Chuyên đề Toán lớp 9 Phương trình và hệ phương trình

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Kiến thức cần nhớ - Cho phương trình ax  bx  c  (1) (a �0)   b  4ac + Nếu   , phương trình (1) vơ nghiệm + Nếu   , phương trình (1) có nghiệm kép x b 2a + Nếu   , phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,2  b �  2a - Cho phương trình ax  2b ' x  c  (2) (a �0)  '  b '2  ac + Nếu  '  , phương trình (2) vơ nghiệm + Nếu  '  , phương trình (2) có nghiệm kép x b ' a + Nếu  '  , phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1,2  b '�  ' a - Hệ thức Vi – ét: Nếu phương trình ax  bx  c  0(a �0) có hai nghiệm là: b � x  x   � � a � � xx c x1 x2 � a uvS � � �u.v  P - Nếu có hai số u, v hai số nghiệm phương trình 2 x  Sx  P  với S  P �0 - Cho phương trình ax  bx  c  (1) ( a �0) + Nếu a  b  c  , phương trình (1) có hai nghiệm x1  1; x2  c a + Nếu a  b  c  , phương trình (1) có hai nghiệm: x1  1, x2   c a Bài tập minh họa Bài Cho phương trình x  x  m  (1) a) Giải phương trình m = 11 b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Lời giải: a) Khi m = 11 , phương trình (1) có dạng x  x  11     88  89 , phương trình có hai nghiệm x1   89  89 ; x2  4 b)    8m Để phương trình (1) có nghiệm kép 0� m ( m  2) x  2mx  (m  1)  (*) Bài Cho phương trình: a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Lời giải: a) Khi m = 2, phương trình (*) có dạng 4x   � x   Vậy m = 2, phương trình (*) có nghiệm x 4 m  �0 � ��  '  m  ( m  2)(m  1)  � b) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (1) (2) (1) ۹ m (2) � 3m   � m  Vậy điều kiện cần tìm m m �2 Bài Cho phương trình: x  mx  2m   (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn điều kiện sau: a) Nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn; b) Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn Lời giải: Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 2m   � m  2 Theo hệ thức Vi – ét: x1  x2  m a) Nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn � x1  x2  � m  � m  Vậy điều kiện cần tìm 2  m  b) Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn � x1  x2  � m  � m  Vậy điều kiện cần tìm m  2 Bài Cho phương trình x  2mx  m   a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Lời giải:  '  m  m    0m Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi – ét: �x1  x2  2m � �x1.x2  m  a) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt � 2m  �m  ��2 �m2 �2 m   m  � � b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt � 2m  � m  2 �2 m   � Bài Cho phương trình x  mx  2m   (1) 2 a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho x1  x2  13 3 b) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho x1  x2  Lời giải: 2 a)   m  8m  16  (m  4) Phương trình có hai nghiệm phân biệt   ۹ m Theo hệ thức Vi – ét � x1  x2  m � �x1.x2  2m  x12  x22  13 �  x1  x2   x1.x2  13 � m  4m   13 � m  4m   Suy m1  1; m2  Vậy m  1; m  số cần tìm 3 3 b) x1  x2  � ( x1  x2 )  3x1 x2 ( x1  x2 )  � m  3(2m  4)m  � m3  6m  12m   � (m  2)3  � m   � m  Vậy m = số cần tìm Bài Cho phương trình x  x  m   Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho : a) x1  x2 b) x1  x2  Lời giải :  '   m    m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt  m  � m  Theo hệ thức Vi – ét �x1  x2  � �x1.x2  m  (1) (2) 3x2  � x2  ; x1  3 a) Thay x1  x2 vào (1) ta có 17  m 1 � m  số cần tìm Thay vào (2) ta có 3 2 b) x1  x2  � ( x1  x2 )  16 � ( x1  x2 )  x1 x2  16 �  4(m  1)  16 � m  2 số cần tìm Bài Cho phương trình x  2(m  1) x  2m   (1) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt Lời giải : Đặt t  x (t �0) Phương trình (1) có dạng : t  2( m  1)t  2m   (2) a) Khi m = 1, phương trình (2) � t  4t   Phương trình có hai nghiệm t1  1, t2  t  � x  � x  �1 t  � x2  � x  �   S  1;1;  3; Phương trình có tập nghiệm b) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt Điều xảy �m  �  '  (m  1)  2m   � �m �0 � �m  1 � �� �� t1  t2  2(m  1)  � m � t t  2m   �m   � � � � � Bài Cho phương trình x  m( x  2)   (1) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 2 c) Tìm m để x1  x2  x3  x1 x2 x3  25 Lời giải : � ( x  2)( x  x  4)  m( x  2)  Phương trình (1) � ( x  2)( x  x   m)  (2) a) Khi m = 2, phương trình (2) có dạng : ( x  2)( x  x  2)  � x  2 � �2 x  x   (*) � Phương trình (*) vơ nghiệm  '    Vậy m = 2, phương trình có nghiệm x  2 x  2 � (1) � �2 x  2x   m  � b) Phương trình (2) (3) Để (1) có ba nghiệm phân biệt (3) phải có hai nghiệm phân biệt �2 � ' 1  m  �m  �� �� (2)  2(2)   m �0 � m �12 � c) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (3) x3  2 Theo hệ thức Vi – ét : �x1  x2  � �x1 x2   m 2 Do x1  x2   x1 x2  25 � ( x1  x2 )  x1 x2  21 �  4(4  m)  21 � 4m  33 � m  Vậy m 33 thỏa mãn điều kiện 33 giá trị cần tìm 5x  m x   0 Bài Cho phương trình x  x  x  (1) a) Giải phương trình m = 14 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Lời giải : Điều kiện xác định x ��2 (*) 5x  m  x   x2  x x2  x   m (1) � 0� 0 ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2) Với điều kiện (*), phương trình (2) � x  x   m  (2) (3) a) Khi m = 14, phương trình (3) � x  x  12  Phương trình có hai nghiệm x1  6; x2  Đối chiếu với điều kiện có x  6 nghiệm (1) b) Để (1) có hai nghiệm phân biệt phương trình (3) phải có hai nghiệm phân biệt ��2  '    m  �m  2 � � � ��    m �0 � �m �14 �4    m �0 � m �2 � � Vậy m  2 m �14 thỏa mãn đề Bài 10 Giải phương trình sau : � � 1� � �x  � �x  �  a) � x � � x � b) x  x  x  x   c) x( x  1)( x  2)( x  3)  24 d) x  x  x  3x  10  (1) (2) (3) (4) Lời giải : a) Phương trình có điều kiện xác định x �0 Đặt t  x 1 � x2   t  x x 2 Ta có phương trình 2(t  2)  3t   � 2t  3t   Phương trình có hai nghiệm t 2� x t1  2; t2    � x  x   � ( x  1)  � x  x 1 t   � x    � x  x   0,    16  x , phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x  b) Nhận xét x  không nghiệm (2) Chia hai vế cho x �0 , ta : x2  5x   Đặt t  x 1 � � 1� �   � �x  � �x  �  x x � x � � x� 1 � x2   t  x x Phương trình có dạng : t   5t   � t  5t   , phương trình có nghiệm t1  2; t2  t 2� x  � x2  x   x , phương trình có nghiệm x1   2; x2   t 3� x  � x  3x   x , phương trình có nghiệm x3   13  13 ; x4  2 2 c) Phương trình (3) � ( x  3x)( x  3x  2)  24 2 Đặt t  x  x , ta có t (t  2)  24 � t  2t  24  Phương trình có hai nghiệm t1  4; t2  6 t  � x  3x   , phương trình có nghiệm x1  1; x2  4 t  � x  3x   0,    24  , phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm x � 1; 4 � ( x  x  x )  3( x  x)  10  2 d) Phương trình (4) � ( x  x)  3( x  x)  10  2 Đặt t  x  x , ta có : t  3t  10  Phương trình có hai nghiệm t1  5; t2  t  5 � x  x   0,    20  , phương trình vơ nghiệm t  � x  x   0, x1  1, x2  Vậy phương trình có hai nghiệm x � 1;2 Bài 11 Giải phương trình sau : a) x2  x   2x  b) x   x   3x  (1) (2) x  3x  10  x( x  3)  (3) d)  x   x   x  (4) c) Lời giải : a) Phương trình (5) x � x  �0 � (1) � � 2 �x  x   (2 x  1) (5) (6) x1  1, x2   (6) � 3x  x   , phương trình có nghiệm mãn (5) Vậy phương trình cho có nghiệm x  (loại) không thỏa b) Điều kiện xác định x � (*) Phương trình (2) � x   x   x  � x   x   x   ( x  3)(3 x  1) x  �0 � � x  10 x   x  � � 4(3x  10 x  3)  x  x  � (8) � 11x  34 x   Phương trình có hai nghiệm (7) (8) x1  3; x2   x  3 không thỏa mãn điều kiện (*) Phương trình có nghiệm x 11 11 c) Điều kiện xác định x( x  3) �0 hay x  3x �0 (**) 2 Đặt t  x  3x , t �0 , ta có t  10  3t  Phương trình t  10  3t  có hai nghiệm t1  5, t2  2, t �0 nên t  2 Với t  � x  3x  � x  x  � x  3x   0; x1  1, x2  thỏa mãn điều kiện (**) Vậy phương trình có nghiệm x � 1;4 e) Điều kiện xác định 2 �x �2 Đặt a   x , b  x  2,(a, b �0) Ta có : � a  b  ab  � 2(a  b)  2ab  �� � 2 � a b 4 �a  b  (9) (10) 2 Cộng vế (9) (10) ta (a  b)  2( a  b)  � ( a  b  1)  �a  b  �� a  b  4 � Với a  b  , từ (9) � ab  Vậy a  2; b  x  2 � � � � �x  a  0; b  � � Với a  b  4 vơ nghiệm a, b �0 Phương trình cho có nghiệm x � 2;2 Bài 12 Giải hệ phương trình sau : (1) �2   � �x y � �3   � (2) a) �x y b) ( x  2)( y  1)  xy  � � � ( x  1)( y  1)  xy (3) (4) Lời giải : 1 a  , b  ; a, b �0 x y a) Điều kiện xác định x, y �0 Đặt ta có hệ phương trình �2a  b  � b   2a b   2a b 1 � � � �� �� �� � 3a  2b  � 3a  2(3  2a )  � a  a 1 � � Từ suy ( x; y )  (1;1) �1 1 � �x  �x �� �1 �  �y  �y Hệ phương trình cho có nghiệm �xy  x  y   xy  �x  y  �� � xy  x  y   xy � x  y  b) Hệ cho tương đương với � (5) (6) Cộng vế (5) (6) ta y  � y  Thay vào (6)  x   � x  Hệ có nghiệm ( x  1; y  2) Bài 13 Cho hệ phương trình �2 x  y  � mx  y  � (1) (2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thảo mãn điều kiện : a) x y trái dấu b) x y dương Lời giải : a) (1) � y  x  ; thay vào (2) ta mx  x   � (m  2) x  (3) Để hệ phương trình có nghiệm (3) phải có nghiệm � 10  m � ( x; y )  � ; � �m  m  � �m�۹2 m Hệ có nghiệm 6(10  m) 0 2 y ( m  2) x trái dấu Mà (m  2)  với m �2 nên 10  m  � m  10 giá trị cần tìm � x y  � � 0 � �m  �� 10  m � 0 y m  � x b) dương (4) (5) (4) � m   � m  2 Vì m   nên (5) � 10  m  � m  10 Vậy điều kiện cần tìm 2  m  10 Bài 14 Giải hệ phương trình sau a) �x  y  �2 �x  y  (1) (2) � 3x  y  y  � y  x2  x  b) � (3) (4) Lời giải : a) (1) � y   x , thay vào (2) ta x  (3  x )  � x  x   � x  x   Phương trình có hai nghiệm x1  1; x2  Do hệ cho có hai nghiệm ( x  1; y  2);( x  2; y  1) b) Trừ vế phương trình (3), (4) ta được: � x y x  y  y  x  y  x � x  y  4( x  y )  � ( x  y )( x  y  4)  � � x y4 � 2 Với x  y thay vào (4) x  x   � ( x  1)  � x  � y  Với x  y  4 � x  4  y , thay vào (3) ta được: 3(4  y )  y  y  � y  y  13  0;  '   13  , phương trình vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm ( x; y )  (1;1) Bài tập tự luyện Bài Cho hai phương trình : x  (3m  2) x  12  (1) x  (9m  2) x  36  (2) Với giá trị m hai phương trình cho có nghiệm chung Tìm nghiệm chung Bài Cho hai phương trình : ax  bx  c  (1) cx  bx  a  (2) với a, c  a) Chứng minh hai phương trình cho có nghiệm vơ nghiệm b) Giả sử x1; x2 x '1; x '2 nghiệm phương trình (1) (2) Chứng minh x1 x2  x '1 x '2  2 Bài Cho phương trình x  mx  x   Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho: a) x1  x2  b) x1  x2  Bài Cho phương trình x  ( m  1) x  m  Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền Bài Cho hệ phương trình �x  y  � mx  y  � (1) (2) Tìm m ��đề hệ phương trình có nghiệm x, y số nguyên Bài 6* Cho hệ phương trình �x  my  m  � mx  y  3m  � (1) (2) Tìm m để hệ có nghiệm ( x; y ) cho tích x y có giá trị nhỏ Bài Giải hệ phương trình: � �x  y 3 � xy  a) � b) �x  y  � �x y  Bài Giải hệ phương trình: a) �x  y  � x  y 3 � (1) (2) �x  xy  y  (3) � (4) b) � 3x  y  Bài 9* Giải hệ phương trình: �x  xy  y  � a) � y  3xy  �x y  �  x �y � x y5 b) � Bài 10* Giải phương trình sau: a) x2  1  x  x   (2 x  x  x  1) 4 (Đề thi vào lớp 10 – Hà Nội – Năm học 2009 – 2010) 2 b) x  x   ( x  4) x  (Đề thi vào lớp 10 – Hà Nội – Năm học 2010 – 2011) Hướng dẫn – Lời giải – Đáp số Bài x  , phương trình (1) phương trình (2) vơ nghiệm Vậy x �0 x  x  12 m 3x Từ (1) suy Thay vào (2) thu gọn x  x  � x( x  4)  � x1  (loại), x2  2.42  2.4  12 m 3 3.4 x  Với , ta có Vậy hai phương trình có nghiệm x  m = Bài a) Vì a  0, c  nên (1) (2) phương trình bậc hai Ta có 1    b  4ac suy 1 ,  �0 < nên hai phương trình (1) (2) có nghiệm vô nghiệm c a a c a x1 x2  ; x1 x2  ; x '1 x '2  x1 x2  x '1 x '2   a c c Khi a c b) Theo hệ thức Vi – ét: c a (a  c )  2 0 a c ac Xét hiệu (vì (a  c)  a.c  ) c a  2 a c Do hay x1x2  x '1 x '2  2 Bài Xét phương trình x  mx  2m   (1), có   (m  4) Để phương ( m  4) 0۹ m trình có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi – ét �x1  x2  m � �x1 x2  2m  (2) (3) a) x1  x2  � x2  x1  1, thay vào (2): m 1 2m  3x1   m � x1  � x2  3 (m  1)(2m  1)  2m  � 2m  17m  35  Thay vào (3) ta có: � 7� m ��� 5; � � Giải phương trình 2 b) x1  x2  � ( x1  x2 )  � x1  x2  x1 x2  � ( x1  x2 )2  x1 x2  x1 x2  � m2  (4m  8)  2m   (*) - Nếu m �2 (*) � m  ; m �2 nên m = 2 - Nếu m < (*) � m  2(4m  8)  � m  8m   , suy m = thỏa mãn điều kiện ; m = (loại) Vậy m � 1;3 Bài Xét phương trình x  ( m  1) x  m  (1) Yêu cầu toán tương đương 2 với : phương trình (1) có hai nghiệm x1  0, x2  x1  x2  �  (m  1)2  4m �0 � (m  1)2 �0 � x  x  m   �m  �1 � �� �� m0 ��2 � m 1 x x  m  m  � �1 � (m  1)2  2m  � �( x  x )  x x  �1 2 Bài Xét hệ phương trình (4) � (1  2m) y   5m Hệ có nghiệm Từ x   2y  �x  y  � mx  y  � � x   2y �� 5m  2my  y  (2) � (1) (3) (4) (5) � 2m  m 5m  �y 2m  , từ (5) 2m  x ��� 2m  ước 3, nên (2m  1) � 3; 1;1;3 , m � 1;0;1;2 Các giá trị m thỏa mãn x, y số nguyên Vậy m � 1;0;1;2 �3m  m  � ( x; y )  � ; � m  m 1� � Bài 6* Giải 5, với m ��1 , hệ có nghiệm Đặt   T  xy  (3m  1)(m  1) 3m  2m  3(m  1)  8( m  1)    (m  1) (m  1) (m  1)2 m  (m  1) 2 �2 � 2� � �m  � T , dấu ‘=’ xảy 2�m0 m 1 Vậy tích xy có giá trị nhỏ -1 m = Bài a) ( x  1; y  4);( x  4; y  1) b) ( x  3; y  2);( x  2; y  3) Bài a) Xét hệ �x  y  � x  y 3 � (1) (2) Cộng vế hai phương trình x  � x  � x  �2; y  Hệ có hai nghiệm ( x; y ) � (2;1);( 2;1) 2 b) (3) � x  xy  xy  y  � x ( x  y )  y ( x  y )  � ( x  y )( x  y )  x y � �� x  2y � � 12 � � �3 �� ( x; y ) �� ;� ; � � �; � �2 ��7 � � Lần lượt thay vào (4), hệ có nghiệm �x  xy  y  � Bài 9* a) xét hệ � y  3xy  (1) (2) y  Đặt x  ky , hệ trở thành: Từ (2) � k y  y  4ky  �y ( k   4k )  �� � 2 y  ky  � � y (1  3k )  Từ (4) �  3k  � k  (3) (4) Chia vế (3) (4) ta k   4k 1  � 4k  16k    3k � 4k  13k   � k1  k2   3k 4 (loại) Với   k , thay vào (4) ta y  16 � y  �4 \ y  � x 1 y  4 � x  1 Hệ có hai nghiệm ( x; y ) � (1;4);( 1; 4) b) Điều kiện xy  Đặt x  t, t  y Ta có phương trình t   � 2t  5t   � t1  ; t2  t 2 Do x  y x 2 y Giải tiếp hai hệ phương trình �x �x �  � 4 y � �y �x  y  �x  y  � � Ta nghiệm ( x; y) � (1;4);(4;1) Bài 10* a) Phương trình cho tương đương với � 1� x   �x  �  (2 x  1)( x  1) � 2� (1) � x2  1 � 1�  x   �x  � ( x  1) � 2� (2) Do vế trái �0 nên vế phải �0 Mà x   0x nên x 0 , phương trình (2) tương đương với � 1� � 1� � 1� x  x   �x  � ( x  1) � �x  �  �x  � ( x  1) � 2� � 2� � 2� � 1� � 1� � 1� � 1� � � �x  � �x  � ( x  1)  � �x  �  ( x  1) �  �  x �x  � � � � 2� � 2� � 2� � 2� � 1� � x �� 0;  � � 2 b) x  x   ( x  4) x  (3) Đặt a  x  7( a � 7) Ta có ax � (3) � a  x  ( x  4) a � a  xa  x  4a  � (a  x)(a  4)  � � a4 � � x �0 a  x � x   x � �2 �x   x ( hệ phương trình vơ nghiệm) a4� x   � x   16 � x  � x  �3 ... �? ?đề hệ phương trình có nghiệm x, y số nguyên Bài 6* Cho hệ phương trình �x  my  m  � mx  y  3m  � (1) (2) Tìm m để hệ có nghiệm ( x; y ) cho tích x y có giá trị nhỏ Bài Giải hệ phương trình: ... (*) Bài Cho phương trình: a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Lời giải: a) Khi m = 2, phương trình (*) có dạng 4x   � x   Vậy m = 2, phương trình (*) có... kép Lời giải: a) Khi m = 11 , phương trình (1) có dạng x  x  11     88  89 , phương trình có hai nghiệm x1   89  89 ; x2  4 b)    8m Để phương trình (1) có nghiệm kép 0� m