Đang tải... (xem toàn văn)
Gi¸o viªn muèn chän 3 häc sinh xÕp vµo bµn ghÕ cña líp, trong ®ã cã Ýt nhÊt 1 nam.[r]
(1)Chuyờn 1
Phơng trình lợng giác A Công thức lợng giác cần nhớ
I Một số công thức lợng giác cần nhớ
1) 2 2
2
1
sin x cos x 1;1 tan ;1 cot
cos sin
x x
x x
2) tanx sin ;cot x cos ;tan
cos sin cot
x x
x
x x x
3) C«ng thøc céng:
sin( ) sin cos cos cos( ) cos cos sin sin
a b a b asinb
a b a b a b
4) Công thức nhân đôi: sin2x = 2sinxcosx
cos2x = cos2x – sin2x = cos2x – = - sin2x
5) C«ng thøc h¹ bËc:
2 cos 2 cos
cos ;sin
2
x x
x x
6) Công thức nhân ba:
Sin3x = 3sinx – 4sin3x; cos3x = 4cos3x – 3cosx.
7) C«ng thøc biĨu diƠn theo tanx:
2
2 2
2 tan tan tan
sin ;cos ;tan
1 tan tan tan
x x x
x x x
x x x
8) Cơng thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos cos cos( ) cos( )
2
sin sin cos( ) cos( )
2
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
9) Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin sin 2sin cos
2
sin sin 2cos sin
2
cos cos 2cos cos
2
cos cos 2sin sin
2
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
(2)B Một số dạng tập vê phơng trình lợng giác
Dạng Phơng trình bậc hai.
Bài Giải phơng trình sau:
1) 2cosx - 2 = 2) 3tanx – =
3) 3cot2x + 3 = 4) 2sin3x – =
5) 2cosx + sin2x = Bài Giải phơn trình sau:
1) 2cos2x – 3cosx + = 0 2) cos2x + sinx + = 0
3) 2cos2x + 2cosx – = 4) cos2x – 5sinx + = 0
5) cos2x + 3cosx + = 6) 4cos2x - 4 3cosx + =
7) 2sin2x – cosx + 7
2 = 8) 2sin
2x – 7sinx + =
9) 2sin2x + 5cosx = 5.
Bài Giải phơng trình:
1) 2sin2x - cos2x - 4sinx + = 0 3) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + = 0
3) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3 4) cos2x + sin2x + 2cosx + = 0
5) 3cos2x + 2(1 + + sinx)sinx – (3 + 2) =
6) tan2x + ( 3 - 1)tanx – 3 = 0 7) 3cot
2
sin x x
8) 4sin 22 6sin2 3cos2 0
cos
x x x
x
9) cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2) 1
sin
x x x x x
x
Dạng Phơng trình bậc i vi sinx v cosx
Bài Giải phơng trình sau:
1) 4sinx 3cosx = 2) sinx - 3cosx =
3) 3sin3x + cos3x = 4) sin4x + 3cos4x = 2 5) 5cos2x – 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx =
Bài Giải phơng trình:
1) 3 cos3xsin 3x 2 2) 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin 33 x
3)cos7 cos5x x 3 sin 2x 1 sin sin5x x 4) cos7x 3 sin 7x 2 5) 2(sinxcos )cosx x 3 cos 2x
Dạng Phơng trình đẳng cấp bậc hai sin côsin.
1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - = 2) sin2x – 3sinxcosx + = 3) 3sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x +
2
4) 3sin (32 ) 2sin(5 ) cos( )
2
x x x
5sin (2 )
2 x
5) a) 3 sin cos
cos
x x
x
; b) 4sin 6cos
cos
x x
x
6) cos2x – 3sinxcosx – 2sin2x – = 7) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - = 10) sin x - 3sinxcosx 5cos x = 52
Dạng Phơng trình đối xứng sinx cosx:
Bài Giải phơng trình sau:
1) (2 2)(sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 + 2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx =
(3)4) sinx – cosx + 4sinxcosx + = 5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = Bài Giải phơng trình:
1) 2(sinx + cosx) - sinxcosx = 2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) =
2 .
3) cos sin 10
cos sin
x x
x x
4) sin3x + cos3x =
2 .
5) sinx – cosx + 7sin2x =
6) (1 2)(sinx cos ) 2sin cosx x x 1 7) sin 2 sin( )
4
x x 8) sinx cosx 4sin 2x1 9) + tgx = 2sinx
(4)C Bµi tËp tù luyện
Bài 1. Giải phơng trình sau: 1) sin3x =
2 11) sin(2x - 3) = sin(x + 1)
2) cos2x = -
2 12) tan(3x + 2) + cot2x =
3) tan(x + 60o) = - 3 13) sin3x = cos4x
4) cot
7 x
=
1
3 14) tan3x.tanx =
5) sin2x = sin
x
15) sin(2x + 50
o) = cos(x + 120o)
6) tan
x
= tan 3x
16) - 2sin2x =
7) cos(3x + 20o) = sin(40o - x) 17) 2cos
3
x
- =
8) tan
x
= - cot 2x
18) 3tan
2 20
o
x
+ =
9) sin(2x - 10o) = 1
2 víi -120
o < x < 90o 19) 2sinx - 2sin2x = 0
10) cos(2x + 1) =
2 víi - < x < 20) 8cos
3x - = 0 Bài 2. Giải phơng trình:
1) sin2x = 1
2 11) sin
2x + sin22x = sin23x
2) cos23x = 12) sin 2cos 2
4
x x
tan2x =
3) sin4x + cos4x = 1
2 13) (2sinx + 1)
2 - (2sinx + 1)(sinx - 3 2) =
4) sinx + cosx = 14) sinx + sin2x + sin3x =
5) cosx.cos3x = cos5x.cos7x 15) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 6) cos2x.cos5x = cos7x 16) + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
7) sin3x.cos7x = sin13x.cos17x 17) cos7x + sin22x = cos22x - cosx
8) sin4x.sin3x = cosx 18) sinx + sin2x + sin3x = + cosx + cos2x 9) + 2cosx + cos2x = 19) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x
10) cosx + cos2x + cos3x = 20) cosx - cos2x + cos3x =
2 Bµi 3 Giải phơng trình:
1) 2sin2x - 3sinx + = 0 2) 4sin2x + 4cosx - = 0
3) tan
6 x
+ 2cot 2x
- = 4)
2
2
+ (3 - 3)cot2x - - = sin 2x
5) cot2x - 4cotx + = 6) cos22x + sin2x + =
7) sin22x - 2cos2x + 3
4 = 8) 4cos
(5)9) tan4x + 4tan2x + = 0 10) cos2x + 9cosx + =
11) 12
cos x + 3cot 2x = 5 Bài 5 Giải phơng trình sau:
1) 3sinx + 4cosx = 2) 2sin2x - 2cos2x = 2
3) 2sin
4
x
+ sin x
=
2
4) 3cos + 4sinx + =
3cos + 4sinx -
x
x
5) 2sin17x + 3cos5x + sin5x = 6) cos7x - sin5x = 3(cos5x - sin7x) 7) 4sinx + cosx = + 3tanx
Bài 6 Giải phơng trình:
1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - = 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 3) sinx - cosx + 4sinxcosx + = 4) cos3x + sin3x = 1
5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + = 6) sin2x - 3(sinx + cosx) + = 7) 2(sinx - cosx) + sin2x + = 8) sin2x + 2sin(x - 45o) = 1
9) 2sin2x + 3sinx + cosx + =
10) (sinx - cosx)2 + ( 2 + 1)(sinx - cosx) + 2 = Bài 7 Giải phơng trình
1) sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 2) cos2x - 3sinxcosx + =
3) cos2x - sin2x - 3sin2x = 1
4) 3sin2x + 8sinxcosx + (8 3 - 9)cos2x =
5) 4sin2x + 3 3sin2x - 2cos2x = 4
6) 2sin2x + (3 + 3)sinxcosx + ( 3 - 1)cos2x = 1
7) 2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 8) cos22x - 7sin4x + 3sin22x = 3 Bài 8 Giải phơng trình
1) 4cos2x - 2( 3 + 1)cosx + 3 = 0 2) tan2x + (1 - 3)tanx - = 0
3) cos2x + 9cosx + = 4) sin22x - 2cos2x + 3 =
5) 2cos6x + tan3x = 6) 12
cos x + 3cot 2x = 5 Bài 9 Giải phơng trình
1) sin2x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1
2) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 3) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx
4) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2x + 1
5) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x 6) sin(4x + π
4)sin6x = sin(10x + π 4)
7) (1 + tan2)(1 + sin2x) = 1
(6)1) (1 - cos2x)sin2x = 3sin2x
2) sin4x - cos4x = cosx
3) + 1πcos(x - ) = - cotx
1 + cosx 2(1 + cotx)
4) - (2 + 2)sinx =
2 2 + cot x
5) tan2x = 1 - cosx - sinx
6) 2(sin3x + cos3x) + sin2x(sinx + cosx) = 2
7) cosx(1 - tanx)(sinx + cosx) = sinx 8) (1 + tanx)(1 + sin2x) = + tanx 9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x
Bài 10 Giải phơng trình 1) sinx + cosx - sin2x
3 - =
2) (1 + 2)(sinx + cosx) - sin2x - ( + 2) = 3) tanx + tan2x = tan3x
4)
1 cosx sinx =
x 1 - cosx cos
(7)D Một số Bài thi đại học vê phơng trỡnh lng giỏc
Bài 1 Giải phơng trình
1) (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 2sin2x
2) tan2x - tanxtan3x = 2
3) 5 - 3sin x - 4cosx2 = - 2cosx
4) cos3xtan5x = sin7x 5) tanx + cotx = 6) sin
1 + sinx
x
+ 2cosx =
7) 2tanx + cotx = +
sin2x
8) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x) 9) 2sin3x(1 - 4sin2x) = 1
10)
2
cot x - tan x
= 16(1 + cos4x) cos2x
11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x =
16
12) cos10x + cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x
13) sin2xcosx = 1
4 + cos
3xsinx
14) sin6x + cos6x = cos4x
15) sin4x + cos4x = 7
8 cot(x + π 3)cot(
π - x)
16) sinxcot5x =
cos9x
17) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x
18) 2sin3x -
sinx = 2cos3x + cosx
19) cos3xcos3x + sin3xsin3x =
20)
4
sin + cos x =
sin 2
x
x (tanx + cotx)
21) + tanx = 2sinx 22) cosx - sinx = 2cos3x
23) 3sin - 2cos x = 2 + 2cos2xx
24) sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 2sin2x
25) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 26) 2sin(3x +
4
(8)Bài 2 Giải phơng trình 1) sin4 x
3
+ cos x
3 =
5
2) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0
3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx =
4)
2
2
(1 - cosx) + (1 + cosx) + sinx
- tan xsinx = + tan x
4(1 - sinx)
5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
6) cos6x + sin6x = 16 Bài 3 Giải phơng trình 1) cos2 + 3cot2x + sin4x =
cot - cos2x
x
x 2)
2
4sin 2x + 6sin x - - 3cos2x = cosx
3)
2 cosx(2sinx + 2) - 2cos x -
=
1 + sin2x 4) sin4x = tanx
5) cos2x + sin2x 2cosx + = 6) sin3x + 2cos2x - =
7) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3
2 8) + cos2x + 5sinx =
9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 10) 4cos3x + 3 2sin2x = 8cosx Bài 4 Giải phơng trình lợng gi¸c
1) cosx + 3sinx = -
cosx + 3sinx + 2) 3sin3x - 3cos9x = +
4sin33x
3) cos7xcos5x - 3sin2x = - sin7xsin5x 4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sÜnx - 1) 5) 4(sin4x + cos4x) + 3sin4x = 2 6) 4sin3x - = 3sinx - 3cos3x
7) 3sin2x + cos2x = 2 8) 2(sinx + cosx)cosx = +
cos2x
9) cos2x - 3sin2x = + sin2x
Bài 5 Giải phơng trình (biến đổi đa dạng tích) 1) sin3x -
3sin
2x = 2sinxcos2x
2) sin22x + cos28x = 1
2 cos10x
3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = - 4cos2x
4) cosxcosx
2 cos 3x
2 - sinxsin x sin
3x =
1
5) tanx + tan2x - tan3x = 6) cos3x + sin3x = sinx - cosx
7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x
8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = - 4cos2x
9) 2cos3x + cos2x + sinx =
10) sin3x - sinx = sin2x
11) cos sin
1 sin
x
x x
12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 13) cos4x
2 - sin 4x
(9)14) - 4cos2x = sinx(2sinx + 1)
15) 2sin3x + cos2x = sinx
16) sin2x + sin22x + sin23x = 3
17) cos3x + sin3x = sinx - cosx
18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x)
19) sin2x = cos22x + cos23x
20) sin23x - sin22x - sin2x =
21) + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x
23) 2sin3x - cos2x + cosx =
24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 25) 2cos2x = 6(cosx - sinx)
26) 4cos3x + 3 2sin2x = 8cosx
27) sin3x + sin2x = 5sinx
Bµi 6 Giải phơng trình 1) sin3x - sinx
1 - cos2x = cos2x + sin2x víi < x < 2
2) sin(2x + 5π
2 ) - 3cos(x - 7π
2 ) = + 2sinx víi π
2 < x < 3
3) cos7x - 3sin7x = - 2 víi 2π < x < 6π
5
Bµi 7 Tìm giả trị lớn nhất, giá trị nhỏ cña: 1) y = 2sin2x + 3sinxcosx + 5cos2x
2) y = cosx + 2sinx +
2cosx - sinx + kho¶ng ( - ; )
3) y = 4sin2x + 2sin(2x + )π
4) y = sinx - cos2x + 1 Bài 8 (Các đề thi ĐH, CĐ mới)
1) A_02 Giải phơng trình: sin + cos3x + sin3x
1 2sin2x
x
= cos2x +
2) D_02 Tìm nghiệm thuộc [0; 14] phơng trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - =
3) A_03 Giải phơng trình: cotx - = cos2x
1 + tanx + sin 2x - 1
2sin2x
4) D_03 Gi¶i phơng trình: sin2(x -
4)tan
2x - cos2x =
5) D_04 Giải phơng tr×nh: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x - sinx 6) A_05 Giải phơng trình: cos23xcos2x - cos2x =
7) D_05 Giải phơng trình: cos4x + sin4x + cos(x - π
4)sin(3x - π 4) -
3 =
8) A_05_dự bị1 Tìm nghiệm khoảng (0 ; ) phơng trình: 4sin2x
2 - 3cos2x = + 2cos
2(x - 3 )
9) A_05_dự bị Giải pt: 2cos3( x - π
(10)10) D_05_dự bị Giải pt: tan(3
2 - x) + sin cos
x x
=
11) D_05_dự bị Giải pt: sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - = 12) A_06_dự bị Giải pt: cos3xcos3x - sin3xsin3x = 2 +
8
13) A_06_dự bị Giải pt: 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx =
14) B_06_dù bÞ Gi¶i pt: (2sin2x - 1)tan22x + 3(2cos2x - 1) =
15) B_06_dự bị Giải pt: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 16) D_06_dù bị Giải pt: cos3x + sin3x + 2sin2x = 1
17) D_06 Gi¶i pt: cos3x + cos2x - cosx - =
18) A_07 Giải phơng tr×nh: (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = + sin2x
19) B_07 Giải phơng trình: 2sin22x + sin7x - = sinx
21) D_07 Giải phơng tr×nh: (sin2 x
2 + cos 2x
2 )
2 + 3cosx = 2
22) CĐ_07 Giải phơng trình: 2sin2(
4 - 2x) + 3cos4x = 4cos 2x - 1
23) A_08 Gi¶i phơng trình:
1
+ = 4sin - x
3π
sinx sin x -
2
24) B_08 Giải phơng trình: sin3x - 3cos3x = sinxcos2x - 3sin2xcosx
(11)Chuyên đề 2 Đại số tổ hợp A Một số dng toỏn thng gp
I) quy tắc cộng quy tắc nhân:
Bi 1: Vi cỏc ch số 1, 2, 3, 4, lập đợc bao nhiêu: 1) Số lẻ gồm chữ số khác nhau?
2) Số chẵn gồm chữ số bất kú?
Bài 2: Có đờng nối liền điểm A điểm B, có đờng nối liền điểm B điểm C Ta muốn từ A đến C qua B, từ C trở A qua B Hỏi có cách chọn lộ trình ta khơng muốn dùng đờng làm đờng hai chặng AB BC?
Bài : Có miếng bìa, miếng ghi chữ số 0, 1, 2, 3, Lấy miếng bìa đặt lần lợt cạnh từ trái sang phải để đợc số gồm chữ số Hỏi lập đợc số có nghĩa gồm chữ số có số chẵn?
Bài 4: Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Từ chữ số lập đ ợc số, số gồm chữ số đôi khác không chia hết cho 10
Bài 5: Một ngời có áo, có áo sọc áo trắng; có quần, có quần đen; có đơi giày, có đơi giầy đen Hỏi ngời có cách chọn mặc áo - quần - giày, nếu:
1) Chọn áo, quần giày đợc
2) Nếu chọn áo sọc với quần giày đợc; chọn áo trắng mặc với quần đen i giy en
II) hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp:
Bài 1: Có n ngời bạn ngồi quanh bàn tròn (n > 3) Hỏi có cách xếp cho:
1) Có ngời ấn định trớc ngồi cạnh
2) ngời ấn định trớc ngồi cạnh theo thứ tự định
Bài 2: Một đội xây dựng gồm 10 công nhân kỹ s Để lập tổ công tác cần chọn kỹ s làm tổ trởng, công nhân làm tổ phó cơng nhân làm tổ viên Hỏi có cách lập tổ cơng tác
Bµi 3: Trong mét líp häc cã 30 häc sinh nam, 20 häc sinh n÷ Líp häc cã 10 bàn, bàn có ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu:
a) Các häc sinh ngåi tuú ý
b) C¸c häc sinh ngồi nam bàn, học sinh nữ ngåi cïng bµn
Bài 4: Với số: 0, 1, 2, …, lập đợc số lẻ có chữ số
(12)Bài 6: Tìm tổng tất số có chữ số khác đợc viết từ chữ số: 1, 2, 3, ,
Bài : Trong phòng có hai bàn dài, bàn có ghế Ngời ta muốn xếp chỗ ngåi cho 10 häc sinh gåm nam vµ nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu:
1) C¸c häc sinh ngåi tuú ý
2) Các học sinh nam ngồi bàn học sinh nữ ngồi bàn
Bi 8: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 6, thành lập đợc số chia hết cho gồm chữ số khác
Bài 9: Từ chữ câu: "Trờng THPT Lý Thờng Kiệt" có cách xếp từ (từ khơng cần có nghĩa hay khơng) có chữ mà từ chữ "T" có mặt lần, chữ khác đôi khác từ khơng có chữ "Ê"
Bài 10: Cho A tập hợp có 20 phần tử a) Có tập hợp cđa A?
b) Cã bao nhiªu tËp hợp khác rỗng A mà có số phần tử số chẵn?
Bi 11: 1) Có số chẵn có ba chữ số khác đợc tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6?
2) Có số có ba chữ số khác đợc tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, nà số nhỏ số 345?
Bài 12: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số thiết lập đợc, có số mà hai chữ số không đứng cạnh nhau?
Bài 13: Một trờng tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, có cặp anh em sinh đơi Cần chọn nhóm học sinh số 50 học sinh dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, cho nhóm khơng có cặp anh em sinh đơi Hỏi có cách chọn
Bài 14: Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập đợc số có ba chữ số khác khơng lớn 789?
Bài 15: 1) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi thành lập đợc số có bãy chữ số từ chữ số trên, chữ số có mặt ba lần, cịn chữ số khác có mặt lần
2) Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ ngời cho tổ có học sinh giỏi tổ có hai học sinh
Bài 16: Số nguyên dơng n đợc viết dới dạng: n = 23 57
. . .
Trong , , , số tự nhiên
1) Hái sè c¸c íc sè cđa n bao nhiêu?
(13)III) toán c¸c sè Pn, k n
A , Ckn:
Bài 1: Giải bất phơng trình:
3 4 1 3 1 14 1 P A C n n n
Bµi 2: Tìm số âm dÃy số x1, x2, , xn, … víi: xn =
n n n P P A 4 143 2 4 4
Bài 3: Cho k, n số nguyên k n; Chứng minh:
k n k n k n k n k n k
n C C C C C
C 4 1 6 24 3 4 4
Bài 4: Cho n số nguyên Chøng minh: Pn = + P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n - 1)Pn -1
Bài 5: Cho k n số nguyên d¬ng cho k < n Chøng minh r»ng:
1 1 1 1 2 1
1
kn kn kk kk
k
n C C C C
C
VI) nhị thức newton:
Bài 1: Chứng minh rằng: 13 1 2 23 2 3 33 3 4 1
n n n n nn n
n
n .C .C n.C n.
C
Bài 2: Khai triển rút gọn đơn thức đồng dạng từ biểu thức:
1x91x10 1x14 ta đợc đa thức:P(x) = A0 + A1x + A2x2 + … + A14x14
Hãy xác định hệ số A9 Bài 3: 1) Tính
1 0
1 x ndx (n N)
2) Từ kết chứng minh rằng:
1 1 2 1 1 3 1 2 1
1 1 2 1
n C n C C n n n n n
Bµi 4: Chøng minh r»ng: 2.1.Cn2 3.2.C4n nn 1Cnn nn 1.2n2
Bµi 5: TÝnh tỉng S = C1n 2.Cn2 3.C3n 4.Cn4 1n1nCnn (n 2)
Bµi 6: Chøng minh r»ng: 16 16
16 2 16 14 1 16 15 0 16
16 3 3 2
3 C C C C
Bài 7: Tìm hƯ sè cđa x5 khai triĨn cđa biĨu thøc sau thành đa thức:
f(x) = 2x14 2x152x16 2x17 Bµi 8: Trong khai triĨn cđa 10
3 2 3 1
x thành đa thức:
P(x) = 10
10 9 9 1
0 a x a x a x
a H·y t×m hƯ sè ak lín (0 k 10) Bài 9: Tìm số nguyên dơng n cho: C0n2C1n4C2n 2nCnn 243
(14)Bài 11: Với n số tự nhiên, hÃy tính tổng:
1) n n n n Cnn
n C C C 1 1 1 3 1 2
1 1 2
0
2) n n n n Cnn n
n C . C . C C 2 1 1 2 4 1 2 3 1 2 2
1 1 2 2 3 3
0
Bµi 12: Cho ®a thøc P(x) = (3x - 2)10
1) T×m hƯ sè cđa x2 khai triĨn P(x)
2) Tính tổng hƯ sè khai triĨn trªn cđa P(x)
Bài 13: Biết tổng tất hệ số khai triĨn nhÞ thøc: n
x2 1 b»ng 1024 h·y t×m
hệ số a (a số tự nhiên) số hạng a.x12 khai triển Bài 14: Trong khai triển nhị thức:
n x x x 15 28
3 h·y t×m số hạng không phụ thuộc vào
x biết rằng: CnnCnn1Cnn2 79
Bµi15: Chøng minh:
1 4 4 3 3 2 1 1
1 2 32 42 3
2n Cn n Cn . n Cn . n Cn nCnn n. n
Bài 16: Tìm số hạng không chứa x khai triĨn cđa biĨu thøc:
17 4 3 2 1 x x
x
Bµi 17: Khai triĨn nhÞ thøc:
n x n n n x x n n x n x n n x n n x x C C C C 3 1 3 2 1 1 3 1 2 1 1 2 1 0 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2
2 BiÕt r»ng
khai triển 3 5 1
n
n C
C số hạng thứ t 20n, tìm n vµ x
Bµi 18: Trong khai triĨn:
21 3 3 a b b
(15)B Bµi tËp tù lun
Bài 1. Với chữ số 0,1,2,3,4,5, lập đợc bào nhiêu số có chữ số khác nhau?
Bài 2. Dùng chữ số 2,3,4,6,8 để viết thành số gồm chữ số khác Hỏi: a Bắt dầu chữ số
b Bắt đầu chữ số 36 c Bắt đầu ch÷ sè 482
Bài 3. Dùng chữ số 1,2,3,4,5,6 để viết thành số tự nhiên gồm chữ số khác Hỏi:
a Cã bao nhiªu sè nh
b Có số bắt đầu bëi ch÷ sè
Bài 4. Cho chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Hỏi lập đợc số có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số
Bài 5. Với chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập đợc số có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số
Bài 6. Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số thiết lập đợc có số mà chữ số đứng
Bài 7. Cho A = {0,1,2,3,4,5} lập đợc số chẵn, số có chữ số khác
Bµi
a Từ chữ số 4,5,6,7 lập đợc số có chữ số phân biệt b Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập đợc số chẵn gồm chữ số đơi khác nhau?
Bµi 9. Cho tËp E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Hái cã bao nhiªu sè tù nhiªn gồm chữ số khác chia hết cho 5?
Bµi 10 Mét tËp thĨ gåm 14 ngêi gåm nam nữ, ngời ta muốn chọn tổ công tác gồm ngời Tìm số cách chọn cho tổ phải có nam nữ?
Bài 11 Một nhóm học sinh gồm 10 ngời, có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 hoc sinh thành hàng dọc cho học sinh nam phải đứng liền nhau?
Bài 12 Có hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng, viên bi vàng Chon ngẫu nhiên viên bi lấy từ hộp
Hỏi có cách chọn để số viên bi lấy không đủ màu?
Bài 13. Một lớp có 20 học sinh có cán lớp Hỏi có cách cử ngời dự hội nghị sinh viên trờng cho ngời có cán lớp?
Bài 14. Một đội văn nghệ có 20 ngời có 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn ngời cho:
1 Có ngời nam ngời
2 Có nam nữ ngời
(16)Bài 16. Một lớp học có 30 học sinh nam 15 học sinh nữ Có học sinh đợc chọ để lập tốp ca Hỏi có cách chọn khác
1 Nếu phải có nữ Nếu phải chän tuú ý
Bài 17 Một tổ học sinh gồm nam nữ Giáo viên muốn chọn học sinh xếp vào bàn ghế lớp, có nam Hỏi có cách chọn?
Bµi 18. Chøng minh r»ng:
Bµi 19. Chøng minh r»ng:
Bµi 20. Víi n số nguyên dơng, chứng minh hệ thức sau:
Bµi 21. Chøng minh r»ng:
Bµi 22. TÝnh tỉng:
Bµi 23. TÝnh tỉng:
Bµi 24. Chøng minh r»ng:
Bµi 25. Cho n lµ mét sè nguyên dơng:
a Tính : I =
1
)
( x ndx
b Tính tổng:
Bài 26. Tìm số nguyên dơng n cho:
Bài 27. Tìm số nguyên d¬ng n cho:
Bài 28. Tìm số tự nhiên n thảo mãn đẳng thức sau:
Bµi 29. TÝnh tỉng:
, biÕt r»ng, víi n lµ sè nguyên dơng:
(17)Bài 31. Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức của:
Bµi 32 Gäi a3n - lµ hƯ sè cđa x3n - khai triĨn ®a thøc cđa:(x2 + 1)n(x + 2)n
Tìm n để a3n - = 26n
Bài 33 Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thøc Newton cña
n
x x
4
1
BiÕt r»ng: 220
1 2
1
1
2
n n n
n C C
C
Bài 34. Tìm số hạng không chứa x khai triĨn nhÞ thøc Newton cđa:
víi x >
Bài 35. Tìm số hạng thứ khai triĨn nhÞ thøc:
;
Bài 36 Cho :
Sau khai triên rút gọn biểu thức A gồm số hạng?
Bài 37. Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Newton
, biết rằng:
Bài 38. khai triển biểu thức (1 - 2x)n ta đợc đa thức có dạng:
Tìm hệ số , biết ao+a1+a2 = 71
Bài 39 Tìm hệ số x5 khai triển đa thức:
Bài 40. Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thøc
n
x
x
3
2
BiÕt r»ng:
(18)(19)chuyên đề Phơng pháp quy nạp Toán học Bài 1 Chứng minh
a) 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n(3n - 1) = n2(n + 1) víi n N*
b) + + 27 + + 3n = 1
2(3
n + 1 - 3) víi n N*
c) 12 + 32 + 52 + + (2n - 1)2 = (4 1)
3
n n víi n N*
d) 13 + 23 + 33 + + n3 =
2( 1)2
4
n n
víi n N*
e) 12 + 22 + 32 + + n2 = ( 1)(2 1)
6
n n n
víi n N*
f) 2462nn(n1) víi n N*
g)
2 ) n ( n ) n (
4
1 víi n N*
h) 1.4 2.7 n(3n 1) n(n 1)2
víi n N*
i)
3 ) n )( n ( n ) n ( n
3 2
1 víi n
k)
3
) n )( n ( n ) n (
4
22 2 2 víi n N* Bµi 2 Chøng minh r»ng víi mäi n N* ta cã:
a) n3 + 2n chia hÕt cho 3
b) n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 chia hÕt cho 9
c) n3 + 11n chia hÕt cho 6
d) 2n3 - 3n2+ n chia hÕtcho 6
e) 4n + 15n - chia hÕt cho 9
f) 32n + 1 + 2n + 2 chia hÕt cho 7
g) n7 - n chia hÕt cho 7
h) n3 + 3n2 + 5n chia hÕt cho 3
Bài 3 Chứng minh bất đẳng thức sau a) 2n + 2 > 2n + với n N*
b) 2n > 2n + víi n N*, n 3
c) 3n > n2 + 4n + víi n N*, n 3
d) 2n - 3 > 3n - víi n 8
(20)Chuyên đề 4: dãy số
Dạng 1. Xác định số số hạng dãy số Xác định số hạng tổng quát Bài 1 Viết số hạng đầu dãy số sau:
a) un = 2n -
n - b) un =
n
4
- n
b)
n n-1 n+1
u = u = u = u + u
(n > 2) c) un =
3n - 2n +
d)
n = 2k n
n -
n = 2k+1 n
(víi k 1) e) u1 = 2; un + =
1
3(un + 1)
g) un = cosnπ
2 h) nsin
nπ + n
2cosn
2
Bài 2 Tìm số hạng tổng quát dÃy số a) (un): 1; 2; 4; 8; 16; …
b) (un): 1; ; 1;
2
; …
c) (un):
n+1 n
u = u = 2u
(víi n 1)
d) (un):
2
3 12
; ; ;
4 10 13
; …
Bµi 3 Cho d·y sè (un): u1 =
3, un+ = 4un + víi n a) TÝnh u2, u3, u4, u5, u6
b) Chøng minh r»ng: un = 2n+1
2
3
víi n 1
Bµi 4 Cho d·y sè (un): u1 = 1; un + = un + víi
a) TÝnh u2, u3, u4, u5, u6
b) Chøng minh r»ng: un = 7n – Bµi 5 Cho (un): u1 = 2; un + = 3un + 2n –
Chøng minh r»ng: un = 3n - n
Dạng Xét tính đơn điệu dãy số Bài 6 Xét tính đơn điệu dãy số sau
a) un = n +
n ; b) un =
2n +
n + c) un =
n + n - d) un =
2
n
n + e) un =
n n +
3
2 f) un =
n
3 n g) un =
2
3n - 2n +
n + h) un =
2
n + n + 2n +
Dạng Xét tính bị chặn dÃy số Bài 7 Xét tính bị chặn dÃy số
a) un = 2n – b) un =
1
n(n + 1) c) un = 3.22n – d) un =
2
3n
n +
e) un =
n 2n +
f) un =
2
3n 3n + n + n +
bµi tËp tù lun
Bài tìm giới hạn sau: lim2
1 n n 2
3
lim
2
n n
n n
(21)4
3
2
lim
6
n n n
n lim n n lim n n n
7
3
2 lim n n n
8 lim n n
2
lim
6
n n n
n
Bài tìm giới hạn sau: lim
2
n n
2 lim 2
n n
3 lim
1
n n
4 lim
1
n
n n
5 lim3 2
n n
n
6 lim 23 1 n n 3 lim
n n n n
n n
Bài tìm giới hạn sau: lim n 1 n
2 lim n2 5n 1 n2 n
3 lim 3n2 2n 1 3n2 4n 8
4 lim n2 4n n
5 limn n2 3
6 lim n 1 n lim3 n2 n3 n
8 lim3 n n 1
9 lim 231
n n
n n
10.lim3n3 3n2 1 n2 4n
Bài tìm giới hạn sau: lim1
1 n n
2 lim3 2
3 n n n n
3 lim3
3
n n n
n n n
4 lim2 41
3
n n n
n n
5 22
3
lim
2n
n n
n
Bài tìm giới hạn sau: 1.limsin
1
n n
2
sin10 cos10 lim n n n n
5 lim + +
n + n + n + n
Bài tìm giới hạn sau:
1
1 (2 1) lim
3
n n
2
1 lim n n
2 2
1
lim
( 1)( 2)
n
n n n
n
1
lim -
2 3n
6 limn + sinn
3n +
1 1
lim
1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)
(22)Cơ nâng cao
chuyên đề giới hạn HàM số
Bài 1: Tìm giới hạn sau (dạng
0):
1)
2 x
x 5x
lim
x 8x 15
2)
2 x 8x lim
6x 5x
3) 2 x
x 4x 4x
lim
x 3x
4)
4
4
x
2x 6x 3x
lim
3x 8x 6x
5) x
x 3x
lim
x 4x
6)
3
4
x
x 2x 4x
lim
x 8x 16
7) x
x 2x
lim
x 2x
8)
x
1 x 2x 3x
lim
x
Bài 2 Tìm giới hạn sau(dạng
0):
1)
x
x lim
3 x
2) x
2x lim
x
3) x
1 x
lim
x
4)
2 x
x lim x 5) x 4x lim x 6) 2 x
1 x
lim x 7)
3
2 x
x x
lim x 8) x x lim x 9) x
x x
lim x 10) 3 x
1 x x
lim
x
11)
2
x
3x 4x x
lim
x 3x
12)
x
2x 3x
lim x 13) 2 x
x 2x x 2x
lim
x 4x
14)
x
x x 16
lim x 15) 3 x
x x x
lim
x
Bài 3 Tìm giới hạn(dạng
0):
1)
3 x
x x
lim
x 3x
2)
3 x
2 x x
lim
x
3)
x
1 x x
lim
x
4)
2 x
x 11 8x 43
lim
2x 3x
5) 3 x
7 x x
lim x 6) x
x x
lim
x
(23)Cơ nâng cao
7)
3 x
1 4x 6x lim
x
8)
2 x
1 2x 3x
lim
x
Bài 4 Tìm giới hạn (dạng
):
1)
3
4
x
2x 3x 4x
lim
x 5x 2x x
2)
2 x
x x
lim
2x x
3)
2
3
x
2x 4x
lim
3x 10x
4)
20 30
50 x
2x 3x
lim
2x
5)
2 x
x 2x 3x
lim
4x x
6)
x
5x x lim
1 x
Bài 5 Tìm giới hạn ( - ):
1) 2
xlim x x x x
2)
2
xlim 2x 4x 4x
3)
xlim x x x
4)
2
xlim x 4x 2x
5) 4
x
lim x 3x 3x
6)
2 4
x
lim x 3x 3x
7) 3
xlim x x
8)
2 3
xlim x 4x 8x
(24)Cơ nâng cao CHUYÊN Đề đạo hàm
I Tính đạo hàm định nghĩa
Bài 1 Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau điểm: 1) f(x) = 2x2 + 3x + x = 1
2) f(x) = sinx t¹i x = π
6
3) f(x) = 2x - 1 t¹i x = 4) f(x) = x
1 + x t¹i x =
5) f(x) = x + x - 12 t¹i x = 6) f(x) =
2
3 4x + - 8x + 4
x x
0 x =
t¹i x =
7) f(x) =
2
x sin x x
0 x =
t¹i x =
8) f(x) =
1 - cosx
x x
0 x =
t¹i x =
Bài 2 Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau:
1) y = 5x – 2) y = 3x2 – 4x +
3) y = x - 1 4) y = 2x -
x +
5) y = x3 + 3x – 6) y = x + x
II Quan hệ tính liên tục có đạo hàm
Bµi 3 Cho hµm sè f(x) =
1
xsin x x
0 x =
Chứng minh hàm số liên tục R nhng khơng có đạo hàm x =
Bµi 4. Cho hµm sè f(x) =
1
xcos x x
0 x =
1) Chứng minh hàm số liên tục R 2) Hàm số có đạo hàm x = khơng? Tại sao?
Bµi 5 Cho hµm sè f(x) =
2
ax + bx x 2x - x <
Tìm a, b để hàm số có đạo hàm x =
Bµi 6 Cho hµm sè f(x) =
ax + b x cos2x - cos4x
x < x
Tìm a, b để hàm số có đạo hàm x =
(25)Cơ nâng cao Bµi 7 Cho hµm sè f(x) =
2
x + a x 4x - x >
Tìm a để hàm số khơng có đạo hàm x =
III Tính đạo hàm cơng thức: Bài 8 Tính đạo hàm hàm số sau:
1) y =
3x
3 – 2x2 + 3x 2) y = - x4 + 2x2 +
3) y = (x2 + 1)(3 – 2x2) 4) y = (x – 1)(x – 2)(x – 3)
5) y = (x2 + 3)5 6) y = x(x + 2)4
7) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 8) y = (x2 + 1)(x3 + 1)2(x4 + 1)3 Bài 9 Tính đạo hàm hàm số sau :
1) y =
2
-x + 2x +
x 2) y =
2
-x + 3x - 2(x 1)
3) y = 1x +
4 x 4) y =
1
x - +
2 x -
5) y = 2x +
x + 6) y =
4 - x
7) y = 2x -
x + 8) y =
2
x - 2x + x - Bài 10 Tính đạo hàm hàm số sau:
1) y = + x
x 2) y =
2 x x
3) y = (x – 2) x + 12 4) y = x + + - x
5) y = x - 2x + 13 6) y = x + 4 - x2
7) y = x + 12
x + 8) y =
2
x + + 1 - 2x2 III Viết phơng trình tiếp tuyến dồ thị điểm
Bài 11 Cho hµm sè y =
3x
3 – 2x2 + 3x (C)
1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x = 2) Chứng minh tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
Bµi 12 Cho hµm sè y = -x3 + 3x + (C)
1) Viết phơng trình tiếp tuyến (C) điểm có hành độ x =
2) Chøng minh r»ng tiÕp tun lµ tiÕp tun cđa (C) cã hƯ sè gãc lín nhÊt
Bµi 13
1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hs: y = x3 – 3x2 + điểm (-1;
-2)
2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y =
2
x + 4x +
x điểm cã
hoành độ x =
(26)Cơ nâng cao
1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = 2x + 1 biết hệ số góc tiếp tuyến
3
2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x2 – 2x = biết:
a) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng 4x – 2y + = b) Tiếp tuyến vng góc với đờng thẳng x + 4y =
Bµi 15 Cho hµm sè y = 3x -
x - (C)
Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết: 1) Hoành độ tiếp điểm x =
2) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = - x +
3) Tiếp tuyến vng góc với đờng thẳng 4x – y + 10 = 4) Biết hệ số góc tiếp tuyến -
9
V Viết phơng trình tiếp tuyến qua điểm: Bài 16. Cho hµm sè y = x3 – 3x2 + (C)
1) Viết phơng trình tiép tuyến (C) kẻ từ điểm A(0; 2)
2) Tỡm đờng thẳng y = điểm để từ kẻ đợc tiếp tuyến vng góc với
Bài 17 Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) biết: 1) f(x) = 3x – 4x3 tiếp tuyến qua điểm A(1; 3)
2) f(x) =
2x
4 – 3x2 + 3
2 vµ tiÕp tun ®i qua ®iĨm B(0; 2)
3) f(x) = x +
x - vµ tiếp tuyến di qua điểm C(0; 1) Bài 18
1) Cho hµm sè y = x +
x + (C) Chứng minh qua điểm A(1; -1) kẻ đợc hai
tiếp tuyến tới đồ thị hai tiếp tuyến vng góc với
2) Tìm m để từ M(m; 0) kẻ đợc hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x +
x -
cho hai tiÕp ®iĨm n»m vỊ hai phÝa cđa trơc Ox