Để cương HKI mơn Tốn 9
PHAN DAI SO
CHUONG I: CAN BAC HAI - CĂN BẬC BA
BÀI 1: CĂN BẬC HAI —- CĂN THỨC BẬC HAI
Bài 1: Tính: 1) V121; V144; v16; -/0,25; V64; -V49; v33; fs -2/0,0016 2) ⁄8; V3*;./(—7)2; V27; V80: V16; - V81; V48; V54 Bài 2: Tính: ¡) 5⁄3 - 3V3 + 7V3 - 2vV3 2) 3V7 — 47 + 97 — V7 3) 2V6 — 3V2 + v6 - 52 4) 2V5 + 310 — 7V10 — 4v5 5) 7V2 — 4V8 + 10V2 — 7V2 6) 3¥144 — 5V169 + = V256 7) |[F-0,5vi44 -=V196 8) 2V3(v3 - 2) + 4v3 9) —8/3— 4V3C V3 — 2) I0) — (3—v5)(vV5-2)-v5(V5- 5) I1) — (3+V532-8V5-—14 12) (5 + v3)(1- v3)- (1- 2V3)?
Bài 3: So sánh các căn bậc hai sau:
Trang 2Đề cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyễn Thị Nhung 7) 43 và V2 11) 7 uà 2 + 3V3 8) —2V7 0à — 33 | 12) 53 — 4 uà 3V5 9) —3V10 tà — 5V2 13) V2 +1 rà 5 ` le _ 10) 2+V60à5 ~ _—_ 14) v5+10àv?
Bài 4: Tìm điều kiện có nghĩa của căn bậc hai:
_1) v5 ay VIDtXE 2) V3x+7 (14) (1— 2x)? ab ae 3) V3x — 2 _ _15) x2—1 4) V 2x + 5 =: 16) V¥3x-2 a TT —2 6) V—7* ) ?7) V4—x 18) EF 8) V7 — 14x | 9) ö=3x 9) x+5 | xã ° 20) eri 7* V1-2x k 3 a 21) 3x—1 2 11) 5-2x 22) Vx+1+ Tra 23) = 4 " Vx?+4x+4 12 ez oa) EB
Bai 5: Khai trién:
1) (V2 +1)’ ? (2+3) 2) (V3 — 2)’ | — 8 @3-~3V2? 3) (2— V7)? | | 3) (=7) 9) (3 + 2v2) 4) (V5 — v2)? 5) (2V2 ~ 1)? 6) (3V5 — 2)? 10) (3 — 2v6)*
Trang 3Đề cương HKT môn Toán 9 GV: Neuyén Thi Nhung a) Chứng minh AAMN vuông
b) AIOO’ la tam giac gi? Vi sao ?
c) Chimg minh rang đường thắng MN tiếp xúc với đường tròn đường kính
OO' |
d) Cho biết OA = 8cm, OA’ = 4,5cm Tinh d6 dai MN
Bài 31: Cho hai đường tròn (O; R) và (O; R') tiếp xúc ngoài tại A (R>R') Vẽ
các đường kính AOB, AO'C Day DE cua đường trịn (O) vng góc với : BC tại trung điểm K của BC
a) Tứ giác BDCE là hình gì? Vì sao ?
b) Gọi I là giao điểm của DA và đường tròn (O') Chứng minh rằng ba điểm E,
I, C thang hang
c) Chứng minh răng KI là tiếp tuyến của (O') -
Vấn đề 5: các dạng khác
Bai 32: Cho AABC vuông tại A (AB < AC) Duong tron tam O đường x kink AC cat BC tai H
a) Chứng minh: AH /BC: "
b) Gọi M là trung điểm của AB Chứng minh: HM là tiếp tuyến của (O) c) Tia phan gidc cha HAC cat BC tai E và cắt (O) tại D Chứng minh:
DA.DE = DC?
d) Cho AB = 12cm, AC = 16cm Tính bán kính đường tròn nội tiếp AAMH Bài 33: Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Trên tia đối của tia BA lấy
điểm C sao cho BC =R Qua C vẽ đường thắng d ¡ vuông góc với AC Dây cung AM của đường tròn (O) cắt d tại điểm N
a) Chứng minh AABM và AANC đồng dạng
b) Tinh tích AM.AN theo R
c) Tiếp tuyến tại B với đường tròn cắt AN tại D, gọi I là trung điểm của 3D Chứng minh IM là tiếp tuyến của đường tròn (O)
50
Đề cương HKI mơn Tốn 9
(2v3 - 3v2)? _l(3V2—5)?— J(2- v5)? 5) {V5 -V17)? - {os - v17)? ie x6) (4+ V15)? 7) J6+ 2 5 l + lœ- v15)? 8) 8+ 2V7 9 V7+4v3 10)11+ 6V2 11⁄9 - 4vV5 12)V12— 2V11 13)V11+4V7 14) 13 - 4V3 Bài 7: Rút gọn: ¡) 2Vx? uớix >0 2) 3JŒœ~2)? vớix< 2 3) l— Vx)? voix >0- 4) \4xZ=4x+1 5) V4x? + 12x + 9 với x >Š 6) Vx2 — 10x + 25 —x + 4 với x > 5 7) {x?+6x+9+x~— 10ớix < 3 8) Vx+2Vx+1 9) VJx? +5 — 2V5x Vx?+5x+25+3 0) a2 VỚI x <—5
GV: Nguyễn Thi Nhung
Trang 4Đề cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyễn Thị Nhung T x ————Ặ————— 11) Vx—-2vx—-1vdix>1 12) Wx — 4x — 4 uới 4 <+x <5 - pe 1 13) V16x2— 24x+9+ 6x — 1 ớix => 14) Jx—~1—24x—=2-dx—2+4dx~ 2 vớix> 3 15) Vx +3 — 2V3x —Vx +2 —2vV2x voix > 3 16) J64+x + 2V6x —V¥27 +x — 6V3x voix > 4
Bai 8: Giải phương trình: ( Dạng: VA = B)
1) v2x—-3=5 2) V3x+1=4 3) V2x—2= v7 4) V4x+5 5) 9—-v5—2x 6) V4x+6—3 1) 3Vx—1—2vx—-1+vx-1=5 8) 6Vx—3 + 2vx—-3-7Vx-3= 1D 9) ⁄2x—1+5V2x—1~— 2/2x—~1 = 16 10)vx2— 3x+1=2~#
BÀI 2: LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHU ƠNG, GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
Bai 1: Tinh: 1) ¥2.v5 2) 2V3.3V2 3) (52)? 4) 43.(2V232 3y vZ(VB - v32 + 2V18) 6) V5(V5 — v10) + 102 7) 3V7(2V7 - 4V28— 343) 8) (vV2+1)(V2-— 1) Bài 2: Tính: 1) (2v5ð + 3v200 — V500): v5 2) (2V2Z7 + 312 — 646): 33 3) (V20 + V125 — 4V80): v5 9 (3+v5)(6— 2v5) 10) (V3 + 2)(2 - v3) 11) (2V2 —V3)(2v3 + V2) 12) (2V2 — 3V3)? — 6(V2 ~ v3)’ 13) (V5 — 2)? + 2V10 14) (3V3 — 4)(2V3 - 1)(@2 + V3) 15) |(2v5 -V7} + 8v35| (27 - 4v35) 4) (V96— 5V2#— 7/150): 2v6 5) (3V24 + 2V54 — 5v6): 2V6 6) (3V48 + 5V108 — 4V27): 3V3
Dé cuong HKI mén Toan 9 GV: Nguyễn Thị Nhung
Bài 26: Điểm € thuộc (O; R) đường kính AB = 2R sao cho AC = R Vẽ @#L 4ð
tại F
a) Chứng minh: E là trung điểm của AB
b) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt OE tại M Chứng minh: MA là tiếp tuyết n của
(O) + +
c) Chứng minh: Bốn điểm A, O, B, M thuộc một đường tròn
Bài 27: Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB và điểm C năm trên (O) (C khác A, B) Tiếp tuyến tại C và B của (O) cắt nhau tại D Đoạn OD cắt BC tại M va cat (O) tai I
a) Ching minh: AC LBC
b) Chứng minh: AC // OD va MO.MD = MC.MB
c) Đường vng góc voi AB tai O cắt đường thắng AC tại E Chứng minh: ED = R
Bài 28: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB = 10cm, C là điểm trên (Ó) seo
cho ÁC = 6cm Vẽ CH 1 48 ( H thuộc AB)
a) Chứng minh: AABC vuông và tính CH, sé do ABC
b) Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D Chứng minh: @Ð L 8C
c) Tiếp tuyến tai A cia (O) cắt BC tại E Chứng minh: CE.CB = AH.AB đ) Gọi I là trung điểm của CH, tia BI cắt AE tại F Chứng minh: FC là tí (ep
tuyến của (O)
Bài 29: Cho (O; R) đường kính AB và dây cung AC = R
a) Chứng minh: A4BC vuông tại C Tính BC theo R
b) Trên tia OC lấy D sao cho C là trung điểm của OD Chung minh: AL là tiếp tuyến của (O)
c)_ Vẽ tiếp tuyến DE với (O) (E là tiếp điểm) Chứng minh: AADE đều
_ Dạng 4: Hai đường tròn giao nhau
Bài 30: Cho hai đường trong (O) và (O') tiếp xúc ngoài ở A Tiếp tuyên chung ngồi của hai đường trịn tiếp xúc với đường tròn (O) tại M, tiếp xúc với đường
Trang 5Đề cương HKI mơn Tốn 9
Bài 22: Từ một điểm A nằm ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC đến (O) (B, C là tiếp điểm)
a) Chung minh: AO | BC tai H
b) Biét ban kinh của (O) bằng 6cm và AO= = 10cm Tinh d6 dai BH va chu vi AABC
c) Kẻ đường kính CD của (O) Chứng minh: BD // AO
d) Kẻ BY LCD, BI cat AD tai E Chimg minh: E là trung điểm của BÌ
Ỹ
GV: Nguyên 1 Nhuece
Bài 23: Từ một điểm M nằm ngoài (O; R) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với (O) (A, B là các tiếp điểm) Kẻ hai đường cao AD và BE của AAMP cắt nhau tại H
a) AAMP là tam giác gì? -
b) Chứng minh : Tứ giác AOBH là hình thoi
©) Chứng minh : M, H, O thang hang
đ) Tính chu vi AAMB nếu biết R = 5cm, AB = 6cm
Bài 24: Cho (O; R) có đường kính AB Lấy điểm C tuỳ ý thuộc (O), tiếp tuyến tại C của (O) lần lượt cắt tiếp tuyến tai A, B của (O) tại D và E
a) Chứng minh: ADOE vuông tại O và 4AD.BE = RẺ
b) Chứng minh: OD // BC
©) Dựng đường trịn tâm I đường kính DE Chứng minh: AB là tiếp tuyến của
(1) tai O
Dang 3: Mét diém thudc một đường tròn
Bài 25: Cho đường trịn (O; R) đường kính BC Lấy điểm A trên (O) sao cho AB
=R |
a) Tính số đó góc A, B, C và cạnh AC của AABC theo R
b) Đường cao AH của AABC cắt (O) tại D Chứng minh: BC là đường trung
trực của AD và AADC là tam giác đều
c) Tiếp tuyến tại D của (O) cắt BC tại E Chứng minh: EA là tiếp tuyến của (O)
d) Chứng minh: EB.CH = BH.EC
45
GV: Nguyễn Thị Nhung
Đề cương HKI mơn Tốn 9
1) 3¥x — SVx(vx — 4) + 5x 2) x(Vx~ y) + Jxy(+/y) 3) 3x—(3vVx—1)(dx+2) + (y-1)(+5)- #4x(y~1)
Bài 4: Rút gọn : (đặt nhân tử chung)
2-v2 l) —=- J 11+V11 )- 1+V11 v21-V7 3) 1-V3 V3+V2 + 2+V6_ 2⁄3-3V2 >) V3-V2 „ 3W/5—5V3 6) 3-V15 7 5V6—-6V5 2V15-5V2 V6+2v5 8) en V5+1 5+2V6 9) v3+v2 14-645 10) N.P 9-4V5 v5-2 (V3-V5)? +4V15 ) NE _ 8V6-(V3+2V2)? 4V2-2v3 12V6-(V6+3)? 23-32 (V5+2)2—8V5 55-8 x-vx Vx~1 15) 16)
Bài 5: Giải phương trình : (Dạng VA = VB)
Bài 3: Cho x, y là các số dương Rút gọn :
5 ~ 18) 5) 4-7) - WV 3) 6) vx(vx— Jy) — V9G/ay - 2x) 7): (Vx— 1)(x + Vx + 1) ~ xvx 8) (vx + 2)(x — 2vx + 4) — (x? + 8) xVx-2x 2-⁄x x⁄y-yvx vx-vy aVb-va vVb—-bva 17) 19) a- 20) Ji 4—x 21) 2Jx-x a+1+2va 1+Va 3Vx-—x B42 ERR - 22) 23) 24) ¬_ 27 x-Vx-2Vx+2 x—1 x—4 xX4#+2x-Vx-2 27) (2+ ca (2+ fe)
28) es Wee + xy) OS Vy~Yx vy
25) 26)
(Vx-Vy)*+4yxy , yvx “Vy
2? Wwy ` w
(va+1)(a-vab)(Va+vb)
30) (a—b)(Vas +a)
Trang 6Đề cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyễn Chị Nhung I) V2x—3=vx—4 7 Vx2=x—1=vx—1 2) V3x—3=V2—* | 8) Vx? — 2x = V1 — 2x 3) vV3x+4=2x+1 9) Vx? — 2x +3 =Vv7— 2x ¬ 3 — 2x | 10)Vx2—x+3=vx42 5) V2x+5=v3—*# 11) Vx? — 2x = V4x—9 » robe Wi 12) V49x — 98 — V9x — 18 — V16x — 32 = V4x —-
Bài 6 : Giải phương trình (Dạng I4] = B): ,
1) [3 — 2x] = 2Vv5 9) ¥3x? — 6x +3 = 2v3 2) |3x—12|=x+7 | 10) Vx? — 2V3x +3 = v3 3) 4|3x— 12|+ 2x=1—x* 11) V3x2 — 6x + 3 = 3V3 4) Vat = 12 12)2(4x2 ~ 45x + 5 = 35 5) Vx2+4x+t4 =3 | 13) Vx2 + 6x 49 = 2x-1 6) va? + 6x +9 = 14) Vx? — Ox $1 = 2x43 7) V4x2+4x4+1=7 15) Gxt — T2x +9 —=1—x 8) vax’ + Bx ais 16) 9x7 +6x+1=2~#
Bài 7: Giải phương trình : (Dạng : V4? = VB? (\A| = |B|),VÄA +vB =0) I) V4x2 - 4x + 4= V9x” +6x +1 4) 4/4(1—~2x+z?) = |1+#zi
2) V4x2 + 1— 4x = Vx? + 16 + 8x 5) 4x+1+vV2x+3=0
3) Vox? + 6x + 1 = Vx? +6 - 2V6x 6) vx-1+V1—-x?=0 LUYEN TAP ( Bai 1, 2)
Bai 1: Tim điều kiện đề căn thức có nghĩa :
1) V 2X—- 1 6) ~3 3) V=2x +4 ) Pee 4) Väx+2 | gy) [3x22 5) V3—2x ) ~2 5 V4x-3 9) — 6
Đẻ cương HKI mơn Tốn 9 _— GV: Nguyễn Thị Nhung
Bài 1§: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB và M là một điểm thuộc đường tròn (O; R) sao cho AM =R Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt hai tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và Ð
a) Chứng minh: AC + BD = CD và AC0D vuông
b) Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kinh CD c) Tính diện tích tứ giác ACDB theo R
d) AD cat BC tai N Ké MH L 4B tại H Chứng minh N là trung diém cua MH Bài 19: Cho (O; R) có đường kính AB Trên (O) lẫy C sao cho AC = R
a) Giải AABC
b) Kẻ OH L BC tại H, OH kéo dài cắt tiếp tuyến By tại B của (O) ở E Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O)
c) EC cắt tiếp tuyên Ax tại A của (O) ở D Chứng minh: DE = DA + BE và tính số đo góc DOE
Bài 20: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By cua (O) Tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với đường tròn (O) tại M ct Ax va By lần lượt tại C va D
a) Chimg minh: COD = 90°
b) Chứng minh: CD = AC + BD va AC BD = RỶ
c) Gọi N là giao điểm của BC và AD Chứng minh: AC.ND = DB.NA d) Chứng minh: MN // AC :
Bài 21: Cho đường tròn (O; R) va một điểm A nằm ngoài (O) Vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn (O) với B là tiếp điểm Vẽ dây cung BC của đường trịn (O) vng góc với OA tại H |
a) Chứng minh: H là trung điểm của BC
b) Chứng minh: AC là tiếp tuyến của (O)
c) Với OA = 2R Chứng minh: AABC là tam giác đều,
d) Trên tia đối của tia BC lấy điểm Q Từ Q vẽ hai tiếp tuyên QD và QE của đường tròn (O), với D và E là tiếp điểm Chứng minh: ba diém A, £, D thang hang
Trang 7
J2 cương HKI mơn Tốn 9 GV: Ngvyén Phi Nhung Dẻ cường HKI mơn Tốn 9 | GV: Nguyén Thi Nhung
d) Cho BH = 4,8cm va OA = 10cm Tinh R | : 10) VES oo, | 4) —=—— Seer;
Bài 14: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ đường thắng qua O cắt đường | 11) 32# | | s J=9
tròn ở hai điểm A và B Kẻ hai tiếp tuyến MT và MS với đường tròn (©) (1, S là v4x-9 3 | 15)
các tiếp điểm) * 12) V~2x + —> 16)
: 2 xˆ—#4
a) Ching minh: MO LTS tai I Điểm I là điểm đặc biệt gì của đoạn TS? 13) V1=x+ ve
b) Chứng minh: O/.0M = R? : x Bài 2 : Rút gọn :
c) Ching minh: MA.MB = MO? — R?, =
| ‹ » A4 — + V2)(6 — 2V5)V3 + v5
đ) Kẻ cát tuyến thứ hai MCD với đường tròn Chứng minh: MC.MD = MA.MB I) ¥4—2V3 | 21)(V18 + v2)(6 ~ 2V5) ——=
2 oe 2) V7 + 4v3 | _ 22) (4 + V15)(V10 — V6) 4 ~ V15
Bài 15: Từ một điểm I ở ngoài đường trong (O), kẻ một cát tuyên cắt (O©) tại A và 3) J5— 2/6 23) J7-3⁄5ữ + 3v5)(3V2 + v18)
B Các cát tuyến với đường tròn (O) tai A va B cat nhau tại M Kẻ 4⁄7 LỚ/, MH Mnn- |
cat AB tai N, OM cat AB tai K | | S5 302 ¬ 24)2|#+v6~— 2v5(10 ~ v2)
| 5) V52— a
a) Chứng minh: K là trung, điểm của AB | 6) V4— X7 95) 126v 4
b) Chứng minh: Năm điểm A, O, B,M, H cùng thuộc : một đường tròn ? J4+ v15 [sa V3+2v2
c) Chứng minh: IA.IB = IK.IN 9) J412V3-V4—2vã 26047 v9-4v5
d) MH cắt (O) tại C và D Chứng tỏ IC, ID là các cát tuyến của (O) 9) J3-X-V8— 2V Ns
xs ¬ a ak ` ` ` ait gh yk ` — 445
Bài 1ó: Từ một điêm Ấ năm ngồi đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyên AM và AN 10)42 + V3 + V2 - V3 21) ju 2+4
với đường tròn (M, N thuộc (O)) Từ O kẻ đường vng góc với OM cat AN tai S ° ©) | ° sẽ | | Lm —_ VẠ-2—4+ v2 | 2 fo L m_= 5-13 + ⁄48
a) Chung minh: AASO can ˆ 12) V36 — 125 — l@v5- v30)? _ ———
b) Chimg minh: O41 MN DR INNS ae _ 13)44~ V15 — V4 +4 V15 — V6 | 29) V5 ~ ,|3 —/29 — 6420 |
c) Kéo dài MÔ cắt (O) tại P Chứng minh: NP//AO /igansk Jaa | Vv
d) Tinh d6 dai cac cạnh của tam giác theo R biết OA = 2R AAMN là tam giác I4) V15 + 5V5 —V3 — v9 ¬ si
đặc biệt gi? Vì sao? | | 1s)V¥5+V214+75—-v21- 30) [13 +30 lo F312 J2
Bài 17: Cho nửa đường trịn (O ; R) đường kính AB Kẻ hai tiệp tuyên Ax, By của I6)(2— v3) V7+Avã 31)V10 + 2V6 + 2V10 + 2/15 (O) Tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với đường tròn (O) tại M cắt Ax, By lần lượt tại C in Jing VE (2-3 32) V18 + 4v6 + 8V3 + 4V2
vaD ; 7) +
.( ) 33) Ý22-#V10+13—/10 V3 — 2/2
| 18) V2 — V3 (V2+W6) J7+2v10
a Chine ni ung minh: cD “AC «BD AC.DB = R? ; = + va AC = R*, 2 20) (V10 — V6) 4 + V15 WV) Wrens | „ SE teas , very |
c) Goi N 1a giao diém cia BC va AD Chiming minh: AC.ND = DB.NA nà )
d) Chứng minh: MN //AC
46 | oe 7
Trang 8` , ¬ iK TH, TTNT ; Đề cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyễn Thị Nhung
Bài 3 : Giải các phương trình sau : ( nhận dang VA = B, VA = VB, VA? = B, VA2 = VB?,VA + VB = 0) i) Vixat=3 — 9) 11-V2x—5= 2) Vax-1=V3-x | | 10)V2x + 3= 1+ V2 3) Vx2—4x+4=5 © 11) V4xE— 12x +9 = V9x7 — 12x + 4 4) {x?+x—5=x—1 12)Vx+1+ 2x + 3 = 0 5) vx2+6x+9= 2x—1 | 13Xx+7=x+1 6) -/xŒ-= 2)— V3 = 0 14)4x+ 2Vx—1= 5 T) Vx2 — 3x = V6 — 2x | 15)⁄8x+9— 2Vx+1=4 8) V1—3x=7 16)⁄x? + 8x + 16 = veneer eee 18) Vox +9 +4 [= — Vibéx + 16 = ` mm ng =6+Vx—1 I)V9x+18 - =vx+5 5+wx+2 EH - Jax? — 4V5x +5 23)4Jx+3—4Jx—1—x+15—8Vx—1=0
BAI 3: BIEN DOI DON GIAN BIEU THUC CHUA CAN BAC HAI
Bài 1: Tính : | 1) 2¥27 — 3V48 + V108 2) ¥20 — 2V45 + 3v18 3) V8—-3V324+V72 › 5448 — 4/27 + 2V75 + V108 5) 3V¥125 — 220 — 3V80 + 4V45 6) V1100 — 7V44 + 2/176 — V133 7) V112 — 3V28 + 2V175 —- 4V63 8) 6⁄12 - V20 — 2V27 + V125 9 3V52 + 2V177 - V325 — 2637 ¡0) 218 — V80 — 5V147 + 5V245 — 3V98 I1)5V3a — 43a + 27 — 3V12a với a > 0
Lễ cương HKI mơn Tốn 9 i _ N GV: Nguyên tí Nhụng
c) Vẽ đường kính BE, AE cắt (O) tại F Gọi G là trung điểm của EF, OG cắt _ BC tại H Chứng minh: OD.OA = OG.OH
d) Chứng minh: EH là tiếp tuyến của (O)
- Bài 10: Cho (O; R), A năm ngoài (O) sao cho AO = 2R Từ A vẽ tiép tuyén “AE AF dén (O) (E, F la tiép diém)
a) Chứng minh: OA là đường trung trực của đoạn thang EF va bốn điểm A, O,
E, F cùng thuộc đường tròn |
b) Vẽ đường kính FK của (O) Chimg minh: KE // OA c) Chứng minh: AAEF là tam giác đều
d) Vé OH LOE (H thuộc FA) Goi L 1a giao điểm của đoạn OA với (O) Chứng minh HL là tiếp tuyên của (O)
Bài 11: Cho (O; R) và điểm A sao cho OA = 2R Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm)
a) Chứng minh A4BC đều, tính cạnh AB theo R
b) Đường vuông góc với OB tại O cắt AC tại D Đường vng góc với OC tai
O cắt AB tại E, ED cắt OA tại I Chứng minh tứ giác ADOE 14 hinh thoi c) Chứng minh: AOED đều Tính DE theo R
d) Ching minh: DE là tiếp tuyến của (O)
Bài 12: Cho đường tròn (O ; R) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là hai tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của AO va BC
a) Chứng minh: 4Ó L 8C tại H
b) Kẻ đường kính BD của (O) Chứng minh: DC // AO
c) AD cat (O) tai K (K khac D) Chứng minh: AK.AD = AH.AO
d) Tia AO cắt (O) lần lượt tại I và J Chứng minh IH.AJ = AI.HI
Bài 13: Từ điểm A nằm ngoài (O; R), kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm) Đường thẳng qua B và vng góc với AO cắt (O) tại C Vẽ đường kính CD
cua (QO)
a) Chimg minh: ABCD vuông
b) Chimg minh: AC là tiếp tuyến của (O)
Trang 9Đề cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyễn thị Nhung
b) Goi O, Q, M lần lượt là trung điểm của AB, BH, IH Chứng minh AMQO
vuông tại Q
c) Chứng minh bốn điểm M, K, O, Q cùng thuộc một đường tròn
d) Cho [A = 10, AE=8 B = 60° Tinh IB
Bai 6: Cho AABC nhọn (AB < AC) nội tiếp (O; R) Vẽ các đường cao AD, BE, CF của AABC cắt nhau tại H Kẻ đường kính AM của (O)
a) Chung minh: BM // CH
b) Kẻ Ø7 L BC tai I Chimg minh H, I, M thang hang
c) Biét ABC = 60° Chimg minh AC = V3 BH
d) Chứng minh: 3S, = Sas
Bai 7: Cho AABC (AB < AC), đường cao BD và CE cắt nhau tại H
a) Chứng minh: bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm 1 của đường tròn này
b) Chứng minh: AB.AE = AC.AD
c) Gọi K là điểm đối xứng của H qua Í chưng minh tứ giác BHCK là bình bình hành
d) Xác định tâm O của đường t tron di qua A, B, C, K-
Bài 8: Cho AABC nhọn, đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB tại M và cắt AC tại N Gọi H là giao điểm của BN và CM
a) Chimg minh: AH 1 BC
b) Goi E là trung diém cia AH Chimg minh: ME là tiếp tuyến của (O) c) Chứng mình: MN.OE = 2ME.MO._
d) Gia st AH = BC Tinh tan BAC
Dang 2: tiép tuyén:
Bài 9: Cho đường tròn (O) và một điểm A năm ngoài (O) Qua A vẽ hai :iếp tuyến AB AC với đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm) AO cắt BC tại D
a) Chung minh: OA là trung trực của BC
b) Chimg minh OD.DA = BD?
44
Dé crong HKI mén Toéan 9
12) 3V2x — 5VBx + 7V18x + 28 voix > 0 : - Bài 2: Rút gọn : ( trục căn thức) 1) nN coli ¬ 3Ì» SE] œ Si] 2 [eo 6) ort art | pe h2 ?) a 2 Pot 8) 9) = L?) FENG | 1 a GV: Nguyễn Thị Nhung 1 1+2 1 1 3~ S 3ý +28 19) 20) saat oe Vata 7 i a Da EB 24 v3 v3+Vv2 ee v3-v2 25 _6 3/313 1-VvV3 v3+1 iat 1 6 2-10 1 5 2s 28)-= 2 at 34V7 3-v2 7 2 2925 + ivi Và vã 1 1 30) —s+ 3+2V/2 2-v3 3 2 6 Dot ai Fe V12-6 3+v3 4 _ TẢ 33)—==+ 44 4_ V2-3 V5tV2 3+v5 2 1 3 “91? W † y2 26) 2)— 32) 2 6 _= Gat a Ba) ae 4 12 L 30) (Gate - ea) eS
Trang 10Đề cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyễn Thị Nhung 7) — 3-2V3 9 43-Vv5(3+v5) v3-vš 2-v3 ) V10+V2 3V2-2v3 5 = 8) v3-V2 1+6 10) xâm + sa 3y3-4 | v3+2
Bai 4: Với các biêu thức đã cho có nghĩa Hãy rút gọn : 1) (22 ~ #2) (2-1) 2Vx-4 x-4 2 2) xWy-yYx, 2 ~ Vxy vx+Vy 3) X+Y+2/xy x-y 2 — vx+vy vx—v x+6yx~+9 —_ x-9 4) Vx+3 -Vx+3 Vx SVx-3 4 >) (+ - x—1 ) 8) 2Vx-4 Vx+2 x-V 6) (Aa oe) 5 " ) nổ 2Jx-2_ 6ýx-6x = -3 vV⁄‡+3 9-x N- 12)
?) Geet a)’ Gee: 2Vx -%)
10) % ~1 _ Vx†3 —_ x+5 vn _ VX-2 x-Vx~2 ON TAP CHUONG |
Dang 1: Tinh — rat gon:
Bail: Tinh: | 1) 2v21 — 3V36 + 223 6) —V28 + 345 ~ 6V80 ~ 2 125 7) V20 —.2V45 — 3V80 + V125 8) 2V2 + 32 —+ 450 + 2 V392 9) _—2V50 + V18 - 3V80 + 2V45 10)24/8V3 + 2/53 - 3/203 11024012 — 23|A75 — 345448 2) 5 V64 + 27256 — 6V400 + V4 3) 3 36 | — 21705 - 3/81 4) V16 — 2V8— 3V32 + v72 5) _6V12 — 2/48 + 5V75 — 7V108 10
Dễ cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyễn Thị Nhung
_————————————
ON TAP CHUONG II:
Dang 1: Tam giác nhọn:
Bài 1: Cho AAĐBC có ba góc nhọn nội tiếp đường t tròn (0) Hai đường cao BE và CP cat nhau tai H, tia AO cat (O) tai D
a) Chứng minh bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành
c) Chứng minh AEF.AC = AF.AB
Bài 2: Cho AABC nhọn nội tiếp (O) Các đường c cao BE và CF cắt nhau tại H Kẻ đường kính AK của (O)
a) AABK và ACK là tan giác vuông
b) Chứng minh: Tứ giác BHCK là hình bình hành c) HK cắt BC tại M, Chứng minh: OM⁄.L 8C d) Chứng minh: AH = 20M
Bài 3: Cho A4BC nhọn nội tiếp (O) Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H, AO cắt (O) tại D
a) Chứng mỉnh : Bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn b) Chứng minh : Tứ giác BHCD là hình bình hành
c) Chứng minh : AE AC = AF.AB
Bài 4: Cho A4BC nhọn (AB <AC) nội tiếp (O) Vẽ các đường cao AD, BE CF của AABC cắt nhau tại H, kẻ đường kính AM của (O)
a) Chứng minh: Tứ giác BHCM là hình bình hành
b) Gọi I là giao điểm của HM và BC.Chứng minh: OI 1L 8C và 4H =2Ói c) Gọi G là trọng tâm của AABC Chứng minh: O, G, H thắng hàng d) Chứng minh: Sac = 25,400 +
Bài 5: Cho nửa (O; R) đường kính AB, trên đó lấy hai điểm D và E AD cắt BE tại
I, AE cat BD tại H
a) Ching minh: JH 1 AB tai K
Trang 11Đề cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyễn ; Nhupc
Bài 12: Cho hai đường tròn (O; 5cm) và (O'; 5cm) cắt nhau tại A và B Tính độ
dài đây cung chung AB biét OO’ = 8cm
Bài 13: Cho hai đường tròn (4,8), (B;E,), (Œ®,) đơi một tiếp xúc ngồi nhau
Tính #, &,, R,biết AB = 5cm, AC = 6cm và BC = 7cm
42
Đẻ cương HKI mơn Tốn 9
12)/8V3 — 2\/25V12 + 4/192 13) (2V3 + v5) v3 — v60 _ 14) (V99 — V18 + V11).V11 + 3v22 15) (V28 — V12 — v7).v7 + 2V21 16)(5V2 + 2V5).v5 — V250 17) (V6 — V5)? — V120 I8) (2 - V2)(—5V2) - (3V2 - v5%? t9)5 lễ + V20 — V5 4 20)248 - TẾ + 5 l5 Bài 2: Rút gọn : I) J@-vA?- J+ 2)2 2) l( - 2⁄3)? + lw — 5)? 3) J@v2~ v8? ~ J o/2 - v3) 4) J@— 2° [a+ v7" ) -|(Vã— v5}”.(V5 + v3 6) |(12V2—17)(3+2V22 7) V14—6V5+V14+65_ 8) V7~ 2V10 - V7 + 2V10 9 V11— 6V2~ V3 - 22 10)447 + 6V1ö — V23 — 6V10 11)⁄46 — 65 - V29 — 12V5 12) 13 — 160 — 53 + 4V90 13) (3 —V2)v7 + 43 14)/9 — 45 (2 + v5) 15) V11 + 6⁄3 (4— 32) tà
Bai 3: Rut gon
Trang 12Đề cương HKI mơn Tốn 9 1) (2-3)V11 + 6v2 2) (V3+ V7).v10 - 221 3) (v6 +v2)V2 - V3 4) V7 —3V5.(3V2 + V1) 5) V2(V4-V7—x⁄4+ 7+ v2) 6) V4 - V15 - v4 + V15 — v6 GV: Nguyễn Thị Nhung 7) V15 +5V5— V3 — v5 8) V7 — v33(V22 + v6) 9) (Vĩ0 +2)(6 - 2V5)V3 + v5 10) 4/5 + V21 + V5 - V21 - 2/4 — V7 11) ¥7 - 3V5.(7 + 3V5)(3V2 + v10) 12)2 £+ý6~ 2vŠ (VT8 - V2)
Bài 4: Rút gọn: (trục căn thức, đặt nhân tử chung)
I) ——= va~1 1-v2 2+1 2) vV7+v5 _ v7-v5 V7-W§ 7+5 4 V3+v2 _ v3-v2 3) V6+2 6-2 ¬ĂẮ 1 9 3-2/2 34+2V2 5) V2-v3 v18+2v3 —— ¬ĂẮ —2 6) Vš-2 ` Vš+2 7) v10-v2_ 2-2 1 V2-1 8) 3-2v3 a 2-v3 ) 3V2-2v3 5 “8-2 1+6 10) Vis+vi0 1 aw v5-2 11) S26 4 Stv6 = v6 12) V15-V12 + 6+2V6: v5-2 v3+V2 13) 6V2-4 _ 32-6 “` V2-3 1-v2 ĐANG 2: Bài 5: Giải các phương trình sau :
V1D+v6 , v6+v3 3-v6 rmmanmanmi 14) Vani VI Về VI5S-2V3, 2V6-6 3 15) v + Erk 2 1 kc 2a * avi 4 20 _ 1 55 Vố12 ans 2 3 HN «oheemuenmemnoleehaumadÐ- G0MMAEm 18) a 6/3 1⁄3 47-4V3 1à 2+2 1 19) v3 tên 2-v3- 20) ne ae — V5 — v3 ee 24+3V2 , v2 2) V2 1-V2 22 _ Janis 4+ ¥3-v5(3+V5) 23) a V10+v2 bạn! | v5+4 24 ) V3+1 5—2V3 PHƯƠNG TRÌNH 12
Đẻ cương HKI mơn Toán 9 GV: Nguyễn Thị Nhung
a) Chứng minh: I là trung điểm của DE và ADAE vuông tại A
b) Kẻ đường kính AB của (O), AC là đường kính của (O”) BD cắt CE tại M Chứng minh : AABD và AACE là các tam giác vuông
c) Chứng minh: Tứ giác MDAE là hình chữ nhật d) Ching minh: M, I, A thang hang
e) Goi K 1a trung diém cla BC Chitng minh: AIDM va AMKB ia tam giác cân f) Ching minh: MK L DE
Vấn đề 4: Hai đường tròn ở ngoài nhau đ > R +7
Bai 9: Cho (O; 2cm) va (O’; Icm) va OO’ = 6cm a) Hãy cho biết vị trí của hai đường tròn
b) Kẻ tiếp tuyến OA của (O) (A là tiếp điểm) O' A cắt (O') ở B Kẻ bán kính OC cua (O) song song voi tia OB (B, C cung nằm trên cùng nửa mặi phăng bờ chứa OO') Chứng minh: 4B = 0€ và tứ giác ABCO là hình chữ nhật
c) “Tính BC và chứng minh BC là tiếp tuyến chung của (O) và (O')
Bài 10: Cho (O; R) và (O';R') ở ngoài nhau AB là tiếp tuyển chung ngoài , CD là tiếp tuyến chung trong (A, € thuộc (O), B,:D thuộc (O')) Biết OO" = 10cm, R =
7cm, R' = lcm
a) Kẻ O'H vuông góc với O'Ï A tại H Chứng minh tứ giác ABO?H là hình chữ nhat Tinh OH, AB
bỳ Kẻ OK vuông góc với ©'D tại K Tứ giác OCDK là hình gì? Tính O'& và
CD
Vân đề 5: Hai đường tròn đựng nhau: đ < ñ — r
Bài 11: Cho hai đường tròn đồng tâm O AB là dây bât kỳ của đường trờn nhỏ và AB cat đường tròn lớn tại C và D (Á năm giữa B và C)
a) Kẻ OH vng góc với AB tại H Chứng minh: H là trung điểm của P và HC
} Ching minh: AC = BD
Trang 13Đề cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyễn ?hï Nhun ung
b) Day AB của (O) cắt (O’) tai C (C khac A) AAO'C la tam giác gì?
c) Chimg minh: ACO’ = ABC va O’C// OB
d) Chúng minh: C la trung điểm cua OB
Bai 5: Cho I la trung diém ctia OA Ké (O; OA) và (J; IA) Hãy cho biết vị trí tương đối của hai đường tròn (O) va (1)
Một đường thắng qua A cắt (1) tại C và cắt (O) tại B chứng minh AOAB can tại O va AOAC vuong tai C
Chứng minh: C là trung điểm của AB
Van dé 3: Hai đường trịn tiếp xúc ngồi: đ = R tr
Bài 6: Cho điểm A thuộc đoạn OO” Vẽ (O; OA) và (O°;O'A) a) Hãy cho biết vị trí tương đơi của hai đường tròn (O) và (0’)
b) Đường thắng qua A cắt (O) va (O’) tai C va D AOCA va AO’AD 12 tam giac
gì? Chứng minh OCA = O'DA
c) Chứng minh : OC // O’D
d) Ke Cx la tiếp tuyến của (O) và Dy là tiếp tuyến của (O”) Chứng minh Cx//Cy
Bài 7: Cho (O ; 3cm) va (O” ; 1cm) ; OO' = 4cm Vẽ bán kính OB của (O) song
song với bán kính O°C của (O) trên cùng một nửa mặt phắng be OO’
a) Hãy cho biết vị trí tương đối của (O) va (0”) Goi A là tiếp điểm của hai đường tròn Chứng minh: 40B = 40'£ và cho biết.AOAB là tam giác gi?
b) Chứng minh: 40B = 180" se A08 va OAC = 150r—40re c) Chứng minh: AABC vuông tại A
d) BC cắt OO' tại I Tính tỉ số - va tinh IO
Bài 8: Cho (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A Có DE là tiếp tuyến chung ngoài với
tiếp điểm D của (O) và tiếp điểm E thuộc (O’) Tiép tuyén chung trong tai A cat DE tai I
40
Dẻ cương HKI! mơn Tốn 9 GV: Nguyễn Thị Nhung
I) V2x—5=7 : : 12)/4(1—2x+x?)—6=0_ 2) vV2x—3=13 13)X9z2 = 2x +1 3) Vx? -7 =2 ho 14)V1 — 4x + 4x2 = x 4 3+vwx—2=4 15)V9—6x+x2 =x 5) 2-vx?-1=0 16) V4x2 +1 — 4x = Vx2 +16 + 8x 6) V3 —x = 3x—5 17) Vox? + 6x +1 = Vx? +6 — 2Vbx 7) V4x-3=x-2 18)VX2—x—2=VX+i 8) 3x +V5x+ 4= 0 | _—— 19Xx?~2x—-4=v2—x 9) vx?—2xz+1=1 20)9x + Vax — Vĩ6x = 3 10)vx? — 4x+ 4= 1 | 21) 2V2x — 5V8x + 7VI18x = 8 I1)V1—4x + 4x? =5 22)v4x +8 — V9x + 18 — Vx— 2 =—-Vx+7 23)v50x + 25+ v9x+9 - Viðx+16 + V52ZZ16
DANG 3: TOÁN CHỨNG MINH
Bài 6: Chứng minh: vVx+yxy Ẳ 1) (ee — ey ):wx- Ww? = l1vớix,y>0 2) xvx+yx4y _121V/ ` VxtJy +1 3) (1+): =VX+1 với x > 0 =x+yvới x,y>0' Vx+1/ x+2Vx+1 Vx+1 x 4) (= - ==+4z)(vx- =) = Ax voix >Ovax #1 Va+b-1 , Va-Vb/ VBC, V5 N1
5) war t nar (aaa Pa vaB) = và với đ,b >Ovaa ed
Bài 7: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào +, y
(CC s†r—-Eg)(1L+}) vớix> 0 yàx #1
2VXY , Vx-vy 2Vx vy
2) (2 tư): ENG + Bae ey 7 Ovaxey
DANG 4: RUT GON VA DIEU KIEN CO NGHIA
Bài 8: Cho biểu thức :
Trang 14Đề cương HKI môn Toán 9 GV: Nguyễn Thị Nhung | ¡ ¡ ¬ Jitx Vinx a) Tim x để A có nghĩa b) Rút gọn A c) Tính A với x= 2+3:
Bài 9: Cho biểu thức:
p= (22 n0) (ve - yy) + J
Vx - av yx J very |
a) Rut gon B b) Ching minh B = 0 c) So sanh B voi VB
Bài 10: Cho biểu thức:
C= —- 2—Va =): 2 |
2-výa 2+Va a—4) \2-Va 2va—a
a) Rút gon C
b) Tim gia tri của a để € > 0 c) Tìm giá trị của a đề € = —1
Bai 11: Cho biểu thức:
— 2Wx=9 vxz+3 2Vx+l
x—54x+6 vVx-2 3-vx
a) Rut gon D
b) Tim x để D < 1
c) Tìm giá trị nguyên của x để D € Z
14
Đề cương HKI mơn Tốn 9 TỰ SN - GV: Nguyễn Ï “hi Nhung
3 tuyển chung của hai đường tròn
- _ Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thắng tiếp xúc với cả hai đường trịn đó
- Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoàn ni tâm -_ Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm ll Bai tap:
Vấn đề 1: Hai đường tron cắt nhau: R—r7 <d<R+r
Bài 1: Cho O(O; 13cm) va (O); 15cm) cắt nhau tại A và B ( A, B năm khác phải so
voi OO”) Đường thăng OO' cắt AB tại H Giả sử AB = 24cm
a) Chứng minh OO' là đường trung trực của AB và H là trung điểm của AB b) Tinh AH, OH, O°H, OO'
Bài 2: Cho O(0; 12cm) va (O'; 5cm), giả sử OO' = 13cm
a) Cho biết vị trí tương đối của hai đường tròn
b) Gọi A, B là giao điểm của hai đường trịn đó AOAO’ 1a tam giác gì? c) Chứng minh OA là tiếp tuyển của (O') tại A
d) Gọi H là giao điểm của OO' và AB Chứng mình OO' là trung trực của AB _ rồi tính AH, AB
Bài 3: Cho (O) và (O') cắt nhau tại A và B Kẻ đường kính AC của (O) và đường kính AD của (O')
a) AABC và AABD là tam giác gì? b) Chứng minh B, C, D thắng hàng c) Chứng minh CD = 200"
Vấn đề 2: Hai đường tròn tiếp xúc trong: đ = R —7
Bài 4: Cho điểm A thuộc (O), gọi O' là tâm đường trìn đường kính OA -
Trang 15Đề cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyễn Thị Nhung Đề cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyên Thị Nhung
a) Chứng minh AB, AC là các tiếp tuyến của (O) Bài 12: Cho biểu thức: b) Chứng minh tứ giác OBIC là hình thoi
5 , p (2% w) aa ¬
Vx+1 \(1-x Vvx+1l
Bài 11: Cho AABC vuông tại A (AB < AC) Đường tròn tâm I đường kính AC cắt BC tại H Trên đoạn HC lấy D sao cho HD = HB Tia AD cắt (1) tại E
a, ¬ | a) Rut gon P
a) Chứng minh AH 1 BC b) Tim x để P < 1 |
o) Ching minh: D A DE = DC.DH ; | a c) Tim x dé P dat giá trị nhỏ nhất
c) Goi K là trung điêm của AB Chứng minh KH 1a tiép tuyén cua (1)
r Co, Bài 13: Cho biêu thức:
Bài 12: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Trên tiêp tuyên tại A của (©) lây ˆ |
điểm M sao cho AM = 2R BM cắt (O) tại C Vẽ OD vuông góc với BC (D thuộc ne (w _ =) = —1 + 1— 4
BC) Vx) \ vVx - x+wx
a) Chứng minh Ð là trung điểm của BC ; : a) Rút gọn E
b) Gọi E là trung điểm của MA Chứng minh EC là tiêp tuyến của (O) b) Tính giá trị của E biết x = 2
2+V3
; - c) Tìm giá trị của x thoả mãn EVx = 6Vx— 3— Vx ~ 4
BÀI 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CUA HAI DUONG TRON
¬ : eas | Bai 14: Cho biéu thức:
I1 — Tóm tắt lý thuyết:
1 Tính chất đường nối tâm — 4x Bx ( vx—1 _ =
- _ Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cá hai 2+Wx 4—xj \x-2Vx wx
đường trịn đó eS wh aE gs a) Tim giá trị của x để F xác định
- _ Nêu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đôi xứng với nhau qua ,
đường nối tâm & ¬- ¬ koe tk | gk ở 2ˆ he ga c) Tim x sao cho F > 1 0) Rut gon F
- Néu hai duong tron tiép xuc nhau thi tiép diém nam trén duong no: tam |
2 Vị trí tương đối của hai đường tròn
Cho hai đường tròn (0; R) và (07; R') Đặt OO’ = d -
VTTD của hai đường tròn Số điêm chung Hệ thức giỡa đ với R và ?
Hai đường tròncăắtnhu - 2 _R—=r<d<EF+r
tai đường tròn tiếp xúc nhau | d=R+r
- Tiép xtc ngoai | d=R—r
- _ Tiếp xúc trong
Hai đường trịn khơng giao nhau 0 d>R+r
Trang 16Dễ cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyễn Thị Nhung CHƯƠNG II: HAM SO BAC NHAT
BAIL 1: HAM SO Bai 1: Cho ham sé: y = f(x) = 4x? -1
a) Tinh f(-5); FO): fOsF (F)-
b) Tim cdc gid tri cha x tmg voi f(x) = —1; f(x) = 0; f@&) =+
Bai 2: Ching minh ham sé: y = f(x) = 3x dong bién trén R
Bài 3: Chứng minh hàm sỐ: y = f(x) = —2x + 1 nghịch biến trên R BAI 2: HAM SO BAC NHẤT
Bài I: Cho hàm số: y = ƒ(x) = (m — 2)x — 2
a) Tìm điều kiện của rn để hàm số trên là hàm số bậc nhất b) Xác định rm để hàm số trên nghịch biến
c) Biết ƒ(2) = —3 Xác định cơng thức chính : xác của f (x)
Bài 2: a) Vẽ các đồ thị ham số trên cùng một hệ trục toạ độ: (D):y=x + 1;
(D'):y =—x+3
b)Hai đường thắng (D) và (D”) cắt nhau tại C và cắt 0x theo thứ tự tại A va B
Tính chu vi và diện tích AABC |
Bài 3: a) Vẽ các đồ thị hàm số sau trên cùng một hệ trục toạ độ:
~2 ~2
y=2⁄;, y=2x+5; yay; yayxts
b)Bốn đường thắng trên cắt nhau tạo thành tứ giác OABC Tu giác trên có là hình bình hành khơng? (O là gốc toa dé)
Bài 4: a) Vẽ trên cùng mặt phẳng toạ độ Øxy đồ thi cdc ham sau: (D):y = sx— 1 ; (D):y= ~2% +2
16
Dé cuong HKI mén Toán 9 GV: Nguyễn Thị Nhung
Bài 5: Cho đường trịn (O) bán kính 04 = R Vẽ dây CD là trung trực của OA, cht OA tai H
a) Chimg minh tir giac OCAD 12 hinh thoi
b) Ké tiép tuyến với đường tron tai C, tiép tuyén này cắt đường thang OA tai |
Tính tích OH.OI và độ dài đoạn CI theo R
c) Tính số đo góc ODI _
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kinh AB Qua điểm C thuộc nửa đường
tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn Gọi E, F là chân các đường vng góc kẻ từ A và B đến d Gọi H là hình chiếu của C trên AB Chứng minh rang ¿
a) CE = CT
b) AC là phân giác của góc BAE c) AC* = AE BF
Bài 7: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB và một điểm M thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến tại M với (O) cắt tiếp tuyên Ax tai A va tiếp tuyén By tai B cua (O) lần lượt tại D, E Chứng minh bốn điểm O, A, D, M cùng thuộc một đường tròn
Bai 8: Tu mot điểm A ở ngồi đường trịn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Đường thang vuong góc với OB tai O cat AC tai N Duong thang vng góc với OC tại O cắt AB tại M
a) Chung minh tứ giác AMON là hình thoi
b) Điểm A phải cách điểm O một khoảng bao nhiéu dé cho MN là tiếp tuyển cua (O)
Bài 9: Cho đường tròn (O) có bán kính ØA = R Dây cung BC vuông góc với OA tại trung điểm M cuả OA
a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao ?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, tiếp tuyến này cắt đường thắng ©A tại E
Chứng minh CE là tiếp tuyến của (O) Tính độ dài CE theo R
Bài 10: Cho đường tròn (O ; R) và diém A nam ngoài (O) với OA = 2R Đường trịn tâm I có đường kính OA cat (O) tai B, C
Trang 17Đề cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyễn Thị Nhung - _ Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của các đường phân giác
các góc trong đường trịn
5 Đường tròn bàng tiếp tam giác:
- Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp XÚC VỚI Các phan kéo đài của hai cạnh kia được gọi là đường tron bang tiếp tam giác - Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp
- _ lâm của đường tròn bang tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của h đường phân giác các góc ngồi tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B hodc C
H Bài tập:
Bài 1: Cho đường tròn (O) bán kinh R và một điểm M nằm ngồi đường trịn sao
cho OM = 2R Vẽ tiếp tuyến MA ( A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC (B nam giữa M và C) của (O) Gọi K là trung điểm của BC
a) Chứng minh OK là trung trực của BC
b) Chứng minh bốn điểm M; A; K; O cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm Ï
và tính bán kính đường trịn trên theo R
Bai 2: Cho AABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H
a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, E cùng nam trén một đường tròn (gọi tâm của nó là ©)
b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của (O)
Bài 3: Cho AAĐBŒ vng tại A có AB = 8,AC = 15 Vẽ đường có AH Gọi D là
điểm đối xứng với B qua H Vẽ đường tròn đường kính CD, cắt AC ở E
a) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường { trịn
b) Tính độ dài HE |
Bài 4: Cho đường tròn (O) và một điểm A nam ngoai dudng tron Tu A, ké dén (O) hai tiép tuyén AB va AC (B, C là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE (AD<AE)
a) Biết 0A = 3R Tinh cac canh cua AOAB theo R
b) Goi I là trung điểm của DE Chứng minh năm điểm O, A, B,C, I cùng thuộc một đường tròn
36
Đề cương HKI mơn Tốn 9 | GV: Nguyén Thi Nhung
b)Gọi M là giao điểm hai đường thẳng (D) và (D”) Tìm toạ độ M c) Tìm toạ độ điểm A4 € (D) và có hồnh độ là -2
d) Tim trén (D’) điểm N có tung độ là —
a) Vẽ trên cùng mặt phẳng toạ độ Øxy đồ thị các hàm số sau: y= —2x + 5 (1)
y=x+2 (2) |
b) Tim toa dé giao điểm G của hai dé thịnói trên -
c) Trong các điểm sau, điểm nào thuộc đồ thị hàm số (1): AQ; 3); B(-1: 3);
c(;9):°(:2)
đ) Tìm trên đơ thị hàm sô (2) điểm có hồnh độ là 0,5 và điểm có tung độ là -3
Bài 6:
a) Vẽ các đỗ thị hàm số sau trên cùng một mặt phẳng toạ độ: y = ox — 2(]); y=-2x+3 (2)
b) Tìm toạ độ giao điểm A của hai đường thăng trên
c) Cho biết B(a; —0,5) và B thuộc đồ thị hàm số (1) Tìm a
d) Xác định điểm € thuộc đồ thi ham sé (2) va nam trén truc hoanh; điểm D là giao điểm của đồ thị hàm số (2) va tructung - SN
Bài 7: Cho các đường thắng (D):y=x+2;(D):y= 2x +1;(D'):y = 3z
a) Vé (D) và ((D”) trên cùng một mặt phẳng toạ độ và tìm giao điểm của
chúng |
b) Chứng tỏ ba đường thang trên dong quy tai mot diém c) Tim giao diém A cha duong thang (D’) voi truc hoanh
Bài 8: Cho đường thắng (đ): y = x — 2
a) Vẽ (đ) trên hệ trục toạ độ
b) Tìm điểm M trên (đ) có tung độ bằng hai lần hoành độ
Trang 18Đề cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyễn Thị Nhung BÀI 3: ĐƯỜNG THẮNG SONG SONG - ĐƯỜNG THẮNG CẮT
NHAU
Bài 1: Cho hai hàm số bậc nhất: y = 2x + k và y = (2m + 1x3 +k—1 Tìm điều kiện cha m va k dé dé thi của hai ham số trên là:
1) Hai dwong thang cat nhau 2) Hai đường thẳng song song
3) Hai đường thắng trùng nhau
Bài 2: Cho hai hàm số bậc nhất: y = (m — 2) x+2(1) và y = (2 —n)x — 3 với
gia tri nao cua m thi hai ham số trên cắt nhau Bài 3:
Bài 3: Cho (4): y=(k+1)x+3(k# 1) và (49) y=(3— 2)x +1 ( #3) Tim k dé (d) va (d’) là hai đường thắng song song Hai đường thăng trên có trùng nhau hau khơng ?
Bài 4 : Tính giá trị của a để hai đường thăng sau : y = (3 — đ)x + 2 (a # 3) và y = (a+2)x —1 (a # —3) song song
Bài 5: Cho duong thang (d): y =.ax + 2 (a # 0) va (d’):y = a’'x — 3 a) Tim a biết (d) di qua diém A(2; —6)
b) Tim a’ biét (d’) cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ là —2 c) Tìm toạ độ giao điểm của (d) va (d’) với a và a' vừa tìm được
Bài 6: Cho đường thắng (D): y = ax — : và (d):y=—3x—b_
1) Vẽ đề thị hàm số (D) biết đường thắng (D) song song với đường thăng (đ)
2) Tim b biết điểm B(—3; 1) thuộc đồ thị hàm số (3) 3) Tìm giao điểm của đường thắng (D) với trục tung
Bài 7: Cho hàm số bậc nhất y = ax + b có đồ thị là đường thắng (Ð) Tìm a, b
trong các trường hợp :
a) (D) song song với (đ) : y = 2x — 1 và (D) đi qua A(2; —5)
b) (D) song song với (D”): y = =x + 3 va (D) cat truc tung tai điểm có tung
do 1a -1
18
GV: Nguyễn Thị Nhung _
Đề cương HKI mơn Tốn 9
BAL 4: VI TRI TUONG DOI CUA DUONG THANG VA DUONG TRỊN i — Tóm tắt lý thuyết:
1 Vị trí tương đối của đường thắng và đường tròn: Cho đường tròn (0; R) và đường thang A Dat d = d(0; A)
VTTĐ của đường thăng và đường trịn Sơ điêm chung | Hệ thức giữa đ và R
Đường thăng và đường tròn cất nhau 2 d<R
Duong thang và đường tròn tiêp xúc nhau ] d=R
Đường thăng và đường trịn khơng giao 0 d>R
nhau
Khi duong thang và đường trịn tiếp xúc nhau thì đường thắng được gọi là điệp tuyến của đường tròn Điểm chung của đường thắng và đường tròn được gọi là fiêp
diem,
2 Dấu hiệu nhân biết tiếp tuyên của đường tròn:
-_ Nếu một đường thắng, là tiếp tuyến của một đường trịn thì nó vng góc
— với bán kính đi qua tiếp điểm
- Nếu một đường thắng đi qua một điểm của đường tròn và vng góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thắng ấy là tiếp tuyến của đường tròn 3 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau: |
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
-_ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
- Tia ké tt diém do đi qua-tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai f¡ ep
tuyến
- - Tia kẻ từ tâm ổi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính
đi qua các tiếp điểm
4 Đường tròn nội tiếp tam giác:
- _ Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn
Trang 19Đề cương HKI môn Toán 9 GV: Nguyễn Thị Nhung
a) Chứng minh AABC vuông Tính số đo góc CBA và độ dài AC theo R
b) Chứng minh OK là đường trung trực của đoạn thắng AC và tính góc OCM
c) Tia OM cắt (O) tại E Chứng minh tứ giác AECO là hình thoi
Bài 3: Cho (O ; R) đường kính AB Gọi M là một điểm nằm giữa A và B Qua M
vẽ dây CD vuông góc với AB Lấy điểm E đối xứng với A qua M a) Tứ giác ACED là hình gi? Vi sao?
b) Gia st R = 6,5cm, MA = 4cm Tinh CD
Bài 4 : Cho đường trịn (O©) và một dây CD Từ O kẻ tia vng góc voi CD tai M,
cắt (O) tại H Tính bán kính R của (O) biết CD = 16cm và HM = 4em | Bài 5 : Cho AABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H
a) Chứng minh B, D, C, E cùng thuộc đường tron tam I
b) Chứng minh răng AB.AE = AC.AD
e) Gọi K là điểm đối xứng của H qua I Chứng minh rằng tứ giác BHCK là
hình bình hành |
d) Chirng minh bén diém A, B, K, C cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm O của đường tròn này
e) Chứng minh: OI //AH
Bài 6: a) Cho đường tròn (O) bán kính R và hai điểm A, B thuộc (O) sao cho AOB = 60° Tinh dé dai day AB va khoảng cách từ tâm đến dây theo R
b) Cho duong tron (O) ban kinh R va day cung AB’sao cho AOB = 90)"
Tính độ dài dây cung AB và khoảng cách từ tâm đến dây theo R |
c) Cho dwrong tron (O) ban kinh R va day cung BC sao cho BOC =120"
Tính độ dài dây cung BC và khoảng cách từ tâm đến dây theo R
Bài 7: Cho đường trịn (O) trong đó hai dây AB và CD bằng nhau và vng góc với nhau tai I Biét IC = 2cm va ID = 14cm Tinh khoảng cách từ tâm O đến mỗi day
Bài 8: Cho đường tròn (O) bản kính 25cm Hai dây AB và CD song song với nhau
và có độ dài theo thứ tự là 40cm và 48cm Tính khoảng cách giữa hai dây ấy
34
Dề cương HKI mơn Tốn 9 — | GV: Nguyén Thi Nhung
c) (D) song song với (đ'):y = ~3x + 2 và (D) cắt trục hoành tại điểm có
hồnh đệ là 2 | |
Bài 8: Cho các đường thắng (đ):y = ax + b (a #0); (D):y = —s# +3 và (D'):y =x — 1 tìm a, b biết : |
a) (d) song song (D) va cat (D’) tai diém cé hoanh dé 1a 1 | , b) (đ) song song với đồ thị hàm số y = 2x và đi qua giao điểm của (D} và Bài 9: Viết phương trình đường thắng (D) là đồ thị của một hàm số bậc nhất biết (D) song song (d): y = —x — 2 và (D) cắt trục hoành tại điểm có hồnh đệ là -3
ˆ Bài 10: Viết phương trình đường thẳng (đ) song song với (D):y = 2x — 3 và cắt (đ7):y = 3x + 1 tại điểm có tung độ là 2
Bài 11: Cho hai hàm số :
y=(k—2)x+k(k#2) (
y=(k+3)x—k(k # -3) (2)
Với giá trị nào của kth: — —- | ae
a) Dé thi của hàm số (1) và (2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung
b) Đồ thị của hàm số (1) và (2) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành
Bài 12: Với giá trị nào của rn thì đồ thị các hàm số:
y=xz+3—m vày =2x+5 +m Cắt nhau tại một điểm năm trên trục tung |
Bai 13: Cho hai ham sé (d): y = =x va (3 ):y=x+3
a) Vẽ trên cùng mặt phăng toạ độ hai hàm số trên
b) Tìm toạ độ giao điểm của (đ) và (đ") bằng phép toán
c) Cho đường thắng (đ'”):y = 3x + m — 2 Tìm m biết (đ'“) cắt (d’) tại điểm có hồnh độ gấp hai lần tung độ
Trang 20Đề cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyễn Thị Nhung
Bài 14: Lập phương trình đường thắng đi qua hai điểm: - a) A(1; 2); B(3; 6)
b) A(-1:2) BÓ:])
9 A0):9 0:9)
BAI 4: HE SO GOC CUA DUONG THANG y = ax + b (a # 0) Bai 1: Cho ham số y = —2x + 3
a) Vẽ đồ thị của hàm SỐ
b) Tính góc tạo bởi đường thăng trên và à trục Ox Bai 2:
a) Vẽ đồ thị các hàm số sau lên mặt phẳng toạ độ (D):y = 0,5x + 2 và (D'):y =
5 — 2x |
b) Tim toa d6 giao diém ctia (D) va (D’) bang phép tinh
c) Tính số đo các góc tạo bởi đường thắng (D) và (D") với trục 0x Bài 3: Tìm phương trình đường thắng (D) biết:
a) (D) đi qua A(—3; 4) và có hệ số góc là 2
_b) (Đ) di qua A(—3; 4) va song song với đường thang (D’):y = —2x +3 c) (D) di qua A(—3; 4) va vng góc với đường thang (D'):y = 2x + 1
d) (D) cat truc tung tai A có tung độ là -3 và vuông góc với đường thắng
(D):y=s+x
e) (D) cắt trục hoành tại 4 có tung độ là 2 và song song với (D'): y = 2x
f) (D) cat (A): y = 3x — 2 tại A có tung độ là 1 và vng góc với (D'):y =
4x
¢) Cho đường thắng (D'):y = kx + 5 Tìm k để (D") song song với (D“) đi
qua A(1; 2) va B(—3; —2) | |
20
Dẻ cương HKI mơn Tốn 9 GV: Neuyén Thi Nhung
BAI2-3: DUONG KiNH VA DAY CUA DUONG TRON
LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CACH TU TAM DEN DAY
I Tom tat ly thuyét:
1 So sánh độ dài của đường kính và day:
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính
2 Quan hệ vng góc giữa đường kính và dây:
- _ Trong một đường trịn, đường kính vng góc với một dây thi đi qua trung điểm của dây ấy
- _ Trong một đường trịn, đường kính đi qua trung điểm của dây không đi
qua tâm thì vng góc với dây ấy
3 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây: - - Trong một đường tròn: |
i) Hai dây băng nhau thì cách đều tâm
) — Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
-_ Trong hai dây của một đường tròn:
i) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn i) — Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
Il Bai tap: |
Bai 1; Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một đây cung CŨ không qua tâm
(A,C,D, E theo thứ tự đó trên nửa đường tròn) Kẻ AE và BF vng góc với đường thăng CD tại E và F
a) Goi I la trung điểm của CD Chứng minh OI // AE // BF
b) Chứng minh: CE = DF
Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB bằng 2R và à dây cung BC = R Gọi K là trung điểm của dây cung AC Qua A vẽ đường thăng vng góc với AR cat tia
OK tai M |
Trang 21Đề cương HKI mơn Tốn 9
Bài
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có Ê + =90°, Gọi M,N, P, Q lân lượt là trung điểm của AB, BD, DC và CA Chứng minh răng bốn điểm M, N, P, Q càng
năm trên một đường tròn -
Bai 4: Cho hinh thoi ABCD cé A = 60’ Gọi E, F, G, H lần lượt là rung điểm của cách cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng
năm trên một đường tròn
Bài 5: Cho hình thang ABCD (AB //CD, AB <CD) có € = D=60",CD= 2AD Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn
Bài 6: Cho AABC cân tại A có đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh bốn điểm B,D, H, F cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm
I |
b) Chứng minh bốn điểm A,E, D, C cùng thuộc một đường trịn có tâm là K c) Chứng minh IK ổi qua trung điểm của FD
d) Chứng minh B năm ngồi đường trịn (K)
Bài 7: Cho AABC Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần
lượt tại D, E
a) Chứng minh rang CD L AB va BE ia đường cao của AABC
b) Goi K 1a giao diém cha BE va CD Chứng minh 4K L 8C tại một điểm ML
c) Chứng minh bốn điểm A, E, M, B cùng thuộc một đường tròn
Bai 8: Cho AABC vuong tai A (AB < AC) Duong tròn tâm ¡ đường kính AC
cắt BC tại H Trên đoạn HC lấy D sao cho HD = HB Tia AD cAt (1) tai ©
a) Chứng minh AH là đường cao của AABC
bỳ Chứng minh DA.DE = DC.DH
c) Goi K là trung điểm AB Tính số đo TK d) Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp AAKH
GV: Nguyễn Thị Nhung Đề cương HKI mơn Tốn 9
h) Cho đường thắng (p ):y =kx— 2 Tìm k đê (D”) vng góc với 1) đi
qua A(—1; —2) va B(—-2;-3) -
ON TAP CHUONG II Bai 1 : Cho ham sé y = 2x +1 (1)
a) Vẽ đường thắng (đ) là đô thị của hàm số trên và tính góc tạo bởi đường
thăng (đ) với trục hoành
b) Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số (1): A(—2; —3); B(3; —1)
c) Trên đường thắng (đ) lấy hai điểm Œ có hồnh độ là 3 và (D) có tung độ là ~2 Tìm toạ độ của điểm C va D
d) Cho (D):y = ax + b (a # 0) Tìm a, b biết (D) song song với (đ) và (D)
đi qua điểm E(—1;2)
e) Viết phương trình đường thắng (đ“)-có hệ số góc bằng -1 và cắt trục hoành
tại điểm có hồnh độ là 2
Bài 2:
a) Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, vẽ các đường thăng (đ):y = 2x — 1 và
(d'):y = —x+5 |
b) Tìm toạ độ giao diém cia (d); (d’) bằng phép tính
c) Biết đường thăng (D) là đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b Xác định a, b biết (D) song song với (đ”) và giao với trục tung tại điểm có tung độ là
+
2
Bài 3: Cho (D):y =— +3 _
a) Vẽ (D) trên hệ trục toạ độ
b) Tìm trên (D) điểm M có hồnh độ là 4 và điểm N có tung độ là 2
c) Tim giao điểm của (D) và (D'):y = 3x — 1
d) Cho (đ):y = ax + b (a # 0) Tìm a, b biết (đ) song song (D') và cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ là -2
Bài 4: Cho (đ):y = ứn + 2)x +m + 3 (m # —2) và (D):y = —3x + 2 21
GV: Nguyễn Thị Nhung
2
Rog
Trang 22
a) Tim m để (d) // (D) Vé (d) va (D) trên cùng một mặt phăng toa đệ
b) Tìm mm tìm được ở câu a Tìm giao điểm của (đ) và (D) băng phép tính
c) Tìm m để (đ) và (D) cắt nhau d) Tim m dé (d) tring (D)
Bài 5: Cho các hàm số bậc nhất :
= (2m — 1)x+mr (1) vày = (— ot mx tn 2 (2)
a) Tim m,n dé cac dé thi ham số (1) và à (2) song song,
b) Tìm m,n dé cac dé thi ham sé (1) va (2) cắt nhau tại một điểm
_e) Tìm m,n để các đồ thị hàm số (1) và (2) trùng nhau
d) Tim m,n dé cdc dé thị hàm số (1) và ) cat nhau tại một điểm thuộc trục hoành
Bài 6: Cho hai đường thắng (đ): y = (2 + m)x + 1 và (đ'):y = (1 + 2m)x + 2 a) Tim m dé (d) va (d’) cắt nhau
b) Véim = —1, vé (d) va (d’) trén cing mat phang toa d6 oxy rồi tìm toa độ
giao điểm của hai đường thắng (đ) và (đ”) bằng phép tính Bài 7:
a) Với giá trị nào của ?m thì hai đường thắng y = 2x + 3 vày = 3x +5—n cắt nhau tại một điểm trên trục tung
b) Viết phương trình đường thắng (đ) biết (đ) song song với (đ'):y = x va cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 10
Bài 8: Cho hai đường thẳng : (đ):y = -x + 2 và (đ'):y = —x + 2
a) 'Vẽ (đ) và (đ') trên cùng một hệ trục toạ độ oxy
b) Goi A va PB lần lượt là giao điểm của (đ) và (đ") trên truc ox, C 1a giao
diém cia (d) va (d’) Tinh chu vi và diện tích của AABCŒ ( đơn vị trên hệ
trục toạ độ là cm) SỐ |
lề cương HKI môn Toán 9 GV: Nguyễn Thị Nhung Đề cương HKI mơn Tốn 9 ¬ ee GV: Nguyen Uhi Nhung
CHƯƠNGH: DUONG TRON
` rf NO x z 5 x ra ?
BÀI 1: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN - TÍNH CHẤT ĐĨI XUNG CUA ĐƯỜNG TRỊN
I Tom tat lý thuyết:
¡ Đường tròn: Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R
2 Vị trí trơng đối của một điểm đối với đường tròn:
Cho đường tròn (O; R) và điểm M:
- M nằm trên đường trịn (Ĩ;R) © OM = R
- M nằm trong đường trịn (Ĩ;R) © OM <R - _ M nằm ngồi đường trịn (Ø;R) © OM > Â
3 Cách xác định đường tròn: Qua ba điểm không thắng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn
4 Tính chất đối xứng của đường trịn: ©
- - Đường trịn là hình có /đm đối xứng Tâm đối xứng của đường tròn là tâm đối xứng của đường trịn đó
- Duong tron là hình có #e đối xứng Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường trịn
`" *® A
H Bài tập:
Bài 1: Cho hình vng ABCD
a) Chứng minh răng bốn đỉnh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn Xác định
tâm O của đường tron di qua bốn đỉnh trên:
b) Tính bán kính của đường trịn (©) biết cạnh hình vng là 2dm
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 12cm, CD = 16cm Chimg minh rang
bén diém A, B, C, D cùng thuộc một đường trịn Tính bán kính của duong trỏn
đó
Trang 23
Đề cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyén Thi Nhung Dễ cương HK] mộn Toán 9 | | GV: Nguyễn Thị Nhung
14 | | ¬ na
e) Chứng minh: —- => + Tg: PHAN HINH HOC
Bài 12: Giải AABC, biết:
a) A = 90”, BC = 10cm, B = 75° : | : CHU ONG I: HE THUC LUONG TRONG TAM GIAC VUÔNG
b) BAC = 120’, AB = AC = 6cm
c) Trung tuyén Ứng VỚI cạnh huyền m, =5 _ đường cao AH= 4cm
d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền m„ =5, một góc nhọn bằng 47“ BAL1: MOT SO HE THUC VE CANH VA DUONG CAO TRONG TAM
| | GIÁC VUÔNG
Bài 13: Cho A4PC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm Goi E, F
lần lượt là hình chiễu của H trên cạnh AB và AC
a) Giải tam giác vuông ABC i Tom tat ly thuyét:
b) Tính độ dài AH và chứng minh EF = AH
c) Tính EA.EB + AF.EC ø Cho AABC vuông tại A, đường cao AH
| - Dinh li pitago: BC? = AB’ + AC’
- -_ Các hệ thức lượng: 1) 4#? = BC.BH; AC? = BC.CH; ii) 4H? = BH.CH; 1W) AB.AC = BC.AH ; t2 1Ÿ) ———=——+——.‹ , 1 1 ] — 4N} AB AC
Ii Bai Tap:
Bài l: Cho A4BC vuông tại A, đường cao AH Tinh lan lượt độ dài các đoạn _ thẳng BH, CH, AH, AC khi biết: |
a) AB=4cm, BC = 5cm c) AB= 12cm, BC = ¡5cm
b) AB = 6em, BC = 10cm d) AB =Zl;m, BC =8 cm
ø Bài 2: Cho A4BC vuông tại À, đường cao AH Tính lần lượt độ dài các đoạn
_ thắng BC, AH, BH, CH khi biết: |
a) AB =3cm, AC = 4cm c) AB = 12cm, AC = 5cm b) AB = 6cm, AC = §cm đ) AB= 12cm, AC = 16cm * Bai 3: Cho AABC vudng tai A, duong cao AH Tinh lần lượt độ dài các đoạn
thắng AH, BC, AB, AC khi biết:
a) BH=9cm, CH = l6cm c) BH= 3,6cm, CH = 6.4cm
Trang 24Đề cương HKI mơn Tốn 9
i
Bai 4: Cho A4BC vuéng tai A co AB = 3cm, BC = 5cm AH là đường cao
‘Tinh BH, CH, AC va AH
Bài 5: Cho A4BC vuông tại A có AH là đường cao và as BC = 35cm
a) Tinh AB, AC
góc HAC và tính AE
b) Trên BC lấy điểm E sao cho BE = BA Chứng minh: AE là
GV: Nguyễn Thị Nhung
phân giác của
Bài 6: Cho ABC vuông tại A ( AB < AC), đường cao AH Cho AH = 2,4cm, BC = 5cm Tính BH, CH, AB, AC,
Bài 7: Cho A48C có AB = 6cm, AC = 8cm, BC =10cm Kẻ đường cao ÀH cua AABC
a) Chứng minh A4BC vuéng va tinh AH, BH, CH
b) Kẻ #E L AB tại E, HƑ L AC tai F Chimg minh a4eF dong dang A4CB
va tinh EF
c) Gọi M là trung điểm của BC Tính S„„„ Bài 8: cho A48C cân tại A có đường cao AH, BK
a) Chứng minh: _L -
BK*
BAL 2: Ti SO LUONG GIÁC TRONG TAM GIAC VUONG |
Tóm tắt lý thuyết:
1 Định nghĩa: Cho tam giác vng có góc nhọn ø: sing = đối huyền ] a BC’ 4AH’ b) Chứng minh: 8C” =2CK.CA 24 COSG —= kề huyền GV: Nguyên Thị Nhung
Để cương HKI mơn Tốn 9
sin B+cos 8 sin B—cos B
b) Tinh dién tich hinh thang ABCD
a) Tinh
Bài 7: Cho AABC vuông tai A, đường cao AH Gọi D là điểm đôi xứng với A qua điểm B Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = 2HA Gọi I là hình chiêu
của D trên HE
a) Tính AB, AC, HC Biết AH = 4cm, HB = 3cm b) Tinh tan IED , tan HCE
c) Chimg minh JED = HCE d) Chứng minh DE LEC
] 4cos
Bai 8: Cho AABC vuông tai A co sinC = Tính các tỉ sơ lượng giác của góc B và C
Bài 9: Cho A4BC vng tại A có Ê =15°, BC = 4cm
a) Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM Tính AMH, AH, AM, HM, HC V6 +V2
b) Chứng minh rang: cosl5’ = ——
Bai 10: Cho AABC can tai A, c6 A = 36’, BC = lcm Ké phân giác CD Goi H la hình chiều vng góc của D lên AC
a) AD, DC
b) Ké CK LBD Giải ABKC
c) Chirng minh cos36’ _=
Bài 11: Cho A4BC có AB = lem, Ä= 105°, 8 = 60” Trên cạnh BC lấy điểm E
sao cho BE = Icm Vé ED // AD ( D thuộc AC) Đường thắng qua A vng góc
với AC cắt BC tại F Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC a) Chứng minh răng A4BE đều Tính AH
b) Chimg minh: EAD = BAF = 45’
c) Tính các tỉ số lượng giác của góc AED và góc AEF
d) Chứng minh AAED = AAEF Từ đó suy ra AD = AF 29
Trang 25Đẻ cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyễn ¡hj Nhưng b) Diện tích của một hình bình hành băng tích của hai cạnh kê nhân với sín của
góc nhọn tạo bởi các đường thăng chứa hai cạnh ây
ON TAP CHUONG I
Bai 1: Cho AABC c6 AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm a) Chứng mình AABC vuông
b) Tinh sinB, sinc
Bài 2: Cho A4BC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD Biết HB =
112cm, HC = 63cm
a) Tính độ dài AH b) Tinh dé dai AD
Bai 3: Cho AABC vuông tại A, đường cao AH, biết AH = 5cm, CH = 6cm
a) Tính AB, AC, BC, BH b) Tính diện tích AABC -
Bài 4: Cho AABC vuông tại A, đường cao AH Biết AH = 16cm, BH = 25cm
a) Tính AB, AC, BC, CH b) Tính diện tích AABC
Bài 5: Cho hình thang ABCD có Â = 8 =90” và hai đường chéo vng góc với
nhau tại O |
a) Chứng minh hình thang này có chiều cao băng trung bình nhân của hai đáy b) Cho AB = 9cm, CD = 16cm Tĩnh diện tich hinh thang ABCD
c) Tính độ đài các đoạn thăng OA, OB, OC, OD
Bài 6: Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo
AC vng góc với cạnh bên BC Biết AD = 15a, AC = 12a
28
DĐ cương HKI mơn Tốn 9 GV: Nguyễn Thi Nhung
doi 0 ké 7
tana = -> | _Ò _ COfŒX =—
kê | đôi
Chú ý:
- Cho góc nhọn z Ta có: 0<sinø<I ; 0<cosz<]
-_ Cho hai góc nhọn z, Nêu sinw=sinf8 (hoặc cosz =cos hoặc tan ø = tan đ hoặc cotø = cot 8) thì z= /
> A or > — * z
2 Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau :
Nêu hai góc phụ nhau thì sin góc nay băng cos góc kia, tan góc nảy
bang cot gdéc kia s
3 Một số hệ thức lượng giác:
sna ~ COSŒ
tana = ; cota =—
COSa sina tana.cota=1
2
I
sin’ a+cos'a=1; 1+tan?a=——3 1+cot?@=— cos?z sin’? a H Bai tap:
Bài 1: Cho A48C vuông tại A Viết tỉ số lượng giác của C rỗi suy ra tỉ số lượng -
giác của B, biết: |
c) AC = V2 cm, BC = 2cm d) AB= 3/3cm, AC = 3cm a) AB=3cm, AC = 4cm
b) AC = 12cm, BC = 13cm
Bai 2: Cho AABC vuéng tai A, viết tỉ số lượng giác của 8, biết:
CÓ đ) tanB=0,75
a) in 8= Ã, )
b) cosB=2
5 c) cosB=0,8
Bai 3: Cho AABC vuéng tai A, biét:
a) Goc B= 30° va BC = 6cm Tinh AB, AC b) Géc B = 60° va AB = 4cm Tinh AC, BC
Trang 26- Để cương HKI môn Toán 9 GV: Nguyễn Thị Nhung Đề cương HKI môn Toán 9 GV: Nguyễn thị Nhung
a) (l-cosz)\(1+ecos#); đ) sin” z+ecos°z+2sin” œ.cos ở ;
C
¬ 2 2 2,
B, Ê | b) I+sin°øz+cos ø; €) tan #-sin Z.fan ở;
f) cos“œ+tan #.cos°z c) AB= 3cm, BC = 6cm Tính AC, số đo B,
d) AC= 33cm, BC = 6cm Tính AB, số đo , |
e) AB=4cm, AC= 4/3 Tinh BC, s6 do B, C c) sina-sina@.cos’a;
; " | ; sự | Bài 12: Chứng minh các hệ thức sau:
Bài 4:Giải A4BC vuông tại A, biết: — ˆ |
cosa _ l+sinz,
a) BC = 8cm, B= 45” d) AC = 4V3em, Ê =60" a) sna cosa
b) AB=6cm, B= 30’ e) AB = 12cm, AC = 9cm - b) (sina +cosa)’ —(sina -cosay’ 4
c) AC= 4/3cm, B= 60° f) AB =5cm, BC = I3cm sin @.cOSa
Bài 5: Cho A4BC vuông tại A, duong cao AH Biết BH = 64cm va CH = 81cm
Tính các cạnh và các góc của AAĐBC, ; og oe
BAI 3: MOT SO HE THUC VE CANH VA GOC TRONG TAM GIAC
Bai 6: Cho A4BC vuông tại A, cod AB = 10cm va AC = I5cm " VUÔNG
a) Tinh B _ 1 Tóm tắt lý thuyết:
b) Phân giác trong của góc B cắt AC tại I Tính AI
c) Vé AH 1 BI tại H Tinh AH Cho AABC vuéng tai A, c6 BC = a, AC = b, AB =c
Cem tee oR eR ae Ta cé: b=a.sinB = a.cosC =c.tanB=c.cotC _
Bài 7: Tính giá trị các biêu thức sau: | | °=a sinC = a.cosB = b tanC = b.cotB
a) cos?15°+cos225° +cos235” + cos?35” + cos?45” + cos?55” + cos’ 65" + cos’ 75” H Bài tập: b) sin?10”°—sin?20” +sin? 30” ~sin? 40” +sin” 50” +sin” 60° —sin” 70” + sin” 80”
€) -sinl5” +sin 75” — eos15” — eos75” + sm 30“
d) sin35° +sin67° —sin 23° —cos55” | a) a= 15cm, b= 10cm
e) vos’20° +cos’40° +.cos’50° + cos” 70” b) b= 12cm, c= 7cm
f) sin 20° —tan 40” + cot50”~cot 70” TS |
Bài 1: Giải tam giác vuông ABC, biết  =90“ và:
Bài 2: cho A4BC có B =60°, Ê =50“, AC = 35cm tính diện tích A48C
Bài 8: Cho biệt một tỉ sô lượng giác của góc nhọn z, tính tỉ sơ lượng giác các
góc cịn lại của z: Bài 3: Cho tứ giác ABCD có A = ổ =90°, Ề =40”, AB = 4cm, AD = 3em
Tính diện tích tứ giác ABCD a) sinz=0,8; b) cosa =0,6; c) tanz=3; đ) cotz=2
Bài 4: Cho tứ giác ABCD CÓ các đường chéo œ cắt nhau tai O Cho biết AC= =
Bài 9: Cho góc nhọn øz Biét cosa—sina = : Tính cotz 4cm, BD = 5cm, 4Ø =50” Tính diện tích tứ giác ABCD
Bài 5: Chứng minh rằng:
Bài 10: cho A48C vuông tại C Biết cos 4=-— Tính tan Ư 13 a) Diện tích của một tam giác băng nửa tích của hai cạnh nhân voi sin cua goc CS Ta CS
X , Rae nhọn tạo bởi các đường thắng chứa hai cạnh ay
Bài 11: Rút gọn biêu thức sau: Ta 5 5 , y