Ứng dụng của tỉ số thể tích

Trước tình hình đó cùng với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi đã thử giải các bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích thấy rất có hiệu quả và cho được lờ[r]

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ***

-Trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng năm gần đây, câu hình học khơng gian ln câu khó đa số thí sinh, phần lớn em quên kiến thức hình học khơng gian chương trình hình học lớp 11 Do đó, việc học hình học khơng gian lớp 12, đặc biệt vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh tỏ lúng túng Trước tình hình với q trình giảng dạy nghiên cứu, thử giải tốn tính thể tích khối đa diện phương pháp tỉ số thể tích thấy có hiệu cho lời giải ngắn gọn nhiều; học sinh cần kiến thức hình học khơng gian lớp 11 làm Trước kì thi Đại học – Cao đẳng đến gần, với mong muốn cung cấp cho em học sinh thêm phương pháp để tính thể tích khối đa diện, tơi nghiên cứu viết đề tài: “ Ứng dụng tỉ số thể tích ”

Xin chân thành cảm ơn!

Quảng Ngãi tháng 10 năm 2010 Người thực đề tài

NỘI DUNG ĐỀ TÀI *** -I/ Cơ sở lý thuyết:

Để tính thể tích khối đa diện bất kì, chia khối đa diện thành khối đa diện đơn giản biết cơng thức tính ( Khối lăng trụ V B h , Khối chóp

1

V  B h

, Khối hộp chữ nhật V abc, …) cộng kết lại. Tuy nhiên nhiều trường hợp, việc tính thể tích khối lăng trụ khối chóp theo cơng thức lại gặp khó khăn khơng xác định đường cao hay diện tích đáy, chuyển việc tính thể tích khối việc tính thể tích khối biết thơng qua tỉ số thể tích hai khối

Sau ta xét số tốn ví dụ minh hoạ

Bài tốn1: (Bài4 sgk HH12CB trang25)

Cho khối chóp S.ABC, đoạn thẳng SA, SB, SC lấy điểm

A’, B’, C’ khác điểm S CMR:

' ' '

' ' '

S A B C S ABC

V SA SB SC

V SA SB SC (1) Giải:

Gọi H H’ hình chiếu vng góc A A’ lên (SBC)

Ta có AH//A’H’ Ba điểm S, H, H’ thuộc hai mp (AA’H’H) (SBC) nên chúng thẳng hàng

Xét SAH ta có

' ' '

SA A H SA  AH (*) Do

 

' ' ' ' '

1 ' '. ' ' '. '.sin ' '

3 .

1 . . .sin

3

SB C S A B C

S ABC SBC A H S

V A H SB SC B SC

V AH S AH SB SC BSC





 

(**) Từ (*) (**) ta đpcm □

Trong cơng thức (1), đặc biệt hố, cho B’B C’C ta được

' ' '

'

S A B C S ABC

V SA

V SA (1’)

Ta lại có

B S

C A

H

A'

B'

I

M O

C A

D

B

S

O '

C ' I

D' B'

O

C S

B

D A

' '

'

'

(1')

S ABC S A BC A ABC

S ABC S ABC A ABC

V V V

SA

V V V

SA

 

  

'

' '

1

A ABC S ABC

V SA A A

V SA SA

   

Vậy:

'

'

A ABC S ABC

V A A

V  SA (2)

Tổng quát hoá cơng thức (2) ta có tốn sau đây:

Bài tốn 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy đa giác lồi A1A2…An (n3),

đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ khơng trùng với A1 Khi ta có

1 2

' 1 1

'

n n

A A A A S A A A

V A A

V  SA (2’)

Chứng minh (2’) phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp S.A1A2…An thành khối chóp tam giác áp dụng công thức (2)

II/ Các dạng toán:

Dựa vào hai toán trên, ta xét số toán tính tỉ số thể tích khối đa diện số ứng dụng

DẠNG1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN

Ví dụ1:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, gọi M trung điểm CD I giao điểm AC BM Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.ICM S.ABCD

Giải:

Gọi O giao điểm AC BD Ta có I trọng tâm tam giác BCD,

1 1 1

3 3 2

ISCM B SCM D SBC S ABCD

V  V  V  V

Vậy

1 12

ISCM S ABCD V

V 

Ví dụ2:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B’, D’ trung điểm SB SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính tỉ số thể tích hai khối chóp chia mp(AB’D’)

Gọi O giao điểm AC BD I giao điểm SO B’D’ Khi AI cắt SC C’

Ta có

' '

' ' '

2

S AB C S ABC

V SB SC SC

V SB SC  SC

' '

' ' '

2

S AC D S ACD

V SC SD SC

V SC SD  SC

Suy ' ' ' '

1 ' '

( )

2

S AB C S AC D S ABC S ACD S ABCD

SC SC

V V V V V

SC SC

   

Kẻ OO’//AC’ ( O'SC) Do tính chất đương thẳng song song cách đều nên ta có SC’ = C’O’ = O’C

Do ' ' ' '

1

S A B C D S ABCD

V  V

Hay

' ' ' '

1

S A B C D S ABCD V

V 

* Bài tập tham khảo:

Bài1: Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy ABC tam giác có trực tâm H cạnh a Gọi I, J, K trung điểm cạnh AB, BC, CA M, N, P trung điểm đoạn SI, SJ, SK Tính tỉ số thể tích hai khối chóp H.MNP S.ABC Từ tính thể tích khối chóp H.MNP

ĐS:

1 32

H MNP S ABC V

V 

Bài2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt

phẳng () qua AB cắt SC, SD M N Tính

SM

SC để mặt phẳng () chia hình chóp thành hai phần tích

ĐS:

3

SM SC

 

DẠNG2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH

Ví dụ1: (ĐH khối B – 2008 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang,BAD ABC  900,

, , ( )

AB BC a AD   a SA ABCD SA = 2a Gọi M, N trung điểm SA SD Tính thể tích khối chóp S.BCNM

theo a Giải:

Áp dụng cơng thức (1) ta có

2a a

2a

M N

A

D

B C

S BCM S BCA S CMN S CAD V SM V SA

V SM SN

V SA SD

 

 

Suy

3 3

1

2

2

2.3 4.3

S BCNM S BCM S CNM S BCA S CAD

V V V V V

a a a

   

  

Ghi chú:

1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực cơng thức

1

V  B h gặp nhiều khó khăn, dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM tính VSBCA VSCAD dễ dàng nhiều

2/ Khi dạy học yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN Ví dụ2: (ĐH khối A – 2007 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a

Giải: Ta có ( ) ( ) CMNP CMBD

CMBD M BCD CSBD S BCD

V CN CP

a

V CB CD

V V MB

b

V V SB

 

  

Lấy (a) x (b) vế theo vế ta

1 8 CMNP

CMNP S BCD S BCD

V

V V

V   

Gọi H trung điểm AD ta có SH AD mà

(SAD)(ABCD) nên SH (ABCD) Do

3

1 3

3 2 12

S BCD BCD

a a

V  SH S  a 

Vậy: 3 96 CMNP a V  (đvtt) Ví dụ3: (ĐH khối D – 2006 )

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với đáy Gọi M, N lần

lượt hình chiếu vng góc A lên đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a

Giải:

Ta có

SAMN SABC

V SM SN

V SB SC

AM AN đường cao tam giác vuông SAB SAC nên ta có

SM MB

2

2

4

4

5

SM SA a SM

MB AB  a   SB  Tương tự

4

SN SC  Do VS.AMN =

4

5 5.VS.ABC = 16

25 .VS.ABC Suy VA.BCMN =

25.VS.ABC

Mà VS.ABC =

2

1 3

.2

3

a a

a 

Vậy VA.BCMN =

3

3

50

a

(đvtt) Ghi chú:

Ta có hệ thức lượng tam giác vuông ABC sau

2 ' '

b b

c c

( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng)

Ví dụ4: (ĐH khối B – 2006 , Đề GVDG cấp trường 2009 – 2010 )

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a SA vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm AD SC, gọi I giao điểm BM AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a

Giải:

Gọi O giao điểm AC BD Ta có I trọng tâm tam giác ABC,

2

3

AI AI

AO   AC  nên

1 1

3

AIMN ACDN

V AI AM

V AC AD   (1) Mặt khác

1

ACDN ACDS

V NC

V SC  (2) Từ (1) (2) suy

1 12

AIMN ACDS V

V 

c

b' b c'

A

B H C

a a

a 2 I

M

O

C A

D

B

Mà

3

1 2

3

SACD ACD

a a a

V  SA S  a 

Vậy

3

1

12 72

AIMN SACD a

V  V 

(đvtt) Ví dụ5: (ĐH khối D – 2010)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn

thẳng AC cho AH =

AC

Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a

Giải:

Từ giả thiết ta tính

2 14

, , ,

4 4

a a a

AH  SH  CH  SC a  SCAC

Do tam giác SAC cân C nên M trung điểm SA

Ta có

1

2

S MBC

S MBC S ABC S ABC

V SM

V V

V  SA   

2

1 14 14

3 48

S ABC ABC

a a a V  SH S  

(đvtt)

* Bài tập tham khảo:

Bài1: Cho khối tứ diện ABCD có ABC BAD 90 ,0 CAD 120 ,0

, ,

AB a AC  a AD3a Tính thể tích tứ diện ABCD. ĐS:

3 2

2

ABCD a

V 

Bài2: Cho khối chóp S.ABCD dấy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi B’, D’ hình chiếu vng góc A lên SB SD Mp(AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a

ĐS:

3 ' ' ' '

16 45

S A B C D

a

V 

Bài3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh Gọi M, P trung điểm SA SC, mp(DMP) cắt SB N Tính theo a thể tích khối chóp S.DMNP

ĐS:

3

2 36

S DMNP a

V 

Bài4: (ĐH khối B – 2010)

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể

ĐS:

3 ' ' '

3

ABC A B C

a

V 

12

a R

DẠNG3: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH

Việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khó khăn xác định chân đường cao Khó khăn khắc phục ta tính khoảng cách thơng qua thể tích khối đa diện, mà khoảng cách độ dài đường cao khối đa diện Sau ta xét số ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: (ĐH khối D – 2002 )

Cho tứ diện ABCD có AD vng góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD)

Giải:

Ta có AB2 + AC2 = BC2  ABAC

Do

2

6

ABCD

V  AB Ac AD cm Mặt khác CD = 2, BD = BC =

Nên BCD cân B, gọi I trung điểm CD

2

1

(2 2) 34

2

BCD

S DC BI

    

Vậy

3 3.8 34

( ,( ))

17 34

ABCD BCD V d A BCD

S

  

Ví dụ2: (ĐH khối D – 2007)

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang, ABCBAD 900, AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB CMR tam giác SCD

vng tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD)

Giải:

Ta có

S HCD S BCD

V SH

V SB

SAB

 vuông A AH đường cao nên Ta có

2

2

2

2

3

SH SA a SH

HB AB a   SB  Vậy

2

S.HCD S.BCD

2 a a

V = V = a =

3 3

4

4

3

5

I D

A C

B

2a a

S

C B

D A

Mà

1

( ,( ))

3

S HCD SCD

V  d H SCD S SCD

 vuông C ( AC2 + CD2 = AD2),

do

2

1

2.2

2

SCD

S  CD SC a a a

Vậy

3 ( ,( )) a a

d H SCD

a

 

Ví dụ3: (ĐH khối D – 2008)

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, AA’ = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM B’C

Giải:

Gọi E trung điểm BB’,ta có EM//CB’ Suy B’C //(AME) nên

d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME))

Ta có C AEM C AEB V MC

V CB 

2

1 1 2

2 2 24

C AEM EACB

a a a

V V

   

Ta có

( ,( )) C AEM

AEM V d C AME

S 

Gọi H hình chiếu vng góc B lên AE, ta có BH AE

Hơn BM (ABE) BM AE, nên ta AE HM

Mà AE =

6

a

, ABE vuông B nên

2 2

1 1

BH AB EB a

3 a BH   BHM

 vuông B nên

2 21

4

a a a

MH   

Do

2

1 21 14

2 2

AEM

a a a

S  AE HM  

Vậy:

3

3

( ,( )) 14 24 a a

d C AME

a

 

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC a 3 hình chiếu vng góc

của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’)

Giải:

Theo giả thiết ta có A’H  (ABC)

Tam giác ABC vuông A AH trung tuyến

nên AH =

1

2BC = a A AH' vng H nên ta có

2

' '

A H  A A  AH a Do

3 '

1

3

3 2

A ABC

a a a

V  a 

Mặt khác

' ' ' '

1

A ABC ABC A B C V

V 

Suy

3

' ' ' ' ' '

2

.3

3

A BCC B ABC A B C

a

V  V  a

Ta có

' ' ' ' '

( ',( ' ')) A BCC B

BCC B V d A BCC B

S 

Vì ABA H'  A B' 'A H'  A B H' ' vuông A’

Suy B’H = a23a2 2a BB '  BB H' cân B’ Gọi K trung điểm

của BH, ta có B K' BH Do

2 14

' '

2

a B K  BB  BK 

Suy

2 ' '

14

' ' 14

2

BCC B

a

S B C BK  a a

Vậy

3

3 14

( ',( ' '))

14 14

a a

d A BCC B a

 

* Bài tập tương tự:

Bài 1: (ĐH khối D – 2009)

Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A đến mp(IBC)

ĐS:

2

( ,( ))

5

a d A IBC  Bài2:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm M thuộc AD cho AM = 3MD Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C)

a a

2a

3

K

C' B'

H

B C

ĐS: ( ,( ' )) a d A AB C  Bài3:

Cho tứ diện ABCD có DA vng góc với mp(ABC), ABC 900 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) AD = a, AB = BC = b

ĐS: 2

( ,( )) ab

d A BCD

a b

  Bài4:

Cho tứ diện ABCD, biết AB = a, M điểm miền tứ diện Tính tổng khoảng cách từ M đến mặt tứ diện

ĐS:

3

3

ABCD ACB V

h h h h a

S

    

Bài5:

Cho tứ diện ABCD điểm M miền tứ diện Gọi r1, r2, r3, r4 lần

lượt khoảng cách từ M đến mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) tứ diện Gọi h1, h2, h3, h4 khoảng cách từ đỉnh A, B, C, D đến mặt đối

diện tứ diện CMR:

3

1

1

1

r

r r r

h  h h h 

DẠNG4: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC

Việc tính diện tích đa giác phẳng quy việc tính diện tích tam giác theo

công thức

1

S  ah

, h – chiều cao a độ dài cạnh đáy

Tuy nhiên nhiều trường hợp, đặc biệt việc tính diện tích đa giác phẳng khơng gian, tính trực cơng thức gặp nhiều khó khăn Khi tính diện tính đa giác thơng qua thể tích khối đa diện Sau số ví dụ minh hoạ

Ví dụ1: (ĐH khối A – 2002)

Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB SC Tính diện tích tam giác AMN theo a, biết (AMN)(SBC)

Giải:

Gọi K trung điểm BC I trung

điểm MN Ta có

1

4

S AMN S ABC

V SM SN

V SB SC  (1)

I N

M

O K

A

A

C

Từ (AMN)(SBC)

và AI MN (do AMN cân A ) nên AI (SBC)  AI SI

Mặt khác, MN SI SI (AMN) Từ (1)

1

4

AMN

AMN ABC ABC

SI S SO

S S

SO S SI



 



   

(O trọng tâm tam giác ABC) Ta có ASK cân A (vì AI vừa đường cao vừa trung tuyến) nên AK = AS =

2

3 15

2

a a

SO SA OA

   

Và SI =

1

2

a SK 

Vậy

2

1 15 10

4 16

4

AMN

a a a

S

a

  

* Bài tập tham khảo:

Bài1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Biết ABC tam giác vng B có AB = a, BC = b, AA’ = c (c2 a2b2 ) Một mặt phẳng ( ) qua A vng góc

với CA’cắt lăng trụ theo thiết diện a) Xác định thiết diện

b) Tính diện tích thiết diện xác định câu a)

ĐS: Thiết diện AMN có diện tích

2 2

2

AMN

ab a b c S

c   

Bài2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB = x, AC = y, AD = z, góc

   900

BAC CAD DAB   Gọi H hình chiếu A lên mặt phẳng (BCD) a) Chứng minh rằng: 2 2

1 1

AH x  y  z b) Tính diện tích tam giác BCD

ĐS:

2 2 2

1

BCD

KẾT LUẬN

- ***

-Việc sử dụng tỉ số thể tích để giải tốn hình học khơng gian, đặc biệt tốn tính thể tích khối đa diện, tính khoảng cách hay tính diện tích đa giác tỏ có nhiều ưu điểm, giúp cho lời giải ngắn gọn không cần sử dụng nhiều kiến thức hình học khơng gian lớp 11 Trong q trình giảng dạy cho học sinh khối lớp 12 Ba học kì I năm học 2009 - 2010, đem đề tài áp dụng thấy học sinh tiếp cận nhanh biết vận dụng để giải tập mà cho kiểm tra lớp Trong học kì II tơi tiếp tục triển khai đề tài để giảng dạy cho em học sinh khối 12 ôn thi Đại học Cao đẳng, em tiếp thu tốt

Qua năm triển khai thực đề tài này, tơi thấy tính hiệu đề tài cao, áp dụng rộng cho nhiều đối tượng học sinh khối lớp12, ôn thi tốt nghiệp luyện thi Đại học Vì vậy, năm học tiếp tục triển khai áp dụng đề tài để giảng dạy cho em học sinh khối 12

Tôi mong hội đồng chuyên môn Nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài hồn thiện hơn, triển khai áp dụng rộng rãi để giảng dạy cho học sinh toàn khối 12 Nhà trường

Hy vọng rằng, với đề tài này, giúp cho em học sinhcó thêm phương pháp để giải tốn hình học khơng gian kì thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng đạt kết cao

Trong q trình biên soạn đề tài tơi có nhiều cố gắng, nhiên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành thầy cô giáo đồng nghiệp Hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài tơi hồn thiện

Duyệt Hội đồng chuyên môn nhà trường:

……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………

Duyệt Hội đồng chuyên môn cấp trên: