Kyõ thuaät haøm soá chöùng minh daõy giaûm.[r]
(1)BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-TỐN 4
CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
• BÀI 1: CHUỖI SỐ (PHẦN 2)
(2)NOÄI DUNG
5- TIÊU CHUẨN D’ALAMBERT (TỶ SỐ), CÔSI
7- CHUỖI ĐAN DẤU TIÊU CHUẨN LEBNITZ
(3)CHUỖI DƯƠNG
- dương hội tụ bị chặn: M n u M n
k
k
1
:
Dấu hiệu so sánh 1: un, vn với < un vn, n N0
vn (chuỗi lớn) htụ un (nhỏ) htụ: un (nhỏ) ph.kỳ vn (lớn) ph.kỳ:
vn un
un vn
Dãy tổng riêng {Sn}:
Chuỗi dương un, un > n N0
VD: Khảo sát hội tụ chuỗi
1 1
1 /
n n
a
1
1 /
n n
b
1
2
1
/
n n n
n n
(4)CHUỖI ĐIỀU HOAØ (CHUỖI RIEMAN)
-Tính tổng riêng Lập bảng giá trị {n Sn} Tính chất hội tụ: “Đốn” tính hội tụ chuỗi:
1 1
2 / / / n n n n c n b n a
Chuỗi điều hoà (Rieman)
1 1
n n
n k k 1 2000000000 21.99362868 4000000000 22.68677586 6000000000 23.09224097 8000000000 23.37992304 10000000000 23.60306659 n n k k 1 2000 87.99354447 4000 125.0386585 6000 153.4654350 8000 177.4306720 10000 198.5446431 n
Chuỗi Rieman hội tụ > 1 So sánh với chuỗi Rieman
(5)DẤU HIỆU SO SÁNH 2
- n n n
n n
n v k u kv
u
0, ~
lim :2 chuỗi chất hội tụ
Chuỗi dương un, vn (từ số N0) Nếu tồn giới hạn
k=0 un < vn n N1 & k= un > vn: Aùp dụng so sánh
Ngun tắc: Dùng tương đương, so sánh un với chuỗi 1/n
(tương tự tích phân suy rộng!) Một số trường hợp áp dụng khai triển Mac – Laurint theo x = 1/n với un
VD: Khảo sát hội tụ chuỗi:
1 1
1 /
n n n n
a
1
2
4
3 /
n n
n
n n
b
1
1 1
/
n
n
e n
c
2 ln
1 ln
/ *
n n
n n
d Tìm lim Khảosát
(6)TIÊU CHUẨN D’ALAMBERT (TỶ SỐ)
-VD: Khảo sát un:
n n
n n u
a / !
2 ! !
/
2
n n u
b
n
n n
n n
n n e u
c / !
d = & un+1/un n N0: chuỗi un phân kỳ (đkiện cần!)
Dấu hiệu D’Alambert dùng cho chuỗi có tỷ số un+1/un “đơn giản”: chuỗi chứa giai thừa mũ
d = Khơng lim un+1/un: chuỗi hội tụ lẫn phân
kỳ Ví dụ:
1
1
n n
a/ d < 1: Hoäi tụ b/ d > 1: Phân kỳ
d u
u
n n
n
1
lim
(7)TIÊU CHUẨN CÔSI (TIÊU CHUẨN CĂN)
-q = Không lim (un)1/n : kết luận
1
1
n
n
n n
VD:
1
2
1
1
n
n
n n
1
1
n n
q = vaø (un)1/n 1: Chuỗi phân kỳ (điều kiện cần)!
TC Côsi: Chuỗi chứa hàm mũ (hoặc luỹ thừa bậc n)
q u
n n n
lim
(8)CHUỖI DẤU BẤT KỲ
-VD:
1 ln3
sin
n
n
n
1
sin
n
n n
x
1
1
1
n
n
n
Kết luận:
|un| hội tụ un hội tụ: hội tụ tuyệt đối |un| phân kỳ, un hội tụ: bán hội tụ
un phân kỳ |un| phân kỳ
Chuỗi |un| hội tụ Chuỗi un hội tụ & gọi hội tụ tuyệt đối
(): Sai |un| phân kỳ un hội tụ: Bán hội tụ
(9)TIÊU CHUẨN D’ALAMBERT (COSI) VỚI CHUỖI DẤU
-
n
n n
n
n n
n n
u u u
n
n 1
1
lim :
1
3
!
:
Xét
dụ Ví
|un| phân kỳ (D’Alambert) un phân kỳ (đkiện cần!)
n
n n
n n n
n n
u u
n
:lim
3 ln
:
2
Xét dụ
Ví
|un| phân kỳ (với TC Côsi) un phân kỳ (đkiện cần!)
Khảo sát |un| , áp dụng tiêu chuẩn D’Alambert (Côsi)
|un| hội tụ un hội tụ tuyệt đối
(10)CHUỖI ĐAN DẤU
- (–1)n-1bn = b1 – b2 + b3 – … (bn > 0): chuỗi đan dấu
n b n n n n : 1 : 1 với dấu đan Chuỗi dụ Ví
Tchuẩn Lebnitz: Nếu dãy {bn} giảm: b1 > b2 > … > bn > … và tiến 0: limbn = chuỗi đan dấu (–1)n-1b
n hội tụ
Kỹ thuật hàm số chứng minh dãy giảm VD:
1 ln3
(11)MINH HOẠ HỘI TỤ LEBNITZ
-s1 b1
-b2 +b3
-b4 +b5
-b6
s2 s4 s6 s s5 s3
0
1 1 2 & lim
3
1
n n
n n
n b b b b S b b b
(12)ƯỚC LƯỢNG TỔNG CHUỖI ĐAN DẤU
-Dãy {bn}: b1 > b2 > … > … Trị tuyệt tổng riêng Sn | b1 |: | b1 – b2 + b3 – … + bn | | b1 | & Sn dấu b1 Tương tự, ước lượng phần dư: |Rn| = |bn+1–bn+2 + …| |bn+1 |
VD: Chứng minh chuỗi sau hội tụ
1 10
3
2
1
2
n
n
n
về tổng S Tính gần S với sai số 10-1
Chuỗi đan dấu Xác định công thức bn kiểm tra dãy Thiết lập lim bn = Hội tụ theo tiêu chuẩn Lebnitz
(13)ÔN TẬP CHUỖI SỐ
-CHUỖI an: TỔNG VÔ HẠN = limn TỔNG RIÊNG Sn
n
n n
n n
n S a a a
a
1 2
1
lim
lim giới hạn: HỘI TỤ
DƯƠNG: an, an
[Hội tụ Bị chặn]
So sánh 1,
D’Alambert, Côsi
DẤU BẤT KỲ:
Hội tụ tuyệt đối: |an| hội tụ
an hội tụ
ĐAN DẤU:
(1)nbn, bn >
{bn} giaûm, lim bn = Hội tụ
ĐIỀU KIỆN PHÂN KỲ: lim 0
n
n a