Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 29 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
29
Dung lượng
863,26 KB
Nội dung
TOÁN CHUYÊN ĐỀ : NHÂN, CHIA CĂN THỨC BẬC HAI A – LÝ THUYẾT I Liên hệ phép nhân, phép chia với phép khai phương: Với A ≥ 0, B ≥ thì: Khai phương tích A.B A B Nhân thức bậc hai Với A ≥ 0, B > thì: Khai phương thương A A B B Chia hai thức bậc hai II Bổ sung: Với A1, A2, …, An ≥ thì: A A A A A A n n Với a ≥ 0; b ≥ thì: a b � a b (dấu “=” xảy a = b = 0) Với a ≥ 0; b ≥ thì: a b � a b (dấu “=” xảy a = b b = 0) Công thức “căn phức tạp” A �B A A2 B A A2 B � 2 Trong A > 0; B > A2 > B BĐT Cơ-si (cịn gọi bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân) ab � ab Với a ≥ 0, b ≥ thì: (dấu “=” xảy a = b) Vài dạng khác bất đẳng thức Cô-si: Dạng có chứa dấu căn: a b �2 ab với a ≥ 0; b ≥ 0; � ab a b với a > 0; b > Dạng khơng có chứa dấu căn: (a b) �ab (a b)2 �4ab 2 ; ; a b �2ab ; BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki (đối với hai số) Mỗi có hai số (a1 ; a2) (b1 ; b2) (a b a b ) �(a a )(b b ) 11 2 2 ; Mỗi có ba số (a1 ; a2 ; a3) (b1 ; b2 ; b3) (a b a b a b ) �(a a a )(b b b ) 11 2 3 3 ; Mỗi có n số (a1 ; a2 ; …; an) (b1 ; b2 ; …; bn) (a b a b a b ) �(a a a )(b b b ) 11 2 n n n n ; a a a n b b b n với quy ước mẫu tử 0) (dấu “=” xảy B – BÀI TẬP DẠNG 1: Thực phép tính Bài tập 1: Tính: a) A = 3 5 3 5 ; b) B = Bài tập 2: Thực phép tính: a) ( 12 15 135) ; b) 252 700 1008 448 ; c) 40 12 75 48 Bài tập 3: Thực phép tính: a) ( 12 75 27) : 15 ; b) (12 50 200 450) : 10 ; �1 16 9� : � � 7 � c) � Bài tập 4: Cho a = Tính giá trị biểu thức: M = 15a 8a 15 16 Bài tập 5: Tính: 5(382 172 ) 842 372 192 ) 47 8(47 a) b) ; c) ; Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dấu dạng tích tính: 99999 11111 ; a) 27 232 ; b) c) 652 632 ; d) Bài tập 7: Cho hai số có tổng d) 372 352 ; 1172 1082 19 có hiệu 0, 1, 21 0,3 7,5 3, 0,64 Tính tích hai số Bài tập 8: Tính A biết: b) A = 46 ; a) A = 13 42 ; c) A = 12 15 Bài tập 9: Tính: a) 3 3 ; b) 4 4 ; c) 6,5 12 6,5 12 Bài tập 10: Thực phép tính: a) (4 15)( 10 6) 15 ; b) 52 ( 10 2)(3 5) ; c) Bài tập 11: Biết x = ( 10 6) 15 4x Tính giá trị biểu thức: M = x x 2x x Bài tập 12: Tính: a) Q = (3 5) (3 5) ; 1 52 32 b) R = Bài tập 13: So sánh: a) 2 ; c) 18 15 17 Bài tập 14*: a) Nêu cách tính nhẩm 9972; b) 10 ; A = 99…96 (có 100 chữ số 9) b) Tính tổng chữ số A, biết DẠNG 2: Rút gọn biểu thức 4 4 Bài tập 15: Rút gọn biểu thức M = Bài tập 16: Rút gọn biểu thức: a) 11 10 ; b) 14 ; c) 42 42 ; d) 94 94 ; e) 4 4 ; g) 48 10 3 11 ; i) 10 10 ; Bài tập 17: Rút gọn biểu thức: 14 a) A = 28 ; 2 3 6 84 2 3 c) C = ; f) 10 ; j) 94 42 94 42 27 5 ; b) B = 12 20 d) D = 18 27 45 7 3 7 2 Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: M = Bài tập 19: Rút gọn biểu thức: a) A = 2 c) C = 5.( 10 2)(3 5) Bài tập 20: Rút gọn biểu thức: A = b) B = ; 29 12 ; x 2x x 2x Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: P = x x 1 x x 1 Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: A = x 2x x 2x Bài tập 23: Rút gọn tính giá trị biểu thức: a) A = (x 6)4 x 36 x 5 (5 x)2 (x < 5), x = 4; x3 5x 5x 125 x (x ≥ 0), x = b) B = Bài tập 24: Rút gọn biểu thức: 3x 6xy 3y2 5a (1 4a 4a ) 2 b) B = 2a a) A = x y ; Bài tập 25: Cho a > 0, so sánh a a với a Bài tập 26: Rút gọn biểu thức: M= � � x � (1 x)3 (1 x)3 � � � x2 Bài tập 27: Cho biểu thức: A = (x 3)2 12x (x 2) 8x x2 a) Rút gọn A; b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị A số nguyên x x 2x x x 2x 2 Bài tập 28: Cho biểu thức: A = x x 2x x x 2x a) Tìm điều kiện xác định biểu thức A; b) Rút gọn biểu thức A; c) Tìm giá trị x để A < Bài tập 29: Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên, đó: a) nghiệm phương trình; b) nghiệm phương trình 1 Bài tập 30*: a) Rút gọn biểu thức A = 1 a (a 1)2 với a > 0; b) Tính giá trị tổng: 1 B= 1 1 1 1 1 1 12 22 22 32 32 42 992 1002 DẠNG 3: Giải phương trình Bài tập 31: Giải phương trình: a) 5x 2x ; b) 2x 2 x 1 b) 3x x ; Bài tập 32: Giải phương trình: a) 3x 3x ; 5x 4 x3 ; 5x 4 x c) d) x y 1 Bài tập 33: Tìm x y biết x + y + 12 = Bài tập 34: Tìm x, y, z biết: xa yb zc x y z a+b+c = Bài tập 35: Giải phương trình: x x 1 x x 1 Bài tập 36: Giải phương trình: x 5x x x x 2x DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN biểu thức Bài tập 37: Tìm giá trị lớn biểu thức: P = Bài tập 38: a) Tìm GTLN biểu thức A = b) Tìm GTNN biểu thức B = x 13 x x 1 x ; x 3 5 x x2 Bài tập 39: Cho biểu thức: M = x ( 2)x Rút gọn tìm giá trị x để M có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn DẠNG 5: Chứng minh biểu thức Bài tập 40: Có tồn số hữu tỉ dương a, b hay không nếu: a) a b 2; b) Bài tập 41: Cho ba số x, y, y x y a b số hữu tỉ Chứng minh số x, số hữu tỉ Bài tập 42: Cho a, b, c, d số dương Chứng minh tồn số dương hai số 2a b cd 2c d ab Bài tập 43: a) Chứng minh với a > thì, b > b) So sánh 2017 2018 với ab a b ; 2017 2018 Bài tập 44: Cho a, b, x, y > Chứng minh ax by � (a b)(x y) Bài tập 45: Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh: a b c � ab ac bc Bài tập 46: Chứng minh bất đẳng thức: n a n a n với < |a| ≤ n Áp dụng (khơng dùng máy tính bảng số): chứng minh rằng: 101 99 0,1 Bài tập 47: Cho A, B Chứng minh số 99999 + 11111 biểu diễn dạng (A B 3) Bài tập 48: Cho A = a a ab B = b b ab với a > 0, b > Chứng minh số hữu tỉ A + B A.B số hữu tỉ Bài tập 49: Chứng minh đẳng thức sau với b ≥ 0, a ≥ a) a b � a b 2(a � a b) ; b: b) a a2 b a a2 b a� b � 2 Bài tập 50: Chứng minh rằng: Áp dụng: cho S = 1 2( n n ) 2( n n 1) * n với n � 1 100 Chứng minh 18 < S < 19 n 1 n n Bài tập 51: Chứng minh rằng: với n � Áp dụng chứng minh rằng: 1 1 100 2500 Bài tập 52: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + xz = Tính tổng: S= (1 y2 )(1 z ) (1 x )(1 z ) (1 x )(1 y ) x y z 2 1 x 1 y z2 Bài tập 53: Cho a, b, c ba số hữu tỉ đôi khác Chứng minh rằng: A= (a b)2 (b c)2 (c a) số hữu tỉ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki Bài tập 54: Cho x, y, z > Chứng minh x + y + z ≥ Bài tập 55: Cho A = xy yz zx x x Chứng minh A ≤ x3 y3 y x x, y số dương thỏa mãn điều Bài tập 56: Cho B = kiện xy = Chứng minh B ≥ 1 1 2 x y z Bài tập 57: Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn điều kiện Chứng minh xyz ≤ Bài tập 58: Tìm số dương x, y, z cho x + y + z = x4 + y4 + z4 = 3xyz Bài tập 59: Cho x y 10 Chứng minh x + y ≥ 20 Bài tập 60: Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh rằng: A= xy yz zx � C – Hướng dẫn – trả lời – đáp số: DẠNG 1: Thực phép tính Bài tập 1: Tính: (3 )(3 ) 32 ( )2 a) A = ( 1) = (2 )(2 ) 2 2 ( ) b) B = 2(2 2) 2(2 2)(2 2) 2.2 = Bài tập 2: Thực phép tính: a) 36 9.5 92.5 36 27 ; b) 36.7 100.7 144.7 64.7 7.( 36 100 144 64) = 7.(6 10 12 8) ; c) 40 12 20 80 = (8 6) Bài tập 3: Thực phép tính: a) ; Bài tập 4: Ta có: b) 17 ; c) 5 5 15 �8 � 15 � � 15 16 82 82 16 16 15 � 15 � Vậy M = Bài tập 5: Tính: a) 99999 3 11111 b) 842 37 (84 37)(84 37) 121.47 121 11 47 47 47 c) 5(382 172 ) 5(38 17)(38 17) 55 21 25 2 8(47 19)(47 19) 66 28 64 8(47 19 ) d) 0,2 1,21 0,3 2.121.3 121 11 7,5 3,2 0,64 75.32.64 25600 160 Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dấu dạng tích tính: a) (27 23)(27 23) 50.4 2.52.22 10 ; b) (37 35)(37 35) 72.2 144 12 c) (65 63)(65 63) 128.2 256 16 d) (117 108)(117 108) 225.9 15.3 45 Bài tập 7: Tích hai số là: Bài tập 8: Tính ; ; 19 19 19 3 2 A biết: a) A = ( 6) ; b) A = (3 1) ; A 7 6; A 1; c) 2A = 24 15 ( 15 3) ; A 15 Bài tập 9: Tính: a) ( 1) ( 1) 62 62 2 2 2 * Cách 1: A 2x 2x 2x 2x = = = 2x 2x 2x 2x ( 2x 1)2 ( 2x 1)2 2x 2x 1 �x TH1: Nếu A 2x (1 2x 1) 2x 2x 4x 2 Do đó: A = TH2: Nếu x ≥ A 2x ( 2x 1) 2 Do đó: A = * Cách 2: Đặt 2x = y ≥ 0, ta có 2x – = y2 A= 2x 2x 2x 2x 2 TH1: Với ≤ y < y2 2y y 2y y y 2 2 (tức �x ) 2y y y 1 y 4x 2 y y 1 2 TH2: Với y ≥ (tức x ≥ 1) thì: A = * Cách 3: Xét A2 ta có: A = (x 2x 1) (x 2x 1) = 2x x 2x 2x x (x 2x 1)(x 2x 1) thì: A = �x TH1: Với A2 = 2x – 2(1 – x) = 4x – 2, A = TH2: Với x ≥ A2 = 2, A = 4x (chú ý A ≥ 0) Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: �x �0 ۳ x � x � x ĐKXĐ: � P= ( x 1) ( x 1) x TH1: Nếu ≤ x ≤ P = x 1 1 x 1 11 x 1 TH2: Nếu x > P = x Bài tập 22: Nếu ≤ x < A = 2 Nếu x ≥ A = x Bài tập 23: a) A = (x 6)2 x 36 5 x x5 Do x < nên – x = – x Ta có: (x 6)2 x 36 x 12x 36 x 36 2x 12x x5 5x 5x A= 5x 2.42 12.4 16 54 Tại x = A = b) Với x ≥ x 5x x có nghĩa Giá trị biểu thức B xác định Ta có: x2 x 5x 125 5x 125 x 6x 5 x 5 B= (vì x ≥ 0) Tại x = B = 5 Bài tập 24: Rút gọn biểu thức: 2 y2 x � � y x a) ĐK: A= x y xy xy 2(x y)(x y) (x y)(x y) 3(x y) TH1: Nếu x > – y x + y > 0, ta có A = (x y)(x y) x y 3(x y) TH1: Nếu x < – y x + y < 0, ta có A = (x y)(x y) x y a 5.1 2a a� 2a 2.B = b) ĐK: TH1: Nếu TH1: Nếu a 2 – 2a > 0, ta có B = a a 2 – 2a < 0, ta có B = a Bài tập 25: Đặt A = a a > 0; B = a > Ta có: A 2a (a 1)(a 3) A 2(a 2) (a 1)(a 1) A 2(a 2) (a 2)2 A 2(a 2) (a 2)2 4(a 2) (vì a > 0) B = 4(a + 2) Suy A2 < B2 A < B (vì A > 0; B > 0) Bài tập 26: Rút gọn biểu thức: ĐKXĐ: –1 ≤ x ≤ Áp dụng công thức “căn phức tạp” ta tính được: 1 x2 1 x2 1 1 x 2 = 1 x 1 x 2 �1 � �2 � �1 �2 =� 1 x 1 x , n� ux �0 1 x 1 x , n� ux Cả hai trường hợp có kết (1 x)3 (1 x)3 = Vậy M = � � 1 x 1 x � (1 x) 1 x2 (1 x)� � � � � 1 x 1 x � 1 x2 � � � ( 1 x 1 x)( 1 x 1 x)(2 1 x2) 2 1 x2 (1 x) (1 x) 2x M= Bài tập 27: a) A = (x2 3)2 x2 (x 2) x 2 x x x2 x2 3 2x x2 2x2 2x 2 x x x x TH1: Nếu x < A = x2 x2 3 2x x2 2x 2 x x x TH2: Nếu < x ≤ A = x x2 x2 3 x2 2x 2x2 2x x 2 x x TH3: Nếu x > A = x b) Với x � |x – 2| �, để A � x 3Mx hay 3Mx Suy x = ±1; x = ±3 Bài tập 28: � x(x 2) �0 � x2 2x �0 x �2 � � � �� �� � x 2x x2 �x2 2x � � � x � � x � a) ĐK: b) A = x 2x với điều kiện c) Giải A < ta được: x2 2x 1� x2 2x 1� (x 1)2 � x 1 � 1 x 1 Kết hợp với điều kiện nêu câu a), giá trị phải tìm x là: 1 x �x 1 Bài tập 29: 2 a) Đặt x = Ta có x 7 � x 4(x 2) � x 4x Phương trình x 4x 1 nhận nghiệm b) Phương trình x 12x nhận nghiệm Chú ý: Phương trình x 4x 1 cịn có nghiệm Phương trình x 12x cịn có nghiệm Bài tập 30*: 1 a) A2 = = 1 a (a 1)2 (a 1)2 a a (a 1)2 a (a 1)2 a2(a2 2a 1 1) (a 1)2 a4 2a2(a 1) (a 1)2 a2(a 1)2 a2(a 1)2 (a2 a 1)2 � a2 a 1� � � 2 a(a ) � � � � = a (a 1) a2 a Do a > nên A > A = a(a 1) 1 a2 a 1 1 1 1 1 a(a 1) a(a 1) a a 1 a (a 1)2 b) Từ câu a) suy ra: � � 1 � � 1� � 1 � � 1 � �� �� � � � � 99 100 � Do đó: B = � � � 3� � � 1 1 1 1 � � 99,99 � � 100 2 3 99 100 100 � � = 99 + DẠNG 3: Giải phương trình Bài tập 31: Giải phương trình: a) Điều kiện xác định phương trình là: x � 5x 2x 2 Suy 5x (2x 1) � 5x 4x 4x � x 4x � (x 4x 4) � (x 2)2 ( 5)2 � (x 5)(x 5) � � x2 0 x 2 �� �� x2 0 x 2 � � Vì x = khơng thỏa mãn điều kiện xác định phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm x = �2x �0 �x �1,5 �۳� � x � �x b) Điều kiện xác định phương trình là: x 1,5 Khi phương trình đưa dạng: 2x 2 x 1 2x 22 Suy ra: x Hay � 2x – = 4(x – 1) 2x � x 0,5 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 1,5 Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài tập 32: Giải phương trình: x� a) Điều kiện xác định phương trình Biến đổi phương trình dạng: 3x (3x 1)2 x0 � � 9x(x 1) � � x 1 � Phương trình cho có nghiệm x = � 3x �0 �x � � �۳� � x � � � �x �1 b) Điều kiện xác định phương trình là: x Phương trình đưa dạng; 3x x � 3x x � 3x x 2x � x 5x x 30 x 3 � � � (x 3)(x 2) � � �� x20 � x , thỏa mãn điều kiện xác định � Phương trình cho có nghiệm x = 2, x = c) Điều kiện xác định phương trình là: � 5x �0 �x � � �۳� � �x � �x 3 x � 5x �0 �x � � �� � x 3 � �x � �x 3 5x 42 Phương tình đưa dạng: x Giải phương trình cho có nghiệm x x 41 11 thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình 41 11 d) Điều kiện xác định phương trình là: � 5x �0 �x � � �۳� � x � � �x 3 x Khi phương tình đưa dạng: Theo câu c), ta có x 5x 4 x3 41 x � Vậy phương 11 , không thỏa mãn điều kiện trình cho vơ nghiệm Bài tập 33: ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ x 2 y 1 0 ; Đáp số: x = 4; y = 10 Bài tập 34: ĐKXĐ: x ≥ a; y ≥ b; z ≥ c x a yb zc � xyz2 x y z xa yb zc � x yz2 x a 2 yb 2 zc 0 � x y z (a b c) x a y b z c � x a x a 1 y b y b 1 z c z c 1 � ( x a 1) ( y b 1) ( z c 1) Đáp số: x = a + 1; y = b + 1; z = c + Bài tập 35: ĐKXĐ: x ≥ ( x 2)2 ( x 3) x 1 x 1 x 1 x 1 x �0 x �2 x �5 Kết hợp với ĐKXĐ ta �x �5 Bài tập 36: (x 2)(x 3) x x (x 1)(x 3) ĐKXĐ: x ≥ (x 2)(x 3) x x (x 1)(x 3) (x 2)(x 3) (x 1)(x 3) x x x 3( x x 1) ( x x 1) ( x 1)( x x 1) x4 DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN biểu thức Bài tập 37: ĐKXĐ: ≤ x ≤ 13 * Cách thứ nhất: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si: a b �2 ab P2 = x 13 x (x 5)(13 x) P2 ≤ + [(x – 5) + (13 – x)] = 16 (Dấu “=” xảy x – = 13 – x x = 9) Suy max P2 = 16, max P = (khi x = 9) * Cách thứ hai: Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki: (a b a b ) �(a a )(b b ) 11 2 2 Với a1 = a2 = 1; b1 = x ; b2 = 13 x (1 x 13 x )2 �(12 12 ) � ( x 5)2 ( 13 x )2 � � � P2 = x 13 x � x 9 1 hay P ≤ = 16 (dấu “=” xảy ) Suy max P2 = 16, max P = (khi x = 9) Bài tập 38: a) Áp dụng bất đẳng thức a b � a b (với a ≥ b ≥ 0) (Xem lại phần Bổ sung 3.) A= x x � (x 1) (x 8) (dấu “=” xảy x = 8) Suy max A = (khi x = 8) b) Áp dụng bất đẳng thức B= a b � a b (với a, b ≥ 0) (Xem lại phần Bổ sung 2.) x x � x x (dấu “=” xảy x = x = 5) Suy B = (khi x = x = 5) Bài tập 39: x2 x2 2 2 2 M = x (x 2) 3(x 2) (x 2)(x 3) x (với x �� ) 2 Vì x � với x nên x DẠNG 5: Chứng minh biểu thức � Vậy max A = x = Bài tập 40: a) Có, chẳng hạn: 1 1 2 2 2 b) Không Giả sử tồn số hữu tỉ dương a b mà a b Bình phương hai vế a b ab � ab (a b) Lại bình phương hai vế ta có: 4ab (a b)2 2(a b) � 2(a b) (a b) 4ab Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẫn Bài tập 41: Đặt x – y = a, x yb (1) a, b số hữu tỉ Xét hai trường hợp: TH1: Nếu b ≠ xy a x y b nên Từ (1) (2) ta có: 1� a � x � b � � b �là số hữu tỉ x y a b số hữu tỉ (2) 1� a � y � b � � b �là số hữu tỉ TH2: Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên x, y số hữu tỉ Bài tập 42: Xét tổng hai số: (2a b cd ) (2c d ab) (a b ab) (c d cd ) a c ( a b) ( c d ) a c Tồn hai số số dương Bài tập 43: a) Ta có: ( a b) a b (1) ( a b)2 a b ab (2) Vì a > 0, b > nên ab > 0, từ (1) (2) suy ra: ( a b)2 ( a b)2 hay ab a b b) Áp dụng câu a) cho hai số dương 2017 2018, ta có: 2017 2018 2017 2018 Bài tập 44: ax by � (a b)(x y) � ax by abxy �ax ay bx by ay bx abxy �0 ay bx �0 Bất đẳng thức cuối hiển nhiên nên bất đẳng thức cho a b x y ) (Dấu “=” xảy ay = bx Bài tập 45: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho cặp số không âm a b, b c, a c, ta có: a b �2 ab ; b c �2 bc ; a c �2 ac Suy (a b) (b c) (c a) �2( ab bc ac) Do a b c � ab bc ca Bài tập 46: n a n a 2 n � n a n a n a 4n � n a n � n2 a2 n2 � a2 Bất đẳng thức cuối hiển nhiên nên bất đẳng thức cho Áp dụng với n = 100; a = ta 101 99 100 20 101 99 ( 101 99)( 101 99) 2 0,1 101 99 101 99 20 Bài tập 47: Giả sử tồn A, B � để có đẳng thức: 99999 11111 (A B 3) 2 Suy ra: 99999 11111 A 3B 2AB Do đó: 3 99999 A 3B2 11111 2AB số hữu tỉ, vô lý Bài tập 48: Ta có: A + B = a a b b ab ( a b) � ( a b) ab � ab � � A B= Đặt ab( ab 1) ab( a b) � ( a b) ab � � � a b p, ab q (p, q �) thì: A + B = p(p2 – 3q) + 2q A B = q(q + 1) + pq(p2 – 3q) số hữu tỉ Bài tập 49: (Hs tự chứng minh) Bài tập 50: 2 n 1 n n n 1 n 1 n n 1 n n 1 n n n 1 n n 1 n n 1 2 n 1 n n n (1) n n 1 2 n Từ (1) (2) suy đpcm S 1 1 100 Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được: S 1 2� � 4 � S 1 2� �101 � 2(10 1,5) 18 Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được: 101 100 � � n (2) S 1 2� � 3 100 99 � � � S 1 2� �100 1� 2(10 1) 19 Vậy 18 < S < 19 Bài tập 51: 1 n 1 n ` n 1 n n 1 n 1 n 1 n n ( n n )( n n ) 2 n 1 Suy n 1 n Cho n lấy giá trị từ đến 2499 ta được: 1 2( 1) 2( 2) ……………… 2( 2500 2499) 2500 Vậy 1 1 2500 2499 2500 = 2500 100 Bài tập 52: 2 Ta có: x xy yz xz x x(x y) z(x y) (x y)(x z) 2 Tương tự: y (y x)(y z) ; z (z x)(z y) 2 Vậy S = x (y z) y (z x) z (x y) = 2(xy + yz + zx) = 2.1 = Bài tập 53: Đặt a – b = x, b – c = y, c – a = z, ta có: 1 �1 1 � �1 1 � � � 2� � (a b) (b c) (c a) x y z �x y z � �xy yz xz � 1 2 �1 1 � 2(x y z) �1 1 � � � �x y z � xyz � � �x y z � = (vì x + y + z = a – b + b – c + c – a = 0) Vậy A = �1 1 � 1 1 1 �x y z � x y z a b b c c a � � số hữu tỉ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki Bài tập 54: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si số dương x, y, z ta được: Suy ra: x y �2 xy ; 2(x y z) �2 y z �2 yz ; xy yz zx z x �2 zx x y z � xy yz zx (dấu “=” xảy x= y = z) hay Bài tập 55: ĐKXĐ: –3 ≤ x ≤ A x x (x 3)(5 x) A �8 (x x) (bất đẳng thức Cô-si) A �16 (dấu “=” xảy x + = – x x = 1) Vậy |A| ≤ mà A > nên A ≤ (dấu “=” xảy x = 1) Bài tập 56: x3 y3 (x y4 ) (x y3 ) y x xy x y B= (x y ) (x y)(x y xy) (x y ) (x y)(x y 1) x y x y2 = Áp dụng bất đẳng thức Cô-si số dương x2, y2, x4, y4 ta được: ... 20 Bài tập 47: Giả sử tồn A, B � để có đẳng thức: 99 999 11 111 (A B 3) 2 Suy ra: 99 999 11 111 A 3B 2AB Do đó: 3 ? ?99 999 A 3B2 11 111 2AB số hữu tỉ, vô lý Bài tập 48: Ta có: A... n2 � a2 Bất đẳng thức cuối hiển nhiên nên bất đẳng thức cho Áp dụng với n = 10 0; a = ta 10 1 99 10 0 20 10 1 99 ( 10 1 99 )( 10 1 99 ) 2 0 ,1 1 01 99 10 1 99 20 Bài tập 47: Giả... 17 ) Vì 324 > 255 nên 18 > hay 18 > 15 17 Cách 2: Ta có: 15 17 16 16 = (16 1) . (16 1) 16 2 16 2 16 18 Bài tập 14 *: a) 99 72 = 99 72 – 32 + 32 = (99 7 – 3) (99 7 + 3) + 32 = 99 4 .10 00