Luận văn này trình bày các vấn đề căn bản của bài toán qui hoạch phi tuyến trong đó bao gồm các vấn đề liên quan đến điều kiện cần và đủ của tiêu chuẩn tối ưu trong bài toán qui hoạch phi tuyến đơn trị, bài toán qui hoạch lồi và hàm nhân tử liên kết Lagrange, đồng thời tìm hiểu về ánh xạ đa trị , đặc biệt ánh xạ đa trị đa diện lồi mà các kết của của nó được dùng để nghiên cứu về tính liên tục của hàm tập nghiệm tối ưu trong bài toán qui hoạch và qui hoạch có nhiễu. Mời các bạn cùng tham khảo.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HCM KHOA TOÁN QUI HOẠCH PHI TUYẾN VÀ ÁNH XẠ ĐA TRỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành : Giải tích Mã số: Thực đề tài: Tạ Quang Sơn Nha Trang - Thành Phố HCM 1996 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HCM KHOA TOÁN QUI HOẠCH PHI TUYẾN VÀ ÁNH MẠ ĐA TRỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành : Giải tích Mã số: Thực đề tài: Tạ Quang Sơn Nha Trang - Thành Phố HCM 1996 * Xin kính gửi đến Thầy Trịnh Cơng Diệu - PTS Tốn học Trường ĐHSP Tp HCM - người tận tình giảng dạy , hưởng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn lời biết ơn chân thành sâu sắc * Xin chân thành cảm ơn q Thầy: Lê Hồn Hố PTS Tốn học - Trường ĐHSP Tp HCM Nguyễn Đình Huy PTS Toán học -Trường ĐHBK Tp HCM đọc luận văn cho nhận xét quí báu * Xin bày tỏ lòng biết ơn quý Thầy thuộc Khoa Toán- ĐHSP Tp HCM Khoa TâmLý&Giáo dục - ĐHSP Tp HCM Khoa Triết - ĐHTH Tp HCM Đã giảng dạy năm qua, * Xin cảm ơn BGH Trường CĐSP Nha Trang tạo điều kiện thuận, lợi dể cho tồi hoàn thành nhiệm vụ, học tập * Xin cảm ơn bạn hữu, đồng nghiệp xa gần quan tâm động viên thời gian học tập NhaTrang , tháng năm, năm chín sáu Tạ Quang Sơn LỜI MỞ ĐẦU Luận văn trình bày vấn đề tốn qui hoạch phi tuyến bao gồm vấn đề liên quan đến điều kiện cần đủ cuả tiêu chuẩn tối ưu toán qui hoạch phi tuyến đơn trị , toán qui hoạch lồi hàm nhân tử liên kết Lagrange , đồng thời tìm hiểu ánh xạ đa trị , đặc biệt ánh xạ đa trị đa diện lồi mà kết của đuợc dùng để nghiên cứu tính liên tục hàm tập nghiệm tối ưu toán qui hoạch qui hoạch có nhiễu Luận văn chia làm phần Phần dành để trình bày kiến thức liên quan đến hàm lồi để từ tìm hiểu bải tóan qui hoạch phi tuyến mối quan hệ toán với việc tồn điểm yên ngựa Xem xét điều kiện cần đủ Kuhn Tucker điểm yên ngựa Ngoài phần đề cập đến toán qui hoạch lồi , làm mà hàm nhân tử Lagrange liên kết dùng để mơ tả tồn nghiệm tối Ưu toán Phần hai dành để tìm hiểu ánh xạ đa diện , ánh xạ đa trị , ánh xạ đa trị đa diện lồi mà kết đuợc ứng dụng vào việc nghiên cứu toán qui hoạch có tham sơ Phần ba dành để trình bày vài ứng dụng ánh xạ đa trị , ánh xạ đa trị đa diện lồi vào việc nghiên cứu tính liên lục , tính Lipshitz hàm tập nghiệm tối ưu tốn qui hoạch có tham số Một số khái niệm ban đầu Tập L Rn gọi lồi Rn , tập lồi , tập có điểm tập lồi Nửa không gian : Cho C ∈ R" , c ≠ , α ∈ R Tập { x / x ∈ Rn , cx ≤ α } l nửa không gian Rn Tập ( x / x ∈ Rn , cx < α ) l nửa không gian mở Rn Các tập lồi Phẳng: Là tập { x / x ∈ Rn , cx = α } Rn Phẳng tập lồi Không gian : Tập r thuộc Rn gọi không gian x1 ,x2 ∈ p1x +p2x2 ∈ , ∀ P1 ,P2 ∈R 5.Đỉnh : Cho L tập lồi , x ∈ L cho không tồn điểm phân biệt x , x2 khác X mà x∈ [x , x2] x gọi đỉnh L Hình đa diện : Là giao hữu hạn nửa khơng gian đóng Rn Hình đa diện bị chặn gọi khối đa diện Tổ hợp lồi : Điểm b gọi l tổ hợp lồi vectơ a1, , an ∈ Rn tồn m số thực P1 , ,Pm cho : b = P1a1 + + pmam với Pi ≥ , i=l, ,m Bao lồi : Giao tất tập lồi chứa M tập lồi bé chứa M gọi tập lồi sinh M , hay gọi bao lồi M , kí hiệu ConvM 10 Tập Affin : Tập M Rn gọi tập affin ∀ x,y ∈ M , ∀ λ ∈ R ta có (1-λ )x + λy ∈M 11 Bao affin : Tập affin nhỏ chứa M gọi bao affin M Kí hiệu aff M 12 Bao đóng : ̅ = { C+ εB, ∀ε} 13.Phần : Int, C = { x / ∃ε > , x+ εB C} 14 Phần tương đôi : riC=( x ∈ aff 15 Biên tương đối : ̅ \riC 16 Tập mở tương đối : C mở tương đối C=riC 17 Epigraph : Cho C l i Rn, f xác định C , ta g ọ i epigraph hàm f kí hiệu epi f tập ( (x, μ ) / X ∈ c , μ ∈ R , f(x) ≤ μ } 18 Cho f C lồi, nhận giá trị + ∞ T gọi dom f tập dom f = { x / (x) < + ∞} Bài toán qui hoạch phi tuyến | PHẦN Bài toán qui hoạch phi tuyến đơn trị Từ tốn qui hoạch tuyến tính biết : Tìm cực tiểu hàm mục tiêu θ (x1,…,xn) hàm tuyến tính đồng thời biến x1,x2,…,xn thoả ràng buộc tuyến tính : Ta nghiên cứu toán qui hoạch phi tuyến sau: Xét điểm (x1,x2,…,xn) thoả ràng buộc phi tuyến cho đẳng thức bất đẳng thức : Hãy tìm giá trị xác định (x1*,…,xn* ) tập điểm (x1,x2,…,xn) thoả ràng buộc phi tuyến nêu đồng thời làm cực tiểu hàm mục tiêu θ (x1,…,xn) θ (x1,…,xn) hàm phi tuyến Ta gọi miền chấp nhận đuợc tập điểm (x1,x2,…,xn) cho thỏa điều kiện ràng buộc : Các bất đẳng thức đóng vai trị quan trọng toán qui hoạch phi tuyến , để nghiên cứu đầy đủ t a bắt đầu với số khái niệm sau dây Bài toán qui hoạch phi tuyến | Hàm lồi hàm lõm 1.1 Định nghĩa hàm lồi hàm lõm a) Hàm lồi : Cho θ xác định Γ Rn θ gọi hàm lồi X ∈ I : θ gọi lồi Γnếu lồi điểm Γ Chú ý : Định lí khơng địi hỏi Γ tập lồi b) Hàm lõm : Cho xác định Γ Rn θ gọi hàm lõm X*∈ Γnếu : θ gọi lõm Γ lõm điểm Γ Nhận xét : θ lõm x∈ Γ↔ -θ lồi X Chú ý : Trong định nghĩa thay dấu bất dẳng thức bất dẳng thức nghiêm ngặt, ta có định nghĩa lồi chặt, lõm chặt 1.2 Các định lý : Định lý 1.1 Cho f - ( f1 , , fm ) hàm vectơ ỉn thành phấn Γ Rn, Nếu f lờ, hàm lồi X*∈ Γthì tổ hợp tuyền tính khơng âm fi f hàm lồi X Chứng minh : Xét tổ hợp θ(x)=pf(x),p=(p1,…,pm) ≥0 Cho x∈ Γ,0≤ λ ≤1 xét (1- λ) ̅ + λx ∈ Γ Ta có : (Định lý với hàm lõm ) Định lý 1.2 Cho θ xác định tập lồi Γ Rn θ lồi Γ↔ Epigraph củakí θ hiệulà Go lồi trênRn+1 Với Chứng minh : “ ” Giả sử Go lồi : Cho, Go lồi nên: với 0≤ λ ≤1 Vậy θ lồi Hay Nếu θ lồi Γ, cho (x1, 1),(x2, ) thuộc Go, ta có : Bài tốn qui hoạch phi tuyến | ≤ (1- λ) Suy || λ Go tập lồi Rn+1 + Định lý 1.3 Cho θ hàm số xác định tập lồi Γ Rn Xác định Ta có : θ lồi Γ → Aθ lồi ∀ α Chứng minh: Cho θ lồi Γ , x , x ∈ Aθ Do θ hàm lồi nên Vậy (1- λ)x1 + λ x2 ∈ Aθ → Aθ tập lồi || Chú ý: Khơng có mệnh đề chiều ngược lại Thật xét, hàm θ(x) = x3 R , θ không lồi Aθ tập lồi Bậy ta phát biểu điều kiện để hàm số xác định tập lồi trở nên hàm lồi Định lý 1.4 Nếu họ (θi) ∈ họ hàm lồi bị chặn tập lồi Γ Rn Thì hàm số hàm lồi Chứng minh.: Vì θi hàm lồi nên Epigraph Go tập lồi Với Khi giao tập lồi tập lồi = Epigraph θ Vậy G tập lồi Γ || Định lý 1.5 Hàm lồi , xác định tập mở lồi là, hàm liên tục Chứng minh : Cho xo1∈ Γ , đặt α khoảng cách lừ x° đến điểm gần Rn mà không thuộc Γ (α=+ ∞)nếu Γ = Rn ) Đặt C hộp n mặt với tâm xo độ dài cạnh 2δ Đặt ta suy C Γ Đặt V tập hợp gồm 2n đỉnh C , dặt p = max θ(x) với x ∈V Do định lý nêu ta suy tập hợp tập lồi Vì C bao lồi của V V Abnên ta có C Ab Chọn X điểm cho < | | x - xo || < δ Bài toán qui hoạch phi tuyến | Xác dinh x°+u , x° - u thuộc dường thẳng qua xo X Bây viết X dạng tổ hợp lồi cua x° x°+u , xo dạng tổ hợp lồi x vả x°-u Nếu λ= ||x - xo || / δ Vì θ hàm lồi nên ta có : Bất đẳng thức cho ta : Hay thỏa Như với ε >0 kéo theo với x θ liên tục xo Bởi phần tập Γ Rn mở , kéo theo θ hàm lồi lập lồi Γ Rn liên tục phần Γ.|| Định lý 1.6 (Định lý hàm lồi ) Cho Γ tập lồi khác rỗng Rn cho f hàm vectơ lồi m chiều Γ , cho h hàm ưectơ tuyến tính k chiều Rn Nếu ∈ Rk cho khơng có nghiệm x∈ Γ Thì tồn p∈R m tồn với x∈ Γ Chú ý : p ≥ (p, q) không suy đồng thời p ≥ q ≠ , kéo theo p ≥ q ≠ hai Tuy nhiên ta xóa bỏ đẳng thức tuyến tính h(x) = p ≥ Chứng minh định lý : Đặt, A= A(x) với x∈ Γ Từ giả thiết A không chứa gốc ∈ Rm+k lập lồi Nếu (y1, z1) 2 (y , z ) thuộc A với 0≤ λ ≤1, có : Bài tốn qui hoạch phi tuyến | Vì A tập lồi ≠ khơng chứa góc , nên theo tính chất tách cho (u,v)∈ A nên tồn pu+qv ≥ Do Ui lớn tùy ý , p ≥ , e vectơ Cho pu+qv = pf(x) + £ pe + qh(x) > với x ∈ Γ Rm Như với x ∈ Γ Hay Bây x∈Γ cách chọn ε cho εpe > δ ta nhận dược Điều trái với kiện pf(x)+qh(x) ≥ -ε pe với x ∈ Γ Như inf pf(x)+qh(x) ≥ , x ∈ Γ | | Định lý 1.7 (Tổng quát hoá Định lý Gordan ) Cho f hàm véctơ m chiều tập lồi Γ Rn Thế : Hoặc.là :I f(x)0 với x ∈ Γvới p>0 đó,p ∈ Rm Chứ khơng hai xảy ra, Chứng minh : Trước hết ta chứng minh (I) không suy (II) Thật cho x ∈ Γ nghiệm f(x) < với p ≥ Rm ta có pf(x) 0 số Lipshitz điạ phương đôi với hàm đa trị A-1, xác định L= λ (1+ μ)Chọn z0 ∈ α β với A-1 (z0) βB Cho N lân cận Z0 cho N z0 +μ -1Bvà với z ∈ N Chọn z ∈ N , z Dom h bất đẳng thức cần chứng minh thoả Nếu z ∈ Dom h z ∈ DomA-1.Chọn ε >0 tìm x (z) ∈ A-1 với |f(x,z)-h(z)| ≤ ε Nhận thấy từ ta có (ii) với Xo Thì Cho ε →0ta nhận đuợc kết cần chứng minh Trong kết ta giả sử với điều kiện mạnh tập chấp nhận đuợc -1 A (zo)là bị chặn Có thể bỏ bớt giả thiết tập nghiệm tối ưu toán cực tiểu đa diện lồi Định lý 3.2 Cho f : Rn X Rm→ R A hàm đa trị từ Rn vào Rm ,Giả sử f Lipshitz tập bị chặn của, Rn X Rmvờ, hàm đa trị P: định P(z) = { x ∈ (z) | f(x,z) = h(z)} hàm đa diện 48 Ứng dụng ánh xạ đa trị vào toán qui hoạch tốn qui hoạch có tham số | Thế với tập bị chặn Q Rm, có số L cho zo∈Q 49 Dom P với z ∈ Dom p gần với zo ta có ||h(z)- h(zo) || ≤ L|| z-zo || Hơn h Lipshitz tập lồi , bị chặn DomP Chứng minh : Cho số Lipshitz ddiạ phương P (định lý 2.16 phần ) Chọn tập bị chặn Q Rm , cho Q P-1(βB) [(α+l)B] αB cho β đủ lớn cho DomP (định lý 2.17 phần ) Cho f Lipshitz tập { (x, z) / || X || < p + y , || z || ≤ α +1 } với modul λ , xác định L = λ (y +1) Bây chọn zo Q Dom P , cho N lần cận zo chưa zo +B cho nêu z ∈ N P(z) P(z0) +Y || z - zo || B Chọn z ∈ N DomP z ∈ (α+1 )B DomP có X đó∈ P(z) với || X 1||≤ β Thế có xo∈ P(zo ) với ||x - xo || ≤ y || z - zo ||≤ y (tức ||xo || ≤ β + y) ta có Theo chứng minh rõ ràng tập lồi, bị chặn Dom p h Lipshitz Ứng dụng ánh xạ đa trị vào toán qui hoạch toán qui hoạch có tham số | II ứng dụng ánh xạ đa trị dể nghiên cứu hàm tập nghiệm tối ưu tốn qui hoạch có tham số Cho Rn Rm không gian vectơ hữu hạn chiều có trang bị chuẩn Euclide || || tích vô hướng Cho f : Rmx Rn → R hàm số thực n : Rm → Rn hàm đa trị Xét toán qui hoạch phụ thuộc tham số X ( tham số nhiễu ) sau: Với xét toán : (Làm cực tiểu f(x,y) theo y∈ Ω (x)) Gọi M(x) tập tất nghiệm nghĩa Như ta định nghĩa ánh xạ đa trị sau : Gọi hàm Qui ước hàm giá trị tối ưu Trong trường hợp ta giả sử hàm đa trị Ω (x)có dạng I, J tập số hữu hạn Sau ta nghiên cứu tính liên tục Lipshitz hàm đa trị M(x) tập nghiệm tối ưu Giả sử miền chấp nhận Ω (xo)ứng với xo khác rỗng Kí hiệu khoảng cách từ điểm y đến tập S Kí hiệu V = P(y, S) điểm thuộc tập S gần với y , tức ||y - V || = dist (y, S ) Với L khơng gian tuyến tính Rn , kí hiệu khơng gian trực giao L L , 2.1 Các kết liên tục : Lấyxo ∈ Rn, giả sử M(xo) ≠ , giả sử r gi với i ∈ I hàm C' Rm x Rn Với điểm (x,y) , đặt Với x=xo đặt Jo(y) = J(xo , y) J 50 Ứng dụng ánh xạ đa trị vào toán qui hoạch toán qui hoạch có tham số | Ta nói điều kiện Mangasarian Promovit.z (MF) nhận điểm ̅ ∈ Mo : 1.Vectơ Gradient độc lập tuyến tính 2.Tồn vectơ V cho : Xét hàm Lagrange liên kết với toán qui hoạch PX : Dựa theo điều kiện (MF) nêu , điều kiện cần cấp Kuhn Tucker nhận đựơc ̅ Điều có nghía tồn vectơ ̅ = ̅ ( ̅) nhân tử Lagrange cho ̅ ≥0với i ∈ Jo ( ̅) ̅ =0 với I ∈ J\Jo( ̅) Tập nhân tử Lagrange thỏa điều kiện cần cấp (xo, ̅) kí hiệu Ao ̅ Ta biết tập Ao ̅ bị chặn điều kiện MF nhận ̅ Trong trường hợp Ao ̅) khác rỗng, compact, đa diện lồi bao lồi tập hữu hạn Eo ̅các điểm cực trị Giả thiết 1: Điều kiện inf -Compact Tồn số α tập compact S R cho φ (xo)< α với x thuộc lân cận xo Từ giả thiết suy với x thuộc lân cận xo lập nghiệm tối ưu M(x) khác rỗng M(x) compact mà tập chấp nhận đuợc Ω(x) khác rỗng Nếu điều kiện inf - Compact thoả điều kiện (MF) nhận đuợc yo ∈Mo hàm M(x ) đóng x0 Điều có nghĩa tập điểm tụ M(x) chứa Mo ,M’ Mo Chúng ta giới hạn xác tập điểm tụ tập nghiệm tối ưu Xét đường cong tiếp xúc với vectơ h Kí hiệu y ∈ Mo r ∈ o(y) Xem Fiacco AV 1983 Introduction to Sensivity and stability Analysis in Nonlinear 51 Ứng dụng ánh xạ đa trị vào toán qui hoạch toán qui hoạch có tham số | Mệnh đề sau liên quan đến kết Gauvin Dubeau đạo hàm cấp theo hướng hàm giá trị tối ưu Mệnh dề 1: Nếu điều kiện (MF) điều kiện, Inf -Compact thỏa điểm ,y ∈Mo Chứng minh : Xét điểm ̅ ∈ lim sup M(x(t)), theo định nghĩa lim sup , tồn dãy {tn →0+}và yn→ ̅ cho yn ∈M(xn) với xn=x(tn).Ta có ̅ ∈ Movà điều kiện MF thoả (xo, ̅), kéo theo hàm đa trị Ω giả Lipshitz (xo, ̅) Điều suy tồn ∈ Ω (xo) cho ||yn-vn|| ≤ K||xn-xo||, ∀n k > Hơn chọn cho với λo∈ Eo( ̅) , Vì tập Eo( ̅) hữu hạn , ta giả sử ta có Tương lự ta có Như ta có : Áp dụng định lý giá trị cho vế phải ta có : (x*n, y*n) điểm thuộc khoảng (xn , yn ) ( xo , ) Ta có Từ ||yn - || ≤ K|| xn - xo || (*) kéo theo : điều kiện cần cấp Như : Mặt khác lim sup vế trái ≤ δ (h) : Và có ̅ ∈ M1*(h) suy điều phải chứng minh Bây xét trường hợp x=xo tương ứng với toán qui hoạch lồi Po Tức f(xo, ) gi (xo, ) , i ∈ J giả sử lồi gi (xo, ) với i∈I hàm affin tập Ao(y) Ao nhân tử Lagrange với 52 Ứng dụng ánh xạ đa trị vào tốn qui hoạch tốn qui hoạch có tham số | y∈ Mo điều kiện MF thoả mãn y ∈ Mo thoả y ∈ Mo Trong trường hợp hàm lồi , đạo hàm theo hướng hàm giá trị tối ưu cho δ(h) kết mệnh đề làm tốt mệnh đề sau : Mệnh đề : Giả sử toán qui hoạch ,Po lồi , điều kiện Inf -Compact , điều kiện (MF) thỏa Chứng minh : Xét điểm dãy tương ứng cho yn∈ M(xn) , xn = x(tn ) Xét, điểm ̅ ∈ Ao cho λn vectơ nhân tử Lagrange tương ứng với điểm (xn , yn) giả thiết lồi nên Như φ(xn) - φ(xo) = L (xn , yn, λn ) - L(xo , ̅, ̅) ≥ L (xn , yn ̅ ) - L(xn , yn, ̅ ) định lý giá trị Vì ̅ điểm tùy ý Ao ta nhận Mặt khác Lim sup vế trái ≤ δ (h) suy ̅ ∈ M1(h) nên suy đpcm Giả thiết 2: ( Điều kiện độc lập tuyến tính ) Với ̅ ∈ Mo, vectơ gradient ygi(xo, ̅) độc lập tuyến tính Từ giả thiết kéo theo với y ∈ Mo , tập Aoy nhân tử Lagrange đơn trị , Aoy={ ̅ (y)}.Cũng theo giả thiết đạo hàm theo hướng φ (Xo , h ) hàm giá trị tối ưu M1*(h)=M1(h) với h 2.2 Tính liên tục Lipshitz hàm đa trị tối ưu Bây ta nghiên cứu dáng điệu Lipshitz hàm đa trị M(x) Trước hết ta nhắc lại định nghĩa Lipshitz theo điểm 53 Ứng dụng ánh xạ đa trị vào toán qui hoạch tốn qui hoạch có tham số | 54 Định nghĩa 2.1: Hàm đa trị gọi Lipshitz theo điểm x0 với modul μ ϕ(x) ϕ(x0)+ μ ||x-x0||B∀x ∈ lân cận x0 Hàm đa trị ϕ gọi Lipshitz xo theo hướng h tổn số dương μ cho với đường cong dạng x(t)=x0+th+o(t), có ε > cho ϕ(x) ϕ(x0)+ μtB với t ∈ [0, ε) Hiển nhiên ϕ Lipshitz theo điểm x0 ϕ Lipshitz x0 theo hướng h , ngược lại Bây giả sử hàm f gi , i ∈ I J C2 Rm X Rn có điều kiện độc lập tuyến tính giả thiết Với điểm y ∈ Mo ̅=̅(y) , xét nón đa diện lồi Nón C(y) đuợc gọi tới hạn xuất mối liên quan với điều kiện tối ưu cấp hai Nếu y’∈ Mo Ma trận Hessian xác định khơng âm C(y*) tức Điều kiện đủ cấp hai tương ứng nghiệm chấp nhận ̅ thỏa điều kiện cần cấp để làm cực tiểu địa phuơng xác định dương C( ̅) Xét tập toàn phuơng tương ứng với ma trận dạng nón C(y) Giả thiết 3: Với y ∈ M1(h) hai điều kiện sau nhận đuợc : (i) Tồn lân cận Ny y cho Tức tập số Jo(v) số ∀v ∈ Mo lân cận y (ii) Tập nghiệm tối ưu Mo đa tạp trơn lân cận y NS(y) T(y, Mo) khơng gian tuyến tính tiếp xúc với Mo y T(y,Mo) Chú ý điều kiện (i) giả thiết nêu nhận cách tự nhiên tất nhân tử Lagrange ̅ ,i ∈ Jo(y) dương Trong trường hợp nón C(y) trở thành khơng gian tuyến tính Do điều kiện tối ưu bậc hai , không gian tiếp xúc T(y, Mo) tồn chứa tập NS(y) từ (ii) ta có NS(y) = T(y, Mo) Hơn điều kiện (i) kéo theo T(y, Mo) NS(y) đuợc chứa khơng gian tuyến tính {v:=0, i ∈ I Jo(y)} nón C(y) Ứng dụng ánh xạ đa trị vào toán qui hoạch tốn qui hoạch có tham số | Định lý 3.3 Giả sử giả thiết, 1, 2, thỏa tập nghiệm tối ưu hàm đa trị M Lipshitz xo theo hướng h Chứng minh: Giả sử khẳng định định lý sai tồn dãy {tn}→ 0+ yn ∈ M(xn),xn=x(tn) cho Ở dn = dist (yn, Mo) Giả thiết kéo theo dn → Cũng , tập Mo đóng tồn điểm y*n = P(yn, Mo) gần với yn Xét Vn =yn - y*n , Do lập luận tính compact , ta giả sử {yn} tụ điểm ̅ ∈ Movà dn-1vn dần vectơ V Dĩ nhiên ||v||= V ≠ Do mệnh đề ta có ̅ ∈ M1(h) Do từ giả thiết (ii) ta nhận Mo đa tạp trơn gần y dẳng thức NS(y)= T(y, Mo) nhận Bởi yn* gần với điểm yn Mo kéo theo với n đủ lớn Vn trực giao với Mo y*n V trực giao với Mo ̅ Cùng với việc NS(y) = T(y, Mo) điều kéo theo V trực giao với không gian vectơ NS( ̅) Xét hàm ràng buộc g , định lý giá trị ta có ( ̅ n, ̅ n) →(x0, ̅ )> Do giả thiết 3(i) với n đủ lớn ta có : Nếu λn vectơ nhân tử Lagrange liên kết với điểm (xn, yn) lập luận tính liên tục , với n đủ lớn , nhân tử Lagrange λn,i tương ứng dương với i∈ J+ (̅, ̅), ̅ =̅( ̅) kéo theo gi(x0,y*n)= 0,i ∈ I J( ̅) Ta nhận vế trái (**) i ∈ I J+ ( ̅, ̅) bé i∈ Jo( ̅) /J+ (̅, ̅ ), Điều với (*) (**) kéo theo rằng: Tức v ∈ C( ̅) Hơn V trực giao với NS( ̅) V khơng thuộc NS( ̅) Thế từ điều kiện cần cấp hai kéo theo : Bây với Thế 55 Ứng dụng ánh xạ đa trị vào toán qui hoạch toán qui hoạch có tham số | với điểm(xo,yn*, n * ), hạng tử Chú ý điều kiện cần cấp một, áp dụng vào khai triển Taylor nêu biến Từ việc lim t-1ndn=∞khi n→ ∞ khai triển Taylor nêu kéo theo ε số dương xác định nêu Mặt khác giả thiết độc lập tuyến tính tồn dãy { wn} số dương K cho gi(xn.wn)=0, I ∈ I Jo ( ̅) Thế với n đủ lớn , Kết Áp dụng công thức Taylor nêu cho vế phải bất đẳng thức với ta nhận với c số dương c , với lim t-1ndn=∞, điều kéo theo Điều mâu thuẫn với Hệ : Giả sử giả thiết nhận điều kiện (i) (ii) giả thiết thoả mãn với y ∈ Mo Thế hàm đa trị M(x) Lipshitz theo điểm lại xo Chứng minh : Giả sử khẳng định sai , tồn dãy {xn}→xo yn ∈ M(xn)sao cho -1 lim t ndn=∞ nhận đuợc với với tn=||xn-xo||.Do lập luận tính compact ta giả sử dãy {t-1n(xn-xo)} hội tụ vectơ h Thế M khơng phải Lipshitz theo hướng h , điều trái với kết luận định lý 3.3 nêu 56 Ứng dụng ánh xạ đa trị vào toán qui hoạch tốn qui hoạch có tham số | LỜI KẾT Vừa điểm qua vài kết toán qui hoạch phi tuyến tính lồi đóng vai trị quan trọng kết tìm Đối với tốn qui hoạch đơn trị , dựa vào tính lồi , dấu hiệu nghiệm toán cực tiểu thiết lập, đồng thời thiết lập đựơc mối quan hệ toán điểm yên ngựa Kuhn Tucker Fritz John với toán cực tiểu cực tiểu địa phương Tiếp tục tìm hiểu tốn qui hoạch phần tìm hiểu tốn qui hoạch lồi qui hoạch có tham số Ở phần tìm hiểu qui hoạch lồi ta cách mà đặc trưng nghiệm tối ưu toán qui hoạch thông qua điểm yên ngựa hàm nhân tử Lagrange Cuối dựa vào kết hàm đa trị , đặc biệt đa trị đa diện lồi cho ta tìm hiểu liên tục , Lipshitz hàm tập nghiệm tối ưu tốn qui hoạch có tham số 57 Ứng dụng ánh xạ đa trị vào tốn qui hoạch tốn qui hoạch có tham số | 58 Tài liệu tham khảo [1] Rockaffelar Convex Ananlysis Princeton University Press 1970 [2] Jean-Pièrre Aubin & Hélènne Frankowska Set-Valued Ananlysis Birkhauser Boston 1990 [3] Mangasarian Nonlinear Programming Mac Graw – Hill Book Company 1982 [4] Trịnh Công Diệu Bài giảng ánh xạ đa trị ĐHSP Tp HCM 1994 [5] Alexander Shapiro Applied Mathematics and Springer – Verlag Optimization Newyork 1988 [6] Stephen Robinson Some continuity property North Holland Of Poloyhedrad multifunction Punlishing Company 1979 [7] Stephen Robinson Extract from Mathematical Methods of Nonlinear Optimization 1992 Ứng dụng ánh xạ đa trị vào toán qui hoạch tốn qui hoạch có tham số | MỤC LỤC Một số khái niệm ban đầu PHẦN Bài toán qui hoạch phi tuyến đơn trị Hàm lồi hàm lõm Bài toán qui hoạch phi tuyến đơn trị 10 2.1 Bài toán cực tiểu điểm yên ngựa 10 2.2 Vài kết vê toán cực tiểu cực tiểu địa phương 11 2.3 Điều kiện đủ tiêu chuẩn tối ưu 12 2.4 Bài toán cực tiểu mở rộng 13 2.5 Điều kiện cần tiêu chuẩn tối ưu 14 2.6 Định lý Kuhn Tucker 17 Bài toán qui hoạch lồi 22 PHẦN Ánh xạ đ a trị -Ánh xạ đ a d i ệ n lồi - Ánh xạ đ a trị đ a d i ệ n l i 29 §1 Ánh xạ đa trị : 30 1.1 Các khái niệm : 30 1.2 Ánh xạ đa trị Lipshitz địa phương 32 Ánh xạ đa diện lồi 35 2.1 Các khái niệm 35 2.1.2 Tập đa diện lồi 35 2.1.3 Vài kết liên quan đến tập đa diện lồi 36 2.1.4 Hàm số đa diện lồi ( Polyhedral Convex function ) 39 2.1.5 Các định lý liên quan đến hàm đa diện: 39 2.1.6 Các phép toán tập hàm đa diện lồi 40 2.1.6 Điều kiện để tập tập đa diện lồi 40 Ánh xạ đa trị đa diện (lồi) 42 3.2 Các phép toán 42 3.3 Đặc trưng ánh xạ đa trị đa diện ( lồi ) 43 3.4 Tính Lipshitz : 44 PHẦN Vài ứng dụng ánh xạ đa trị & Ánh xạ đa trị đa diện lồi vào tốn qui hoạch có tham số 47 I Áp dụng kết ánh xạ đa trị đa diện lồi vào tốn qui hoạch có tham số 48 II ứng dụng ánh xạ đa trị dể nghiên cứu hàm tập nghiệm tối ưu toán qui hoạch có tham số 50 LỜI KẾT 57 Tài liệu tham khảo 58 MỤC LỤC 59 59 ... dụng ánh xạ đa trị vào toán qui hoạch toán qui hoạch có tham số | PHẦN Vài ứng dụng ánh xạ đa trị & Ánh xạ đa trị đa diện lồi vào tốn qui hoạch có tham số 47 Ứng dụng ánh xạ đa trị vào toán qui hoạch. .. ánh xạ đa diện , ánh xạ đa trị , ánh xạ đa trị đa diện lồi mà kết đuợc ứng dụng vào việc nghiên cứu tốn qui hoạch có tham sơ Phần ba dành để trình bày vài ứng dụng ánh xạ đa trị , ánh xạ đa trị. .. F ánh xạ đa trị đa diện lồi Nếu GrF ( không cần lồi ) hợp hữu hạn tập đa diện lồi ta gọi F ánh xạ đa trị đa diện Nhận xét 1: Nếu F ánh xạ đa trị đa diện lồi F ánh xạ đóng Do F ánh xạ đa trị