Đang tải... (xem toàn văn)
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû baèng vaøi phöông phaùp khaùc (boå sung) - Taùch moät haïng töû thaønh nhieàu haïng töû.. - Theâm bôùt cuøng moät haïng töû.[r]
(1)Ngày dạy: 6/3/2010
CHUYấN 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A Mơc tiêu:
- Củng cố nâng cao kiến tức phân tích đa thức thành nhân tử - Hs biết áp dụng vào làm tập
- Rèn kĩ t cho học sinh B Chuẩn bị:
C Tiến trình dạy học
A CC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức
Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thông thường: - Đặt nhân tử chung (thừa số chung)
- Dùng đẳng thức đáng nhớ - Nhóm nhiều hạng tử
Phân tích đa thức thành nhân tử vài phương pháp khác (bổ sung) - Tách hạng tử thành nhiều hạng tử
- Thêm bớt hạng tử
- Đặt ẩn phụ (còn gọi đổi biến số) - Tìm nghiệm đa thức
- Quy tắt HORNER (Hót - Nơ)
B MỘT SỐ BÀI TỐN:
I PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT, TÁCH, NHĨM HẠNG TỬ
Bài1 Phân tích đa thức thành nhân tử A = x2y2(y - x) + y2x2(z - y) - z2x2(z - x)
Cách 1: Khai triển hai ba số hạng, chẳng hạn khai triển hai số hạng đầu nhóm số hạng làm xuất thừa số chung z - x
A = x2y3 – x3y2 + y2z3 – y3z2 – z2x2(z – x) = y2(z3 – x3) – y3(z2 – x2) – z2x2(z – x)
= y2(z – x)(z2 + zx + x2) – y3(z – x)(z + x) – z2x2(z – x) = (z – x)(y2z2 + y2zx + x2y2 – y3z – y3x – z2x2)
= (z – x)[y2z(z – y) – x2(z – y)(z + y) + y2x(z – y) = (z – x)(z – y)(y2z – x2z – x2y + y2x)
= (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)] = (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz)
Cách 2: Để ý rằng: (z – y) + (y – x) = (z – x) Do ta có: A = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2[(z – y) + (y – x)]
= x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2(z – y) – z2x2(y – x)
= (y – x)(x2y2 – z2x2) + (z – y)(y2z2 – z2x2)
= (y – x)x2(y – z)(y + z) + (z – y)z2(y – x)(y + x)
= (y – x)(z – y)(- x2y – x2z +yz2 + xz2)
(2)= (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy)
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) a3 + b3 + c3 -3abc
b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3
Lời giải:
a) Các hạng tử đa thức đa thức cho không chứa thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức đáng nhớ nào, khơng thể nhóm số hạng Do ta phải biến đổi đa thức cách thêm bớt hạng tử để vận dụng phương pháp phân tích biết
a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc)
= (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
b) Cách 1: Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c a + b + c = Khi theo câu a ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = hay a3 + b3 +c3 =3abc
Vaäy: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)
Cách 2: Để ý rằng: (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 (y – z) = (y – x) + (x – z)
(x – y)3 + (y –z)3 + (z – x)3 =
= [(y – x) + ( x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3
= (y – x)3 + 3(y – x)(x – z){(y – x) + (x – z)] + (x – z)3 – (x – z)3 – (y – x)3
Bài 3: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử. X3 – 7x –
Cách 1: Tách số hạng -7x thành – x – 6x, ta có: X3 – 7x – = x3 – x – 6x –
= x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) = (x + 1)( x2 – x – 6)
= (x + 1)(x + 2)(x – 3) Cách 2: Tách số hạng – = – 14 ,ta coù:
X3 – 7x – = x3 + – 7x – 14
= (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7( x + 2)
= (x + 2)(x2 – 2x + 3)
= (x + 2)(x + 1)(x – 3) II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHU
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
b) 4x(x + y)(x + y + z) (x + z) + y2z2
(3)Ta coù: (x + x + 1)(x + x +2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12
= ( y – 3)(y + 4)
Do đó: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x +5)
b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2
= 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y2z2
= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2
Đặt: x2 + xy + xz = m, ta coù
4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y2x2 = 4m(m + yz) + y2z2
= 4m2 + 4myz + y2z2
= ( 2m + yz)2
Thay m = x2 +xy +xz, ta được:
4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
* DẠNG ĐẶC BIỆT
Xét Q(x) = ay2 + by + c Nếu có số m, n cho m.n = a.c, m + n = b
thì ay2 + by + c = ay2 + (m + n)y + m.n/a hay ay2 + by + c =a(y + m/a)(y + n/a)
(*) nói riêng a = y2 + by +c = ( y + m)(y +n).Trong trường hợp a, b, c
nguyên trước hết phân tích hai số nguyên m.n cho giá trị tuyệt đối m và n nhỏ b sau chọn m, n thoả mãn m + n = b.
§a thức dạng: P(x) = ax4 + bx2 + c
Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 áp dụng HĐT (*).
Ví dụ: Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử.
Giải: Đặt y = x2 ,có Q(y)= 6y2 + 19y + 15
Tìm m, n cho m.n = 90 m + n = 19 với m < 19, n < 19 Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10, ta có:
6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15
= 3y(2y + 3) + 5(2y +3) = (2y + 3)(3y + 5)
Do doù P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5)
Đa thức dạng P(x) = (x +a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d Cách giải: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) y = (x + c)(x + d) hoặc
y2 = x2 + (a + b) x
Ví dụ: Phân tích P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15 thành nhân tử.
Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = a + b = =c + d Biến đổi:
P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15
Đặt y = x2 + 5x + P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 15
= y2 +2y – 15
(4)= y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y +5)
Do doù P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9)
Tổng quát: Nếu đa dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) thoả
maõn a1b1 = c1d1 vaø a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2) biến
đổi
Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)
với a1b1 = c1d1 a2b2 = c2d2
Ví dụ: Phân tích P(x) = (3x +2)(3x – 5)(x – 9)(9x + 10) + 24x2 thaønh nhân
tử
Giải: Dễ thấy a1b1 =3.3 = 9.1 = c1d1 vaø a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2
P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + 9x – 10) + 24x2
Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 P(x) trở thành:
Q(y) = y(y + 10x) = 24x2
Tìm m.n = 24x2 m + n = 10x ta chọn m = 6x , n = 4x
Ta được: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2
= (y + 6x)(y + 4x)
Do doù P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10).
Đa thức dạng: P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = k = -1
Cách giải: Đặt y = x2 + k biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử ay2 +
bxy sử dụng HĐT (*).
Ví dụ: Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 – 9x2 – 3x + thành nhân tử.
Giải: Đặt y = x2 – suy y2 = x4 – 2x2 + 1
Biến đổi P(x) = 2(x4 – 2x2 + 1) + 3x3 – 5x2 – 3x
= 2(x2 – 1)2 + 3x( x2 – 1) – 5x
Từ Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2
Tìm m, n cho m.n = - 10x2 m + n = 3x chọn m = 5x , n = - 2x
Ta coù : Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2
= 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2
= 2y(y – x) + 5x(y – x) = ( y – x)( 2y – 5x)
Do doù , P(x) = (x2 – x – )(2x2 + 5x – 2).
Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2
Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d/b biến đổi P(x) dạng chứa hạng
tử y2+ bxy sử dụng HĐT (*).
Ví dụ: Phân tích P(x) = x4 - x3 – 10x2 + 2x + thành nhân tử.
Giải: Dễ thấy b = 1, d = 2, e =4 đặt y = x2 – suy y2 = x4 – 4x2 + 4
Biến đổi P(x) = x4 – 4x2 + – x3 – 6x2 + 2x
= (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2
(5)Tìm m, n cho m.n = - 6x vaø m + n = - x chọn m = 2x, n = -3x Ta có Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2
= y(y + 2x) – 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y – 3x)
Do doù, P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2).
* Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách
treân
Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +c
Cách giải: Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 biến đổi P(x) dạng mx4 + nx2 + p Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) 4 – 16 thành nhân tử.
Giải: Đặt y = x – lúc dó P(x) trở thành Q(y) = (y – 1)4 + ( y + 1) 4 – 16
= 2y4 + 12y2 – 14
= 2(y2 + 7)( y2 – 1)
= 2(y2 + 7)(y – 1)(y + 1)
Do doù P(x) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x – 1).
BÀI TẬP vỊ nhµ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. 1) A(x) = (48x2 + 8x – 1)(3x2 + 5x + 2) – 4
2) B(x) = (12x – 1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) – 330 3) C(x) = 4(x2 + 11x + 30)( x2 + 22x + 120) – 3x2
4) D(x) = (7 – x)4 + ( – x)4 –
5) E(x) = x4 – 9x3 + 28x2 – 36x + 16
6) F(x) = x4 – 3x3 – 6x2 + 3x + 1
Buổi Ngày soạn: /3/2010
Ngày d¹y: 10 /3/2010
CHUN ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
(6)- Cđng cố nâng cao kiến tức phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp khác
- Hs biết áp dụng vào làm tập dạng nâng cao - Rèn kĩ t cho học sinh
B Chuẩn bị:
C Tiến trình dạy häc
IV TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
Nếu đa thức P(x) có nghiệm x = a ta phân tích P(x) thành tích hai thừa số (x – a) Q(x)
P(x) = (x – a) Q(x)
Muốn tìm thừa số Q(x), ta chia đa thức cho nhị thức (x – a)
Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt x = a x = b ta phân biệt đa thức P(x) thành tích ba thừa số (x – a), (x – b) Q(x)
P(x) = (x – a)(x – b) Q(x)
Muốn tìm Q(x), ta chia đa thức P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x
+ab, ta có thương phép chia Q(x)
Nếu đa thức P(x) có nghiệm số kép x1 = x2 = a thìsao?
Thế nghiệm số kép?
Giả sử P(x) có nghiệm x = a suy P(x) = (x – a)Q(x) Q(x) lại có nghiệm x = a suy Q(x) = (x – a) R(x) Do đó, ta có: P(x) = (x – a)2R(x).
Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a
Vậy: Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a P(x) = (x – a)2R(x)
Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x3 – 2x – thành nhân tử
Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – có số nghiệm x = 2
Do đó, ta có P(x) = ( x – 2)Q(x)
Chia đa trhức P(x) = x3 – 2x – cho nhị thức x – , ta thương số là
Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1
Suy P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2)
Vaäy P(x) = x3 – 2x – = ( x- 2)(x2 + 2x + 2)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x –
Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) có nghiệm phân biệt -1 Vì P(-1) = P(2) =
Do P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x)
Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x2 – x – , ta thương
đúng phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + = (x + 1)2 + 1
Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2)
Vaäy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2).
(7)Quy tắt Hót – Nơ giúp chia nhanh đa thức cho nhị thức bậc
Bài toán: Giả sử chia đa thức
P(x) = a0xn + a1xn -1 + a2xn – + a3xn – + … + an chia nhị thức x - a
Bậc đa thức thương Q(x) nhỏ bậc P(x) đơn vị Q(x) = b0xn – + b1xn – + b2xn – + …… + bn -
Số dư r số bậ r < bậc (x – a)
Ta coù: a0xn + a1xn – + a2xn – + … + an = (x – a)(b0xn -1 + b1xn – + … + bn – 1) + r
Cân hệ số, ta có: b0 = a0
b1 = a1 + ab0
b2 = a2 + ab1
b3 = a3 + ab2
……… bn – = an – + abn -
r = an + abn -1
Ta xếp thành bảng sau:
a0 a1 a2 ……… an - an
a b0 = a0 b1 = a1 +ab0 b2 = a2 +ab1 bn – = an -1 + abn - r = an + abn -1
Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = 3x4 – 4x3 + thành nhân tử.
Giaûi: Ta coù P(1) = – + =
Suy ra, đa thức P(x) chia hết cho (x – 1) P(x) = (x – 1)Q1(x)
Ta xác định Q1(x) quy tắt Hót – Nơ
3 -4 0
1 -1 -1 -1 r = p(1)
= Do Q1(x) = 3x3 – x2 – x –
Nhận xét Q1(x) = suy Q1(x) = (x – 1)Q2(x)
Ta xác định Q2(x) cách sử dụng quy tắt Hót – Nơ:
(8)3 -1 -1 -1
1
Suy ra: Q2(x) = 3x2 + 2x + 1, khơng phân tích thành nhân tử
Do đó, ta có: P(x) = 3x4 – 4x3 + = (x – 1)2(3x2 + 2x + 1).
Bài tập nhà: Bài 26, 28, 43,45 Sách nâng cao đại số 8
Buæi Ngày soạn:
Ngày dạy:
PHNG PHAP HE SO BẤT địNH
A Mơc tiªu:
- Hớng dẫn học sinh cách áp dụng phơng pháp hệ số bất định vào giải tốn nh tìm hệ số đa thức, phân tích đa thức, rút gọn biểu thức
- Hs biết áp dụng vào làm tập dạng nâng cao - Rèn kĩ t cho häc sinh
B ChuÈn bÞ:
C TiÕn trình dạy học
I ) KIN THC C BN
1 ) Định lí :
a) Nu a thức với giá tṛ biến th́ hệ số hạng tử
đều 0
Nếu đa thức f(x) = an xn+an-1xn-1 + + a1x + a0 = với x Q th́ = ( i = 0;1;2;3; n) b) Nếu hai đa thức bậc mà đẳng với với giá tṛ
biến th́ hệ số hạng tử đồng dạng
cho hai đa thức f(x) = an xn+an-1xn-1 + + a1x + a0 g(x) = bnxn+ bn-1xn-1
+ + b1x+ b0
Neáu f(x) = g(x) th́ = bi ( i = 0;1;2;3; n )
2 ) Định lý Bơzu :
a) Đ̣nh lý : Nếu đa thức f(x) chia cho nḥ thức ( x - a ) có số dư r th́ r = f(a)
b) Hệ : Nếu đa thức f(x) chia hết cho ( x- a) th́ f(a) =
Từ hệ ta suy đa thức f(x) chia hết cho (x - a) th́ phân tích đa thức f(x) thành nhân tử th́ có chứa thừa số x-a Điều có nghĩa f(x) ( x - a) th́ f(x) = (x - a ) q(x)
II ) LOẠI TỐN VỀ TÍNH TỐN HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC
Bài : Khơng làm phép tính , haơy viết đa thức sau dạng tắc
(9)Giải : đa thức sau biến đổi đa thức bậc biến x , sau biến đổi có dạng
A x3 + Bx2 +Cx + D Theo baøi ta coù
(x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - = A x3 + Bx2 +Cx + D với xQ
cho x = th́ D =
cho x = th́ A + B + C + D = A + B + C = (1) ;
cho x = - th́ -A + B - C + D = -7 -A + B - C = - 10 (2)
cho x= th́ 8A + 4B + 2C + D = 4A + 2B + C = (3)
Lấy (1) + (2) ta 2B = - 10 B = - A + C =
Từ (3) ta có 4A + C = 11 ; ( 4A + c) - ( A + C ) = 3A = A = C =
Vậy đa thức cần t́m 2x3 - 5x2+ 3x + hay
(x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - = 2x3 - 5x2+ 3x + 3
Bài ) Viết đa thức 3x3 + 4x - dạng luơy thừa giảm dần x - 1.
Giải
Cách 1: Ta có 3x3 + 4x - = a(x - 1)3 + b(x - 1)2 + c(x - 1) + d
= a x3 + ( b - 3a)x2 + (3a - 2b + c)x -a + b - c + d
cho neân a = b - 3a =
3a - 2b + c = a = ; b = ; c = 13 ; d = -a + b - c + d = -1
caùch : cho x = th́ d =
cho x = th́ -a + b - c + d = -1 -a + b - c = -7(1)
cho x = -1 th́ -8a + 4b - 2c + = -8 -8a + 4b - 2c = -14 hay -4a + 2b - c = -7(2)
cho x = th́ a + b + c + d = 31 a+ b + c = 25 (3)
Từ (1) (3) ta 2b = 18 b = ; a + c = 16 (4) ; từ (2) (4) ta có 4a +
c = 25
v́ vaäy a = ; c = 13
Vaäy 3x3 + 4x - = 3(x - 1)3 + 9(x -1)2 + 13(x -1) + 6
Bài : Cho đa thức x3 + mx + n = (x - 1)(x - 2)(x + a)
Tính a; m;n
Giải : Vế phải = x3 + (a - 3)x2 + (2 - 3a)x + 2a
Cho neân a - = ; - 3a = m ; 2a = n a = ; n = ; m =
Bài : T́m a , b để đa thức x4 + 4x3 - 8x2 + ax +b b́nh phương đa thức
x2 + mx + n
Giải :ta có x4 + 4x3 - 8x2 + ax +b = (x2 + mx + n)2
= x4 + m2x2 + n2 + 2mx3 + 2nx2 + 2mnx
= x4 + 2mx3 + (m2 + 2n)x2 + 2mnx + n2
(10) 36 24 2 2 b b n a a mn n n m m m
Bài : Với giá tṛ a b để đa thức x4 + 2x3 - a x2 + 3x + b chia hết cho đa thức x2 + 3x - 1
Giaûi :
Thực phép chia đa thức x4 + 2x3 - a x2 + 3x + b x2 + 3x - 1
x 4 + 3x3 - x 2 x2 - x + (4 - a)
- x3 + (1 - a)x2 + 3x + b
- x 3 - 3x + x2
(4 - a)x2 + 2x + b
( - a)x2 + ( 12 - 3a)x -(4 - a)
(3a - 10)x + (b - a + 4) Để đa thức x4 + 2x3 - a x2 + 3x + b (x2 + 3x - ) (3a - 10)x + (b - a + 4) =
0 với
cho neân 0 4 0 10 3 a b a
a = 103 ;b 32
Bài : Xác đ̣nh a , b đa thức 2x4 - 6x3 + a x2- 7x + chia hết cho đa thức
x2 - x + b.
Giaûi :
Thực phép chia 2x4 - 6x3 + a x2- 7x + x2 - x + b
2x 4 - 2x3 + 2bx2 2x2 - 4x + a - 2b - 4
- 4x3 + (a - 2b)x2 - 7x +3
- 4x + 4x3 2 - 4bx
(a -2b -4)x2 + (4b-7)x +3
(a -2b - 4)x2 - (a-2b-4)x + b(a-2b-4)
(a+2b-11)x +3-b(a-2b-4) Để đa thức 2x4 - 6x3 + a x2- 7x + chia hết cho đa thức x2 - x + b
Û (a+2b-11)x +3-b(a-2b-4) = với x
0 4 2 3 0 11 2 ) b a( b b a Từ a+2b - 11 =0 a = 2b + 11(1)
Từ - b(a-2b-4) = - ab + 2b2 + 4b = (2) Thay (1) vào (2) ta
(11)hay 4b - 7b + = (b - 1)(4b - 3) = b = b = 3/4
ta có hai cặp soá ( a,b) = ( ; 1) ; ( 19/2 ; 3/4)
Bài ) Chứng minh không tồn số a, b,c ,m , n ,p cho với x , y , t th́
(a x + by + ct )(mx + ny + pt ) = x2 + y2 + t2
Giaûi
Giả sử tồn số a,b,c,m,n,p cho
x2 + y2 + t2 = (a x + by + ct )(mx + ny + pt )
= am x2 + bny2 + cpt2 + (an + mb)xy + (ap +mc)xt +
(bp + nc)yt
am = bn = cp = (1)
an + bm = ap + cp = bp + nc = (2) Từ (1) ta có am = bn ba mn (3)
Từ (2) ta có an = -mb ba mn (4) ,
nhân vế (3) với (4) ta 1
2
b a hay m
n n m b a b
a điều vô lí v́
b́nh phương số số không âm
Vậy khơng tồn số a, b,c ,m , n ,p cho với x , y , t th́ (a x + by + ct )(mx + ny + pt ) = x2 + y2 + t2
Bài : Xác đ̣nh a , b để đa thức a x4 + bx3 + chia hết cho đa thức (x - 1)2
Giải : Đặt f(x) = a x4 + bx3 + 1
Theo hệ đ̣nh lý Bơ Zu ta có : f(x) = a x4 + bx3 + (x - 1)2 , neân f(x) = a x4
+ bx3 + (x - 1)
f(1) = a + b + = b = -a -1 thay vào f(x) ta có
f(x) = a x4 + bx3 + = a x4 - a x3 - x3 + = a x3(x - 1) - (x - 1)(x2 + x + ) = (x - 1)
(a x3 - x2 - x - 1)
Đặt g(x) = a x3 - x2 - x - Maø f(x) (x - 1)2 neân g(x) (x - 1)
Vaäy g(1) = a -1 -1 -1 = a = vaø b = -4
Vậy a = , b = - th́ đa thức a x4 + bx3 + chia hết cho đa thức (x - 1)2
Bài : Xác đ̣nh a,b,c cho đa thức 2x4 + a x2 + bx + c chia hết cho x - ,
chia cho x2 - th́
dư 2x + Giải
Đặt f(x) = 2x4 + a x2 + bx + c , v́ f(x) (x - 2) neân f(2) = 32 + 4a + 2b +c =
hay 4a + 2b + c = -32 (1)
Theo baøi f(x) chia cho (x2 - 1) dư 2x + nên ta coù f(x) = 2x4 + a x2 + bx + c =
(x2 - 1).q(x) + 2x +5
(12)f(-1) = + a - b +c = a - b + c = (3)
Lấy (2) - (3) ta 2b = b = , a + c = 3(4)
Lấy (1) - (4) ta 3a = -39 a = -13 c = 16 Vậy đa thức cần t́m 2x4 -13 x2 + 2x + 16
III) SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT Đ ̣ NH ĐỂ GIẢI TỐN
Loại phân tích thành nhân tử
Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : ( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3
Giaûi
Đa thức sau khai triển thu gọn ta đa thức bậc tập hợp biến , biến a ,b ,c có vai trò đa thức Nếu a = -b a = -c b = -c th́ đa thức có giá tṛ V́ phân tích đa thức thành nhân tử thí có chứa thừa số a + b ; b+ c ; c + a
Vaäy ( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3 = k(a + b) (a + c)(b + c)
Laáy a = b = c = th́ 8k = 24 k =
Vaäy ( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b) (a + c)(b + c)
Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử : a2b2(b - a) + b2c2(c - b) - a2c2(c - a)
Giaûi
Đa thức sau khai triển thu gọn ta đa thức bậc tập hợp biến , biến a ,b ,c có vai trị đa thức Nếu a = b ; b = c ; a = c th́ đa thức có giá tṛ
Nên sau phân tích thành nhân tử đa thức có chứa nhân tử b - a ; c - b , c - a
Vậy đa thức có dạng a2b2(b - a) + b2c2(c - b) - a2c2(c - a) = k(b - a)(c - b)(c -
a)(ba + ac + bc)
Laáy a =0 , b = , c = -1 th́ k =
Vaäy a2b2(b - a) + b2c2(c - b) - a2c2(c - a) = (b - a)(c - b)(c - a)(ba + ac + bc)
Bài : Phân tích thành nhân tử x3 - 3x -
Giaûi
đa thức x3 - 3x - sau phân tích thành nhân tử se chứa nhân
tử đa thức bậc , nên Mà với x = th́ x3 - 3x - = - - =
theo hệ đ̣nh lý Bơ Zu sau phân tích x3 - 3x - thành nhân tử có chứa
nhân tử (x - 2)
Vaäy x3 - 3x - = (x -2 )(x2 +mx + n )
Cho x = - (1 + m + n) = -4 hay m + n =
Cho x = -1 -3(1 - m + n) = hay - m + n = -1 Từ m = , n = Vậy x3 - 3x - = (x -2 )(x2 +2x + ) = (x - 2)(x + 1)2
Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên M = x2 - 5xy + y2 + x + 2y - 2
(13)V́ M đa thức bậc hai tập hợp biến x y nên M viết dạng
M = (x + ay + b)(x + my + n) ( a,b,m,n Z )
= x2 + (m + a)xy + amy2 + (n + b)x + (na + bm)y + bn
2 bn mb na n b a m am
từ bn = -2 b = -1 n = b = n = -1
Neáu b = -1 , n = a = -1 , m = -4 Neáu b = , n = -1 a = -4 , m = -1
V́ số cho ta kết neân M = (x - y - 1)(x - 4y + 2) Vaäy : x2 - 5xy + y2 + x + 2y - = (x - y - 1)(x - 4y + 2)
Loại rút gọn biểu thức
Bài ) Rút gọn biểu thức sau với a, b,c đôi khác (x + b)(x + c)(a b a c )( ) ((b c b ax c x a )()( )) ((x a x bc a c b)()( ))
Giaûi
Biểu thức sau rút gọn đa thức bậc hai biến x Do sau biến đổi có dạng
mx2 + nx + p
cho x = -a ta ma2 - na + p = (1)
x = -b ta mb2 - nb + p = 1(2)
x = -c ta mc2 - nc + p = 1(3)
Laáy (1) - (2) m(a + b) - n = 0(4) va a b
(1) -(3) m(a + c) - n = 0(5) va a c (4) - (5) m( b - c) = m = va b c
Từ n = , p =
Vaäy (x + b)(x + c)(a b a c )( ) ((b c b ax c x a )()( )) ((x a x bc a c b)()( ))
=
IV ) MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài ) Xác đ̣nh f(x) biết f(x - 1) = x3 - 5x2 + 7x + 2
Bài 2 ) a - T́m đa thức bậc f(x) biết f(x) - f(x - 1) = x
b - T́m đa thức bậc f(x) biết f(x) - f(x - 1) = x(x + 1) Áp dụng tính tổng 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 1998 1999 Bài ) T́m số thực m , n , p , q cho
x4 + = (x2 + px + q)(x2 + mx + n )
Bài 4) Xác đ̣nh a vaø b cho
(14)b) a x4 + bx + chia heát cho (x - 1)2
Bài 5) Giả sử n > , xác đ̣nh a xn - a xn - 1 + a x - chia hết cho (x - )2
Bài 6) Xác đ̣nh a , b , c cho f(x) = 2x4 + a x2 + bx + c chia heát cho ( x - 2) ,
khi chia cho (x2 - 1) thi dö 3x + 2
Bài 7) Bằng phương pháp hệ số bất đinh hay phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) 3x3 - 5x + 2
b) x3 - 19x - 30
c) 2x2 - 21xy - 11y2 - x + 34y - 3
Bài 8) Khơng làm tính nhân hay viết đa thức sau dạng tắc (x - 1)(x - 2)(x + 3) + 5x +
Bài 9) Xác đ̣nh a , b cho x3 + a x2 - 3x + b chia cho x - dö , chia cho x +
dö -4
Bài 10) Phân tích thành nhân tử
a) a(b2 - c2) + b(c2 - a2) + c(a2 - b2)
b) a3(b2 - c2) + b3(c2 - a2) + c3(a2 - b2)
c) 8x3(y + z) - y3(z + 2x) - z3(2x - y)
d) x3(z - y2) + y3( x - z2) + z3(y - x2) + xyz(xyz - 1)
e) (x + y)7 - x7 - y7
Baøi 11)
a) T×m số ngun a để có (x - a)(x - 1992 ) + = (x + b)(x + c) với x b ,c Z
b)T×m k Z cho ( x - k)(x - 10) + phân tích thành tích hai đa thức bậc với hệ số nguyên