d¹ng i chøng minh hai vect¬ b»ng nhau c¸c d¹ng bµi tëp c¬ b¶n vò biõn ®æi vect¬ d¹ng i chøng minh hai vect¬ cïng ph­¬ng hai vect¬ b»ng nhau a hai vect¬ ®­îc gäi lµ cïng ph­¬ng nõu chóng cã gi¸ song

(Tứ giác bất kì) Cho tứ giác ABCD.. a) Cho lục giác đều ABCDEF. CMR hai tam giác ACE và BDF cùng trọng tâm... b) Cho lục giác ABCDEF. d) Cho tứ giác lồi ABCD.[r]

Các dạng tập bin i vect

Dạng I:Chứng minh hai vectơ ph¬ng, hai vect¬ b»ng nhau.

a)- Hai vectơ đợc gọi phơng chúng có giá song song trùng nhau. - Vectơ ⃗b cùng phơng với vectơ ⃗a ( ⃗a ⃗O ) co số k cho

⃗b =k ⃗a

b)Hai vect¬ b»ng nhau: ⃗a = ⃗b ⇔ ⃗a , ⃗b cïng híng vµ ¿ ⃗a ¿ = ¿

⃗b ¿

-Chứng tỏ hai vectơ hớng -Độ dài hai vectơ nhau VD1:

Cho tam giác ABC Gọi M,N lần lợt trung điểm hai cạnh AB AC a) Tìm vectơ lần lợt phơng với MN MB

b) Tìm vectơ lần lợt hớng với MN AB c) Tìm vectơ ngợc hớng với CN

VD2: Cho hình thoi ABCD Các đẳng thức sau hay sai?vì sao? a) ⃗AB = ⃗AD b) ⃗AB = ⃗CD

c) ⃗AD = ⃗BC d) ¿ ⃗AD ¿ = ¿ ⃗BC ¿

VD3: Cho tam gi¸c ABC Tõ trung điểm M,N cạnh AB,AC vẽ ME BC, NF BC.CMR: ⃗ME = ⃗NF

VD4: Cho tam giác ABC cân A,trên cạnh AB lấy điểm D cho D không trùng với A B ,trên tia đối tia CA lấy điểm E cho BD= CE ,DE cắt BC F CMR: DF = FE

Dạng II:Chứng minh hai điểm trùng nhau. C1: A B ⇔ ⃗AB = ⃗O

C2: A B ⇔ ⃗IA = ⃗IB (Víi I tuú ý) Note:

-G trọng tâm tam giác ABC ⇔ ⃗GA + ⃗GB + ⃗GC = ⃗O

-G trọng tâm tam giác ABC ⇔ ⃗OA + ⃗OB + ⃗OC = ⃗OG (Với O tuỳ ý) VD1: Cho tam giác ABC tam giác A’B’C’.CMR: Điều kiện để hai tam giác có trọng tâm : ⃗AA ' + ⃗BB' + ⃗CC' = ⃗O

HD:

- Gäi G G lần lợt trọng tâm tam giac ABC vµ A’B’C’ ta cã:

⃗AA ' + ⃗BB' + ⃗CC' = ⃗AG + ⃗GG ' + ⃗G' A ' + ⃗BG + ⃗GG ' + ⃗G' B ' + ⃗CG + ⃗GG ' + ⃗G' C ' =3 ⃗GG '

(v× ⃗GA + ⃗GB + ⃗GC = ⃗O , ⃗G' A ' + ⃗G' B ' + ⃗G' C ' = ⃗O ).

-G G’ ⇔ ⃗GG ' = ⃗O

Vậy: Điều kiện để hai tam giác có trọng tâm : ⃗AA ' + ⃗BB' + ⃗CC' = ⃗O VD2: Cho tam giác ABC Gọi A’ điểm đối xứng với A qua B,B’ điểm đối xứng với B qua C,C’ điểm đối xứng với C qua A.CMR: Hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G

HD:

- Gäi G G lần lợt trọng tâm tam giac ABC vµ A’B’C’ ta cã:

⃗AA ' + ⃗BB' + ⃗CC' = ⃗AG + ⃗GG ' + ⃗G' A ' + ⃗BG + ⃗GG ' + ⃗G' B ' +

⃗

CG + ⃗GG ' + ⃗G' C ' =3 ⃗GG '

-Mµ: ⃗AA ' + ⃗BB' + ⃗CC' =2( ⃗AB + ⃗BC + ⃗CA )= ⃗O

⇒ ⃗GG ' = ⃗O ⇒ G G’ ⇒ Hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G Dạng III:Chứng minh đẳng thức véctơ

- Các cách thờng sử dụng: Biến đổi tơng đơng,biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản ,biến đổi bắc cầu

- KiÕn thøc liªn quan:

Với ba điểm M,N,P ta có ⃗MN + ⃗NP = ⃗MP

+Sö dụng quy tắc hình bình hành:

Nếu OABC Hình bình hành ta có OA + ⃗OC = ⃗OB

+ Sử dụng quy tắc hiệu vectơ:Nếu ⃗AB vectơ cho ta có ⃗AB =

⃗

OB - ⃗OA

+Sư dơng tính chất trung điểm:

M trung điểm đoạn thẳng AB MA + MB = O

M trung điểm đoạn th¼ng AB ⇔ ⃗OA + ⃗OB =2 ⃗OM (Víi O điểm tuỳ ý)

+Sử dụng tính chất trọng tâm:

.G trọng tâm tam giác ABC GA + GB + GC = O

.G trọng tâm cđa tam gi¸c ABC ⇔ ⃗OA + ⃗OB + ⃗OC = OG (Với O điểm tuỳ ý)

VD1:Cho bốn điểm A,B,C,D ;I,J lần lợt trung điểm AB CD a)CMR: AC + BD = IJ

b)Gọi O trung điểm cña IJ CMR: ⃗OA + ⃗OB + ⃗OC + OD = O c)M điểm bất kì.CMR: MA + ⃗MB + ⃗MC + ⃗MD =4 ⃗MO

HD:

a) ⃗AC = ⃗AI + ⃗IJ + ⃗JC , ⃗BD = BI⃗ + ⃗IJ + ⃗JD ⇒ ⃗AC + BD = 2 IJ (Vì I,J trung ®iĨm cđa AB ,CD)

b) ⃗OA + ⃗OB =2 ⃗OI , ⃗OC + ⃗OD =2 ⃗OJ ⇒ ⃗OA + ⃗OB + ⃗OC + ⃗OD = ⃗O

(V× O trung điểm IJ)

c) OA + ⃗OB + ⃗OC + ⃗OD = ⃗O ⇔ ⃗MA - ⃗MO + ⃗MB - ⃗MO + ⃗MC - ⃗MO + ⃗MD - ⃗MO = ⃗O

⇔ ⃗MA + ⃗MB + ⃗MC + ⃗MD =4 ⃗MO

VD2: Cho tam giác ABC Gọi G,H,O lần lợt trọng tâm,trực tâm,tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giac;AD đờng kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác.CMR:

a)Tứ giác HBDC hình bình hành b) HA + ⃗HB + ⃗HC = 2 ⃗HO c) ⃗OA + ⃗OB + ⃗OC = ⃗OH d) O,G.H thẳng hàng.

HD:

a)DC AC,BH AC ⇒ DC//BH;DB AB,CH AB ⇒ DB// CH ⇒ HBDC lµ HBH

b)+Gọi A’ trung điểm BC ⇒ ⃗HA = 2 ⃗A ' O (Vì A’O đờng trung bình AHD)

mµ ⃗HB + ⃗HC = ⃗HA ' ⇒ ⃗HA + ⃗HB + ⃗HC = ⃗HO

+ ⃗HA + ⃗HB + ⃗HC = ⃗HO ⇔ ⃗OA - ⃗OH + ⃗OB - ⃗OH + ⃗OC - ⃗OH =-2 ⃗OH

⇔ ⃗OA + ⃗OB + ⃗OC = ⃗OH

VD3: Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm H điểm đối xứng với B qua G a)CMR: ⃗AH =

3 ⃗AC -1

3 ⃗AB ⃗CH =-1

3 ⃗AB -1

3 AC b)Gọi M trung điểm BC CMR: ⃗MH =

6 ⃗AC -5

6 AB

HD:

a)G trung điểm HB ⇒ ⃗AH + ⃗AB =2 ⃗AG ⇒ ⃗AH =2 ⃗AG - ⃗AB =

3 ⃗AC -

3 ⃗AB (1)

V× ⃗AG =

3 ⃗AB +

(1) ⇒ ⃗CH = ⃗AH - ⃗AC =-

3 ⃗AB -1

3 ⃗AC b) M lµ trung ®iĨm cđa BC ⇒ ⃗MH =

2 ( ⃗BH + ⃗CH )=

2 ( ⃗AH - ⃗AB + ⃗CH )=

6 ⃗AC -5

6 AB

Dạng IV:Biểu thị véctơ qua hai vectơ không phơng.Chứng minh ba điểm thẳng hµng.

- Cho ⃗a vµ ⃗b lµ hai véc tơ không phơng Với vectơ ⃗x ta cã ⃗x =m

⃗

a +n b (m,n R)

- Ba điểm A,B,C thẳng hµng ⇔ ⃗AB =k ⃗AC (k 0)

- Ba điểm A,B,C thẳng hàng OC = m ⃗OA +n ⃗OB víi m+n =1

VD1: Cho tam giác ABC Lấy điểm M,N,P cho MB = 3 ⃗MC , ⃗NA +3 ⃗NC =

⃗ O ,

⃗PA + ⃗PB = ⃗O .

a)Biểu diễn vectơ AP , AN , AM theo vectơ AB AC b) Biểu diễn vectơ MP , MN theo vectơ AB AC c)CMR:M,N,P thẳng hàng

HD:

a) PA + ⃗PB = ⃗O ⇒ ⃗AP =

2 ⃗AB ; ⃗NA +3 ⃗NC = ⃗O ⇒ ⃗AN =

⃗AC ; ⃗MB = ⃗MC ⇒ ⃗AM =

2 ⃗AC -1

2 ⃗AB

b) ⃗MP = ⃗AP - ⃗AM = ⃗AB -

2 ⃗AC (1) ; ⃗MN = ⃗AN - ⃗AM =

2 ⃗AB -3

⃗AC (2)

c)Tõ (1), (2) ⇒ ⃗MP =2 MN M,N,P thẳng hàng.

VD2: Cho tam giác ABC Gọi I điểm BC kéo dài IB = 3IC a) Tính vectơ AI theo vectơ AB và AC

b)Gọi J,K lần lợt điểm cạnh AC,AB cho JA= 2JC,KB=3KA TÝnh ⃗JK theo ⃗AB vµ ⃗AC

c)TÝnh ⃗BC theo ⃗AI vµ ⃗JK HD:

a)gt ⇒ ⃗IB =3 ⃗IC ⇒ ⃗AB - AI⃗ =3( ⃗AC - ⃗AI ) ⇒ ⃗AI =-

2 ⃗AB +

⃗AC (1)

b) gt ⇒ ⃗AJ =

3 ⃗AC , ⃗AK =

4 ⃗AB ⇒ ⃗JK = ⃗AK - ⃗AJ =

4 ⃗AB -2

3 ⃗AC (2)

c) (1), (2) ⇒ ⃗BC = ⃗AC - ⃗AB =-10 ⃗AI -24 ⃗JK

VD3: Cho tam giác ABC.Gọi I,J hai điểm xác định ⃗IA = ⃗IB , ⃗JA +2 ⃗JC = ⃗

O

a)TÝnh ⃗IJ theo ⃗AB vµ ⃗AC b)CMR: ⃗GB =

3 ⃗AB -1

3 ⃗AC

a) ⃗IA = 2 ⃗IB ⇒ ⃗AI =2 ⃗AB ;3 ⃗JA +2 ⃗JC = ⃗O ⇒ ⃗AJ =

5 ⃗AC ⇒ ⃗IJ =-2 ⃗AB +

5 AC (1)

b)Gọi M trung điểm AC ⇒ ⃗BM =

2 ( ⃗BA + ⃗BC ) ⇒ ⃗GB =-1

3 ( ⃗BA + ⃗BC )=

3 ⃗AB -1

3 ⃗AC

c) ⃗IA = ⃗IB ⇒ ⃗IB = ⃗BA ⇔ ⃗IG =- ⃗AB - ⃗GB ⇔ ⃗IG =-

3 ⃗AB +

3 ⃗AC (2)

Tõ (1), (2) ⇒ ⃗IJ =6 ⃗IG ⇒ I,J,G thẳng hàng IJ qua trọng tâm G cđa tam gi¸c ABC

Dạng V: Xác định điểm thoả mãn hệ thức vectơ.

Cho:O, ⃗a khi đo tồn diểm M cho ⃗OM =k ⃗a (k khụng i)

VD1: Cho tam giác ABC điểm M bất kì.CMR: a = MA + MB - 2 MC không phụ thuộc vào vị chí ®iÓm M.Dùng ®iÓm D cho ⃗CD = ⃗a HD:

+ ⃗a = ⃗MA + ⃗MB - ⃗MC = ⃗AB -2 ⃗AC = ⃗CB + ⃗CA =2 CI (I trung điểm AB)

+ ⃗CD = ⃗a ⇔ ⃗CD =2 ⃗CI ⇒ D đỉnh thứ t hbh ACBD VD2: Cho hai hình bình hành ABCD Dựng điểm M,N thoả mãn:

a) ⃗MA - ⃗MB - ⃗MC = ⃗AD ; b) ⃗NC + ⃗ND - ⃗NA = ⃗AB + ⃗AD -⃗AC ;

HD:

a) ⃗MA - ⃗MB - ⃗MC = ⃗AD ⇔ ⃗CM = ⃗AB + ⃗AD = ⃗AC ⇒ M đối xứng với A qua C

b) ⃗NC + ⃗ND - ⃗NA = ⃗AB + ⃗AD - ⃗AC ⇔ ⃗AD + ⃗NC = ⃗O ⇔ ⃗CN =

⃗AD

⇒ N đỉnh thứ t hbh DACN Dạng VI:Tìm quỹ tích.

+ ¿ ⃗OM ¿ = ¿ ⃗a ¿ với O có định ⃗a khơng đổi tập hợp điểm M

là đờng trịn tâm O bán kính ¿ ⃗a ¿ .

+ ¿ ⃗MA ¿ = ¿ ⃗MB ¿ với A,B cố định tập hợp điểm M đờng trung trực AB.

+ ⃗OM =k ⃗a với O cố định , ⃗a khơng đổi ,k R hp im M l ng

thẳng qua O có phơng phơng với vectơ ⃗a .

+ ⃗OM =k ⃗OA với O,A cố định, k R tập hợp điểm M đờng thẳng OA. VD1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn :

a) ¿ ⃗MA + ⃗MB ¿ = ¿ ⃗MA - ⃗MB ¿ b) ¿ ⃗MA + ⃗MB ¿ = ¿ ⃗MA + ⃗MC ¿ c) ⃗MA + ⃗MB = k( ⃗MB - ⃗MC );k R

HD:

a) ¿ ⃗MA + ⃗MB ¿ = ¿ ⃗MA - ⃗MB ¿ ⇔ ¿ 2 ⃗MI ¿ = BA (với I trung điểm AB)

⇔ MI=

2 AB.Vậy tập hợp điểm M đờng trịn tâm I bkán kính AB

b) ¿ ⃗MA + ⃗MB ¿ = ¿ ⃗MA + ⃗MC ¿ ⇔ ¿ 2 ⃗MI ¿ = ¿ 2 ⃗MJ ¿ (víi J lµ trung ®iĨm cđa AC)

c) ⃗MA + ⃗MB = k( ⃗MB - ⃗MC ) ⇔ ⃗MI =

2 k ⃗CB VËy tập hợp điểm M

đ-ờng thẳng qua I vµ song song víi BC VD2: Cho tø gi¸c ABCD

a)Xác định điểm O cho : ⃗OB +4 ⃗OC =2 ⃗OD .

b)Tìm tập hợp điểm M thoả mÃn hệ thøc ¿ ⃗MB + ⃗MC -2 ⃗MD ¿ = ¿

⃗MA ¿ HD:

a) ⃗OB +4 ⃗OC =2 ⃗OD ⇔ 3 ⃗OB =2 ⃗BD -4 ⃗BC =2 ⃗CD -2 ⃗BC =4 ⃗CI ⇔

⃗

OB =

3 ⃗CI (I lµ t® cđa BD)

⇒ O đỉnh thứ t hbh BIEO với E xác định ⃗IE =

3 ⃗CI

b) ¿ ⃗MB + ⃗MC -2 ⃗MD ¿ = ¿ ⃗MA ¿ ⇔ ¿ ⃗MO + ⃗OB +4 ⃗OC -2

⃗

OD ¿ = ¿ ⃗MA ¿

⇔ ¿ ⃗MO ¿ = ¿ ⃗MA ¿ ⇔ MO=MA.

Vậy tập hợp điểm M đờng trung trực đoạn OA. Bài tập làm thêm A.Tự luận:

1 Cho bốn điểm M,N,P,Q CM đẳng thức sau:

a) ⃗PQ + ⃗NP + ⃗MN = ⃗MQ b) ⃗NP + ⃗MN = ⃗QP + ⃗MQ c) ⃗MN + ⃗PQ = MQ + PN

2 Cho sáu điểm A,B,C,D,E,F CMR: a) ⃗AD + ⃗BE + ⃗CF = ⃗AE + ⃗BF + ⃗CD

b) ⃗AB + ⃗CD = ⃗AD + ⃗CB

3 Cho tứ giác ABCD Gọi I,J lần lợt trung điểm AB,CD;O trung điểm IJ CMR: ⃗OA + ⃗OB + ⃗OC + ⃗OD = ⃗O

4.Cho tø gi¸c ABCD Gäi M,N lần lợt trung điểm AB,CD. CMR: ⃗MN = ⃗AC + ⃗BD = ⃗AD + ⃗BC

5.Cho tam giác ABC Bên tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ , CARS CMR: RJ + ⃗IQ + ⃗PS = ⃗O .

6.Cho lục giác ABCDEF tâm O

a)CMR: ⃗OA + ⃗OB + ⃗OC + OD⃗ + ⃗OE + ⃗OF = O .

b)Gọi M,N,P,Q lần lợt trung điểm AB,CD,AF,DE CMR: MN = PQ . 7.Cho tam giác ABC hai điểm I,F cho bëi: ⃗IA +3 ⃗IC = ⃗O ;FA+2 ⃗FB +3 ⃗FC =

⃗

O .

CMR:I,F,B thẳng hàng

8 Cho tam giác ABC Trên BC lÊy ®iĨm D cho ⃗BD =

5 BC ,gọi E điểm thoả mÃn:

⃗EA +2 ⃗EB +3 ⃗EC = ⃗O . a)TÝnh ⃗ED theo ⃗EB và EC . b)CMR: A,E,D thẳng hàng

9 Cho tam giác ABC Gọi G,H,O lần lợt trọng tâm,trực tâm,tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giac;AA’ đờng kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác.CMR:

a) ⃗HB + ⃗HC = ⃗HA ' b) ⃗HA + ⃗HB + ⃗HC = 2 HO c) O,G.H thẳng hàng

10.Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q lần lợt trung điểm cạnh AB,BC,CD,DA CMR: Hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm

a) Dựng điểm M,N cho ⃗EM = ⃗BD , ⃗FN = ⃗BD b) CMR:

⃗

CD = ⃗MN

12.Cho tam giác ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: ⃗MA - ⃗MB + ⃗MC =

⃗ O .

13.Cho tam giác ABC

a)Tìm ®iĨm I tho¶ m·n: ⃗IA + ⃗IB = ⃗O .

b)Tìm tập hợp điểm M thoả m·n: ¿ 2 ⃗MA + ⃗MB ¿ = ¿ ⃗MA + ⃗MB +

⃗MC ¿

14.Cho tam giác ABC, gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = BI F điểm cạnh BC kéo dài cho 5FB = 2FC

a) TÝnh ⃗AI , ⃗AF theo ⃗AB , ⃗AC

b) Gọi G trọng tâm tam gi¸c ABC TÝnh ⃗AG theo ⃗AI , ⃗AF

15.Cho tam giác ABC Xác định vị chí điểm M cho: ⃗MA + ⃗MB +2 ⃗MC = ⃗O 16 Cho tam giác ABC

a) Xác định vị chí điểm M cho: ⃗MA +2 ⃗MB = ⃗O b) Xác định vị chí điểm N cho: ⃗NA + 2 ⃗NB = ⃗CB 17 Cho tam giác ABC cố định điểm M di động CMR:

a) ⃗MA +4 MB -5 MC không phụ thuộc vào vị chí điểm M b) ⃗MA +2 ⃗MB -3 ⃗MC không phụ thuộc vào vị chí điểm M 18 Cho tam gi¸c ABC

a)Gọi P điểm đối xứng B qua C Tính ⃗AP theo ⃗AB , ⃗AC b)Gọi Q R hai điểm xác định : ⃗AQ =

2 ⃗AC vµ ⃗AR =

3 ⃗AB . TÝnh ⃗RP , ⃗RQ theo ⃗AB , ⃗AC

c)CMR: P, Q, R thẳng hàng B.Trắc nghiệm:

1.Cho hỡnh chữ nhật ABCD Gọi I, K lần lợt trung điểm BC, CD Hệ thức dới đúng?

A ⃗AI + ⃗AK =2 ⃗AC B ⃗AI + ⃗AK = ⃗AB + ⃗AD C ⃗AI + ⃗AK = IK⃗ D ⃗AI + ⃗AK =

2 ⃗AC 2.Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác H điểm đối xứng B qua G Hệ thức sau đúng?

A ⃗AH =

3 ⃗AC -1

2 ⃗AB B ⃗AH =

3 ⃗AC -2

3 ⃗AB

C ⃗AH =

3 ⃗AC -1

3 ⃗AB D ⃗AH =

3 ⃗AC +

3 ⃗AB 3.Cho tam giác ABC, xác định vectơ có điểm đầu điểm cuối A, B, C?

A B C D 4.Cho bốn điểm A, B, C, D Câu sau đúng?

A ⃗AB - ⃗DC = ⃗AD - ⃗BC B ⃗AB + ⃗CD = ⃗DA - ⃗BC C ⃗AB + ⃗AD = ⃗CD + ⃗CB D ⃗AD + ⃗BC = ⃗AC + ⃗DB 5.Cho hình vng ABCD Câu sau đúng?

A ⃗AB = ⃗BC B ⃗AB = ⃗CD C ⃗AC = ⃗DB D ¿ ⃗AC ¿ = ¿ ⃗DB ¿

6.cho tam giác vuông cân ABC có AB=AC=a.Độ dài cđa ⃗AB + ⃗AC b»ng bao nhiªu? A a √2 B a √2

A B √13 C D √13

8)Cho tam giác ABC có cạnh a.H trung điểm cạnh BC Vectơ ⃗CA -⃗HC có độ dài bao nhiêu?

A a

2 B 3 a

2 C

2 a√3

3 D

a√7

9) Cho tam giác ABC vuông A.G trọng tâm tam giác, BC=12 Vectơ GB +

⃗

GC có độ dài bao nhiêu?

A B √3 C D 10).Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lợt trung điểm đoạn thẳng AB CD Trong đẳng thức sau đẳng thức sai?

A ⃗AB + ⃗CD =2 ⃗IJ B ⃗AC + ⃗BD =2 ⃗IJ

C ⃗AD + ⃗BC =2 ⃗IJ D 2 ⃗IJ + ⃗DB + ⃗CA = ⃗O

11) Cho tam giác ABC điểm I cho ⃗IA = 2 ⃗IB Đẳng thức nao sau đúng? A ⃗CI =

3 ⃗CA -2

3 ⃗CB B ⃗CI =

3 ⃗CA +

3 ⃗CB C ⃗CI =-

3 ⃗CA -2

3 ⃗CB D ⃗CI =- ⃗CA +2 ⃗CB

12) Cho tam giác ABC điểm I cho ⃗IA + 2 ⃗IB = ⃗O Đẳng thức nao sau đúng?

A ⃗CI =

3 ⃗CA -2

3 ⃗CB B ⃗CI =

3 ⃗CA +

3 ⃗CB C ⃗CI =-

3 ⃗CA -2

3 ⃗CB D ⃗CI =- ⃗CA +2 ⃗CB 14)Cho tam giác ABC với G trọng tâm Đẳng thức sau đúng?

A ⃗AG =

3 ⃗CA -1

3 ⃗CB B ⃗AG =

3 ⃗CA + ⃗

CB

C ⃗AG =

3 ⃗CA -2

3 ⃗CB D ⃗AG =-2

3 ⃗CA +

⃗ CB

15) Cho tam giác ABC với G trọng tâm Đẳng thức sau đúng? A ⃗CG =

3 ⃗CA +

3 ⃗CB B ⃗CG =

3 ⃗CA + ⃗

CB

C ⃗CG =

3 ⃗CA -1

3 ⃗CB D ⃗CG =

3 ⃗CA -2

⃗ CB

16) Cho mệnh đề sau:

a) Hai véctơ đối hớng có độ dài b) Hai véctơ đối có giá trùng

c) Hai véctơ đối phơng có độ dài d) Hai véctơ phơng có độ dài đối Hỏi có mệnh đề đúng?

A B C D

17)Cho hình chữ nhật ABCD Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức đúng?

A ⃗AB = ⃗CD B ⃗BC = ⃗DA C ⃗AC = ⃗BD D. ⃗AD = ⃗BC

A ⃗HB = ⃗HC B ⃗AC =2 ⃗HC C ¿ ⃗AH ¿ = √3

2 ¿ ⃗BC

¿ D ⃗AB = ⃗AC

19)Cho ®iĨm B nằm hai điểm A Cvới AB=2a, CB=5a Độ dài vectơ AC bao nhiêu?

A 7a B 3a C 5 a

2 D 10a2 20)Cho hình thang ABCD với hai cạnh đáy AB=3a, CD=6a Khi ¿ ⃗AB + ⃗CD

¿ b»ng bao nhiªu?

A 9a B 3a C -3a D

21)Cho hình vng ABCD có cạnh a Khi ¿ ⃗AC + ⃗BD ¿ bao nhiêu? A 2a √2 B 2a C a D

22)Cho ba điểm A,B,C Đẳng thức dới đúng?

A ⃗AB = ⃗CB - ⃗CA B ⃗BC = ⃗AB - ⃗AC C ⃗AC - ⃗CB = ⃗BA D ⃗CA - ⃗CB = ⃗AB

23)Cho tam giác ABC có cạnh a Giá trị ¿ ⃗AB - ⃗CA ¿ bao nhiêu? A 2a B a C a √3 D a√3

2 24)Cho hai tam giác ABC ABC lần lợt có trọng tâm G G Đẳng thức dới sai?

A ⃗GG ' = ⃗AA ' + ⃗BB' + ⃗CC' B 3 ⃗GG ' = ⃗AB' + ⃗BC' + ⃗CA '

C ⃗GG ' = ⃗AC' + ⃗BA ' + ⃗CB' D ⃗GG ' = ⃗A ' A + ⃗BB' + ⃗CC'

25)Cho điểm B nằm giũa hai điểm A C, với AB=2a AC=6a Đẳng thức dới đúng?

A ⃗BC = ⃗AB B ⃗BC = -2 ⃗AB C ⃗BC = ⃗AB D ⃗BC = -2 ⃗BA

26)Cho ba điểm phân biệt A, B, C Nếu ⃗AB =-3 ⃗AC đẳng thức dới đúng? A ⃗BC =4 ⃗AC B ⃗BC =-4 ⃗AC C ⃗BC =2 ⃗AC D.

⃗BC =-2 ⃗AC

27)Điều kiện dới điều kiện cần đủ để điểm O trung điểm đoạn thẳng AB?

A OA=OB B ⃗OA = ⃗OB C ⃗AO = ⃗BO D ⃗OA + ⃗OB = ⃗O

28)Nếu G trọng tâm tam giấc A, B, C đẳng thức dới đúng? A ⃗AG = ⃗1

2 ⃗AB + ⃗1

2 ⃗AC B ⃗AG =

3 ⃗AB +

⃗AC C ⃗AG =

2 ⃗AB +

2 ⃗AC D ⃗AG =

3 ⃗AB +

3 ⃗AC

29)Gọi AM trung tuyến tam giác ABC I trung điểm AM Đẳng thức dới dây đúng?

A ⃗IA + ⃗IB + ⃗IC = ⃗O B - ⃗IA + ⃗IB + ⃗IC = ⃗O C ⃗IA + ⃗IB - ⃗IC = ⃗O D 2 ⃗IA + ⃗IB + ⃗IC = ⃗O 30)

B i t p v nh : Vect v phép toán c a vectà ậ ề ủ

B

àI : Gọi O tâm hình lục giác ABCDEF Bài : Cho tam giác ABC đèu tâm O M

a) CMR: OAOBOCODOEOF 0

b) CMR : OAOCOE OBODOF

c) CMR : AFEDCB O

d) Tìm tập điểm M cho :

MD MA MF

ME MD MC MB

MA     3 

Bài 2: Gọi O giao điểm đường chéo hình bình

hành ABCD Hãy đơn giản biểu thức sau:

1. ABBOOA BCOAOD

3 OABCDOCD

BàI : Cho diểm A,B,C,D

a) CMR: ABCDADCD;

BD AC CD

AB  

b) Dựng điểm M cho AM ABAC BC

Dựng điểm N cho AN AB ACAD

CMR : NM ACDB

BàI : Cho haitam giác ABC A’B’C’

a) CMR hai tam giác có trọng tâm và

chỉ khi: AA'BB'CC'0

b) Khi tam giác có trọng tâm G

Gọi G1,G2,G3 trọng tâm tam

giác BCA’, CAB’, ABC’ CMR G trọng tâm tam giác G1G2G3.

cho hình chiếu vng góc xuống cạnh

là D,E,F CMR : MD ME MF 2MO

3   

BàI : Cho tam giác ABC, M điểm

bất kì

a) CMR v3MA 5MB2MC

vtơ khơng đổi ko phụ thuộcvào vị trí điểm M

b) Xác định vị trí điểm I cho

3IA 2IBIC 0

c) Đường AN cắt BC P Tính tỷ số

PC PB

d) Xác định tập hợp điểm Q

cho

QC QA QB

QA  

Bài : Cho tứ giác ABCD có G trọng

tâm tam giác BCD I thuộc AG cho AI=3IG

 IAIBICID 0

 MAMBMCMD 4MI,với đ M

 Tìm M thuộc AD cho

MD MC MB

MA  

đạt GTNN B i t p v nh : Vect v phép toán c a vectà ậ ề ủ

B

àI : Gọi O tâm hình lục giác ABCDEF

a) CMR: OAOBOCODOEOF 0

b) CMR : OAOCOE OBODOF

c) CMR : AFEDCB O

d) Tìm tập điểm M cho :

MD MA MF

ME MD MC MB

MA     3 

Bài 2: Gọi O giao điểm đường chéo hình bình

hành ABCD Hãy đơn giản biểu thức sau:

1. ABBOOA BCOAOD

3 OABCDOCD

BàI : Cho diểm A,B,C,D

a) CMR: ABCDADCD;

Bài : Cho tam giác ABC đèu tâm O M

là điểm thuộc miền tam giác cho hình chiếu vng góc xuống cạnh D,E,F

CMR : MD ME MF 2MO

3   

BàI : Cho tam giác ABC, M

điểm

a) CMR v 3MA 5MB2MC

vtơ không đổi ko phụ thuộcvào vị trí điểm M

b) Xác định vị trí điểm I cho

3IA 2IBIC 0

BD AC CD

AB  

b) Dựng điểm M cho AM ABAC BC

Dựng điểm N cho AN AB ACAD

CMR : NM ACDB

BàI : Cho haitam giác ABC A’B’C’

a) CMR hai tam giác có trọng tâm

chỉ khi: AA'BB'CC'0

b) Khi tam giác có trọng tâm G Gọi G1,

2,G

G trọng tâm tam giác BCA’, CAB’,

ABC’ CMR G trọng tâm tam giác G1G2G3.

PC PB

d) Xác định tập hợp điểm Q

cho

QC QA QB

QA  

Bài : Cho tứ giác ABCD có G trọng

tâm tam giác BCD I thuộc AG cho AI=3IG

 IAIBICID0

 MAMBMCMD4MI với đ M

 Tìm M thuộc AD cho

MD MC MB

MA  

đạt GTNN

MỘT SỐ BÀI TẬP KHÁC CÓ PHÂN LOẠI

Chủ để Chứng minh đẳng thức Vectơ

VD1 Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR : (bằng nhiều cách khác nhau)

a) AB CD  ADCB b) AB CDACDB ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

c) ADBECFAEBFCD

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

VD2 Cho tam giác ABC với M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA Chứng minh :

a) ANBP CM O ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

b) ANAMAP

⃗ ⃗ ⃗

c) AMBNCPO

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

VD3 (Hệ thức trung điểm) Cho hai điểm A, B

a) Cho M trung điểm A, B Chứng minh với điểm I ta có : IAIB2IM

⃗ ⃗ ⃗

b) Với điểm N cho NA2NB

⃗ ⃗

CMR với I : IA2IB3IN ⃗ ⃗ ⃗

c) Vơi điểm P cho PA3PB

⃗ ⃗

CMR với I bất ki : IA 3IB2IP ⃗ ⃗ ⃗

d) Tổng quát tính chất

VD3 (Hệ thức trọng tâm) Cho tam giác ABC G trọng tâm tam giác.

a) Chứng minh AGBGCGO

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Với I ta có : IAIBIC3IG ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

b) M thuộc đoạn AG

1

MG GA

CMR : 2MAMBMCO

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Với I bki

2IAIBIC4IM ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

c) Tổng quát tính chất

d) Cho hai tam giác ABC DEF có trọng tâm G G1 Chứng minh :

+ ADBECE3GG1

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

+ Tìm điều kiện để hai tam giác có trọng tâm

VD4 (Hệ thức hình bình hành) Chohình bình hành ABCD tâm O.

a) CMR : AOBO CO DOO

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

, Với I IAIBICID4IO ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

b) M điểm thoả mãn:

VD5 (Tứ giác bất kì) Cho tứ giác ABCD Gọi M, N AB CD CMR :

a) ADBC2MN

⃗ ⃗ ⃗

b) ACBD2MN

c) Tìm vị trí điểm I cho IAIBICIDO ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

d) Với M bất kì, CMR : MAMBMCMD4MI

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

VD6 (Khái niệm trọng tâm hệ n điểm tâm tỉ cự hệ n điểm) Cho n điểm A A1, 2, ,An

a) Gọi G điểm thoả mãn GA1GA2 GAn O

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

CMR vơi bki M :

1 n

MA MA  MA nMG ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

b) Gọi I điểm thoả mãn n IA1 1n GA2  n GAn n O

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

CMR với M : n MA1 n MA2 2 n MAn n (n1  n MGn)

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

VD7

a) Cho lục giác ABCDEF CMR hai tam giác ACE BDF trọng tâm

b) Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm AB, CD, EF, BC, DE, FA CMR hai tam giác MNP QRS trọng tâm

c) Cho hai tam giác ABC A’B’C’ điểm thuộc BC, CA, AB cho :

A B' k A C B C' , ' k B A C A' , ' kC B'

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

k 1 CMR hai tam giác ABC A’B’C’ trọng tâm. d) Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N , P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA CMR hai tam giác ANP CMQ trọng tâm

VD8 (Một số đẳng thức trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp)

Cho tam giác ABC, G, H, O, I trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp

a) 3OGOA OB OC

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

b) OHOA OB OC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

c) 2HOHAHBHC

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

d) aIAbIBcICO ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

e) Tan HA TanBHBA  tanCHCO

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

f) Gọi M điểm nằm tam giác ABC CMR : SBCMIASACMIBSABMICO

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

(M nằm ngồi khơng cịn đúng)

VD9 (Nhấn mạnh tốn mở rộng nhiều trường hợp) Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm

AB N điểm cạnh AC cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN a) CMR :

1

4

AK  AB AC

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

b) D trung điểm BC CMR :

1

4

KD AB AC

⃗ ⃗ ⃗

Chủ đề Biểu diễn véc tơ ĐVĐề : Dẫn dắt từ trung điểm

VD1 Cho tam giác ABC G trọng tâm B1 đối xứng với B qua G M trung điểm BC Hãy biểu

diễn véc tơ AM

⃗

, AG BC CB AB MB, , 1, 1,

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

qua hai véc tơ AB AC, ⃗ ⃗

VD2 Cho tam giác ABC, gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI J thuộc BC kéo dài cho

5JB = 2JC

a) Tính AI AJ,

⃗ ⃗

theo hai véc tơ AB AC,

⃗ ⃗

Từ biểu diễn AB AC,

⃗ ⃗

theo AI AJ, ⃗ ⃗

(Nhấn mạnh cách tìm biểu diễn)

b) Gọi G trọng tâm tam giác Tính AG



theo AI AJ, ⃗ ⃗

Chủ đề Chứng minh điểm thẳng hàng Phương pháp : A, B, C thẳng hàng AB k AC

⃗ ⃗

Lưu ý : ABm xny , ACkmxkny

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

ABk AC ⃗ ⃗

VD1 (Dễ, sử dụng VD1 để dẫn dắt sang VD phức tạp hơn) Cho tam giác ABC M, N là

trung điểm AB, AC

b) Gọi E, F thoả mãn :

1

ME MN

⃗ ⃗

,

1

BF BC

⃗ ⃗

CMR : A, E, F thẳng hàng

VD2 Cho tam giác ABC, E trung điểm AB F thuộc thoả mãn AF = 2FC.

a) Gọi M trung điểm BC I điểm thoả mãn 4EI = 3FI CMR : A, M, I thẳng hàng

b) Lấy N thuộc BC cho BN = NC J thuộc EF cho 2EJ = 3JF CMR A, J, N thẳng hàng c) Lấy điểm K trung điểm EF Tìm P thuộc BC cho A, K, P thẳng hàng

VD3 Cho tam giác ABC M, N, P điểm thoả mãn : MB 3MCO ⃗ ⃗ ⃗

, AN3NC

⃗ ⃗

, PBPAO ⃗ ⃗ ⃗

CMR : M, N, P thẳng hàng (

1 1

,

2

MPCB CA MN CB CA

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

)

VD4 Cho tam giác ABC L, M, N thoả mãn LB 2LC,

⃗ ⃗

2

MC MA

⃗ ⃗

, NBNAO

⃗ ⃗ ⃗

CM : L, M, N thẳng hàng

VD5 Cho tam giác ABC với G trọng tâm I, J thoả mãn : 2IA3ICO ⃗ ⃗ ⃗

, 2JA5JB3JCO ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N trung điểm AB BC

b) CMR J trung điểm BI

c) Gọi E điểm thuộc AB thoả mãn AEk AB

⃗ ⃗

Xác định k để C, E, J thẳng hàng

VD6 Cho tam giác ABC I, J thoả mãn : IA2IB, 3JA2JC O=

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

CMR : Đường thẳng IJ qua G

Chủ đề Xác định vị trí điểm thoả mãn đẳng thức Vectơ

Đặt Vấn đề : Cho hai điểm A, B, C cố định. a) Nếu PBPAO

⃗ ⃗ ⃗

P trung điểm AB

b) Nếu PBPAPCO ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

thị P trọng tâm tam giác ABC

c) Nếu P điểm thoã mãn đẳng thức véc tơ khác có xác định vị trí P hay khơng ?

VD1(Cho hai điểm) Xác định vị trí điểm I thoả mãn : IA2IBO ⃗ ⃗ ⃗

NX : Với hai điểm A, B cho trước xác định điểm I thoả mãn : mIAnIBO

⃗ ⃗ ⃗

Với điểm O ta có :

m n

OI OA OB

m n m n

                                             

VD2 (Bài toán điểm) Cho điểm A, B, C Tìm vị trí điểm M cho :

a) MBMC AB (Trung điểm AC) b) 2MAMBMCO ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

c) MA2MBMCO

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

d) MAMB2MCO

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

e) MAMB MCO

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

f) MA2MB MCO

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

NX : Mở rộng với n điểm

Chủ đề Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn đẳng thức véc tơ Một số quĩ tích :

a) MA MB

⃗ ⃗

M nẵm đường trung trực AB

b) MC k AB

⃗ ⃗

, với A, B, C cố định M nẵm đường trịn tâm C bán kính k.AB

c) AMk BC

⃗ ⃗

với A, B, C cho trước

+ k > M nẵm nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng BC

⃗

+ k<

+ k

Dạng (Bài toán hai điểm)

a) MAMB 2 AB

⃗ ⃗ ⃗

b) MAMB AB

⃗ ⃗ ⃗

c) MAMB 2 MA

⃗ ⃗ ⃗

d) MAMB MA

⃗ ⃗ ⃗

e) 2MAMB MA MB

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Dạng (Bài toán điểm)

VD2 Cho tam giác ABC Tìm quĩ tích điểm M cho :

a)

3

MAMBMC  MBMC

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

b) MAAC MA MB

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

c) MA2MBMC MB MC

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

d) 3MA2MB 2MC MB MC

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

VD3 Tìm quĩ tích điểm M cho :

a) MAk MB k MCO

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

b) k MAMBk MC

⃗ ⃗ ⃗

c) (1 k MA) MB k MCO

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

VD4 (Bài toán điểm)

VD5 (Bài tốn tổng qt cho n điểm bất kì)

Chủ đề Một số toán khoảng cách

VD1 Cho hai điểm A, B đường thẳng d Tìm vị trí điểm M d cho độ dài véc tơ sau nhỏ

nhất ?

a) MAMB

⃗ ⃗

b) MA2MB

⃗ ⃗

c) 3MA MB

⃗ ⃗

d) 3MA2MB

⃗ ⃗

e)

2MA 3MB

⃗ ⃗

VD2 Cho tam giác ABC đường thẳng d Tìm vị trí điểm M d cho độ dài véc tơ sau nhỏ

nhất

a) MAMBMC

⃗ ⃗ ⃗

b) MA2MBMC

⃗ ⃗ ⃗

c) 3MAMBMC

⃗ ⃗ ⃗

d) MA 2MBMC

⃗ ⃗ ⃗

VD3 Cho tứ giác ABCD đường thẳng d Tìm vị trí điểm M d cho độ dài véc tơ sau nhỏ

nhất

a) MAMBMCMD

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

b) MA2MBMC2MD

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

c) 3MAMBMC MD

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

d) MA 2MBMC MD

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

e) MAMBMC2AB

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

VD4 (Mở rộng toán cho n điểm)

Chủ đề Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định ĐVĐ : Với I trung điểm AB :

+ MBMA2MI

⃗ ⃗ ⃗

+ Nếu M, I, N thẳng hàng : MNk MA k MB

⃗ ⃗ ⃗

, hay nói cách khác Là đường thẳng MN qua điểm I cố định

Từ dẫn dắt vào tốn cách thay điểm I điểm

VD1 (Bài toán điểm) Cho hai điểm A B cố định Hai điểm M, N di động CMR đường thẳng MN luôn

đi qua điểm cố định :

a) MNMA2MB

⃗ ⃗ ⃗

b) MNMA 2MB

⃗ ⃗ ⃗

c) MNMA2MB

⃗ ⃗ ⃗

d) MN3MA2MB

⃗ ⃗ ⃗

VD2 (Bài toán điểm) Cho tam giác ABC điểm M mặt phẳng CMR đường thẳng MN đi

qua điểm cố định (Xác định vị trí điểm cố định điểm N trường hợp)

A B

I M

a) MBMCMAMN ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

b) 2MAMBMCMN

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

c) MA2MBMCMN

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

d) MAMB2MCMN

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

e) MAMB MCMN

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

f) MA2MB MCMN

⃗ ⃗ ⃗ ⃗