hoäi nghò chaát löôïng laàn iv “naêng suaát chaát löôïng chìa khoaù ñeå caïnh tranh vaø hoäi nhaäp” 211101 boä moân toaùn öùng duïng ñhbk toaùn 4 chuoãi vaø phöông trình vi phaân baøi 5 phöông trình

CHUOÃI VAØ PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN • BAØI 5: PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2. • TS.[r]

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-TỐN 4

CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

NỘI DUNG

-1 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP TRƯỜNG HỢP

GIẢM CẤP

3 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HỆ SỐ HÀM

GIẢM CẤP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

-VD: Giải phương trình vi phân cấp 2: x x

x y

y '' '  cos

Phương trình vi phân caáp 2: F(x, y, y’, y’’) = 0

BT Cơsi: PT chuẩn hố + ĐK đầu  

   

  

 



1

0

0 , '

' , , ''

y x

y y

x y

y y x f y

Giảm cấp bản: Phương trình F(x, y’, y’’) = 0

Nguyên tắc: Đặt u(x) = đạo hàm cấp thấp ẩn y

 x, y ,' y '' 0  u x y' x  u' x y" x : F x,u,u' 0

F

Nghiệm tổng quát PT vi phân cấp chứa số C1, C2 Đáp số: Nghiệm y C x C sin x x cos x

2

1   

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2

-Tuyến tính

(linear): y,y’,y’’ – bậc 1

Hệ số hàm, k0 (vế phải): y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) Ví dụ:

Hệ số hằng, k0 (có vế phải): y’’ + py’ + qy = f(x) Ví dụ:

 1 sin

cos sin

'

'' y x e2 y x x x xy   x  

 3 sin

cos

'

'' y y x x x y    

PT tương ứng: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0

 2

sin '

''y x  e2 y 

xy x

Ví dụ: Tương ứng (1):

GIAÛI PTVP TUYẾN TÍNH C2 THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG -x k x k tn

tq C e C e

y

2    x k x k e

e ,

sở nghiệm

PTVPC2 nhất hệ số y’’ + py’ + qy = 0

PTrình đặc trưng k2 + pk + q = 0

 > 0: k1  k2  R

 < 0: N0 phức

 = 0: k1 = k2  R

  i k i m         , 2 kx kx xe e , sở nghiệm kx kx tn

tq C e C xe

y .  1  2  (thực) sở nghiệm

C x C x

e

y  x 1 cos  2 sin 



x e

x

ex cos  , x sin 

y’’’ –y = 0

y’’ – 5y’ + 6y = 0 y’’ – 4y’ + 4y = 0

y’’ – 2y’ + 5y = 0

SƠ ĐỒ GIẢI PTVP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP n

-PTVP t/tính L[y] = 0 PT đặc trưng (đại số) ẩn k

Tìm đủ n ng k1  kn n hàm sở y1  yn

 



 

n

i

i i y x

C y

1 tq

 k2 – 5k + = 0: N0 2,  ytq = C1e3x + C2e2x  k2 – 4k + = 0: (keùp)  ytq = C1e2x + C2xe2x

 k2 – 2k + =  k1,2 =  2i:  =1,  =  Nghiệm tổng quát ytq.tn = ex(C1cos2x + C2sin2x)

NGHIỆM (HAØM) CƠ SỞ TƯƠNG ỨNG N0 PT ĐẶC TRƯNG

-  

 ytq tn C ek1x

1

x k

e

1 nghiệm sở

kx r

kx

kx xe x e

e

r NCS: , 1 

  



 y C1ekx C2xekx

x e

x

ex cos , x sin 

NCS

   

e C x C x

y x cos sin





x xe

x e

r x x



 

 cos , cos

: NCS

  

e C x C x x

y x

 

 cos cos

2

k1  R: Nghiệm đơn

k  R: bội caáp r

  i: phức

liên hợp, đơn

  i:

boäi cấp r

 2r n0 đơn

PTĐT kn+p

1kn-1

PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT

-VD: Giải ptrình y’’ – 3y’ + 2y = cách nghiệm riêng yr kết hợp với nghiệm tổng quát nhất Nghiệm riêng yr =  ytq = C1ex + C

2e2x + 1

PTVP tuyến tính không cấp n (hệ số tuỳ ý):

 x y  a  x y  a  x y a  x y f    x E

a n n n n

 

 

 1 1 1 '

0 

 PTVP tuyến tính cấp n tương ứng:

    1   1 1     0

0 x y a x y a x y' a x y E

a n  n  n  n 

Nghiệm tổng quát (E) = Tổng quát (E0)+ Nghiệm riêng (E)

nhất âng

riêng.Kho

àn quát.Thua tổng

nhất ng

quát.Khô

tổng y y

TÌM NGHIỆM RIÊNG VỚI VẾ PHẢI ĐẶC BIỆT

-Vế phải: ex[P

n(x)cosx + Qm(x)sin x], Pn, Qm – đa thức

2/ Vế phải chứa ex  y

r chứa ex

3/ Vế phải chứa lượng giác  yr chứa hàm: sin x, cos x (dù vế phải có loại hàm!)

1/ Vế phải chứa đa thức  yr chứa đa thức (hệ số chưa xác định) bậc cao Hằng số  Đa thức bậc 0

4/  + i (vế phải)  nghiệm bội cấp r phương trình đặc trưng  Nhân thêm xr vào y

r cần tìm Không có

hàm mũ   = 0; Khơng có lượng giác   = 0

BA TRƯỜNG HỢP HAY GẶP

-y’’+py’+qy=ex[P

n(x)cosx+Qm(x)sinx],

NĐT: nghiệm đặc trưng; H: đa thức bậc

n,m

max 

 

 x P

: phải Vế

Ng.riêng yr:

(*)  NĐT cấp r.

         * x H x x H r

VP: đa thức

0  

  i

 x P ex  

Ng rieâng yr:

(*)   NĐT cấp r

         * x H e x x H e x r x  

VP: muõ

0   

Vế phải: Lượng giác

 x x Q  x x Pn cos   m sin 

Nghiệm riêng yr có dạng:

             * sin cos sin cos x H x R x x x H x x R r    

Baäc R = Bậc H (*) i  NĐT bội cấp r

 



NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT (SGK, trang 150)

-Nghiệm tổng quát ytq phương trình vi phân tuyến tính có vế phải: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) + f2(x) biểu diễn qua:

 Nghiệm tổng quát ytq.0: y’’ + p(x)y’ + q(x)y =  Nghiệm riêng yr.1 cuûa pt: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f1(x)

 Nghiệm riêng yr.2 pt: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f2(x)

Công thức chồng chất: ytq = ytq.0 + yr.1 + yr.2

Ý nghĩa: Tách phương trình có vế phải dạng tổng phức tạp

VẾ PHẢI TỔNG QUÁT  BIẾN THIÊN HẰNG SỐ

-Vế phải: y’’ + py’ + qy = f(x)  Tìm yr từ ytq.tn: Biến thiên số C1 = C1(x), C2 = C2(x)

VD: y’’ – 3y’ + 2y = lnx

PTVP tuyến tính k0 y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) & nghieäm tổng quát ytq.tn = C1y1(x) + C2y2(x).

   

  1 2   2       1

1

2

1

' ,

' '

' '

'

0 '

'

C D

D x

C D D x

C x

f y

x C

y x C

y x C

y x

C x y

 

 

  

 

 

Tìm nghiệm riêng phương trình không nhất: Xem

PTVP TUYẾN TÍNH C2 HỆ SỐ HÀM (THAM KHẢO)

-N0 sở thứ nhì: y2(x) = C(x)y1(x)

 

 

2

1

2

' y C y C y

y e x

C tqtn

dx x p

 

 

 

Nghieäm tq y = C1y1 + C2y2 + yr

PTVPC2 nhất: y’’ + p(x)y’+q(x)y = 0

Tìm nghiệm đặc biệt y1: Đoán dạng (x, đa thức) gợi ý

PTVPC2TT toång quát hệ số hàm y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)

Ng riêng pt k0 tn: Biến thiên số C1

= C1(x), C2 = C2(x)   

 

 

 

x f y

C y

C

y C y

C

' ' '

'

0 '

'

2

1

2

PHƯƠNG TRÌNH EULER - CÔSI

-Thuần ax2y’’ + bxy’ + cy =  nghiệm sở y = xm

PT hệ số hàm: anxny(n) + a

n-1xn-1y(n-1) + … a0y = f(x)  Dễ

tìm nghiệm sở đưa hệ số hằng

Dấu hiệu: Hệ số xk đạo hàm cấp k  y(k) (0  k  n)

2 nghiệm thực phân biệt m1  m2 Nghiệm kép m  Phức: m1,2 =   i

2

2

m m

tq C x C x

y  

x x

C x

C

ytq  1 m  2 m ln

   

C x C x 

x

ytq   1 cos  ln  2 sin  ln

 

0

 

 

c

m a b

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

-a/ x2y’’–xy’–8y = b/ 4x2y’’+y = c/x2y’’–3xy’+13y = 0

PTrình Euler: anxny(n) + a

n-1xn-1y(n-1) + … a0y = f(x)

Đổi biến x = et  y’(x) = y’(t).t’(x), y’’(x) = …

VD: Giải phương trình x2y’’ – 2xy’ + 2y = ln2x + ln(x2)

anxny(n) + … + a

0y =

PTĐT theo m: g(m) =  n nghiệm (thực, phức)  n nghiệm (hàm) sở

m  R: đơn  NCS y =xm

m R: boäi r  xm,xmlnx …

m

x y 

   

  

  



x x

y

x x

y i

ln sin

ln cos

  



BAØI TOÁN BIÊN

-Phân biệt với tốn Cơsi cấp 2:  

           1, '

, ' , , " 

 y a

a y a x y y x f y VD:              B b y y b x y y , 0 , " B b

y( )   C2 sin b B

             : , sin : , sin : sin B b B b k b

b  1 nghiệm

vơ nghiệm vơ số nghiệm Bài tốn biên cấp 2, nghiệm sở sin, cos  Vô số nghiệm

VD:              B b y y b x y y , 0 , "           

 y b

a y b x a y y x f y , ) ( ), ' , , ( ''