Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Phòng giáo dục đào tạo nga sơn
Kỳ thi chọn đội tuyển
dù thi học sinh giỏi lớp cấp tỉnh năm học 2009 2010
Môn thi: Toán
Thi gian lm bài: 150 phút đề bài
Bµi ( ®iÓm): Cho biÓu thøc: A = ( x
x√x −4√x−
6 3√x −6+
1
√x+2):(√x −2+
10− x √x+2)
a, Tìm điều kiện x để A có nghĩa b, Rút gọn A
c, Tìm x để A <
Bµi (3 điểm): Giải phơng trình sau: (x 2008)2
+(2009 x)2+(x 2010)2=2
Bài (3 điểm): Chứng minh r»ng víi a > ta cã: a
a2
+1+
7(a2
+1)
2a
15
Bài (3 điểm): Cho hai số dơng x y thoả mÃn x + y = Tìm giá trị lớn biÓu thøc M = x2y2(x2 + y2)
Bài (4.5điểm): Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB điểm M di động đờng trịn ( M khác A, B) Vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với đờng tròn (O) M tiếp xúc với đờng kính AB N Đờng trịn (E) cắt MA, MB lần lợt điểm thứ hai D C
a, Chøng minh CD // AB
b, Chứng minh MN phân giác góc AMB
c, Gọi giao điểm thứ hai MN với đờng trịn (O) K Chứng minh tích KM.KN khơng đổi
Bài (2.5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, cạnh BC lấy điểm I a, Hãy nêu cách xác định điểm M đờng thẳng AB, điểm N đờng thẳng AC cho I trung điểm MN
b, Cho biÕt IA = cm; BC = 10 cm, h·y tÝnh chu vi tam gi¸c AMN
híng dÉn chÊm
Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi lớp cấp tỉnh năm học 2009 – 2010
Môn thi: Toán
Bài ý Nội dung §iĨm
1
4® ab §iỊu kiƯn x 0; x 0.5
A = ( x
x√x −4√x−
6 3√x −6+
1
√x+2):(√x −2+
10− x √x+2)
= [ x
√x(√x −2)(√x+2)−
6 3(√x −2)+
1
√x+2]:
x −4+10− x √x+2
(2)= √x −2(√x+2)+√x −2
(√x −2)(√x+2) :
6
√x+2
= −6
(√x −2) (√x+2)
√x+2
6 =
1 2−√x
0.5
c
Ta cã A < ⇔
2−√x<2 vµ x 0; x ⇔
2−√x−2<0⇔
2√x −3
2−√x <0 0.5
+ Trêng hỵp 1:
¿
2√x −3>0
2−√x<0
⇔
¿x>9
4
x>4
⇔x>4
¿{
¿
0.5
+ Trêng hỵp 2:
¿
2√x −3<0
2−√x>0
⇔
¿x<9
4
x<4
⇔x<9
4
¿{
¿
0.5
KÕt hỵp với điều kiện ta có x > ≤ x < 94 th× A < 0.5
3® ThËt vËy: Ta cã: |a|+||ab||+≥||ba|+≥b|a|+b| ⇔(|a|+|b|)2
≥(|a+b|)2
⇔a2+2|ab|+b2≥ a2+2 ab+b2 ⇔|ab|≥ab đúng, dấu “=” xảy
khi ab 0.5
Phơng trình cho tơng đơng với:
|x −2008|+|x −2009|+|2010− x|=2
áp dụng bất đẳng thức chứng minh ta đợc:
|x −2008|+|2010− x|≥|x −2008+2010− x|=2 (1)
DÊu “=” x¶y (x – 2008)(2010-x) ⇔2008≤ x ≤2010
Lu«n cã: |x −2009|≥0 (2) DÊu b»ng x¶y x = 2009
Cộng vế với vế (1) (2) ta đợc:
|x −2008|+|x −2009|+|2010− x|≥2
DÊu b»ng x¶y x = 2009
Vậy nghiệm phơng trình x = 2009
1
(3)3
3® a
a2
+1+
7(a2
+1)
2a ≥
15
Biến đổi vế trái ta đợc: a
a2
+1+
7(a2
+1)
2a =
a a2
+1+
14(a2
+1)
4a =
a a2
+1 a2+1
4a +
13(a2
+1)
4a
0.5
áp dụng BĐT Côsi ta cã: a
a2
+1+ a2
+1
4a ≥2√ a a2
+1 a2
+1
4a =1 Vµ a2 + 2a ⇒13(a
2
+1)
4a ≥
13 2a
4a =
13
2 ( a > 0)
1 VËy a
a2
+1+
7(a2
+1)
2a ≥1+
13
2 =
15
2 0.5
4
3đ Vì x, y > nên áp dụng BĐT Côsi ta đợc: xy (x+y)
2
4 =1 ( v× x + y = 2)
Suy M xy (x2+y2)⇔2M ≤2 xy (x2+y2)
0.75 0.5
áp dụng BĐT Côsi ta lại có: 2 xy(x2+y2)(2 xy+x
2
+y2)
4 =4
( v× x + y = 2) Suy M ≤
Vậy giá trị lớn M x = y =
0.75 0.5 0.5
4.5đ a Ta có AMB = 90Hay DMC = 9000 (góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn) DC đờng kính (E)
Do (E) vµ (O) tiếp xúc M nên ba điểm O, E, M thẳng hàng Xét hai tam giác cân OMA EMD có chung góc M nên suy
OAM = EDM suy DC // AB ( có cặp góc đồng vị nhau)
0.5 0.5
0.5 b Theo chøng minh c©u (a) ta cã DC // AB nên hai cung DN CN
bằng suy DMN = CMN suy MN lµ phân giác AMB
0.5 0.5 0.5 c Ta có MN hay MK phân giác AMB ( Theo c©u b )
suy hai cung AK vµ BK b»ng suy OK AB
Kẻ đờng kính KH ta có KMH = 900
XÐt hai tam giác KON KMH có góc K chung, KON = KMH =900
suy hai tam giác KON KMH đồng dạng ⇒KO
KM=
KN
KH ⇒KM KN=KO KH=2R
2
khơng đổi (với R bán kính đờng tròn tâm O)
0.5 0.5 0.5
2.5đ a Giả sử xác định đợc M, N thoả mãn u cầu tốn, tam giác AMN vng A có IM = IN nên
AI lµ trung tun øng víi c¹nh
hun suy IA = IM = IN 0.5
(4)I cố định, AI không đổi nên M, N nằm đờng tròn (I, IA)
Cách xác định điểm M N: - Vẽ đờng tròn (I, IA)
- Giao điểm (I, IA) AB điểm M
- Giao điểm (I, IA) AC điểm N 0.5 b Qua M kẻ đờng thẳng song song với AC cắt BC H (giải sử AM <
AN )
Ta có MHB = ACB (đồng vị) mà ACB = ABC (gt) MHB = ABC ⇒ΔMBH cân M MB = MH (1)
Δ MIH = Δ NIC (g-c-g) CN = MH (2) Tõ (1) vµ (2) suy CN = BM
áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABC vuông A ta đợc: AB2 + AC2 = BC2 2AB2 = BC2 = 102 = 100
AB = 10√2
2 =5√2
MN = 2AI = 12
Chu vi tam giác AMN là: AM + AN + MN
= AM + MB + AC + 2AI
= 2AB + 2AI = 12 + 10 √2 (cm)
0.5
0.5 0.5
B C
M
N I