n   2.3 19   s 2 5.3 Bài tập áp dụng:  Một vật dao động điều hòa có phương trình: x  10 cos(2 t  )cm Xác định thời điểm vật qua vị trí x = 5cm lần thứ 2009 và 2010 theo chiều dương Lop12.net 12061 12055 s s ; t2 = 6 Dạng 6: Xác định số lần vật qua vị trí cho trước khoảng thời gian ∆t 6.1 Phương pháp giải: Cho vật dao động điều hòa theo phương trình: x  A cos(t   ) Xác định số lần vật qua vị trí x0 khoảng thời gian từ t1 đến t2 - Bước 1: Xác định vị trí vật thời M Đáp số: t1 = M2 điểm t1 là x1, thời điểm t2 là x2 và chiều chuyển động vật(v > 0, v < 0) -A x2 O x0 x1 A - Bước 2: ∆t = t2 – t1 = nT + ∆t0 - Bước 3: Từ hình vẽ ta xác định khoảng thời gian ∆t0 vật chuyển động từ M1 → M2 qua vị trí x0 n0 lần(với n0 = 0,1,2 ) Suy số lần vật qua vị trí x0 khoảng thời gian từ t1 đến t2 là: N = 2n + n0 6.2 Bài tập ví dụ:  Bài 1: Một vật dao động điều hòa theo phương trình: x  3sin(5 t  )cm Trong giây đầu tiên từ thời điểm t = 0, số lần chất điểm qua vị trí có li độ x = +1cm là ? Giải: Ta có: N t T   2,5  t  2,5T  2T  T 0, Từ giản đồ véc tơ có: số lần chất điểm qua vị trí -3 O có li độ x = +1cm là lần Bài 2: Cho vật dao động điều hòa theo phương trình: x  8cos(5 t  M 2 )cm Xác định số lần vật qua vị trí x  2cm từ thời điểm t1 = 1/5(s) đến t2 = 13/15(s) Giải: - Tại thời điểm t1 = 1/5(s) suy x1 = 4cm theo chiều dương - Tại thời điểm t2 = 13/15(s): Lop12.net t  13   s 15   5  M2 10   3  15 O -8 Suy x2 = - 8cm t 10 T    t  T  Ta có: T 3.0, - Từ hình vẽ ta thấy khoảng thời gian M1 2 vật chuyển động từ M1 đến M2 qua vị trí x  2cm lần, suy số lần vật qua vị trí x  2cm từ thời điểm t1 = 1/5(s) đến t2 = 13/15(s) là: N = 2.1 + = lần 6.3 Bài tập áp dụng: Cho vật dao động điều hòa theo phương trình: x  10 cos(2 t   )cm Xác định số lần vật qua vị trí x = 5cm khoảng thời gian từ t1 = 1/2(s) đến t2 = 2s Đáp số: lần Phần C : Bài tập Bài toán tổng hợp: Lop12.net Bài 1: Cho lắc lò xo thẳng đứng có chiều dài l0 = 30cm, g = 10(m/s2), ∆l = 10cm a Tìm chiều dài lò xo vật vị trí cân b Kéo vật khỏi vị trí cân theo phương thẳng đứng đến vị trí lò xo có chiều dài 42cm thả vật có vận tốc 20(cm/s) Chọn t0 = lúc thả vật Viết phương trình dao động c Xác định thời điểm đầu tiên để vật vị trí có li độ x = -2 cm d Tìm khoảng thời gian ngắn để vật từ vị trí có x1 = -2cm đến vị trí x2 = 2cm Đáp số: a L = 40cm b x = 2 sin ( 10t + c t = d t =   ) cm (s)  20 s Bài 2: Cho lắc lò xo hình vẽ: M = 100g, k = 25(N/m), g = 10(m/s2), π2 = 10 Kéo vật theo phương thẳng đứng hướng xuống dưới, kéo khỏi vị trí cân 2cm thả có vận tốc 10π (cm/s) ngược chiều dương Chọn t = lúc thả vật, biết vật dao động điều hòa a Viết phương trình dao động điều hòa b Tìm thời điểm đầu tiên vật qua vị trí lò xo giãn 2cm Đáp số: a x = sin(  t  b t = 5 ) cm s 15  Bài 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = A cos( t  ) cm Kể từ thời điểm ban đầu, quãng đường vật 0,5s là 2A va quãng đường vật 1/3s là 12cm a Tìm biên độ và tần số góc dao động b Tìm li độ vật động nó có giá trị lần Lop12.net c Tại thời điểm t vật qua li độ 6cm theo chiều dương Tìm li độ và vận tốc vật trước đó 2/3s Đáp số: a A = 12cm,   2 (rad/s) b x = 4cm x = - 4cm c xt = 0, v = 45(cm/s) Bài 4: Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = A cos( t   )cm Kể từ thời điểm ban đầu, quãng đường vật 1s là 2A và quãng đường vật 2/3s là 9cm a Tìm biên độ và tần số góc dao động b Tìm li độ vật động nó có giá trị lần c Tại thời điểm t vật qua li độ 3cm theo chiều dương Tìm li độ và vận tốc vật trước đó 4/3s Đáp số: a A = 6cm, ω = π (rad/s) b x = 3 cm c xt = 3, v = 11,25(cm/s) Bài 5: Cho lắc lò xo treo, lấy g = 10m/s2, π2 = 10 Khi vật vị trí cân bằng, lò xo dãn 6,25cm Tại t = 0, x0 = - 2cm, v0  8 3cm / s Bỏ qua ma sát a Viết phương trình dao động vật b Tìm thời điểm vật qua li độ x = 2cm lần thứ hai kể từ t = c Tính quãng đường vật khoảng thời gian từ t1 = 0,25s đến t2 = 0,75s d Xác định số lần vật qua vị trí x  2cm khoảng thời gian từ t1 = 1/2(s) đến t2 = 2/3(s) Đáp số: 2 x  cos(4 t  )cm a Phương trình dao động: b t  t  2n   1   s 12 12 c S = 4A = 16cm d lần Bài 6: Một lắc đơn dao động điều hòa với chu kỳ 4s, biên độ dao động là S0 = 6cm; chọn t = là lúc lắc qua vị trí cân theo chiều dương Tính thời gian ngắn để lắc từ: Lop12.net a Từ vị trí cân đến vị trí S = 3cm b Vị trí S = 3cm đến S0 = 6cm Đáp số: a tmin = 1/3s b tmin = 2/3s Lop12.net