Mô đun dẹt và vành dẹt tuyệt đối

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN *************** NGUYỄN LÊ THÚY HOA MƠ ĐUN DẸT VÀ VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐI LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ĐẠI SỐ Mã số : 1.01.03 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 11 -1997 BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN *************** NGUYỄN LÊ THÚY HOA MÔ ĐUN DẸT VÀ VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐI LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ĐẠI SỐ Mã số : 1.01.03 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 11 -1997 LUẬN VĂN ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Người hướng dẫn PTS Mỵ Vinh Quang Khoa Toán ĐHSP TPHCM Người nhân xét : TS Bùi Xuân Hải Khoa Toán ĐHKH Tự nhiên TP.HCM Người nhận xét : PTS Trần Huyên Khoa Toán ĐHSP TPHCM Người thực : Nguyễn Lê Thúy Hoa Bộ môn Toán Trường PTTH chuyên Lê Hồng Phong Thành phố HCM Luận văn khoa học bảo vệ lại : Hội đồng chấm luận văn Thạc Sỹ toán học Trường Đại Học Sư Phạm - Thành Phố Hồ Chí Minh Lời Cảm Ơn Lời luận văn này, tơi xin kính gởi đến Thầy PTS Mỵ Vinh Quang – khoa Toán Đại Học Sư Học Phạm Thành phố Hồ Chí Minh – Người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi vượt khó khan để hồn thành luận văn, lịng biết ơn chân thành sâu sắc Xin chân thành cám ơn Quý Thầy : PTS Bùi Tường Trí, PTS Trần Hun – Khoa Tốn Đại Học Sư Phạm TP HCM, TS Bùi Xuân Hải – khoa toán Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM đọc thảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu lời phê bình sâu sắc, bổ ích Tôi cám ơn xin ghi nhận ý kiến quý giá Xin bày tỏ lòng biết ơn Q Thầy, Cơ thuộc khoa Tốn, khoa Tâm Lý – Giáo dục thuộc Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM, khoa Triết Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM tận tình truyền đạt kiến thức hỗ trợ khác tinh thần tự liệu cho suốt thời gian học tập làm việc Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Ban chủ nhiệm khoa Tốn, Q Thầy, Cơ thuộc phịng nghiên cứu khoa học Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM giúp đỡ nhiệt tình giúp đỡ, động viên tơi, tạo điều kiện thuận lợi hành chính, thủ tục cho tơi suốt q trình học tập Xin cám ơn bạn khóa Cao Học khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM, quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập làm luận văn Một lần nữa, xin gởi đén Quý Thầy, Cô bạn Hữu giúp đỡ tơi hồn thành trọn vẹn luận văn TP.Hồ Chí Minh, Tháng 11 năm 1997 Nguyên Lê Thúy Hoa Lời Nói Đầu Mơđun dẹt lớp mơđun có vai trị quan trọng lý thuyết mơđun đại số đồng điều Luận văn trình bày số kết nghiên cứu môđun dẹt vành dẹt tuyệt đối, tức lớp vành mà mơđun dẹt Luận văn gồm 03 chương : Chương I : Trình bày kết Tôpô Zarisky phổ nguyên tố vành Tôpô Zarisky Tôpô đặc biệt cho tập tất iđean nguyên tố vành giao hốn có đơn vị Việc nghiên cứu Tơpơ có nhiều thú vị, kết Tơpơ kéo theo kết Cấu trúc iđean nguyên tố vành ngược lại Trong chương này, trình bày kết Tôpô Zarisky : Cơ sở lân cận đóng mở, tập mở Tơpơ Zarisky, tính compact, liên thông,tách Tôpô Zarisky Các kết chương cần để nghiên cứu vành dẹt tuyệt đối chương III Chương II : Trình bày nghiên cứu môđun dẹt Trong chương này, định nghĩa tương đương môđun dẹt, mối quan hệ môđun dẹt với môđun lự do, môđun xạ ảnh, môđun không xoắn (là môđun quan trọng gần gũi với môđun dẹt ), mối liên hệ mơđun dẹt tổng trực tiếp, tích Tenxơ,… , cấu trúc thương môđun dẹt khảo sát đầy đủ chi tiết Đặc biệt, chương đưa nhiều ví dụ minh họa Trong có nhiều ví dụ theo chứng minh tương đối kỹ thuật, chẳng hạn ví dụ : ví dụ 3.2, ví dụ 4.5, ví dụ 4.7 chương II Chương cuối trình bày kết vành dẹt tuyệt đối Bằng hai công cụ chủ yếu hàm tử xoắn (Tor) Tôpô Zarisky, khảo sát tương đối đầy đủ tính chất vành dẹt tuyệt đối : định nghĩa tương đương, vành dẹt tuyệt đối qua phép lấy tổng trực tiếp qua phép lấy tích Tenxơ, vành thương vành dẹt tuyệt đối Đặc biệt, nhờ kết trên, phổ nguyên tố vành dẹt tuyệt đối khảo sát chi tiết có nhiều kết thú vị, chẳng hạn khơng gian Haussdoff compact, hồn tồn khơng liên thơng… MỤC LỤC CHƯƠNG I : TÔPÔ ZARISKY §1 ĐỊNH NGHĨA & VÍ DỤ Error! Bookmark not defined §2 TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ ZARISKYError! Bookmark not defined CHƯƠNG II : TÍCH XOẮN & MƠ ĐUN DẸT 24 §1 TÍCH XOẮN CỦA MÔĐUN Error! Bookmark not defined §2 CÁC ĐỊNH NGHĨA TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA MƠĐUN DẸT Error! Bookmark not defined §3 TỔNG TRỰC TIẾP - TÍCH TENXƠ CỦA CÁC R MƠĐUN Error! Bookmark not defined CHƯƠNG III : CÁC VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐI 60 §1 VÀNH CĨ TÍNH CHẤT " α - TUYỆT ĐỐI "Error! Bookmark not defined §2 CÁC ĐỊNH NGHĨA TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐIError! Bookmark not defined §3 TỔNG TRỰC TIẾP - TÍCH TENXƠ CỦA VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐI Error! Bookmark not defined §4 VÀNH CÁC THƯƠNG VÀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG CỦA VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐI Error! Bookmark not defined §5 PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐIError! Bookmark not defined TÀI LIỆU THAM KHẢO 88 Chương I CHƯƠNG I : TƠPƠ ZARISKY §1 Định nghĩa ví dụ Tro ng luận văn nà y ng t ôi nghiên cứu vành A giao hốn có đơn vị t rừ k hi có lưu ý ngược lại I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Cho A vành bất kỳ, giao ho án, có đơn vị + Các p hần tử ký hiệu chữ t hường a, b, c, + Các idean củ a ký hiệu chữ H y Lạp α, β, γ + Các t ập co n ký hiệu chữ in hoa B, C, D, E, + Với phần t a ∈ A, ký hiệu (a) iđ ean A s inh bở i phần t a + Với bất k ỳ p hần t a ∈ A, t a có : • a khả ng hịch nêu ∃a'∈ A : aa' = • a ước củ a ∃a'∈ A, a’≠ aa' = • a lũy dang nêu a2 = a • a lũ y linh ∃n∈ N, n ≥ a n = • + α lả id ean củ a A, k ý hiệu α  A , t a có định nghĩa : • α iđean ngu yên t ố α ≠ A Mà xy ∈ α suy  ∀x, y ∈ A p vành A, ký hiệu α  A x ∈ α y ∈ α  m • α iđean t ố i đ ại vành A, ký hiệu α  A , Nếu : β = α α ≠ A suy   β =A ∀β  A, β ⊃ α Ta có mệnh đ ề sau: Mệnh đề 1.1 : Cho vành A, α  A p α  A ↔ A/α miền nguyên m α  A ↔ A/α trường Chương I Định lý 1.1 p Cho f : A → B đồng cấu vành, β  B p K hi f - (β)  A Chứng minh định lý su y t đơn cấu A B β miền ngu yên ⇔ A p f −1 (β) ≅ B β Mà β B nên p f −1 (β) miền ngu yên ⇔ f -1 β B Định lý 1.2 : β⊃α A l v n h α  A , α ≠ A tồn iđean tối đại β A cho Chứng minh đ inh lý nà y cần phải sử dụng bổ đề Zorn, có t hể t ìm t hấ y t rong [2] trang 13 Hệ 1.1 : Mọ i p hần t vành A, ước đơn vị t hì nằm t ro ng iđ ean t ối đại + α ideau A, k ý h iệu r (α) = { x∈A, ∃ n∈N : x n ∈ α} gọ i linh củ a α + Tập hợp tất p hần t lũy linh vành A lập t hành iđea n vành A dược gọ i Nil Rad ical A (N = rad A) Mệnh đề 1.2 : Cho A vành Khi ta có : Tr ình bày chứng minh mệnh đề i rõ t rong [2] t rang 14 + Rad ical Jo co bso n vành A giao t ất cá ỉdean tối đại vành A.Ký hiệu R = Rad A = = ∩ M m M A Mệnh đề 1.3 : Cho A vành, x ∈ A Khi x ∈ Rad A ↔ ∀ y ∈A - xy khả nghịch A Chứng minh mệnh đề có t hể t ì m t h ấ y t ro ng [2] trang 15 Chương I + Với tập E ⊂ A, ký hiệu (E) iđean A sinh E + Với iđean α, β A ta định nghĩa α.β tập tất tổng có dạng ∑ α iβi , αi ∈α, β i ∈β dó có hữu hạn phần tử khác 0, i∈I α.β iđean vành A Định nghĩa 1.1 : Với tập E A, ta định nghĩa V(E) tập tất iđean nguyên tố A mà chứa E II CÁC MỆNH ĐỀ CƠ SỞ Mệnh đề 1.4 Cho A vành, E tập tùy ý A Khi ta có : a Nếu α iđean dược sinh E V(E) = V(α) = V(r(α)) b Gọi X tập tất iđean nguyên tố A, ta có V(0) = X; V(1) = ∅ Chứng minh a/ V(E) = V(α) = V(r(α)) + V(E) = V(α) • V(E) ⊂ V(α)  p Lấy β tùy ý thuộc V(E) Suy β  A β ⊃ E Mà α = (E) iđean bé chứa E nên β ⊃ α  p Vậy β  A β ⊃ α → β ∈ V(α) → V(E) ⊂ V(α) • V(α) ⊂ V(E) (1)  Lấy β tùy ý thuộc V(α) Suy β  A β ⊃ α Mà α ⊃ E (vì α = (E))  p Suy β  A β ⊃ E p Chương I → β ∈ V(E) → V(α) ⊂ V(E) (2) Từ (1) (2) suy V(E) = V(α) + V(α) = V(r(α)) • V(r(α)) ⊂ α Ta có r(α) ⊃ α (do định nghĩa r(α) I) Suy V(r(α)) ⊂ V(α) (3) • V(α) ⊂ V(r(α))  p Lấy β ∈ V(α) Suy β  A β ⊃ α 𝛽 𝑃 𝐴 (hiển nhiên) Ta cần chứng minh � ⊲ 𝛽 ⊃ 𝑟(𝛼) ∀x ∈r(α), suy ∃n ∈ N : x n ∈α Mà α ⊂ β x n ∈β  Suy p  β  A  →x∈β → r(α) ⊂ β  p Vậy β  A β ⊃ r(α) → β ∈ V(r(α)) → V(α) ⊂ V(r(α)) (4) Từ (3) (4) suy V(α) = V(r(α)) b/ V(0) = X, V(1) = ∅ + V(0) = X • V(0) ⊂ X hiển nhiên định nghĩa X • X ⊂ V(0) hiển nhiên iđean nguyên tố chứa iđean (0) Suy X = V(0) + V(1) = ∅ Chương III m ⊗ =  * Có   m ⊗ = Vậy (1) * Chứng minh (2) - Nếu m =2k Có m ⊗ = 2k ⊗ ( ( ) ) ( ) ( ) = ( k ⊗ 0) = k⊗2 =0 ( m ⊗1) = → ( m ⊗ 1)= ( ( m ⊗ 1) ) 2 Nếu m = 2k + Có m ⊗ 1= ( 2k + 1) ) ⊗ ( ) ( = + (1 ⊗ 1) ) = 2k ⊗ + ⊗ = ⊗1 ( m ⊗1) =(1 ⊗1) ( = ⊗1 ) (( m ⊗1) ) → m ⊗1 = đối 2 Do z ⊗ z2 vành dẹt tuyệt đối (hơn cịn vành Bull) * Nhưng z khơng phải vành dẹt tuyệt đối ∀m ∈ Z, m ≠ m ∉ (m2) hay (m) ≠ (m2) Vậy : R ⊗ R' vành dẹt tuyệt đối suy R, R' vành dẹt tuyệt 74 Chương III §4 Vành thương mơđun thương vành dẹt tuyệt đối I ĐỊNH NGHĨA VÀNH CÁC THƯƠNG VÀ MÔĐUN CÁC THƯƠNG 1.1 Vành thương : Cho R vành giao hốn có đơn vị 1, : 1 ∈ S * ∅ ≠ s táp R thỏa tính chất  r, r ' ∈ S ⇒ rr ' ∈ S S xác định gọi tập có tính chất nhân * Xét tích R x S , với quan hệ ~ định nghĩa sau :  x, y ∈ R (x, a) ~ (y, b) ⇔ ∃ t ∈ S : ( b - ya)t = Với a, b ∈ S  Khi "~" quan hệ tương đương S x * Đặt S−= = R R ×= x,s với x ∈R, s ∈ S} ~ s ( ) x/s = y/t ⇔ ∃u ∈ s để : (xt - ys) u = Trên S-1R ta xác định phép toán : { (+) : x/s + y/t = xt + ys/st (•) : x/s y/t = xy/st Khi (+), (•) định nghĩa tốt (S-1 R, +,•) gọi vành thương R theo tập nhân s 1.2 Ví dụ : p 1) R vành bất kỳ, α  R Xét s = R - α = [ x ∈R/x ∉α } Khi s tập nhân vành R  a  S−1A  s ∉ α  vành thương vành A theo tập nhân S Và= s    a  S−1α  s ∉ α,s ∉ α  Xét= a   -1 -1 Dễ thấy S α∇S A Mặt khác, ∀y/t ∈S-1 A giả sử y/t ∉ S-1α 75 Chương III →y∉α →y∈S → y/t khả nghịch S-1 A (phần tử nghịch đảo t/y) → S-1 α iđean tối đại Vậy S-1 A vành địa phương, ký hiệu Aα = S-1 A gọi địa phương hóa vành A theo iđean nguyên tố α 2) Vành không S-1 A = { } ⇔ ∈ S ⇔ Nếu O ∈S ⇒ ∀a/s ∈ S-1 A ∃O ∈ S : a.0 = → a/s = 0/1 ⇒ ∀a/s ∈ S-1 A a/s = 0/1 Do 1/1 = 0/1 ⇒ ∃t ∈ S : 1.t = ⇒ t=0 ⇒ 0∈S 3) Xét vành A giao hốn, có Cố định phần tử f thuộc A Đặt S = { f n / n ≥ } ⊂ A = f0 ∈ S S-1 A = {a/fm / a ∈ A} vành thương vành A theo tập nhân S, ký hiệu Af Theo 2) Nếu f lũy linh → ∃ n ∈ N* : f” = → ∈ S → Af = {0} 4) α ∇ A; Xét S = { + x / x ∈ α } 1∈S ∀ (1 + x), (1 + y) ∈ S; (1 + x) (1 + y) = + (x + y + xy) ∈ S (do x + y + xy ∈S) → S tập nhân A S-1 A vành thương vành A theo tập nhân S 1.3 Môđun thương : Nếu thay vành R định nghĩa S-1 R M R mô đun, ta 76 Chương III { ( ) } S-1M = m= m,s / s ∈ M,s ∈ S với phép toán (+), (•) định nghĩa tương tự, ta thu s -1 (S M, +, •) Khi S-1 M xem môdun S-1 R gọi môđun thương môđun M theo tập nhân S p Trong trường hợp đặc biệt S = R - α với αR ta ghi S-1 M = Mα 1.4 Đồng cấu cảm sinh tính chất: * Cho u : M → N đồng cấu R mơđun Khi dó u cảm sinh đồng cấu : S-1 U : S-1 M → S-1 N m/s → u (m)/s _1 đồng cấu S R mơđun u v * M→N→ N' • S-1 (v.u) S-1 M → S-1N’ m/s → (v.u) (m)/s = v(u(m))/s • (S-1 V) (S-1 u) : S-1 M → S-1 N’ m/s → v(u(m))/s ⇒ S-1 (v.u) = (S-1 v) (S-1 u) Qua đây, ta rút mệnh đề sau : Mênh đề 4.1 Cho dãy khớp R mơđun : M’ f M s-1f Khi đó, dãy S-1 M’ S-1M M s-1f g M’’ S-1M” dãy khớp S-1 R mô đun Hệ 4.1 Cho N, P môđun cùa M (R môđun) Khi ta có (i) S-1 (N + P) = S-1 N + S-1 P (ii) S-1 (N ∩ P) = S-1 N ∩ S-1 P (iii) S-1 (M/N) = S-1M/S-1 N 77 Chương III 1.5 Tính chất địa phương : Mênh đề 4.2 p Cho α  R M R mơđun Khi mệnh đề sau tương đương : (i) M = p ∀ αR (ii) M α = m (iii) M β = ∀ β R Chứng minh mệnh đề hệ tìm thấy [2] trang 52, 53 55 nên chúng tơi khơng trình bày lại II VÀNH CÁC THƯƠNG CỦA VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐI : Ở §1 Chúng ta biết : Vành vành dẹt tuyệt đối không luôn vành dẹt tuyệt đối vành thương vành dẹt tuyệt đối theo idean vành dẹt tuyệt đối Như liệu vành thương vành dẹt tuyệt đối theo tập nhân có vành dẹt tuyệt đối hay khơng? Mệnh đề sau nói rõ điều Mênh đề 4.1 ; Cho S nhân vành R Nếu R vành dẹt tuyệt đối S -1 R vành dẹt tuyệt đối Chứng minh : r /s ∈ R, s ∈ S S−1R = r { } S⊂ R ∀ r/s ∈ S-1 R ta cần chứng minh (r/s) = ((r/s)2) r∈R R vành dẹt tuyệt đối → ∃x ∈ R : r = r2x → r/s = r2 x/s = [(r/s)2] xs = (r/s)2 (xs/1) → r.s ∈ ((r/s)2) 78 Chương III → (r/s) ⊂ ((r/s) ) (1) Mặt khác (r/s) ∈ (r/s) ((r/s)2) ⊂ (r/s) (2) (1) (2) suy : (r/s) = ((r/s)2) Vậy S~'R vành dẹt tuyệt đối : Sau rút định lý quan trọng nói lên định nghĩa tương đương khác vành dẹt tuyệt đối Định lý 4.1 Cho R vành R vành dẹt tuyệt đối ⇔ Rα trường iđean tối đại α Chứng minh : R α = {r/s / r ∈ R, s ∈ α} ⇒ ∀r/S ∈ R α , r/s ≠ Ta cần chứng minh r/s khả nghịch Rα r ∈ α Có r ∈ R →  r ∈ R − α r ∈ α → r ∈ S (S= R − α) 79 Chương III Do : r s (sx rx) = rxs srx = → r/s khả nghịch Rα • Nếu r ∈ R - α → e ∈ S → (r/s) (s/r) = → r/s khả nghịch Rα Vậy Rα trường m ⇐) Rα trường, ∀α  R Chứng minh R vành dẹt tuyệt đối Lấy X thuộc R Ta cần chứng minh : (x) = (x2) ⇔ Chứng minh (x) = (x ) −1   Ta có: S−1 (x)  ≅ S s −1 với S tập nhân R S (x )  (x )  (hệ 4.1 chương III) Mà  −1 x S (x) =      (do Rα trường)   x2    x    x  S−1 (x =   ≅     =            → S−1 (x) → S−1 (x) → = S-1(x2) ≅   S−1  (x)  (x )   ≅ →  (x)   (x )   α = ∀α  R → (x) = (mệnh đề 4.2 chương III) → (x) = (x2) → R vành dẹt tuyệt đối S−1 (x ) (x ) m 80 Chương III §5 Phổ nguyên tố vành dẹt tuyệt đối Bây trình bày tính chất sâu sắc thú vị phổ nguyên tố vành Định lý 5.1 : Cho vành R Khi khẳng định sau tương đương : 1) Vành thương R/rad R vành dẹt tuyệt đối 2) Một iđean nguyên tố vành iđean tối đại 3) Spec R T1 - không gian (tất tập hợp điểm tập đóng) 4) Phổ R không gian Hausdorff (T2 - không gian) Chứng minh : ) ⇒ 2) Vành R/rad R vành dẹt tuyệt đối Chứng minh : Một iđean nguyên tố vành R đối đại p m Lấy α  R tùy ý Chứng minh α  R Ta lại có R/rad R vành dẹt tuyệt đối nên : → (a + rad R) = ((a + rad R)2) = (a2 + rad R) → a + rad R = (a2 + rad R) (b + rad R) với b ∈ R → a – a2b rad R ∈ → a(1 – ab) rad R ∈ Mà rad R ⊂ α a(1 − ab) ∈ α  → p  α  R, a ∉ α  − ab ∈ α  →  Mà α ⊂ β  81 Chương III − ab ∈β   a ∈β → ab ∈β  → 1∈β → β =R 2) => 3) Một iđean nguyên tố vành R iđean tối đại chứng minh Spec R T1 - không gian Lấy α x iđean nguyên tố vành R Ta cần chứng minh (x) = (x) → p T a c ó αx  R m → αx  R → (α x ) = α x → (x) = (x) 3) => 2) Spec R T1 - không gian Chứng minh iđean nguyên tố vành R iđean đại Hiển nhiên (do mệnh dề 2.4 chương I) 1) => 4) Vành thương R/rad R vành dẹt tuyệt đối Chứng minh phổ Ria không gian Hausdorff (T2 - không gian) Lấy x,y e Spec R, x ≠ y Ta cần chứng minh : tồn lân cận điểm X lân cận điểm y cho lân cận rời : p Ta có x ≠ y ⇒ α x ≠ α y với α x , α y  R Giả sử diều thứ xảy ra, nghĩa ∃a ∈ α x , a ∉ α y Gọi (a) = (a + rad R) (a)  R/rad R R /rad R vành dẹt tuyệt đối ∃x ∈ R/rad R → a = a 2x Đặt e = ax → e phần tử lũy đẳng vành R/rad R ( e ) = ( x ) (Chứng minh tương tự định lý 2.1 chương III) Mặt khác e(1 − e) = = e − e2 82 Chương III = e(1 − e) ∈ radA e(1 − e) = f (f lũy linh) e(1 − e) e ∉ α y Có  P αx  R →1 − e ∉ α x (vì − e ∈ α x → ∈ α x vô lý) e ∈ α x  Vậy có : X e lân cận mở y X1-e lân cận mở X Và X e ∩ X 1-e = X e(1 -e) (Mệnh đề 2.2 chương I) = Xr =∅ (Mệnh đề 2.2 chương I) Suy Spec R T2 - không gian 4) ⇒ 3) phổ R không gian Hausdorff Chứng minh Spec R T -không gian Điều hiển nhiên định nghĩa T - không gian T2 - không gian 2) ⇒ 1) Một iđean nguyên tố vành R iđean tối đại R Chứng minh R/rad R vành dẹt tuyệt đối Trước hết ta có nhận xét : → → → p Với S tập nhân vành R, α  S, α ∩ S = ∅ S-1α iđean nguyên tố vành S-1R α ∩ S = ∅ Thật : Có → 0∉S  0∈α  → Xét S = {s = s + α / s ∈ S} S tập nhân vành R α p Mà α  R → R α miền nguyên → S -1( R α ) vành trường thương miền nguyên R/a → S -1( R α ) miền nguyên −1 Mà S -1 ( R α ) ≅ S R −1 S α −1 → S R −1 miền nguyên S α 83 Chương III → P S−1  S−1R R → S−1 R đồng cấu vành r→ r Mặt khác ta có : tương ứng S-1 : Do ta có bổ đề sau : Bổ đề 5.1 : Cho S tập nhân vành R, o ∉ S Khi đó, có tương ứng 1-1 tập hợp iđean nguyên tố vành S-1R với iđean nguyên tố vành R không giao với S Chứng minh : Đặt Do nhận xét ta có ánh xạ Ta chứng minh Ψ song ánh * Ψ toàn ánh : p Lấy β  S−1R , β tùy ý Xét = α (S−1 ) −1 (β) p Theo định lý 1.1, chương I α  R Ta kiểm tra α ∩ S = ∅ Nếu α ∩ S ≠ ∅ ∃s ∈ α ∩ S → s ∈ α →  s ∈ S → s ≠  1= s ∈ β  s → β =S−1R vơ lý Do α ∩S = ∅ → α ∈P -1 -1 • ψ (α) = ψ ((S ) (β)) = S-1[(S-1)-1(β)] ⊂ β • Mặt khác ∀ x s ∈ β → = x x s.s ∈ β p (vì β  S−1R) 84 Chương III Suy Vậy: * Ψ đơn ánh : Giả sử ∃a ∈ 𝛼 a ∉ 𝛼1 , ta chứng minh : a/1 ∈ S-1𝛼 a/1 ∉ S-1 𝛼 Vậy a/1 ∉ S-1𝛼1 Suy S-1𝛼1 ≠ S-1𝛼 Kết luận Ψ song ánh Chứng minh 2) ⇒ 1) 85 Chương III Lấy • • • tùy ý Ta cần chứng minh (𝑅𝑟𝑎𝑑 𝑅 )𝑎 trường Xét đồng cấu vành 𝜑 : Xét S = R – 𝛼 → S tập nhân R O ∉ S (do bổ đề 5.1) Suy 𝑅𝛼 có I đean nguyên tố S -1 𝛼 → 𝑅𝛼 có iđean tối đại S -1 𝛼 Nên rad 𝑅𝛼 = S -1 𝛼 Là vành dẹt tuyệt đối Như biết, mệnh đề 2.1 chương III ta có : Vành thương vành dẹt, tuyệt đối theo iđean vành dẹt tuyệt đối Vì ta ln có R/ radR vành dẹt tuyệt đối R vành dẹt 86 Chương III tuyệt đối Do dó với (định lý 5.1 ta có hệ sau : Hệ 5.1 : Nếu vành R vành dẹt, tuyệt đơi ta có : 1) Một iđean nguyên tố vành R iđean tối đại 2) SpecR T - không gian 3) Phổ R không gian Hausdorff (T - không gian) Hệ 5.2 : Nếu R vành dẹt tuyệt dối SpecR compact hồn tồn khơng liên thơng Chứng minh * SpecR compact : hiển nhiên định lý 2.1 chương I * Spec R hồn tồn khơng liên thơng : Ta cần chứng minh : ∀ B ⊂ SpecR, card B > B khơng liên thơng ↔ B có chứa tập vừa đóng, vừa mở Nên B khơng liên thơng Vậy : SpecR hồn tồn không liên thông Như vậy, không gian tôpô Zarisky vành dẹt tuyệt đối không gian compact, không gian tách (T o, T , T - không gian) hồn tồn khơng liên thơng Đây tổng hợp hệ 5.1, hệ 5.2 chương III mà sở xuất phát kiến thức khơng gian tơpơ Zariky chương I, tích xoắn môđun dẹt chương II vành d ẹ t tuyệt đối chương III 87 Chương III TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] MacLanes Homology, Berlin-Gottingen – eidelberg, Springer, 1936 [2] M.F Atiyah – frs, I.G Macdonald, Introduction to commutative Algebra, Addison – Wesley publishing company , reading, Massachusetts, 1969 [3] Hồn Xn Sính, Đại số cao cấp – Đại số đại cương, Nhà Xuất Bản Giáo dục, 1977 [4] Sze – Tsenhu, Nhập môn đại số đồng điều [5] Ngơ Thúc Lanh, Đại số (giáo trình sau đại học), Nhà Xuất Bản Giáo dục, 1985 88 ... M R mô? ?un dẹt Ta có : R R m? ?đun dẹt Và M ⊗ N R mô? ?un dẹt ∀N R mô? ?un dẹt → M ⊗ R mô? ?un dẹt � → M R mô? ?un dẹt Mà M ⊗ R ≅ M ⇒ ) Mà R mô? ?un dẹt � Chứng minh M ⊗ N R mô? ?un dẹt N R mô? ?un dẹt tùy ý... m? ?đun dẹt III M? ?ĐUN DẸT VÀ TÍCH TEN XƠ : Mệnh đề 2.3 M R m? ?đun dẹt ⇔ tích tenxơ M với R mô? ?un dẹt mô? ?un dẹt Chứng minh : ⇐) M R mô? ?un thỏa mãn M ⊗ N mô? ?un dẹt, ∀N R mô? ?un dẹt Chứng minh M R mô? ?un... nghiên cứu vành dẹt tuyệt đối chương III Chương II : Trình bày nghiên cứu mô? ?un dẹt Trong chương này, định nghĩa tương đương mô? ?un dẹt, mối quan hệ mô? ?un dẹt với mô? ?un lự do, mô? ?un xạ ảnh, mô? ?un không