Luận văn Thạc sỹ Toán học: Mô đun dẹt và vành dẹt tuyệt đối

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN *************** NGUYỄN LÊ THÚY HOA MƠ ĐUN DẸT VÀ VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐI LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ĐẠI SỐ Mã số : 1.01.03 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 11 -1997 BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN *************** NGUYỄN LÊ THÚY HOA MÔ ĐUN DẸT VÀ VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐI LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ĐẠI SỐ Mã số : 1.01.03 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 11 -1997 LUẬN VĂN ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Người hướng dẫn PTS Mỵ Vinh Quang Khoa Toán ĐHSP TPHCM Người nhân xét : TS Bùi Xuân Hải Khoa Toán ĐHKH Tự nhiên TP.HCM Người nhận xét : PTS Trần Huyên Khoa Toán ĐHSP TPHCM Người thực : Nguyễn Lê Thúy Hoa Bộ môn Toán Trường PTTH chuyên Lê Hồng Phong Thành phố HCM Luận văn khoa học bảo vệ lại : Hội đồng chấm luận văn Thạc Sỹ toán học Trường Đại Học Sư Phạm - Thành Phố Hồ Chí Minh Lời Cảm Ơn Lời luận văn này, tơi xin kính gởi đến Thầy PTS Mỵ Vinh Quang – khoa Toán Đại Học Sư Học Phạm Thành phố Hồ Chí Minh – Người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi vượt khó khan để hồn thành luận văn, lịng biết ơn chân thành sâu sắc Xin chân thành cám ơn Quý Thầy : PTS Bùi Tường Trí, PTS Trần Hun – Khoa Tốn Đại Học Sư Phạm TP HCM, TS Bùi Xuân Hải – khoa toán Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM đọc thảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu lời phê bình sâu sắc, bổ ích Tôi cám ơn xin ghi nhận ý kiến quý giá Xin bày tỏ lòng biết ơn Q Thầy, Cơ thuộc khoa Tốn, khoa Tâm Lý – Giáo dục thuộc Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM, khoa Triết Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM tận tình truyền đạt kiến thức hỗ trợ khác tinh thần tự liệu cho suốt thời gian học tập làm việc Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Ban chủ nhiệm khoa Tốn, Q Thầy, Cơ thuộc phịng nghiên cứu khoa học Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM giúp đỡ nhiệt tình giúp đỡ, động viên tơi, tạo điều kiện thuận lợi hành chính, thủ tục cho tơi suốt q trình học tập Xin cám ơn bạn khóa Cao Học khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM, quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập làm luận văn Một lần nữa, xin gởi đén Quý Thầy, Cô bạn Hữu giúp đỡ tơi hồn thành trọn vẹn luận văn TP.Hồ Chí Minh, Tháng 11 năm 1997 Nguyên Lê Thúy Hoa Lời Nói Đầu Mơđun dẹt lớp mơđun có vai trị quan trọng lý thuyết mơđun đại số đồng điều Luận văn trình bày số kết nghiên cứu môđun dẹt vành dẹt tuyệt đối, tức lớp vành mà mơđun dẹt Luận văn gồm 03 chương : Chương I : Trình bày kết Tôpô Zarisky phổ nguyên tố vành Tôpô Zarisky Tôpô đặc biệt cho tập tất iđean nguyên tố vành giao hốn có đơn vị Việc nghiên cứu Tơpơ có nhiều thú vị, kết Tơpơ kéo theo kết Cấu trúc iđean nguyên tố vành ngược lại Trong chương này, trình bày kết Tôpô Zarisky : Cơ sở lân cận đóng mở, tập mở Tơpơ Zarisky, tính compact, liên thông,tách Tôpô Zarisky Các kết chương cần để nghiên cứu vành dẹt tuyệt đối chương III Chương II : Trình bày nghiên cứu môđun dẹt Trong chương này, định nghĩa tương đương môđun dẹt, mối quan hệ môđun dẹt với môđun lự do, môđun xạ ảnh, môđun không xoắn (là môđun quan trọng gần gũi với môđun dẹt ), mối liên hệ mơđun dẹt tổng trực tiếp, tích Tenxơ,… , cấu trúc thương môđun dẹt khảo sát đầy đủ chi tiết Đặc biệt, chương đưa nhiều ví dụ minh họa Trong có nhiều ví dụ theo chứng minh tương đối kỹ thuật, chẳng hạn ví dụ : ví dụ 3.2, ví dụ 4.5, ví dụ 4.7 chương II Chương cuối trình bày kết vành dẹt tuyệt đối Bằng hai công cụ chủ yếu hàm tử xoắn (Tor) Tôpô Zarisky, khảo sát tương đối đầy đủ tính chất vành dẹt tuyệt đối : định nghĩa tương đương, vành dẹt tuyệt đối qua phép lấy tổng trực tiếp qua phép lấy tích Tenxơ, vành thương vành dẹt tuyệt đối Đặc biệt, nhờ kết trên, phổ nguyên tố vành dẹt tuyệt đối khảo sát chi tiết có nhiều kết thú vị, chẳng hạn khơng gian Haussdoff compact, hồn tồn khơng liên thơng… MỤC LỤC CHƯƠNG I : TÔPÔ ZARISKY §1 ĐỊNH NGHĨA & VÍ DỤ Error! Bookmark not defined §2 TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ ZARISKYError! Bookmark not defined CHƯƠNG II : TÍCH XOẮN & MƠ ĐUN DẸT 24 §1 TÍCH XOẮN CỦA MÔĐUN Error! Bookmark not defined §2 CÁC ĐỊNH NGHĨA TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA MƠĐUN DẸT Error! Bookmark not defined §3 TỔNG TRỰC TIẾP - TÍCH TENXƠ CỦA CÁC R MƠĐUN Error! Bookmark not defined CHƯƠNG III : CÁC VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐI 60 §1 VÀNH CĨ TÍNH CHẤT " α - TUYỆT ĐỐI "Error! Bookmark not defined §2 CÁC ĐỊNH NGHĨA TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐIError! Bookmark not defined §3 TỔNG TRỰC TIẾP - TÍCH TENXƠ CỦA VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐI Error! Bookmark not defined §4 VÀNH CÁC THƯƠNG VÀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG CỦA VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐI Error! Bookmark not defined §5 PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐIError! Bookmark not defined TÀI LIỆU THAM KHẢO 88 Chương I CHƯƠNG I : TƠPƠ ZARISKY §1 Định nghĩa ví dụ Tro ng luận văn nà y ng t ôi nghiên cứu vành A giao hốn có đơn vị t rừ k hi có lưu ý ngược lại I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Cho A vành bất kỳ, giao ho án, có đơn vị + Các p hần tử ký hiệu chữ t hường a, b, c, + Các idean củ a ký hiệu chữ H y Lạp α, β, γ + Các t ập co n ký hiệu chữ in hoa B, C, D, E, + Với phần t a ∈ A, ký hiệu (a) iđ ean A s inh bở i phần t a + Với bất k ỳ p hần t a ∈ A, t a có : • a khả ng hịch nêu ∃a'∈ A : aa' = • a ước củ a ∃a'∈ A, a’≠ aa' = • a lũy dang nêu a2 = a • a lũ y linh ∃n∈ N, n ≥ a n = • + α lả id ean củ a A, k ý hiệu α  A , t a có định nghĩa : • α iđean ngu yên t ố α ≠ A Mà xy ∈ α suy  ∀x, y ∈ A p vành A, ký hiệu α  A x ∈ α y ∈ α  m • α iđean t ố i đ ại vành A, ký hiệu α  A , Nếu : β = α α ≠ A suy   β =A ∀β  A, β ⊃ α Ta có mệnh đ ề sau: Mệnh đề 1.1 : Cho vành A, α  A p α  A ↔ A/α miền nguyên m α  A ↔ A/α trường Chương I Định lý 1.1 p Cho f : A → B đồng cấu vành, β  B p K hi f - (β)  A Chứng minh định lý su y t đơn cấu A B β miền ngu yên ⇔ A p f −1 (β) ≅ B β Mà β B nên p f −1 (β) miền ngu yên ⇔ f -1 β B Định lý 1.2 : β⊃α A l v n h α  A , α ≠ A tồn iđean tối đại β A cho Chứng minh đ inh lý nà y cần phải sử dụng bổ đề Zorn, có t hể t ìm t hấ y t rong [2] trang 13 Hệ 1.1 : Mọ i p hần t vành A, ước đơn vị t hì nằm t ro ng iđ ean t ối đại + α ideau A, k ý h iệu r (α) = { x∈A, ∃ n∈N : x n ∈ α} gọ i linh củ a α + Tập hợp tất p hần t lũy linh vành A lập t hành iđea n vành A dược gọ i Nil Rad ical A (N = rad A) Mệnh đề 1.2 : Cho A vành Khi ta có : Tr ình bày chứng minh mệnh đề i rõ t rong [2] t rang 14 + Rad ical Jo co bso n vành A giao t ất cá ỉdean tối đại vành A.Ký hiệu R = Rad A = = ∩ M m M A Mệnh đề 1.3 : Cho A vành, x ∈ A Khi x ∈ Rad A ↔ ∀ y ∈A - xy khả nghịch A Chứng minh mệnh đề có t hể t ì m t h ấ y t ro ng [2] trang 15 Chương I + Với tập E ⊂ A, ký hiệu (E) iđean A sinh E + Với iđean α, β A ta định nghĩa α.β tập tất tổng có dạng ∑ α iβi , αi ∈α, β i ∈β dó có hữu hạn phần tử khác 0, i∈I α.β iđean vành A Định nghĩa 1.1 : Với tập E A, ta định nghĩa V(E) tập tất iđean nguyên tố A mà chứa E II CÁC MỆNH ĐỀ CƠ SỞ Mệnh đề 1.4 Cho A vành, E tập tùy ý A Khi ta có : a Nếu α iđean dược sinh E V(E) = V(α) = V(r(α)) b Gọi X tập tất iđean nguyên tố A, ta có V(0) = X; V(1) = ∅ Chứng minh a/ V(E) = V(α) = V(r(α)) + V(E) = V(α) • V(E) ⊂ V(α)  p Lấy β tùy ý thuộc V(E) Suy β  A β ⊃ E Mà α = (E) iđean bé chứa E nên β ⊃ α  p Vậy β  A β ⊃ α → β ∈ V(α) → V(E) ⊂ V(α) • V(α) ⊂ V(E) (1)  Lấy β tùy ý thuộc V(α) Suy β  A β ⊃ α Mà α ⊃ E (vì α = (E))  p Suy β  A β ⊃ E p Chương I → β ∈ V(E) → V(α) ⊂ V(E) (2) Từ (1) (2) suy V(E) = V(α) + V(α) = V(r(α)) • V(r(α)) ⊂ α Ta có r(α) ⊃ α (do định nghĩa r(α) I) Suy V(r(α)) ⊂ V(α) (3) • V(α) ⊂ V(r(α))  p Lấy β ∈ V(α) Suy β  A β ⊃ α 𝛽 𝑃 𝐴 (hiển nhiên) Ta cần chứng minh � ⊲ 𝛽 ⊃ 𝑟(𝛼) ∀x ∈r(α), suy ∃n ∈ N : x n ∈α Mà α ⊂ β x n ∈β  Suy p  β  A  →x∈β → r(α) ⊂ β  p Vậy β  A β ⊃ r(α) → β ∈ V(r(α)) → V(α) ⊂ V(r(α)) (4) Từ (3) (4) suy V(α) = V(r(α)) b/ V(0) = X, V(1) = ∅ + V(0) = X • V(0) ⊂ X hiển nhiên định nghĩa X • X ⊂ V(0) hiển nhiên iđean nguyên tố chứa iđean (0) Suy X = V(0) + V(1) = ∅ ... Nói Đầu M? ?đun dẹt lớp m? ?đun có vai trị quan trọng lý thuyết m? ?đun đại số đồng điều Luận văn trình bày số kết nghiên cứu mô? ?un dẹt vành dẹt tuyệt đối, tức lớp vành mà m? ?đun dẹt Luận văn gồm 03... nghiên cứu vành dẹt tuyệt đối chương III Chương II : Trình bày nghiên cứu mô? ?un dẹt Trong chương này, định nghĩa tương đương mô? ?un dẹt, mối quan hệ mô? ?un dẹt với mô? ?un lự do, mô? ?un xạ ảnh, mô? ?un không... CỦA VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐI Error! Bookmark not defined §4 VÀNH CÁC THƯƠNG VÀ M? ?ĐUN CÁC THƯƠNG CỦA VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐI Error! Bookmark not defined §5 PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐIError!