Trêng thpt tam giang.. HÕt ...[r]
(1)Trêng thpt tam giang Tæ to¸n
* * *
đề kiểm tra để chọn học sinh giỏi toán
khèi : 12 năm học : 2006-2007
thi gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
B i 1 : Giải phơng trình : 3 2x+1+1=x3+3x2+2x
Bài 2: a) Tìm giá trị nhỏ tổng sau theo số dơng x,y,z,t:
P =
xa+yb+zc+td+
1
xb+ya+zd+tc+
1
xc+yd+za+tb+
1 xd+yc+zb+ta
Trong : a,b,c,d, số dơng thỏa mãn :
a+
1
b+
1
c+
1
d=1
b) Xác định x
(
0; 4π4011
)
để :cosx + cos2x + cos3x + + cos2005x = ❑
❑
1 Bài : Tìm giá trị m để hệ phơng trình :
{
3x2
+2 xy− y2=1 2x2
+xy+y2=m cã nghiÖm
Bài : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (oxy) cho tam giác ABC có B(1;2) Đờng phân giác Δ góc A có phơng trình : 2x+y-1=0 , khoảng cách từ C đến Δ hai lần khoảng cách từ B đến Tìm tọa độ A C , biết C nằm trục tung
HÕt
Trêng thpt tam giang Tỉ to¸n
* * *
đáp án chấm đề kiểm tra để chọn học sinh gioỉ toán khối 12 - năm học 2006-2007
(2)* x+1¿
2− x −2
√2x+3+1=x3+3x2+2x⇔√32x+3=¿ (0,25)
* Đặt: y+1 = y+1
3
=2x+3
3
√2x+3⇒¿ (1) (0,5)
*Phơng trình trở : y+1 = (x+1)3-x-2 x+13=x+y+3
⇒¿ (2) (0,25)
*LÊy (2)-(1) vÕ theo vÕ : (x+1)3- (y+1)3 = y-x
y+1¿2+1
x+1¿2+(x+1)(y+1)+¿=0⇔x=y
¿
⇔(x − y)¿
V× (x+1)2+(x+1)(y+1)+(y+1)2+1 > víi mäi x,y (0,5)
*Thay x = y vào (1) ta đợc : (x+1)3 = 2x+3
¿⇔(x+2)(x2+x −1)=0
¿ x=−2
x=−1−√5
x=−1+√5 ⇔¿
(0,5) Bài : ( điểm).
a) (2điểm) *áp dụng BĐT :
a1+a2+ +an2
¿ a1
c1
+a2
c2
+ +an
cn ≥¿
víi aici > (i = 1,2,3, ,n)
DÊu b»ng xảy c1=c2= =cn (0,5) *Đặt: S = x+y+z+t > Ta cã :
x+y+z+t¿2 ¿
¿xa+yb+zc+td= s
2
xa+yb+zc+td
¿ ¿ x a+
y b+
z c+
t d≥¿
(0,5)
T¬ng tù :
) (
1
2 c
t d
z a y b x s tc zd ya
xb
1
xc+yd+za+tb≤
s2( x c+
y d+
z a+
t b),
1
xd+yc+zb+ta ≤
s2( x d+
y c+
z b+
t
(3)P≤ S2(
x+y+z+t
a +
x+y+z+t
b +
x+y+z+t
c +
x+y+z+t
d )
¿⇒P≤1 S( a+ b+ c+ d)= S (0,5)
*GTNN cña P b»ng S
1
,đạt đợc khi : a = b = c = d =
4 (0,25)
b) (2®iĨm).
*x = k2 π , kZ Th× : Cosx+Cos2x+Cos3x+ +Cos2005x = 2005 −1
2
Nªn : x = k2 nghiệm phơng tr×nh (0,5)
x ≠ k2π⇔x
2≠ kπ⇔Sin
x
2≠0 PT⇔Sinx
2Cosx+Sin
x
2Cos 2x+Sin
x
2Cos 3x+ +Sin
x
2Cos2005x=− 2Sin
x
2 ⇔Sin3x
2 −Sin
x
2+Sin 5x
2 −Sin 3x
2 +Sin 7x
2 −Sin 5x
2 + +Sin 4011x
2 −Sin
4009x
2 =−Sin
x
2 ⇔Sin4011x
2 =0 ⇔4011x
2 =lπ⇔x=
l2π
4011
Với l số nguyên không chia hết cho 4011 (1,0)
*
¿
2⇔l=1
¿l
4π
4011⇔0
l2π
4011 4π
4011⇔0
x x∈(0; 4π
4011)⇔0
¿
v× l Z (0,25)
*l=1 khơng chia hết cho 4011 nên phơng trình cho có nghiệm ; x = 2π
4011 (0,25) Bài 3: (2điểm)
* y = : HPT ⇔
{
3x2
=1 2x2
=m §Ĩ hpt cã nghiƯm th× :
2
1
2 m
m
(a) ((),25) * y Đặt t = x
(4)Hpt ⇔
{
3t2+2t −1=
y2
2t2+t+1=m
y2
(1)
Hpt cho có nghiệm (x;y) (1) có nghiệm (t;y)
V× : 3t2+2t-1=
y2
¿ −1
t⟨|t⟩1 0⇒¿
(1) cã nghiÖm (t;y) ⇔m= 2t
2
+t+1 3t2
+2t −1 cã nghiÖm t∈(− ∞;−1)∪(
3;+∞) (0,25)
XÐt f(t) =
3t2
+2t −1¿2 ¿
2t2+t+1 3t2
+2t −1⇒f
❑
(t)=t
2
−10t −3
¿
t=5−2√7
t=5+2√7 :f(5+2√7)=21+8√7 32+8√7
f❑
(t)=0⇔t2−10t −3=0⇔¿
(1,0)
t - ∞ -1 5-2 √7
1
5+2 √7 +
f/(t) + + - - + f(t) + ∞ + ∞
2
3
2
21+8√7 32+8√7
(5)*Dựa vào bảng biến thiên : m = f(t) cã nghiÖm t (− ∞;−1)∪(1
3;+∞)⇔m≥
21+8√7 32+8√7 (b) * Tõ (a) vµ (b) kÕt luËn : Hpt cã nghiÖm ⇔m ≥21+8√7
32+8√7 (0,25) Bài : (2điểm).
* Gọi H,I hình chiếu vuông góc B C lên , BH cắt AC M Ta có : d(B, Δ )=BH=HM, d(C,)=CI
Mµ d(C,)=2 d(B, Δ ) ⇔CI=2 HM ,nªn : MA=MC,HA=HI
(0,5)
* BH qua B(1;2) nhËn uΔ=(1;−2) làm vectơ pháp tuyến nên có phơng trình:
x-2y+3=0 (0,25) *Tọa độ H nghiệm phơng trình :
{
x −2y+3=02x+y −1=0⇔
{
x=−1
y=7
) ; (
H
(6)* H trung điểm BM
{
xM=2xH xB=7
yM=2yH− xB=4
, 5)
4 ; (
M
* 5−2¿
2
¿ −1
5−1¿
2
+¿ ¿
BH=√¿
(0,25)
* C thuộc trục tung nên: C(0;y0) ,do
¿ ¿CI=|y0−1|
√5 =
6√5
¿
y0=7
y0=−5
⇔|y0−1|=6⇔¿
Do M trung điểm AC Nên :
C(0;7)
⇒A(−14 ;−
27 )
I C M
H A
B
C(0;-5)
) 33 ; 14 ( A
(0,5) *Thư l¹i chØ cã A(−
14 ;
33
5 )∈Δ VËy : ), (0; 5)
33 ; 14
( C
A