Các chuyên đề Toán lớp 9

PHẦN I: ĐẠI SỐ CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC – BIẾN ĐỔI CĂN THỨC Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ biểu thức sau) 1) 3x  8) x2  2)  2x 9) x2  3) 4) 5) 6) 7) 7x  14 2x  3 x x  3x  11) 2x  5x  12) 7x  x3 7x 2x  x 10) 13) 14) x  5x  x 3  3x 5x 6x   x  Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức Bài 1: Đưa thừa số vào dấu a) ; b) x (víi x  0); x c) x ; d) (x  5) x ; 25  x e) x Bài 2: Thực phép tính a) ( 28  14  )   ; d) b) (   10 )(  0,4) ; e) c) (15 50  200  450 ) : 10 ; f) g) 20  14  20  14 ; 3; Bài 3: Thực phép tính h)    5; 11   11  3 7 3 7 26  15  26  15 x2 a) ( 3 216  ) 82 b) 14  15   ): 1 1 7 c)    15  10 Bài 4: Thực phép tính a) (4  15 )( 10  6)  15 c) 3  3  e) 6,5  12  6,5  12  b) d) (3  5)   (3  5)  4  4  Bài 5: Rút gọn biểu thức sau: a) c)  24    24  52 52  5 5 b) d) 3 1 1  3 1 1 3 3  3 3 Bài 6: Rút gọn biểu thức: a)   13  48 c) b)   48  10  1 1     1 2 3 99  100 Bài 7: Rút gọn biểu thức sau: a) a b b a ab : a b , víi a  0, b  vµ a  b  a  a  a  a    , víi a  vµ a  b)     a  a     a a   2a  a ; a4 d)  5a (1  4a  4a ) 2a  c) e) 3x  6xy  3y 2  x2  y2 Bài 8: Tính giá trị biểu thức a) A  x  3x y  2y, x  2 ;y  94 b) B  x  12x  víi x  4(  1)  4(  1) ; c) C  x  y , biÕt x    x  y  y   3; d) D  16  2x  x   2x  x , biÕt 16  2x  x   2x  x  e) E  x  y  y  x , biÕt xy  (1  x )(1  y )  a Dạng 3: Bài tốn tổng hợp kiến thức kỹ tính tốn x 3 x 1  Bài 1: Cho biểu thức P  a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 4(2 - ) c) Tính giá trị nhỏ P Bài 2: Xét biểu thức A  a2  a 2a  a   a  a 1 a a) Rút gọn A b) Biết a > 1, so sánh A với A c) Tìm a để A = d) Tìm giá trị nhỏ A Bài 3: Cho biểu thức C  1 x   x  2 x  1 x a) Rút gọn biểu thức C b) Tính giá trị C với x  c) Tính giá trị x để C  Bài 4: Cho biểu thức M  a) Rút gọn M  a  1  2 a b  a  b2 a  b :  2  a a b a  b b) Tính giá trị M c) Tìm điều kiện a, b để M <  x 2 x   (1  x)   x  x    x 1 Bài 5: Xét biểu thức P   a) Rút gọn P b) Chứng minh < x < P > c) Tìm giá trị lơn P Bài 6: Xét biểu thức Q  x 9 x  x 1   x 5 x 6 x 2 3 x a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị x để Q < c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tương ứng Q số nguyên  xy x  y3   Bài 7: Xét biểu thức H   x y xy   :     x  y  xy x y a) Rút gọn H b) Chứng minh H ≥ c) So sánh H với H  Bài 8: Xét biểu thức A  1    a   a :     a    a  a a  a  a   a) Rút gọn A b) Tìm giá trị a cho A > c) Tính giá trị A a  2007  2006 Bài 9: Xét biểu thức M  3x  9x  x 1 x 2   x x 2 x  1 x a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tương ứng M số nguyên Bài 10: Xét biểu thức P  15 x  11 x  2 x    x  x  1 x x 3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x cho P  c) So sánh P với Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐỊNH LÝ VI-ÉT Dạng 1: Giải phương trình bậc hai Bài 1: Giải phương trình 1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ; 3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ; 5) x2 – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ; 7) x2 + 2 x + = 3(x + 8) x2 + x + = (x + 1) ; 2); 9) x2 – 2( - 1)x - = Bài 2: Giải phương trình sau cách nhẩm nghiệm: 1) 3x2 – 11x + = ; 3) x2 – (1 + )x + 2) 5x2 – 17x + 12 = ; =0; 5) 3x2 – 19x – 22 = ; 4) (1 - )x2 – 2(1 + )x + + = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ; 7) ( + 1)x2 + x + - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ; 9) x2 – 12x + 27 = ; 10) x2 – 10x + 21 = Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vơ nghiệm Bài 1: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm 1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; 7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m = 9) ax2 + (ab + 1)x + b = Bài 2: a) Chứng minh với a, b , c số thực phương trình sau ln có nghiệm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = b) Chứng minh với ba số thức a, b , c phân biệt phương trình sau có hai nghiệm phân biết: 1    (Èn x) xa xb xc c) Chứng minh phương trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = vô nghiệm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác d) Chứng minh phương trình bậc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = ln có hai nghiệm phân biệt Bài 3: a) Chứng minh phương trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) x2 - 4ax + b2 = (3) x2 + 4bx + a2 = (4) b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau: Chứng minh phương trình có phương trình có nghiệm c) Cho phương trình (ẩn x sau): 2b b  c x 0 bc ca 2c c  a bx  x 0 ca ab 2a a  b cx  x 0 ab bc ax  (1) (2) (3) với a, b, c số dương cho trước Chứng minh phương trình có phương trình có nghiệm Bài 4: a) Cho phương trình ax2 + bx + c = Biết a ≠ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phương trình cho có hai nghiệm b) Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm hai điều kiện sau thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm phương trình bậc hai cho trước Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình: x2 – 3x – = Tính: A  x1  x ; C 1  ; x1  x  E  x1  x ; 3 Lập phương trình bậc hai có nghiệm B  x1  x ; D  3x1  x 3x  x1 ; F  x1  x 4 1 vµ x1  x2  Bài 2: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình: 5x2 – 3x – = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: A  2x1  3x1 x  2x  3x1x ; 3 2 1 x x1 x x  B        ; x x  x1 x1   x1 x  3x  5x1x  3x C 2 4x1x  4x1 x 2 Bài 3: a) Gọi p q nghiệm phương trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Khơng giải phương trình thành lập phương trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm p q vµ q 1 p 1 1 vµ 10  72 10  Bài 4: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x – m = a) Chứng minh phương trình ln ln có hai nghiệm x1 ; x2 với m b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn y1  x1  1 vµ y  x  x2 x1 Bài 5: Khơng giải phương trình 3x2 + 5x – = Hãy tính giá trị biểu thức sau: A  3x1  2x 3x  2x1 ; B x1 x  ; x  x1  C  x1  x2 ; D x1  x   x1 x2 Bài 6: Cho phương trình 2x2 – 4x – 10 = có hai nghiệm x1 ; x2 Khơng giải phương trình thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bài 7: Cho phương trình 2x2 – 3x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y  x  a)  y  x  2  x1 y  x2  b)  x2  y  x  Bài 8: Cho phương trình x2 + x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: x1 x  y  y    x x1  a)  ; y y    3x  3x  y y  y  y  x  x 2 b)   y  y 2  5x  5x  Bài 9: Cho phương trình 2x2 + 4ax – a = (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1  y  1 1  vµ   x1  x x1 x y1 y Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm có nghiệm kép,vơ nghiệm Bài 1: a) Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (ẩn x) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + = Tìm m để phương trình có nghiệm a) Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – = - Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm - Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phương trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 2: a) Cho phương trình: 4x 22m  1x   m2  m   2 x  2x  x 1 Xác định m để phương trình có nghiệm b) Cho phương trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định m để phương trình có nghiệm Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phương trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trước Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép Xác định m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại Với điều kiện m phương trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) Với điều kiện m phương trình có hai nghiệm dương (cùng âm) Định m để phương trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đơi nghiệm Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + = Bài 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x1 – 3x2 = b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x1 = 3x2 c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x1 + x2 + = d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = ; e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x1 = x22 x1 = x22 f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x12 + x2 = Bài 4: a) Cho phươnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đôi nghiệm b) Chư phương trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho biểu thức R  2x1x  đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn x  x  2(1  x1x ) c) Định m để hiệu hai nghiệm phương trình sau mx2 – (m + 3)x + 2m + = Bài 5: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đơi nghiệm 9ac = 2b2 ...Ta có BAC = 90 0 ( tam giác ABC vng A); DEB = 90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => DEB = BAC = 90 0 ; lại có ABC góc chung => DEB   CAB Theo DEB = 90 0 => DEC = 90 0 (vì hai góc ...tia phân giác góc ADE.(1) Theo Ta có SM Ta có MEC = 90 0 (nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) => MEB = 90 0 Tứ giác AMEB có MAB = 90 0 ; MEB = 90 0 => MAB + MEB = 1800 mà hai góc đối nên tứ giác ...B F M 1 2 F E S 2 A B H×nh b Ta có CAB = 90 0 ( tam giác ABC vng A); MDC = 90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) => CDB = 90 0 D A nhìn BC góc 90 0 nên A D nằm đường trịn đường kính BC =>