Ph¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa.[r]
(1)Phần 1: Khái niệm phơng trình vô tỉ: phơng trình chứa ẩn dấu
Phần 2: số phơng pháp giải phơng trình vô tØ:
Phơng pháp nâng lên luỹ thừa. Phơng pháp đặt ẩn phụ.
Phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối. Phơng pháp bất đẳng thức.
Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số. I/ Phơng pháp nâng lên luỹ thừa:
Ph¬ng trình dạng
f(x)=g(x) Cách giải: f(x)=g(x) g(x)0 f(x)=g2(x)¿{
Chú ý: bình phơng dẫn đến phơng trình bậc cao nên sử dụng phơng phỏp t n ph
Ví dụ : giải phơng trình sau:
a) 2x 3=x 3 c) x+√x −1=3
b) x −√2x −5=4 d)
√
6x2−12x+7=x2−2xGi¶i:
a)
√2x −3=x −3⇔ x −3≥0
x −3¿2 ¿
⇔
¿ ¿ ¿x ≥3
¿ 2x 3=
d) Đặt t=
√
6x2−12x+7⇒x2−2x=t 2−7
6 PT cho tơng đơng với PT
t2−6t −7
=0⇔t=−1;t=7 từ suy x (loại t=-1)
Phơng trình dạng
√
f(x)+√
g(x)=√
h(x)√
f(x)+√
g(x)=√
h(x)+√
u(x) Phơng pháp giải: sau hai lần bình phơng đa PT cho PT biết cách giảiChú ý: bình phơng dẫn đến PT bậc cao nên sử dụng phơng pháp khác, bình phơng biết hai vế khơng âm, khơng ý đến phơng trình hệ quả, phân tích thành tích đợc
Ví dụ: giải PT
a) 5x −1=√3x −2−√2x −3 b) √3x+4−√x −3=3
c) √x+1+√x+10=√x+2+√x+5 d)
√
2x2−9x+4+3√2x −1=√
2x2+21x −11Gi¶i: c) gợi ý: ĐK x 1 bình phơng hai lần khử căn, nghiệm x=-1
d)t x29x+4=a ≥0,2x −1=b ≥0 phơng trình √a+3√b=√a+5b bình
ph-ơng hai vế rút gọn đợc b=0 b=a Nghiệm 2;5
3.áp dụng đẳng thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)
Ví dụ: giảI phơng trình
x 1+3 x −2=√3 2x −3 Giải: Phơng trình tơng đơng với 2x −3
+
√
3(x −1)(x −2)[
√3x −1+√3 x −2]
=2x −3⇔3
√
(x −1)(x −2)(2x −3)=0⇔x=1; x=2; x=3 (2)II/ Phơng pháp đặt ẩn phụ:
Tuỳ phơng trình cụ thể chọn ẩn phụ cho thích hợp nhằm khử đa phơng trình biết cách giải, sau số ví d:
Ví dụ1: giải biện luận phơng trình: x+
x+1 2+√
x+1 4=a Giải: đặt t=
√
x+14≥0⇒x=t
2 −1
4 phơng trình cho thành
t+1
2¿
2
=a⇔t=√a −1
2≥0⇒a≥
¿
(lo¹i t=−√a −1
2 )
√a −1
2¿
2 −1
4=a −√a
x=¿
Ghi chú: giải đợc PT tổng quát giảI PT với a=4, a=9, đợc kết gọn gàng
VÝ dơ2: gi¶i PT
√
2x2+4x+7=x4+4x3+3x2−2x −7
Giải: biến đổi PT thành 2x
2
+4x+7¿2−16(2x2+4x+7)+35
4
√
2x2+4x+7=¿ đặt t=
√
2x2+4x+7; t ≥√5 đơc pt2t+1¿2=0 t2−6¿2−¿
t416t24t
+35=0
Ví dụ3: giải phơng trình : √3+x+√6− x+
√
(3+x)(6− x)=3Giải: đặt t=¿ √3+x+√6− x ,Bunhiacopski⇒3≤ t ≤3√2 ⇒t2
=9+2
√
(3+x)(6− x)⇒√
(3+x)(6− x)=t−9 PT cho thành t+t
2 −9
2 =3 , häc sinh tù gi¶i tiếp Ví dụ4: giải phơng trình:
x2x2+
x −7
x2=x
Gi¶i: DK :x4≥7, x3≥7 chuyÓn vÕ :
√
x2−x2=x
x7
x2 bình phơng rót gän hai
lần đợc (x-2)(4x2+7x+14) = Đáp số x=2.
VÝ dô5: (x −1)(x+3)+2(x −1)
√
x+3 x −1=8§iỊu kiƯn: x ≤ −3; x>1 Đặt y= (x 1)
x+3x 1, phơng trình trở thành
y2+2y-8=0 ta c y=2, y=-4
víi y=2, ta cã (x −1)
√
x+3x −1, =2 bình phơng hai vế(đk x>1) đợc x
2+2x-7=0 chän x=
−1+√8
víi y=- 4, ta cã (x −1)
√
x+3x −1, =- bình phơng hai vế (đk x ≤ −3 ) đợc x
2+2x-19=0
chän x= −1−2√5
(3)Gi¶i: (1)
√x+1−2
¿
√x+1−3¿2 ¿
¿1⇔|√x+1−2|+|√x+1−3|=1
¿
⇔
¿
2−√x+1+3−√x+1=1(−1≤ x<3)
¿
√x+1−2+3−√x+1=1(3≤ x<8)
¿
√x+1−2+√x+1−3=1(x ≥8)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿√¿ NghiƯm lµ: 3≤ x ≤8
Ví dụ2: giải phơng trình
x+2x 1+x 2x 1=x+32 (1)
Gỵi ý: (1)
¿ khi1≤ x ≤2 2√x −1 khix≥2 ¿√x −1+1+|√x −1−1|={
¿
nghiƯm lµ x=1 vµ x=5
VI/ Phơng pháp bất đẳng thức:
Chứng tỏ phơng trình vô nghiệm có vế nhỏ vế kia: Ví dụ: giải phơng trình
a) x 15x 1=3x −2 (1) b) √x −1−√x+1=2 (2)
Giải: a) đk: x ≥1 , x<5x √x −1<√5x −1 suy vế trái (1) õm
còn vế phải không âm Phơng trình vô nghiệm,
b) K: x 1 ú (2) ⇔√x −1=2+√x+1 vế trái nhỏ vế phải Phng
trình vô nghiệm
2.S dng tớnh i nghch hai v:
Ví dụ1: giải phơng trình
√
2x2−12x+27+
√
5x2−30x+46=− x2+6x −5 (1)Giải: vế trái
x 32+9
x −3¿2+1
¿ 5¿ 2¿
√¿
vÕ ph¶i x −3¿2+4≤4
− x2+6x −5=−¿
hai vế (1) , ú x=3
Ví dụ2: giải phơng trình x 2+4 x=x26x+11 (2)
Giải: áp dụng bđt Bunhiacpôski cho số 1,1,x 24 x ta có 1.√x −2+1 √4− x ≤
√
(12+12)(x −2+4− x)=2 ; x −3¿2 +2≥2 x2−6x
+11=¿ (2)
(4)1 Sử dụng điều kiện xảy dấu = bất đẳng thức khơng chặt: Ví dụ1: giải phơng trình
√
(x2−4x+7)(x2− x+2)=2x2−5x +9
2 Giải: áp dụng BĐT côsi aba+b
2 với a ≥0, b ≥0 cã : ta c ó ad−bc¿2
ac+bd¿2+¿
(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=¿
√
(x2−4x+7)(x2− x+2)≤(x 2−4x+7+x2− x+2)
2 =
2x2−5x +9
2
dÊu b»ng x¶y x2- 4x+7=x2 – x+2 , nghiệm x=5/3
Ví dụ2: giải phơng trình x
√5x −4+
√5x −4
x =2 (1)
Giải: đk x > 4/5 , ta cã B§T a
b+ b
a≥2 với a>0, b>0 xảy đẳng thức a = b
víi x>4/5 (1) ⇔x=√5x −4⇔x2−5x+4=0⇔x=1; x=4 (tho¶ m·n ®k )
V/ Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số:
Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phơng trình khơng mẫu mực tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
1 Hớng giải: để giải phơng trình f(x)=g(x) , ta dùng tỉ số biến thiên phơng pháp đạo hàm để chứng minh hai miền giá trị hàm f(x) g(x) có chung phần tử x0, từ kết luận x0 nghiệm
+ Cơ ThĨ: Ta sÏ chøng minh f(x)≥ g(x) hc f(x) g(x) f(x) A g(x) A ngợc l¹i
+Bên cạnh ta sử dụng kết quả:
+Nếu f(x) tăng g(x) giảm miền xác định đồ thị cắt cắt điểm Từ phơng trình f(x)=g(x) có nghiệm vơ nghiệm
+ NÕu f(t) lµ hàm tăng giảm nghiêm ngặt D f(x) = f(y) ⇔ x=y
2 C¸c vÝ dơ:
Ví dụ1: giảI phơng trình : x+1+x+3+2x 1=3+2
Giải: Điều kiện
x+10 x+30
2x −1≥0
⇔x ≥1
2 ¿{ {
¿
đặt : f(x)=√x+1+√x+3+√2x −1
f❑
(x)=
2√x+1+
1 2√x+3+
1
22x 1>0x>
2 f(x) tăng lại có
f(1)=3+2 nờn th hm số y=f(x) cắt đồ thị hàm số y=3+√2 điểm x=1 Vậy phơng trình có nghiệm nht x=1
Ví dụ 2: giải phơng trình :
√
x2+15=3x −2+
√
x2+8Gi¶i:
√
x2+15=3x −2+√
x2+8⇔√
x2+15−√
x2+8=3x −2⇔√
x2+15+
√
x2+8=3x −2 Ta thÊy hµm f (x)=
√
x2+15+
x2+8 giảm R, hàm g(x)=3x 2 tăng (5)Ví dụ 3: giải hệ phơng tr×nh
¿
√x+5+√y −2=7 √x −2+√y+5=7
¿{
Giải: điều kiện:
x 2
y ≥2 ¿{
¿
tõ hÖ ⇔ √x+5−√x −2=√y+5−√y −2 ⇔ f(x)=f(y)
XÐt hµm sè f(t)=√t+5−√t −2 víi t ≥2 f❑(t)=
2√t+5−
1 2√t −2=
√t −2−√t+5
2√t+5.√t −2<0
víi ∀t ≥2
f(t) hàm giảm ¿ f(x)=f(y)⇔x=y hệ PT
⇔√x+5+√x −2=7⇔x=11⇒y=11 , nghiệm hệ (11;11) Ví dụ 4: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực
3√x −1+m√x+1=2
√
4 x2−1Giải: đk x ≥1 phơng trình cho ⇔−3
√
x −1x+1+2
4
√
x −1x+1=m (1) đặt t=
4
√
x −1x+1 , (1) trở thành -3t2+2t=m t=
√
x −1x+1=
√
1−x+1 vµ x ≥1⇒0≤t<1 hàm số f(t)=3t2+2t ,0t<1 có bảng biến thiên:
t o
3
f/(t) + 0
f(t)
Phơng trình cho có nghiệm t ¿⇔−1<m≤1
3
Một số tập tơng tự: giải phơng trình sau:
1) x 2x 5=4 6) √x −2−√x+3=4
2) x2−6x
+9=4
√
x2−6x+6 7)x+1¿2 ¿
x −1¿2 ¿ ¿ ¿
3 √¿
3)
√
x+6−4√x+2+√
x+11−6√x+2=1 8) √324+x+√12− x=64) √x −7+√9− x=x2−16x+66 9) √3 x+1+√3 x+2+√3x+3=0
5)
√
(3x2− x+2)(4x2+3x+1)=3+2x+7x2 10)√7− x −√3 x −5
3
√7− x+√3x −5=6− x