Khi thùc hiÖn mçi ngµy ®éi khai th¸c dîc 57 tÊn than... lîng muèi cã trong dung dÞch míi lµ 6%..[r]
(1)Ngày soạn :……… Chủ đề I
PHâN TíCH ĐA THức THàNH NHâN Tử
A MơC TIªU :
Sau học xong chủ đề này, HS có khả năng:
BiÕt thÕ phân tích đa thức thành nhân tử
Hiểu phơng pháp phân tích đa thức thành nh©n tư thêng dïng
Vận dụng đợc phơng pháp để giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, tìm nghiệm đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức
B THêI L ỵNG : tiÕt C. THùC HIƯN :
Câu hỏi : Thế phân tích đa thức thành nhân tử?
Tr li: Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức khác
Câu hỏi 2: Trong cách biến đổi đa thức sau đây, cách phân tích đa thức thành nhân tử? Tại cách biến đổi cịn lại khơng phải phân tích đa thức thành nhân tử?
2x2 + 5x = x(2x + 5) 3 (1)
2x2 + 5x = x
(2x+5−3
x) (2)
2x2 + 5x = (x2+5 2x −
3
2) (3)
2x2 + 5x = (2x 1)(x + 3) (4)
2x2 + 5x = 2 (x −1
2) (x + 3) (5)
Lời giải : Ba cách biến đổi (3), (4), (5) phân tích đa thức thành nhân tử Cách biến đổi (1) khơng phải phân tích đa thức thành nhân tử đa thức cha đợc biến đổi thành tích đơn thức đa thức khác Cách biến đổi (2) khơng phải phân tích đa thức thành nhân tử đa thức đợ biến đổi thành tích đơn thức biểu thức đa thức
Câu hỏi : Những phơng pháp thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử?
Trả lời: Ba phơng pháp thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử là: Ph-ơng pháp đặt nhân tử chung, phPh-ơng pháp dùng đẳng thức phPh-ơng pháp nhóm nhiều hạng tử
Tuần : 1
PHơNG PHáP ĐặT NHâN Tử CHUNG
Cõu hi : Ni dung phơng pháp đặt nhân tử chung gì? Phơng pháp dựa tính chất phép tốn đa thức? Có thể nêu công thức đơn giản cho phơng pháp hay không?
(2)Phơng pháp dựa tính chất phân phối phép nhân phép cộng đa thức
Một công thức đơn giản cho phơng pháp là: AB + AC =
A(B + C)
Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 3x2 + 12xy ; b) 5x(y + 1) 2(y + 1) ; c) 14x2(3y 2) + 35x(3y 2) +28y(2 3y)
Tr¶ lêi:
a) 3x2 + 12xy = 3x.x + 3x 4y = 3x(x + 4y)
b) 5x(y + 1) 2(y + 1) = (y + 1) (5x 2)
c) 14x2(3y 2) + 35x(3y 2) +28y(2 3y) = 14x2(3y2) + 35x(3y2) 28y(3y 2)
= (3y 2) (14x2 + 35x 28y).
Bài
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a, 5x – 20y ; b, 5x( x – ) – 3x( x – ) ; c, x( x + y ) – 5x – 5y
Tr¶ lêi:
a, 5x – 20y = ( x – 4y ) ; b, 5x ( x – ) – 3x ( x – ) = x ( x – ) ( – )
= 3x ( x – ) c, x ( x + y ) – 5x – 5y = x( x+ y ) – ( 5x + 5y )
= x( x + y ) – ( x + y ) = ( x + y ) ( x – ) Bµi3
Tình giá trị biểu thức sau: a, x2 + xy + x x = 77 y = 22 ;
b, x( x – y ) +y( y – x ) t¹i x = 53 x = 3; Trả lời:
a, x2 + xy + x = x ( x + y + ) = 77 ( 77 + 22 + )
= 77 100 = 7700 b,x( x – y ) +y ( y – x ) = x ( x – y ) - y( x – y )
= ( x – y ) ( x – y ) = ( x – y )2
Thay x = 53 , y = ta cã ( x – y )2 = ( 53 – )2 = 2500
Bµi 4
Chøng minh r»ng: n2( n + ) + 2n( n + ) lu«n chia hết cho với số
nguyên n Bài gi¶i
Ta cã n2( n + ) + 2n( n + ) = n ( n + )( n + ) ví n Z (Vì đây
là tích số nguyên liên tiếp V) Bài tập tự giải:
Bài 1.1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử phơng pháp đặt nhân tử chung a, 3x ( x – a ) + 4a ( a – x )
(3)c, x2 ( y2 + z ) + y3 + yz
d, 3x2 ( x + ) – 5x ( x + )2 + ( x + )
Bài 1.2 Đánh dấu x vào câu trả lời
Khi rót gän biÓu thøc: ( x – ) ( x2 + x + ) – x ( x – )( x + )
Các bạn Tuấn, Bình, H¬ng thùc hiƯn nh sau:
Tn: ( x – ) ( x2 + x + ) – x ( x – )( x + )
= x3 – - x ( x2 – ) = x3 – - x3 + x = x –
B×nh: ( x – ) ( x2 + x + ) – x ( x – )( x + )
= x3 + x2 + x – x2 – x – – ( x2 – x ) ( x + )
= x3 – – ( x3 + x2 –x2 – x ) = x3 – – x3 + x = x –
H¬ng: ( x – ) ( x2 + x + ) – x ( x – )( x + )
= ( x – )
2
x x – x x
= ( x – ) ( x2 + x + – x2 – x )
= ( x – ) = x – Bạn thực đúng:
A TuÊn C H¬ng B Bình D B Cả ba bạn 2
PH ơNG PHáP DùNG HằNG ĐẳNG THứC
Câu hỏi: Nội dung phơng pháp dùng đẳng thức gì?
Trả lời: Nếu đa thức vế đẳng thức dùng
hằng đẳng thức để biểu diễn đa thức thành tích đa thức Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 4x + ; b) 8x3 + 27y3 ; c) 9x2 (x y)2
Tr¶ lêi:
a) x2 4x + = (x 2)2
b) 8x3 + 27y3 = (2x)3 + (3y)3 = (2x + 3y) [(2x)2 (2x)(3y) + (3y)2]
= (2x + 3y) (4x2 6xy + 9y2)
c) 9x2 (x y)2 = (3x)2 (x y)2 = [ 3x (x y)] [3x + (x y)]
= (3x x + y) (3x + x y) = (2x + y) (4x y) Bài
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a, 9x2 + 6xy + y2 ; b, 4x2 – 25 ; c, x6 – y6 ; d, ( 3x + )2 – (x +1 )2
tr¶ lêi:
a, 9x2 + 6xy + y2 = ( 3x )2 + 3x y + y2
= ( 3x + y )2
b, 4x2 – 25 = (2x )2 – 52 = ( 2x – )( 2x + ).
c, x6 – y6 = ( x2 )3 – ( y2 )3 = ( x2 – y2 ) ( x4 + x2 y2 + y4 )
= ( x + y) ( x – y ) ( x4 + x2 y2 + y4 )
Bài
Tìm x, biết:
(4)Tr¶ lêi:
a, x3 – 0,25x = x ( x2 – 0,25 ) = x ( x – 0,5)( x + 0,5 ) = 0 x = 0
Hc x – 0,5 = x = 0,5 Hc x + 0,5 = x = - 0,5 b, x2 – 10x = - 25 x2 – 10 x + 25 =
( x – )2 = 0.
x = Bài tập tự giải:
Bi 1.2: Phõn tích thành nhân tử cách dùng đẳng thức: a, x2 + x + y2 + y + 2xy
b, - x2 + 5x + 2xy – 5y – y2
c, x2 – y2 + 2x +
d, x2 + 2xz – y2 + 2ty + z2 – t2
Ký dut gi¸o ¸n
Ngày / 2009
Tuần 2
MơC TIªU :
Sau học xong chủ đề này, HS có khả năng:
BiÕt thÕ phân tích đa thức thành nhân tử
Hiểu phơng pháp phân tích đa thức thành nh©n tư thêng dïng
Vận dụng đợc phơng pháp để giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, tìm nghiệm đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức 1 PHƯƠNG PHáP NHóM NHIềU HạNG Tử.
C©u hái : Néi dung phơng pháp nhóm nhiều hạng tử gì?
Trả lời: Nhóm nhiều hạng tử đa thức cách thích hợp để
đặt đợc nhân tử chung dùng đợc đẳng thức đáng nhớ Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 2xy + 5x 10y ; b) x (2x 3y) 6y2 + 4xy ; c) 8x3 + 4x2 y3 y2
Tr¶ lêi:
a) x2 2xy + 5x 10y = (x2 2xy) + (5x 10y) = x(x 2y) + 5(x 2y)
= (x 2y) (x + 5)
b) x (2x 3y) 6y2 + 4xy = x(2x 3y) + (4xy 6y2) = x(2x 3y) + 2y(2x 3y) =
= (2x 3y) (x + 2y)
(5)= (2x y) [(2x)2 + (2x)y + y2] + (2x y) (2x + y)
= (2x y)(4x2+ 2xy + y2) + (2x y) (2x +y)
= (2x y (4x2 + 2xy + y2 + 2x + y)
Bài
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a,5x 5y + ax – ay ;
b, a3 – a2x – ay + xy ;
c, xy( x + y ) +yz( y + z ) + xz( x + z ) + 2xyz; Tr¶ lêi:
a,5x – 5y + ax – ay = (5x – 5y ) + ( ax – ay) = 5( x – y ) + a ( x – y )
= ( x – y ) ( + a );
b, a3 – a2x – ay + xy = (a3 – a2x ) – ( ay - xy ) = a2 ( a – x ) – y ( a – x )
= ( a – x )(a2 – )
= ( a – x )( a + ) ( a – ) c, xy( x + y ) +yz( y + z ) + xz( x + z ) + 2xyz
= xy ( x + y ) + xyz + yz ( y + z ) + xyz + xz ( x + z ) + xyz = xy x y xyz yz y z xyz xz x z xyz = xy ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) + xz ( x + y + z )
= ( x + y + z ) ( xy + yz + xz )
Bài tập tự giải:
Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử cách nhóm h¹ng tư: a, x4 – x3 – x + 1.
b, x2y + xy2 – x – y
c, ax2 + ay – bx2 – by
d, 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z
2 PHâN TíCH BằNG CáCH PHốI HợP NHIềU PH ơNG PHáP
Câu hỏi : Khi cần phân tích đa thức thành nhân tử, đợc dùng riêng rẽ phơng pháp hay dùng phối hợp phơng pháp đó?
Trả lời: Có thể nên dùng phối hợp phơng pháp biết
Bµi : Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) a3 a2b ab2 + b3 ; b) ab2c3 + 64ab2 ; c) 27x3y a3b3y
Tr¶ lêi: :
a) a3 a2b ab2 + b3 = a2 (a b) b2 (a b) = (a b) (a2 b2)
= (a b)(a b)(a + b) = (a b)2(a + b)
b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3 64) = ab2(c3 + 43) = ab2(c + 4)(c2 4c + 16)
c) 27x3y a3b3y = y(27 a3b3) = y([33 (ab)3]
= y(3 ab) [32 + 3(ab) + (ab)2] = y(3 ab) (9 + 3ab + a2b2)
Bài
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a, x3 x + 3x2 y + 3x y2 +y3 – y ;
(6)Tr¶ lêi:
a, x3 – x + 3x2 y + 3x y2 +y3 – y = ( x3 + 3x2 y + 3x y2 +y3 ) – ( x + y )
= ( x + y )3 – ( x + y )
= ( x + y )
2
x y
= ( x + y ) ( x + y – ) ( x + y + ) b, x2 – 10 xy + 5y2 – 20 z2 = ( x2 – 2xy + y2 – 4z2 )
=
2 2
x – 2xy y – 4z
=
2 2
x – y – 4z
= ( x – y – 2z ) ( x – y + 2z )
Ký duyệt giáo án Ngày 05/10/2009
Ngày soạn : Tuần 3 MụC TIêU :
Sau học xong chủ đề này, HS có kh nng:
Biết phân tích đa thức thành nhân tử
Hiểu phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thờng dùng
Vận dụng đợc phơng pháp để giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, tìm nghiệm đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức
1 PH ơNG PHáP TáCH HạNG Tử, THêM BớT CùNG MộT HạNG Tử Câu hỏi : Ngồi phơng pháp thờng dùng nêu trên, có phơng pháp khác đợc dùng để phân tích a thc thnh nhõn t khụng?
Trả lời: Còn có phơng pháp khác nh: phơng pháp tách hạng tử thành
nhiều hạng tử, phơng pháp thêm bớt hạng tử Bài : Phân tích thành nhân tử
a) 2x2 3x + 1 ; b) y4 + 64
(7)a) 2x2 3x + = 2x2 2x x + = 2x(x 1) (x 1) = (x 1) (2x 1)
b) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 16y2 = (y2 + 8)2 (4y)2
= (y2 + 4y) (y2 + + 4y)
Bµi :
Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: a, x2 + 5x – ; b, 2x2 + 3x – 5
Tr¶ lêi:
a, x2 + 5x – = x2 – x + 6x –
= ( x2 – x ) + ( 6x – )
= x ( x – ) + ( x – ) = ( x – ) ( x + )
b, 2x2 + 3x – = 2x2 – 2x + 5x – = ( 2x2 – 2x ) + ( 5x – )
= 2x ( x – ) + ( x – ) = ( x – ) ( 2x + )
Bài
Tìm x, biết:
a, 5x ( x – ) = x – ; b, ( x + ) – x2 – 5x = 0
Tr¶ lêi:
a, 5x ( x – ) = x – 5x ( x – ) – ( x – ) =
( x – ) ( 5x – ) = ( x – ) = x =
Hc ( 5x – ) = x = 1/5
Bài tập tự giải:
Bài 5.1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử cách thêm bớt mét h¹ng tư
a, x8 + x4 + b, x8 + 3x4 +
2 VậN DụNG PHâN TíCH ĐA THứC THàNH NHâN Tử Để LàM
CáC DạNG TOáN
Câu hỏi: Việc phân tích đa thức thành nhân tử có ích cho việc giải số loại toán nào?
Trả lời: Việc phân tích đa thức thành nhân tử có ích cho việc giải toán tìm nghiệm đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức
Bài : Giải phơng trình
a) 2(x + 3) x(x + 3) = ; b) x3 + 27 + (x + 3) (x 9) = ; c) x2 + 5x = 6
Tr¶ lêi:
a) Vì (x + 3) x(x + 3) = (x + 3) (2 x) nên phơng trình cho trở thành (x + 3)(2 x) = Do x + = ; x = 0, tức x = 3 ; x =
phơng trình có nghiệm x1 = ; x2 = 3
b) Ta cã x3 + 27 + (x + 3)(x 9) = (x + 3)(x2 3x + 9) + (x + 3)(x 9)
= (x + 3)(x2 3x + + x 9) = (x + 3)(x2 2x) = x(x + 3)(x 2)
Do phơng trình trở thành x (x + 3)(x 2) = Vì x = ; x + = ; x
2 = tøc lµ phơng trình có nghiệm: x = ; x = 3 ; x =
(8)x2 x + 6x = x(x 1) + 6(x 1) = (x 1)(X + 6) nên phơng trình cho trở
thành (x 1)(x + 6) = Do x = ; x + = tức x = ; x = 6
Bµi : Thực phép chia đa thức sau cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tö:
a) (x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1) ; b) (x2 5x + 6) : (x 3) ; c) (x3 + x2 + 4):(x +2)
Trả lời:
a) Vì x5 + x3 + x2 + = x3(x2 + 1) + x2 + = (x2 + 1)(x3 + 1) nªn
(x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1) = (x2 + 1)(x3 + 1) : (x3 + 1) = x2 + 1
b) V× x2 5x + = x2 3x 2x + = x(x 3) 2(x 3) = (x 3)(x 2) nªn
(x2 5x + 6) : (x 3) = (x 3)(x 2) : (x 3) = x 2
c) Ta cã x3 + x2 + = x3 + 2x2 x2 + = x2 (x + 2) (x2 4)
= x2 (x + 2) (x 2) (x + 2) = (x + 2)(x2 x + 2)
Do (x3 + x2 + 4) : (x +2) = (x + 2)(x2 x + 2) : (x + 2) = x2 x + 2
Bµi : Rót gọn phân thức
x y(2x 3)
¿ ¿
a¿ ¿
; b) 2x
2
+xy− y2
2x2−3 xy+y2 ; c)
2x2−3x+1 x2+x −2
Tr¶ lêi:
a)
x − y(2x −3)
¿ ¿ ¿
b) 2x
2
+xy− y2 2x2−3 xy+y2 = 2x2+2 xy−xy− y2
2x2−2 xy−xy +y2=
2x(x+y)− y(x+y) 2x(x − y)− y(x − y)=
(x+y)(2x − y) (x − y)(2x − y)=
(x+y) (x − y)
c) 2x
2
−3x+1 x2+x −2 =
2x2−2x − x+1 x2− x+2x −2 =
2x(x −1)−(x −1) x(x −1)+2(x −1)=
(x −1)(2x −1) (x −1)(x+2) =
2x 1 x+2
BàI TậP NâNG CAO.
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 + 6x2 + 11x +
b, Híng dÉn gi¶i:
x3 + 6x2 + 11x + = x3 + x2 + 5x2 + 5x + 6x +
= ( x3 + x2) + ( 5x2 + 5x ) + ( 6x + )
= x2 ( x + ) 5x ( x + ) + ( x + )
= ( x + ) ( x2+ 5x + )
= ( x + ) ( x2 + 2x + 3x + )
= ( x + )
2
x 2x 3x
= ( x + ) x x x = ( x + ) ( x + ) ( x + )
(9)Bµi 2: T×m x biÕt:
a, x3 - 5x2 + 8x – = 0;
b, (x2 + x ) ( x2 + x + ) = 6
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x3 + 6x2 + 13x – 42.
Ký duyệt giáo án Ngày 12/10/2009
CHủ Đề II : PH ơNG TRìNH BậC NHấT,
PH ơNG TRìNH TíCH, PH ơNG TRìNH CHứA ẩN MẫU Và CáCH GIảI Loại chủ đề: Bám sát
A MUC TI£U :
Sau học xong chủ đề này, HS có khả năng:
(10) Hiểu phơng pháp giải phơng trình
Giải thành thạo phơng trình bậc nhất, phơng trình tích, phơng trinh chứa ân mẫu
B THờI L ỵNG : tiÕt
C. THùC HIƯN :
I Ph ơng trình t ơng đ ơng, ph ơng trình bậc ẩn cách giải
Câu hỏi 1: Thế hai phơng trình tơng đơng? viết ký hiệu hai pt tơng đơng Trả lời: Các phơng trình A (x) = B(x) C (x) = D(x) có tập nghiệm nhau, ta bảo hai phơng trình tơng đơng ký hiệu: A(x) = B(x) C(x) = D(x)
Bài 1: Trong cặp phơng trình cho dới cặp phơng trình tơng đơng: a, 3x – = ( 3x – ) ( x + ) =
b, x2 + = vµ ( x + )= 3x – 9.
c, 2x – = x /5 + = 13/10
Giải:
a, Hai phơng trình khơng tơng đơng, tập nghiệm phơng trình thứ S =
,
nghiƯm cđa phơng trình thứ hai S =
,
b, tập nghiệm phơng trình thứ S = , tập nghiệm phơng trình thứ hai
l S = Vậy hai phơng trình tơng đơng
Chú ý: Hai phơng trình vơ nghiệm đợc coi hai phơng trình tơng đơng c, hai phơng trình tơng đơng có tập hợp nghiệm S =
3
Bài Cho phơng trình ẩn sau:
u(2u + ) = (1) 2x + = 2x – (2)
x2 + = (3)
( 2t + )( t – ) = (4) Hãy chọn kết kết sau:
A, phơng trình (1) với phơng trình (2) B, phơng trình (2) với phơng trình (3).
C, phơng trình (1) với phơng trình (3) D, ba kết A, B, C sai
Trả lời: B Câu hỏi 2:
Phơng trình bậc ẩn có dạng tổng quát nh nào? Nêu cách giải phơng trình bậc ẩn
Tr¶ lêi:
- Phơng trình bậc ẩn số phơng trình có dạng ax + b = a, b số a ví dụ: 3x + = 0.
- Phơng trình bậc ẩn có nghiệm nhÊt x =
b a
- Cách giải: ax + b = ( a ) ax = - b x =
b a
(11)- 0,3t + 0,25 = (2) - 2x +
2
5 y (3) ( 2u – )(u + ) = (4) Phát biểu sau sai:
A, Phơng trình (2) phơng trình bậc ẩn số
B, Phơng trình (1) phơng trình bậc nhất ẩn số C, Phơng trình (3) phơng trình bậc nhất ẩn số D, Phơng trình (4) phơng trình bậc nhất ẩn số
Trả lời: D Câu hỏi 3:
Phát biểu quy tắc chuyển vế quy tắc nhân, lấy ví dụ minh hoạ
Trả lời:
+ Khi chuyn mt hng tử từ vế sang vế phơng trình đổi dấu hạng tử ta thu đợc phơng trình tơng đơng với phơng trình cho
VÝ dô: 3x – = 2x + 3x – 2x = + x =
+ Nếu ta nhân (hoặc chia h) hai vế phơng trình với số khác ta đợc phơng trình tơng đơng
VÝ dô: 2x + = x + = (chia c¶ hai vÕ cho c) Bài 4: Bằng quy tắc chuyển vế hÃy giải phơng trình sau: a, x 2,25 = 0,75 c, 4,2 = x + 2,1 b, 19,3 = 12 – x d, 3,7 – x = Bµi gi¶i:
a, x – 2,25 = 0,75 x = 0,75 + 2,25 x = 3.
b, 19,3 = 12 – x x = 12 – 19,3 x = - 7,3
c, 4,2 = x + 2,1 - x = 2,1 – 4,2 - x = - 2,1 x = 2,1 d, 3,7 – x = -x = – 3,7 -x = 0,3 x = - 0,3
Bài 5: Bằng quy tắc nhân tìm giá trị gần nghiệm phơng trình làm trịn đến chữ số thập phân th ựba (dùng máy tính bỏ túi để tính toán d)
a, 2x = 13 ; b, - 5x = + c, x 3 Híng dÉn:
a, Chia hai vế cho 2, ta đợc
13
1,803
x x
b, Chia hai vế cho – 5, thực phép tính ta đợc x0,647 c, x4,899
Bài Giải phơng trình sau:
a
5 16
2
x x
b
12
3
x x
Híng dÉn:
a
5 16
2
x x
7(5 4) 2(16 1)
14 14
x x
7( 5x – ) = 2( 16x + ) 35x – 28 = 32x +
35x – 32x = + 28
(12) x = 10 b
12
3
x x
4(12 5) 3(2 7)
12 12
x x
4( 12x + ) = ( 2x – ) 48x + 20 = 6x – 21
42x = - 41
Phơng trình ẩn có chứa tham sè
Một phơng trình ngồi chữ để ẩn số (biến số b) cịn có chữ để hệ số đợc gọi phơng trình có chứa tham số Khi giải phơng trình có chứa tham số cần nêu rõ khả xãy Tham số phần tử thuộc tập hợp số nào? Phơng trình có nghiệm không? Bao nhiêu nghiệm? Nghiệm đợc xác định nào? Làm nh gọi giải biện luận phng trỡnh cú cha tham s
Bài Giải biện luận phơng trình có chứa tham số m ( m2- ) x – m2 – 3m = 0.
Híng dÉn:
1 Nếu m2 – 0 , tức m phơng trình cho phơng trình bậc (với
Èn sè x v) cã nghiÖm nhÊt:
2
3
9
m m m
x
m m
2 Nếu m = phơng trình có dạng 0x – 18 = phơng trình vơ nghiệm Nếu m = - 3, phơng trình có dạng 0x + = số thực x R nghiệm
của phơng trình (một phơng trình có vơ số nghiệm nh gọi phơng trình vơ định m)
Bµi tËp tù luyÖn.
Bài 8. Xét xem cặp phơng trình cho dới có tơng đơng khơng? a 2x + = 3x =
9
b 3x + = 2x + vµ 3x + +
1
2
3 x
x x
c
( 2) x x x
vµ 2x ( x ) = 0. Bài 9. Giải phơng trình sau:
a 2x + = 20 – 3x b 2,5y + 1,5 = 2,7y – 1,5 c 2t -
3 5 =
2
3 - t d
1
4 3 u2u Bài 10. Để giải phơng trình
2
1
4
x x
Nam thực nh sau: Bớc 1:
5(2 3) 4(1 )
1
20 20
x x
Bíc 2: 10x – 15 – + 4x = Bíc 3: 14x – 19 =
Bíc 4: 14x = 20 x =
20 10
14 7 .
Bạn Nam giải nh hay sai Nếu sai sai từ bớc nào? A Bớc C Bc
(13)Bài 11. Giải biện luận phơng trình với tham số m
a m( x – ) = – ( m – )x b m( x + m ) = x + c m( m – )x = 2m + d m( mx – ) = x +
II Ph ơng trình tích. Câu hỏi 4.
Viết dạng tổng quát phơng trình tích nêu cách giải Lấy ví dụ? Trả lời:
Phơng trình tích phơng trình có dạng: A(x).B(x) = (1)
Mun giải phơng trình (1) ta giải phơng trình A (x) = B (x) = 0, lấy tất nghiệm tìm đợc từ hai phơng trình
VÝ dô: ( x – )( x + ) = x – = , hc x + = x = vµ x = -1.
TËp hỵp nghiƯm: S = 3; 1
Bài 12 Cho phơng trình: x2 4x = Một bạn học sinh thực bớc giải nh sau:
Bíc 1: x2 – 4x + = + 4.
Bíc 2: ( x – )2 = 9.
Bíc 3: ( x – )2 – = 0.
Bíc 4: ( x – + )( x – – ) = ( x – )( x + ) = 0.
Bíc 5B: x – = 0, hc x + = x = vµ x = -
Tập hợp nghiệm S = 5;
Bạn Học sinh giải nh hay sai Nếu sai sai từ bớc nào? A Bớc C Bớc
B Bớc D Tất bớc
Giải: D
Bài 13 Giải phơng trình sau:
a ( x – )2 – = b ( 2x – )2 – ( x + )2 = 0.
c 2x2 – 9x + = d x3 – x2 – x + = 0.
Híng dÉn:
a ( x – )2 – = ( x – – )( x – + ) = 0.
x – – = hc x – + = x = vµ x = - 2.
TËp hợp nghiệm phơng trình là: S = { 4, - }
b (2x – )2 – ( x + )2 = (2x – – x – )( 2x – + x + ) = 0 ( x – )( 3x + ) = 0.
x – = hc 3x + = x = vµ x =
2
Tập hợp nghiệm phơng trình S = { 4,
}
c 2x2 – 9x + = 2x2 – 2x – 7x + = 0.
(14) x = vµ x =
7 2. TËp nghiƯm cđa phơng trình S = { 1,
7
2}
d x3 – x2 – x + = (x3 – x2) – (x - 1) = 0
x2( x – ) – ( x – ) = 0
( x – ) ( x2 – ) = 0
( x – ) 2 ( x + ) = 0
x – = hc x + = x = vµ x = -1
Tập hợp nghiệm phơng trình S = { 1; -1 } Bµi tËp tù lun.
Bài 14. Giải phơng trình sau: a ( x + )( 2x – )( 3x + ) =
b ( x2 – 2x + )( x + ) = ( x + )( 4x2 + 4x + ).
c x3 + 2x2 – x – = 0.
d 2x3 – 7x2 + 7x – = 0. Bài 15 Giải phơng trình sau:
a x4 + 3x3 – x – = 0.
b x4 + 2x3 – 4x2 – 5x – = 0.
c x4 – 2x3 + x – = 0.
d x4 + 2x3 + 5x2 4x 12 = 0. III Ph ơng trình chứa ẩn mẫu.
Câu hỏi 5: Phơng trình chứa ẩn mẫu phơng trình nh nào? Cho ví dụ?
Trả lời: Phơng trình chứa ẩn mẫu phơng trình có chứa hay nhiều h¹ng tư cã Èn ë mÉu thøc
VÝ dô:
3 1 x x x
(1)
Câu hỏi 6: Điều kiện xác định phơng trình gì? Cho ví dụ
Trả lời: Điều kiện xác định (ĐKXĐ ẹ) phơng trình có chứa ẩn mẫu tập hợp giá tri ẩn để tất mẫu thức phơng trình khác
VÝ dơ: ph¬ng tr×nh
3 1 x x x
có ĐKXĐ x? 1.
Câu hỏi 7: Nêu bớc để giải phơng trình chứa ẩn mẫu thức? Trả lời: Các bớc cần thiết giải phơng trình chứa n mu thc:
Bớc 1: Tìm ĐKXĐ phơng trình
Bc 2: Quy ng mu thc ri khử mẫu thức chung
Bớc 3: Giải phơng trình va nhn c
Bớc 4: Loại nghiệm phơng trình bớc không thoà mÃn ĐKXĐ kết luận
Bài 16 Giải phơng trình: a
2
1 3
x x
x x x x
b
3
4
x x
x x x x
Híng dÉn: a
2
1 3
x x
x x x x
(15)x + 3? tơng đơng x ? x ? -
MTC: x2 + 2x – v× x2 + 2x – = ( x – )( x + ).
Quy đồng mẫu thức phân thức phơng trình khử mẫu ta đợc: 2x( x + ) + = ( 2x – )( x – ) 2x2 + 6x + = 2x2 – 7x + 5
13x = x =
1 13.
Nghiệm phơng trình cuối thỗ mãn ĐKXĐ Vậy nghiệm phơng trình cho x =
1 13.
b
3
4
x x
x x x x
3
4 ( 2)( 4)
x x
x x x x
.
ĐKXĐ: x? x? Quy đồng khử mẫu ta đợc phơng trình: ( x + )( x – ) + ( x + )( x – ) = -
2x2 – 4x = x = vµ x =
x = khơng thỗ mãn ĐKXĐ (loại l) , x = thỗ mãn ĐKXĐ Vậy phơng trình cho có nghiệm x =
(16)
A MơC TIªU :
Sau học xong chủ đề này, HS có khả năng:
- Nắm đợc bớc giải toán tốn cách lập phơng trình
- Cũng cố bớc giải tốn cách lập phơng trình, ý khắc sâu b-ớc lập phơng trình (chọn ẩn sốc, phân tích tốn, biểu diễn đại lợng, lập phơng trình
- Vận dụng để giải dạng tốn bậc nhất: Tốn chuyển động,
to¸n suất, toán quan hệ số, toán có nội dung hình học, toán phần trăm B THờI L ợNG : tiÕt
C. THùC HIÖN :
I KIÕN THứC CăN BảN.
Quá trình giải toán cách lập phơng trình gồm b-ớc sau:
Bớc 1: lập phơng trình.
- Chn n s v đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số
- Biểu diễn đại lợng cha biết qua ẩn số đại lợng biết - Lâùp phơng trình biểu thị mối tơng quan đại lợng Bớc 2: Giải phơng trình thu đợc bớc
Bớc 3: Kiểm tra nghiệm phơng trình vừa giải để loại nghiệm không thoả mãn điều kiện ẩn Kết luận toán
II CáC Ví Dụ GIảI TOáN
1 Toỏn chuyn ng. (Đối với dạng toán GV nên hớn dẫn HS lập bảng để phân
tÝch Đ)
Bài tốn 1: Trên quảng đờng AB dài 30 km, ngời từ A đến C (nằm A B n) với vận tốc 30 km /h, từ C đến B với vận tốc 20 km / h Thời gian hêựt quảng đờng AB 10 phút Tính quảng đờng AC CB
Bài giải:
GV hớng dẫn HS lập bảng sau:
Gọi quảng đờng AC x ( km ) (Điều kiện ẹ< x < 30 )
Ta có quảng đơng CB 30 – x ( km ) Thời gian ngời hết quảng đờng AC CB lần lợt x
30 vµ
30− x
20 Theo bµi ta có phơng trình:
x
30 +
30− x
20 =
7
Giải phơng trình ta đợc x = 20 (TMĐK T)
Vận tốc ( km/h ) Quảng đờng ( km ) Thời gian (giờ g)
Trên quảng đờng AC 30 x x
30
Trên quảng đờng CB 20 30 - x 30− x
(17)Vậy quảng đờng AC CB 20 km 10 km Bài tốn 2:
Một tơ từ Hà Nội đến Thanh Hố với vận tốc 40 km / h Sau nghỉ lại Thanh Hố, tơ lại từ Thanh Hố vè Hà Nội với vận tóc 30 km /h Tổng thời gian lẫn 10 45 phút (kể thời gian nghỉ lại Thanh Hoá k) Tính quảng đờng Hà Nội – Thanh Hố
Bµi gi¶i:
Vận tốc ( km/h ) Quảng đờng ( km ) Thời gian (giờ g)
HN – TH 40 S S
40
TH - HN 30 S S
30
Gọi quảng đờng từ Hà Nội đến Thanh Hoá S ( Km ) (ĐK ẹ:s > ) Thời gian lúc từ Hà Nội đến Thanh Hoá S
40
Thêi gian lóc vỊ lµ S
30
Tỉng thời gian lẫn không kể thời gian nghỉ lại Thánh Hoá là:
10 45 – giê = giê 45 = 35/
Theo ta có phơng tr×nh: S
40 + S 30 =
35
3S + 4S = 1050 7S = 1050 S = 150 (TMĐK T) Vậy quảng đờng HN – TH 150 km
Bµi to¸n 3:
Một ơtơ dự định từ A đến B với vận tốc 50km/h sau khởi hành 24 phút giảm vận tốc 10km/h nên đến B chậùm dự định 18 phút Hỏi thời gian d nh i?
Bài giải:
Gi qung đờng AB x (kmứ ) (điều kiện ủ: x > ) Theo đề ta lập đợc bảng sau:
Vận tốc (km/h ) Thời gian (h ) Quảng đờng (km)
Dự định 50 x
50
x Chạy 24 phút
đầu 50 52 20
Đoạn lại 40 x 20
40
x - 20 Ngời đến B chậm dự định 18 phút =
10 Do dựa vào bảng ta lập đợc
ph¬ng tr×nh sau:
5 +
x −20
40 - x 50 =
(18)Giải phơng trình ta đợc x = 80 thỗ mãn điều kiện ẩn Vậy quảng đờng AB 80 km, ngời dự định với vận Tốc 50 km /h, nên thời gian dự định 80: 50 = 8/5 = 36 phút
Bài tập HS tự giải:
Bi 4: mt tàu chở hàng từ ga Vinh đến ga Hà Nội Sau 1, tàu chở khách từ ga Hà Nội đến Vinh với vận tốc lớn vận tốc tàu chở hàng km/h tàu khách đợc cịn cách tàu hàng 25 km tính vận tốc tàu, biết hai ga cách 319 km
2 To¸n vỊ quan hƯ sè
Bài toán 5 : Tổng hai số 80, hiệu chúng 14 tìm hai số đó? Bài giải:
Gäi sè lín lµ x, sè bÐ lµ 80 x
Theo ta có phơng tr×nh: x – ( 80 – x ) = 14
Giải phơng trình ta đợc x = 47 Vậy hai số 47 33
Bài tốn 6 : Một phân số có tử số bé mẫu số 11 tăng tử số lên đơn vị giảm mẫu số đơn vị đợc phân số
4 tìm phân số ban đầu
Bài giải:
Gọi tử số phân số ban đầu x (ĐK ẹ: x Z ) Mẫu số phân số x + 11
Theo ta có phơng trình: x+3
4x+114=
4
x+3 4x+7=¿
3
Giải phơng trình ta dợc: x = (TMĐK T)
Vậy phân số phải tìm
20
Bài tập 7: Một số tự nhiên có chữ số Nếu viết thêm vào bên trái bên phải chữ số chữ số đợc số có sáu chữ số gấp 21 lần số ban đầu Tìm số tự nhiờn lỳc ban u?
Bài giải:
Gi s ban đầu x (đk ủ: x N, x > 999 ) , ta viết đợc x = abcd , với a, b, c, d chữ số, a 0.
Ta cã: abcd = 1000a + 100b + 10c + d
Viết thêm vào bên trái bên phải chữ số chữ số đợc số:
1abcd1 = 100 000 + 10 000a + 1000b + 100c + 10d + 1
= 100 001 + 10 ( 1000a + 100b + 10c + d ) = 100 001 + 10x
Theo bµi ta cã phơng trình: 100 001 + x = 21x
Gii phơng trình ta đợc x = 9091 (tmđk t) Vậy số tự nhiên ban đầu 9091
(19)Bài tập 8: Một số tự nhiên có chữ số Nếu viết thêm vào bên phải hay bên trái chữ số ta đợc số có chữ số Biết ta viết thêm vào bên phải chữ số ta đợc số lớn gấp lần ta viết thêm vào bên trái Tìm s ú?
3 Toán suất :( GV nên hớng dẫn cho hs giải cách lập bảng)
Bài toán 9: Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo ngày phải khai thác đợc 50 than Khi thực ngày đội khai thác dợc 57 than Do đội dã hồn thành kế hoạch trớc ngày cịn vợt mức 13 than Hỏi theo kế hoạch đội phải khai thỏc bao nhiờu tn than?
Bài giải:
Gọi x (tấn t) số than đội phải khai thác theo kế hoạch, ta lập đợc bảng sau: Số than ngày (tấn
t) Tæng sè than (tÊn t) Số ngày
Theo kế hoạch 50 x x
50
Thùc hiÖn 57 x + 13 x+13
57
Từ bảng ta lập đợc phơng trinh: x+13
57 =
x
50 -
Giải phơng trình tìm đợc x = 500 (TMĐK T)
Vậy theo kế hoạch đội phải khai thác 500 than
Bài toán 10: Một đội cơng nhân dự tính họ sữa đợc 40 m ngày họ sữa xong đoạn đờng thời gian định Nhng thời tiết không thuận tiện nên thực tế ngày họ sữa đợc đoạn 10 m so với dự định họ phải kéo dài thời gian làm việc thêm ngày Tính chiều dài on ng?
Bài giải:
Gi x (ngy n) thời gian dự định làm xong đoạn đờng (điều kiện ủ: x > )
Ta cã b¶ng sau:
Thời gian (ngày n) Năng suất Đoạn đờng ( m )
Dự định x 40 40 x
Thùc tÕù x + 30 30 ( x + )
Dựa vào bảng ta lập đợc phơng trình sau:
40 x = 30 ( x + )
Đáp số: chiều dài đoạn đờng là: 7200 m Bài tốn 11:
Hai c«ng nhân làm chung 12 hoàn thành công việc Họ làm chung ngời thứ chuyển làm việc khác, ngời thứ hai làm nốt công việc lại 10
Hi ngời thứ hai làm s hon thnh cụng vic ú
Bài giải:
Gọi x thời gian để ngời thứ hai làm xong cơng việc (đk x ủ > 12 ) Trong 10 ngời làm đợc 10
x cv
Cả hai ngời làm chung đợc
12 cv
Theo bµi ta cã phơng trình:
12 + 10
x =
Giải phơng trình ta đợc x =15 (TMK T)
(20)Bài toán 12:
Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể không cha nớc thời gian quy định phải bơm đợc 10 m3 sau bơm đợc 1/3 thể tích bể ngời cơng
nhân vận hành cho máy hoạt động với công suất lớn hơn, bơm đợc 15 m3 Do
vậy so với quy định bể đợc bơm đầy nớc trớc thời hạn 48 phút Tính thể tích ca b?
Bài giải:
Gọi thể tích bể x ( m 3 ) ĐK: x > 15.
Ta lập bảng sau:
Năng suất ( m3/ giê) Thêi gian (giê g) Dung tÝch (lÝt l)
Theo quy định 10
10
x x
1 /3 thể tích đầu 10
30
x
3x
Phần lại 15
45
x
3x So với quy định bể đợc bơm đầy trớc thời hạn 48 phút =
4
5 giê Nªn ta cã phơng trình: 10
x
- 30
x
- 45
x
= .
Giải phơng trình ta đợc x = 36 (thoã mãn điều kiện t) Vậy th tchs b l 36 m3.
4 Toán phần trăm Bài toán 13:
Mt ming hp kim ng thiếc có khối lợng 12 kg, chứa 45% đồng Hỏi phải thêm vào thiếc nguyên chất để đợc hợp kim có chứa 40% đồng? Bài giải:
Khối lợng đồng nguyên chất có 12 kg hợp kim là: 45% 12
= 5, kg gọi khối lợng thiếc nguyên chất cần thêm x (đk ủ: x > )
Sau thêm vào khối lợng miếng hợp kim là: (12 + x ) kg, lợng đồng
không thay đổi chiếm 40% nên ta có phơng trình: 5,4 : ( 12 + x ) = 40%
Giải phơng trình tìm đợc x = 1,5 (TMĐK T)
Vậy khối lợng thiếc nguyên chất cần thêm vào 1,5 kg
Bài toán 14:
Nu pha thêm 200 g nớc vào dung dịch chứa 10% muối ta đợc dung dịch chứa 6% muối Hỏi lúc u cú bao nhiờu gam dung dch?
Bài giải:
Gọi x khối lợng dung dịch chứa 10% mi ( x > ) Lỵng mi cã dung dịch 10% x
Khi lng dung dịch sau pha thêm x + 200 lợng muối có dung dịch 6% ( x + 200 ) Vì lợng muối khơng thay đổi nên ta có phơng trình: 10% x = 6% ( x + 200 )
Giải phơng trình tìm đợc x = 300 (TMĐK T) Vậy khối lợng dung dch ban u l 300 kg
Bài toán 15:
Có hai loại dung dịch chứa thứ axit, lo¹i Ichøa 30% axÝt, lo¹i II chøa 5% axit Muốn có 50 lít dung dịch chứa 10% axit cần phải trộn lít dung dịch loại?
Bài giải:
(21)Số lít dung dịch loại II cần phải trộn vào là: 50 x Lợng axit chứa dung dịch loại I là:
30
100x
Lỵng axit chøa dung dịch loại II là:
100 ( 50 x ).
Lợng axit có 50 lít hỗn hợp là:
10
100 50 = lít
Theo ta có phơng trình:
30
100x +
5
100 ( 50 – x ) = 5 Giải phơng trình ta đợc x = 10 (TMĐK T)
VËy sè lÝt dung dịch loại I loại II cần phải trộn lần lợt 10l 40l
Bài tập HS tù gi¶i:
Bài tập 16: Có lít nớc có nhiệt độ 100C Hỏi phải pha thêm nớc 850 C để
cã níc 400 C.
5 Bài toán có nội dung hình học. B¸i to¸n 17
Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m ngời ta làm lối xung quanh khu ờn đó, có chiều rộng m tính kích thớc vờn, biết phần đất lại v-ờn để trồng trọt 4256m2.
Bài giải:
Gi x l chiu di khu vờn (đk ủ: < x < 140 ) Ta có chiều rộng khu vờn 140 – x ( m )
Sau làm lối đi, chiều dài chiều rộng khu đất trồng trọt lần lợt ( x – ) 140 – x – theo ta có phơng trình:
( x – ) ( 140 – x – ) = 4256
Giải phơng trình ta đợc: x = 80, x = 60 thoả mãn điều kiện ẫn Vậy cạnh khu vờn 80m, cạnh 60m
B¸i to¸n 18
Một hình chữ nhật có chu vi 800m chiều dài giảm 20% chiều rộng tăng thêm 1/3 chu vi khơng thay đổi Tìm chiều dài chiều rộng hình ch nht
Bài giải:
Gọi chiều rộng hình chữ nhật x (m) (đkủ: < x < 400 )
Chiều dài hình chữ nhật 400 x giảm chiều dài 20% chiều rộng tăng thêm 1/3 Các kích thớc lần lợt x + 1/3x 400 – x – 20%( 400 – x ) Theo bµi ta có phơng trình:
x + 1/3x + 400 – x – 20%( 400 – x ) = 400
Giải phơng trình tìm đợc x = 150 thoà mãn điều kiện ẩn Vậy chiều rộng hình chữ nhật 150m chiều dài 250m
Bài toán cổ (dành cho HS khád, giỏi).
Một đàn em nhỏ đứng bên sông To nhỏ bn chuyn chia bng (*)
Mỗi ngời năm thừa nănm Mỗi ngời sáu ngời không Hỏi ngời bạn trẻ dừng bớc Có em thơ, bồng? (chia bồng c (*) : chia qu¶ bëi).
(22)lập đợc bảng sau:
Số / em Số em đợc chia Hậu
C¸ch chia thø nhÊt x Thõa
Cách chia thứ hai x - Một em
phần Theo cáh chia thứ ta có: số bôngf đem chia 5x +
Theo c¸ch chia thø hai, sè bồng đem chia ( x )
Do số bồng không đổi nên ta có phơng trình: 5x + = ( x
)
Giải phơng trình ta cã x = 11 tho· m·n ®iỊu kiƯn cđa Èn Vậy có 11 em thơ 60 bồng
C¸ch (GV cã thĨ híng dÉn cho häc sinh tìm cách giải thứ cách chọn ẩn sè qu¶ bång G)
Gọi x số bồng đem chia (ĐKẹ: x nguyên dơng) Theo đề ta lập đợc bảng sau: Số / em Số em đợc chia Hậu
C¸ch chia thø nhÊt x −5
5
Thõa qu¶
C¸ch chia thø hai x
6
Mét em phần
Vỡ s em c chia theo cách hai số em đợc chia cách (một em khơng có phần m), nên ta có phơng trình: x −5
5 - x
6 =
Giải phơng trình ta đợc x = 60 (TMĐK T) Vậy số bồng 60 quả, số em bé 11 em
D TµI LIƯU THAM KHảO :
SGK Toán 8, tập II, SBT Toán tập
Toán nâng cao lớp tập Vũ Thế Hùu
(23)