Sử dụng phương pháp không lưới petrov galerkin giải bài toán dầm chịu uốn

Luận Văn Thạc Só Ngành: XDDD & CN SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI PETROV-GALERKIN GIẢI BÀI TOÁN DẦM CHỊU UỐN (Meshless Local Petrov-Galerkin Method for Bending Beam Problems) LỜI CẢM ƠN Trước hết xin phép bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS Phan Ngọc Châu- thầy giáo hướng dẫn luận văn bảo tận tình, thúc, động viên giúp đỡ nhiều trình thực luận văn Tiếp theo muốn cảm ơn Ths Nguyễn Hoài Sơn- giảng viên trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật TP HCM- người cung cấp nhiều tài liệu tham khảo bổ ích hướng dẫn tận tình phần lập trình MATLAB để giải toán Luận văn Xin bày tỏ lòng cảm ơn tới tất thầy, cô giáo giảng dạy hướng dẫn toàn khoá học Trân trọng cảm ơn toàn thể cán Phòng Đào tạo SĐH trường ĐHBK giúp đỡ thời gian học tập nghiên cứu Lòng biết ơn muốn gửi tới Ban Giám Hiệu Khoa Kiến Trúc – Xây Dựng trường Đại Học Văn Lang nơi công tác, tạo điều kiện cho học tập nghiên cứu Cuối muốn cảm ơn tới gia đình, người thân bạn bè động viên giúp đỡ thời gian qua Đặc biệt, muốn cảm ơn thật nhiều tới bạn gái tôi- Lê Thị Tuyết Chinh, người động viên tinh thần suốt thời gian học tập và thực luận văn Phạm Tiến Cường CBHD: PGS Phan Ngọc Châu Luận Văn Thạc Só Ngành: XDDD & CN TÓM TẮT LUẬN VĂN Luận văn gồm năm chương từ chương tới chương 5, với nội dung chương sau: Chương trình bày cách tóm tắt phát triển ứng dụng phương pháp không lưới giới Việt Nam Trong có trình bày ưu điểm phương pháp so với phương pháp số khác FEM hay BEM Cơ sở phương pháp không lưới khác phương pháp không lưới trình bày chương Phần mục đích luận văn trình bày phần sau phần giới thiệu chương Chương thể nội dung phương pháp không lưới Petrov- Galerkin (MLPG), gồm vấn đề sau: Phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (MLS) phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động suy rộng (GMLS) trình bày trước tiên Tiếp theo dạng hàm trọng số cách chọn hàm trọng số cho phép xấp xỉ Các dạng yếu địa phương MLPG xây dựng từ phương pháp phần dư có trọng cho toán từ phương trình Poisson Dạng yếu địa phương dùng để thiết lập phương trình để giải phương pháp MLPG Phương pháp biên phạt (Penalty method) để chỉnh lý điều kiện biên trình bày chương Các công thức tích phân số Gauss trình bày phần cuối chương Chương phần áp dụng phương pháp MLPG cho toán thuộc lớp Co toán chiều (1-D), cụ thể toán chịu kéo (nén) tâm áp dụng cho phương pháp MLPG Dạng yếu phương pháp xây dựng sở dạng mạnh phương pháp phần dư có trọng Ví dụ cụ thể toán kéo (nén) tâm tính toán phần lập trình (Bài toán 1) Chương quan trọng luận văn, với nội dung giải toán dầm Euler- Bernoulli dầm Timoshenko phương pháp MLPG, gồm có phần sau: Giới thiệu lý thuyết chung dầm Euler- Bernoulli mà phần thiết lập phương trình vi phân chủ đạo giới thiệu trước tiên chương Dạng yếu thiết lập sở phương trình vi phân chủ đạo phương pháp phần dư có trọng phần Phép xấp xỉ GMLS sử dụng cho toán dầm Euler- Bernoulli phép xấp xỉ MLS áp dụng cho toán dầm Timoshenko Phạm Tiến Cường CBHD: PGS Phan Ngọc Châu Luận Văn Thạc Só Ngành: XDDD & CN Việc lựa chọn hàm kiểm tra phương pháp trình bày chương Tiếp đến cách thức thiết lập phương trình để giải cho toán Hai toán cụ thể trình bày chương theo MLPG phương pháp xác Sau hai toán phần đánh giá kết toán Chương phần đánh giá kết luận cho luận văn Đây chương cuối luận văn, bao gồm phần đánh giá sai số phương pháp MLPG so với lời giải xác Và cuối phần kết luận Cũng luận văn khác, hướng phát triển luận văn, phần danh mục tài liệu tham khảo phần phụ lục trình bày phần cuối luận văn Phạm Tiến Cường CBHD: PGS Phan Ngọc Châu Luận Văn Thạc Só Ngành: XDDD & CN MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN TÓM TẮT LUẬN VAÊN MUÏC LUÏC .4 BẢNG CÁC KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN CHƯƠNG GIỚI THIỆU VÀ MỤC ĐÍCH CỦA LUẬN VĂN 1.1 Giới thiệu chung phát triển phương pháp không lưới .9 1.1.1 Tình hình nghiên cứu ứng dụng phương pháp không lưới giới 1.1.2 Tình hình nghiên cứu ứng dụng phương pháp không lưới Việt Nam.13 1.2 Mục đích luận văn 14 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI PETROV-GALERKIN 15 2.1 Phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (Moving least squares approximation) (MLS) 15 2.2 Phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động suy rộng (Generalized Moving Least Squares approximation- GMLS) [1] 21 2.3 Hàm trọng số (Weight function) .25 2.4 Các dạng yếu phương pháp MLPG [1] 28 2.5 Phương pháp biên phạt (Penalty method) để chỉnh lý điều kiện biên [6] 34 2.6 Giới thiệu sơ lược tích phân Gauss (Phép cầu phương Gauss) .35 2.6.1 Công thức tích phân Gauss chiều 35 2.6.2 Công thức tích phân Gauss hai chiều 36 CHƯƠNG MLPG ÁP DỤNG CHO BÀI TOÁN C0 (1-D) .36 3.1 Dạng yếu toán 36 3.2 Thiết lập phương trình để giải 41 CHƯƠNG MLPG ÁP DỤNG CHO BÀI TOÁN DẦM 43 4.1 Daàm Euler- Bernoulli .43 4.1.1 Phương trình vi phân chủ đạo dầm Euler- Bernoulli 43 4.1.2 Dạng yếu địa phương dầm Euler- Bernoulli 46 4.1.3 Áp dụng phép xấp xỉ GMLS cho toán dầm Euler- Bernoulli 59 4.1.4 Lựa chọn hàm kiểm tra cho toán dầm Euler- Bernoulli 64 4.1.5 Xây dựng phương trình để giải cho phương pháp MLPG 66 4.2 Bài toán dầm Timoshenko .71 4.2.1 Dạng yếu toaùn 71 Phạm Tiến Cường CBHD: PGS Phan Ngọc Châu Luận Văn Thạc Só Ngành: XDDD & CN 4.2.2 Thiết lập phương trình để giải 73 4.3 Các toán .75 4.3.1 Bài toán 1: Thanh chịu lực phân bố bậc dọc trục 75 4.3.2 Bài toán 2: Dầm Timoshenko chịu tải đầu đầu tự 81 4.3.3 Giới thiệu chương trình MLPG giải hai toán 89 CHƯƠNG ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ BÀI TOÁN VÀ KẾT LUẬN 92 5.1 Sai số đánh giá sai số 92 5.1.1 Nguyên nhân sai số 92 5.1.2 Cách đánh giá sai số 92 5.1.3 Một số đánh giá kết luận kết hai toán 94 5.2 Kết luận chung .95 HƯỚNG PHÁT TRIỂN TIẾP THEO CỦA LUẬN VĂN 97 TÀI LIỆU THAM KHAÛO 97 PHUÏ LUÏC 98 BẢNG CÁC KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN Phạm Tiến Cường CBHD: PGS Phan Ngọc Châu Luận Văn Thạc Só Ngành: XDDD & CN Trong luận văn, kí tự Latin Hy Lạp dùng để kí hiệu hàm, vô hướng biến Các kí tự thường in đậm véctơ, kí hiệu chữ in hoa đậm ma trận Bảng liệt kê kí hiệu viết tắt thường sử dụng luận văn Kí hiệu (viết tắt) BEM EBC FEM GMLS LWF MLPG MLS MM PP PTHH NBC 1-D 2-D 3-D A, B E I I, Iyy K L, l M M N P P Q Q Q E K(node) K(bdry) L2, J, Hh ro rj di , dj Phạm Tiến Cường Giải thích - ý nghóa Phương pháp phần tử biên Điều kiện biên Phương pháp phần tử hữu hạn Bình phương tối thiểu động suy rộng Dạng yếu địa phương Phương pháp không lưới Petrov- Galerkin Bình phương tối thiểu động Các phương pháp không lưới Phương pháp phần tử hữu hạn Điều kiện biên tự nhiên Một chiều Hai chiều Ba chiều Các ma trận phép xấp xỉ MLS Môđul đàn hồi Ma trận đơn vị Mômen quán tính tiết diện dầm Ma trận độ cứng tổng thể Chiều dài thanh, dầm Mômen nội lực dầm Trị số mômen áp đặt biên phụ Hàm dạng FEM số nút toán thanh, dầm Ma trận GMLS Tải tập trung tác dụng lên thanh, dầm Ma trận GMLS Lực cắt dầm Trị số lực cắt áp đặt biên phụ Chuẩn sai số Ma trận “nút” phương trình MLPG Ma trận “biên” phương trình MLPG Chuẩn sai số rời rạc có trọng MLS GMLS Bán kính miền con- Miền hàm kiểm tra Bán kính miền xấp xỉ MLS - Miền hàm thử Khoảng cách từ x đến nút xi xj CBHD: PGS Phan Ngọc Châu Luận Văn Thạc Só d dˆ f f(node) f(bdry) f m nx p px q q tˆ u u uˆ j uˆ ν, νi wj w w ˆj w Ngành: XDDD & CN Véctơ chuyển vị dầm ˆ tˆ ) Véctơ trị số chuyển vị nút giả định dầm (gồm w Tải trọng phân bố tác dụng thanh, dầm Véctơ tải “nút” phương trình MLPG Véctơ tải “biên” phương trình MLPG Véctơ tải tổng thể Số phần tử sở Cosine phương của pháp tuyến miền Ω Hàm sở đơn thức Đạo hàm hàm sở đơn thức Biến thứ cấp toán Co Tải tập trung áp đặt biên phụ toán 1-D Co Véctơ trị số góc xoay giả định dầm Chuyển vị dọc trục toán 1-D (Co) Chuyển vị áp đặt biên toán 1-D (Co) Trị số chuyển vị giả định nút j Véctơ chuyển vị giả định Hàm trọng số, hàm kiểm tra Các hàm trọng số Độ võng toán dầm Chuyển vị áp đặt biên toán dầm 1-D (C1) Độ võng giả định nút j toán dầm ∆x Γ ΓM Γq ΓQ Véctơ độ võng giả định toán dầm Véctơ toạ độ không gian Toạ độ địa phương x Khoảng cách nút Biên tổng thể miền Ω Biên toán mà áp đặt M Biên toán mà áp đặt q Biên toán mà áp đặt Q Γs ΓsM Γsq ΓsQ Biên miền Ωs Biên miền Ωs mà áp đặt M Biên miền Ωs mà áp đặt q Biên miền Ωs mà áp đặt Q Γsu Γsw Γsθ Γu Γw Γθ Biên miền Ωs mà có gán u Biên miền Ωs mà có gán w Biên miền Ωs mà có gán θ Biên của toán mà có gán u Biên của toán mà có gán w Biên của toán mà có gán θ ˆ w x x Phạm Tiến Cường CBHD: PGS Phan Ngọc Châu Luận Văn Thạc Só Ω Ωs Ωx α αu αw αθ δij θ Miền tổng thể toán Miền thuộc miền tổng thể toán Miền xấp xỉ thuộc miền tổng thể toán Hằng số phạt Hằng số phạt cho chuyển vị Hằng số phạt cho độ võng Hằng số phạt cho góc xoay Delta Kronecker Góc xoay toán dầm Trị số góc xoay áp đặt biên Góc xoay giả định nút j θ θˆ j Các hàm trọng số toán đầm Hằng số độ võng toán dầm λj µ µ (w ) i (θ) i Hằng số góc xoay toán dầm φj χ ,χ (w ) i (w ) i ψ Ngaønh: XDDD & CN (θ) i (θ) i ,ψ Phaïm Tiến Cường Hàm dạng phép xấp xỉ MLS Các hàm kiểm tra cho độ võng góc xoay toán dầm Các hàm dạng độ võng góc xoay toán dầm CBHD: PGS Phan Ngọc Châu Luận Văn Thạc Só Ngành: XDDD & CN CHƯƠNG GIỚI THIỆU VÀ MỤC ĐÍCH CỦA LUẬN VĂN Trong chương này, trước tiên trình bày sơ lược phát triển phương pháp không lưới giới Việt Nam Phần chương phần mục đích luận văn 1.1 Giới thiệu chung phát triển phương pháp không lưới 1.1.1 Tình hình nghiên cứu ứng dụng phương pháp không lưới giới Hơn thập kỷ qua, phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) trở thành công cụ tính toán đắc lực cho nhiều lónh vực kỹ thuật đặc biệt học Tuy nhiên, số hạn chế mà PPPTHH chưa thực giải chưa phù hợp Chẳng hạn giải toán có biến dạng lớn, phần tử dễ bị suy biến mặt hình học dẫn đến kết thiếu xác (Thường phải chia lại phần tử), không liên tục biến thứ cấp (ứng suất chẳng hạn) biên phần tử tiếp giáp vấn đề hạn chế Hay công việc phải chia lại lưới (phần tử) nhiều trường hợp làm thời gian cho người tính toán (Đặc biệt toán 3D) Trong thập kỷ gần đây, nhà nghiên cứu tìm phương pháp tính gần (Phương pháp số) Đó phương pháp không lưới (Meshless methods) Đây công cụ tốt để giải toán trị biên mà đặc biệt toán có biến dạng lớn Đặc điểm phương pháp yêu cầu hệ điểm nút với miền ảnh hưởng (miền con) để xây dựng lời giải xấp xỉ mà không cần có ràng buộc hay liên hệ nút Tuy nhiên, phương pháp không lưới phải chỉnh lý lại điều kiện biên để chúng thoả mãn (Thường dùng phương pháp nhân tử Lagrange biên phạt để chỉnh lý điều kiện biên chính) Như so với PPPTHH, phương pháp không cần phải chia lưới hay chia phần tử cho kết cấu tính toán Hơn việc thêm hay bớt nút thực dễ dàng Bởi vậy, phương pháp ngày ý áp dụng cho toán học hiệu Phương pháp gọi với nhiều tên khác thường gọi với tên chung phương pháp không lưới (Meshless Method) Phạm Tiến Cường CBHD: PGS Phan Ngọc Châu Luận Văn Thạc Só Ngành: XDDD & CN 10 Mấy năm gần đây, phương pháp không lưới nhiều tác giả nghiên cứu theo nhiều hướng khác Đó phương pháp không lưới SPH (Smooth Particle Hydrodynamics), DEM (the Diffuse Element Method), EFG (the ElementFree Galerkin, the Hp- clouds, RKPM (the Reproducing Kernel Particle Method), PUFEM (the Partition of Unity Finite Element Method) vaø MLPG (Meshless Local Petrov- Galerkin method) Tất phương pháp mang đặc điểm chung cần điểm nút để xác định trường chuyển vị thông qua hàm nội suy Sự khác phương pháp chỗ cách nội suy (hay cách xấp xỉ) phương pháp khác Nói chung, phương pháp không lưới thường dùng phương pháp nội suy phương pháp nhân chất điểm (Kernel method), xấp xỉ bình phương tối thiểu động (Moving Least Squares approximation) phân chia đồng (Partion of Unity) Mặc dù phương pháp không lưới phát triển phổ biến năm gần đây, song tư tưởng có từ cuối năm 70 kỷ XX Lucy (1977) giới thiệu phương pháp SPH mô hình hoá tượng vật lý thiên thể Monaghan (1982) xây dựng sở hữu tỷ cho SPH việc sử dụng khái niệm hàm nhân tử (Kernel function) Hàm cho phép xây dựng hàm thử cho miền địa phương (trial function) toán Libersky Petchek (1991) ứng dụng phương pháp để giải toán học vật rắn Nayroles, Touzot Villon (1992) nghiên cứu hướng khác cho phương pháp không lưới Họ đề xuất phương pháp phần tử khuyếch tán (Diffuse Element Method- DEM) Phương pháp dựa cách xấp xỉ bình phương tối thiểu động (Moving least squares approximation) mà cách xấp xỉ phát triển Lancaster Salkauskas từ năm 1981 Tuy nhiên, cách xấp xỉ không sử dụng Nayroles, Touzot Villon sử dụng vào năm 1992 Belytschko, Lu Gu (1994) phát triển thêm DEM gọi phương pháp phương pháp phần tử tự Galerkin (Element Free Galerkin (EFG) method) EFG dựa sở xấp xỉ bình phương tối thiểu động Và kết EFG tin cậy, xác hội tụ so với SPH DEM Đặc biệt, phương pháp EFG thật hiệu xử lý toán học vật rắn nứt (Bài toán biến dạng lớn) Phạm Tiến Cường CBHD: PGS Phan Ngọc Châu Luận Văn Thạc Só 91 Ngành: XDDD & CN Hình 4.19: Giao diện chương trình giải toán dầm Timoshenko (2-D) Phạm Tiến Cường CBHD: PGS Phan Ngọc Châu Luận Văn Thạc Só 92 Ngành: XDDD & CN CHƯƠNG ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ BÀI TOÁN VÀ KẾT LUẬN 5.1 Sai số đánh giá sai số 5.1.1 Nguyên nhân sai số Như ta biết phương pháp số nói chung (FEM, BEM…) phương pháp MLPG nói riêng, phương pháp xấp xỉ tìm nghiệm yếu (nghiệm gần đúng) toán mà sở dựa công thức biến phân hay phần dư có trọng số Điều không tránh khỏi sai số Phương pháp MLPG tìm nghiệm xấp xỉ theo phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (MLS GMLS) xây dựng miền (sub-domain), điều dẫn đến sai số lựa chọn kích thước hình dạng miền con- miền ảnh hưởng toán, mà cụ thể bán kính miền ảnh hưởng, r Việc lựa chọn hàm trọng số cho toán (bậc hàm trọng số) dẫn đến sai số Số lượng điểm nút ảnh hưởng nhiều tới kết toán Bậc hàm sở ảnh hưởng đến lời giải Ngoài phải dùng tích phân số (Gauss) tính toán tích phân ma trận độ cứng, véc tơ tải… điểm Gauss mà số lượng điểm Gauss miền lại ảnh hưởng đến độ xác tích phân Do só lượng điểm Gauss ảnh hưởng đến kết toán Và cuối sai số từ việc xấp xỉ nghiệm (Sai số xấp xỉ) 5.1.2 Cách đánh giá sai số Có nhiều cách đánh giá sai số phương pháp so với phương pháp khác Ở sai số MPLG lời giải xác Thông thường hay dùng chuẩn sai số theo chuyển vị, ứng suất, biến dạng hay chuẩn lượng để đánh giá sai số Nếu chuẩn sai số nhỏ phương pháp xác Thông thường chuẩn sai số nhỏ 5% đạt yêu cầu với toán kỹ thuật Để đánh giá sai số cho toán ta dùng chuẩn sai số theo chuyển vị toán ta nên dùng theo chuẩn lượng Phạm Tiến Cường CBHD: PGS Phan Ngọc Châu Luận Văn Thạc Só Ngành: XDDD & CN 93 Chuẩn sai số theo chuyển vị [6]: Eu = g  ( u MLPG − u exact )    u exact k =1  k g ∑ (5.1) Trong công thức trên: g= Số điểm nút cách dọc theo chiều dài thanh; uMLPG, uexact = Lời giải chuyển vị theo phương pháp MLPG theo lời giải xác; Bảng 5.1 Chuẩn sai số theo chuyển vị toán với số nút R khác Số nút L R Eu 100 100 100 100 100 100 100 100 100 11 21 101 11 21 101 11 21 101 1 1.5 1.5 1.5 2.0 2.0 2.0 0.164 0(%) 0.0840 (%) 0.0019 (%) 0.1871(%) 0.0484(%) 0.0019(%) 0.3689 (%) 0.1546 (%) 0.0555(%) Theo baûng 5.1, với số nút lớn chuẩn sai số theo chuyển vị nhỏ Chuẩn sai số theo lượng [4]: ε = 1  σMLPG − σexact  Ω ∫( ) D (σ T −1 MLPG ) 2 − σexact dΩ    (5.2) Trong đó: σMLPG, σexact = Ứng suất lời giải MLPG lời giải xác; D= Ma trận ứng xử vật liệu toán phẳng Trong chương trình chuẩn sai số theo lượng tính cho với nhiều số lượng khác để thấy sai số phương pháp tính Sai số thể bảng 5.2 Phạm Tiến Cường CBHD: PGS Phan Ngọc Châu Luận Văn Thạc Só Ngành: XDDD & CN 94 Bảng 5.2 Chuẩn sai số theo lượng toán với số nút khác R Số nút L D P R ε 6× 4=24 11× 5=55 21× 9=189 31× 9=189 100 100 100 100 10 10 10 10 -1000 -1000 -1000 -1000 4 4 0.3837 (%) 0.1395 (%) 0.0770 (%) 0.2296 (%) Bảng 5.3 Chuẩn sai số theo lượng toán với số nút R khác Số nút L D P R ε 11× 5=55 11× 5=55 11× 5=55 11× 5=55 11× 5=55 11× 5=55 11× 5=55 11× 5=55 100 100 100 100 100 100 100 100 10 10 10 10 10 10 10 10 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 10.0 1.9660(%) 1.7086(%) 1.1505(%) 0.0738(%) 0.4743(%) 0.1395(%) 0.1803(%) 0.2438(%) 5.1.3 Một số đánh giá kết luận kết hai toán Chương trình giải toán với nhiều trường hợp khác số điểm nút khác hay miền ảnh hưởng khác Như trình bày phần 5.1.1, kết lời giải phụ thuộc vào nhiều thông số khác Tuy nhiên, ta quan tâm nhiều đến hai thông số số lượng nút kích thước miền ảnh hưởng số điểm Gauss lấy cố định chương trình (Bài chọn điểm Gauss miền con, chọn × = 16 điểm) Đối với toán 1, lời giải xác tăng số nút toán bán kính miền ảnh hưởng nên chọn từ đến (xem bảng 5.1) Khi R nằm khoảng kết không hội tụ ta chọn điểm Gauss cho miền Đối với toán 2, số điểm Gauss miền ta chọn cố định (16 điểm), nên tăng số nút lên nhiều 189 nút (xem bảng 5.2) kết không xác Nếu chọn 16 điểm Gauss số nút tốt 189 nút bán kính miền ảnh hưởng tương ứng Còn số nút 55 nên chọn R = 2.5 tốt (xem bảng 5.3) chọn R = 1.5 ÷ Phạm Tiến Cường CBHD: PGS Phan Ngọc Châu Luận Văn Thạc Só 95 Ngành: XDDD & CN Chuẩn sai số theo chuyển vị lượng hai toán nhỏ 5% (Xem bảng 5.1 đến 5.3) Như vậy, nói MLPG cho kết xác so với phương pháp xác 5.2 Kết luận chung Mục tiêu đặt luận văn hiểu rõ phương pháp MLPG, từ áp dụng PP để tính toán cấu kiện cụ thể toán dầm chịu uốn từ kết tính toán MLPG có so sánh với lời giả xác, tác giả có số kết luận chung sau: Phương pháp MLPG cho kết xác Lời giải cho biến sơ cấp thư cấp từ PP xác Kết luận minh chứng kết tính toán từ ví dụ cụ thể chương đánh giá sai số chương theo chuẩn sai số Tuy nhiên, ta nên hiểu “chính xác” nghóa tuyệt đối kết PP xác, mà kết nhận tính xác đến cấp độ đánh giá qua chuẩn sai số Phương pháp MLPG cho kết liên tục biến thứ cấp Đây khác biệt lớn mà phương pháp số khác Phương pháp PTHH không giữ tính liên tục cho biến thứ cấp (chẳng hạn ứng suất) biên tiếp giáp phần tử Sở dó hàm dạng PTHH tuyến tính khúc sử dụng để xây dựng hàm thử Ngược lại, phương pháp MLPG không sử dụng phần tử mà sử dụng nút Hàm thử xấp xỉ theo MLS nên hàm thử trơn Bởi vậy, biến thứ cấp MLPG liên tục Như vậy, ta khẳng định, ưu điểm lớn phương pháp MLPG Kết luận thông số phương pháp MLPG Trong MLPG, có thông số mà tính toán ta thường chọn trước, rj ro Trong rj bán kính miền xấp xỉ, Ωx (miền hàm thử u(x)), ro bán kính miền Ωs (miền hàm kiểm tra ν) Kết tính toán đánh giá cho thấy, toán 1, rj nên chọn cho rj ≤ (n-1)∆x, với n số điểm nút, ro nên chọn cho ∆x ≤ ro ≤ 2∆x cho kết tốt Trong đó, ∆x khoảng cách hai nút Phạm Tiến Cường CBHD: PGS Phan Ngọc Châu Luận Văn Thạc Só Ngành: XDDD & CN 96 Trong toán (2-D), nên chọn bán kính miền ảnh hưởng khoảng từ 2.5 đến 4(∆x, ∆y) Về số lượng tối thiểu điểm Gauss (hay bậc tích phân Gauss) tuỳ thuộc vào bậc hàm sở bậc hàm trọng số sử dụng vào toán Tuy nhiên yêu cầu cần nhiều điểm Gauss tính tích phân không cần thiết cần số điểm Gauss vừa đủ cho ta kết xác Một số hạn chế phương pháp MLPG Như nói, phương pháp không lưới nói chung phương pháp MLPG nói riêng kế thừa ưu điểm FEM khắc phục số nhược điểm mà FEM không giải Tuy nhiên, qua nghiên cứu phương pháp MLPG ta thấy có số vấn đề mà tạm gọi nhược điểm: - Hàm dạng MLPG phức tạp tính chất Delta Kronecker Do cần chỉnh lý điều kiện biên - Ma trận độ cứng tổng thể, [K] có dạng băng không đối xứng Đặc điểm khác với FEM - Thời gian tính toán lớn FEM với toán Tuy nhiên, với phát triển máy tính phần mềm hỗ trợ tính toán MATLAB… phức tạp tính tích phân số khối lượng tính toán vấn đề lớn phương pháp Tác giả mong tin ngày gần phương pháp không lưới thay FEM để giải toán nhiều lónh vực, đặc biệt lónh vực học Phạm Tiến Cường CBHD: PGS Phan Ngọc Châu Luận Văn Thạc Só Ngành: XDDD & CN 97 HƯỚNG PHÁT TRIỂN TIẾP THEO CỦA LUẬN VĂN Phương pháp MLPG phương pháp không lưới thực luận văn sử dụng phương pháp để giải toán dầm chịu uốn kết đạt tốt so với PP xác Tuy nhiên, MLPG giai đoạn phát triển phải cần nghiên cứu để áp dụng vào toán phức tạp Để từ khẳng định ưu việt PP so với phương pháp PTHH quen thuộc Qua lý thuyết MLPG áp dụng thể luận văn, tác giả có đề nghị số vấn đề nghiên cứu, phát triển tiếp từ luận văn này: MLPG dùng tính toán cho toán chịu uốn MLPG dùng tính toán cho toán dạng shells Các đại lượng rj ro cần nghiên cứu để tìm cách lựa chọn đại lượng cho phù hợp Điều mang lại kết tốt MPLG giải toán biến dạng lớn toán biên động TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Atluri S N and Shen S (2002): MESHLESS LOCAL PETROV-GALERKIN (MLPG) METHOD Tech Science Press, Encino, CA [2] Atluri S N and Zhu T (1998): A new Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) approach in computational mechanics Computational Mechanics, 22(2), 117-127 [3] Ching H K (2002): Solution of Linear Elastostatic and Elastodynamic Plane Problems by the Meshless Local Petrov-Galerkin Method Dissertation submitted to the Faculty of the Virginia Polytechnic Institute and State University for the degree of Doctor of Philosophy in Engineering Mechanics, 1-37 [4] Hoài Sơn Nguyễn (Chủ biên): Phương pháp phần tử hữu hạn với Matlab (FEM-MATLAB) (Tập 2) NXB Đại Học Quốc Gia TP HCM- 2001 [5] Krongauz Y V (1996): Applications of Meshless Methods to Solid Mechanics Northwestern University [6] Phillips D R (2002):Meshless Local Petrov-Galerkin Method for Bending Problems NASA/TM-2002-211936 [7] Timoshenko S P and Goodier J N (1977): Theory of Elasticity (Third Ed.) New York: McGraw Hill Phạm Tiến Cường CBHD: PGS Phan Ngọc Châu Luận Văn Thạc Só 98 Ngành: XDDD & CN PHỤ LỤC Chương trình viết matlab để giải hai toán % BAI TOAN 1-D: THANH CHIU KEO DOC TRUC VOI TAI TRONG BAC NHAT % By Pham Tien Cuong % 5-2005 %LIEN KET VOI GIAO DIEN E=str2num(get(findobj('tag','A1'),'string')); L=str2num(get(findobj('tag','A2'),'string')); AA=str2num(get(findobj('tag','A3'),'string')); q=str2num(get(findobj('tag','A4'),'string')); dmax=str2num(get(findobj('tag','A5'),'string')); nnodes=str2num(get(findobj('tag','A6'),'string')); x=[0.0:L/(nnodes-1):L]; % gg=[0]; gtb=(x(2)-x(1))/2; for i=2:nnodes gi=x(i-1)+gtb; gg=[gg gi]; end ncells=nnodes-1; %XAC DINH MIEN ANH HUONG CHO MOI NUT dm=dmax*(x(2)-x(1))*ones(1,nnodes);%bankinhsupport1nut %DUA VAO DIEM GAUSS,CAC TRONG SO TINH TU TICH PHAN GAUSS, JACOBIAN jac=(x(2)-x(1))./2; ww=2; %CAC MA TRAN BAN DAU k=zeros(nnodes); f=zeros(nnodes,1); GG=zeros(nnodes,1); %LAP TREN CAC DIEM GAUSS for j=1:length(gg) xg=gg(j); dif=xg*ones(1,nnodes)-x; %DUA VAO HAM TRONG SO VA DAO HAM CUA NO TAI MOI NUT for i=1:nnodes drdx=sign(dif(i))/dm(i); r=abs(dif(i))/dm(i); if r