Ứng dụng phương pháp gradient phối ngẫu hiệu chỉnh để nhận dạng thông số của hệ thống

Phương pháp nhận dạng trực tuyến hàm mật độ nhiệt lượng của nguồn nhiệt di động được đề xuất dựa trên phương pháp gradient phối ngẫu hiệu chỉnh kết hợp với phương pháp cửa sổ trượt có [r]

ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY

Số 71 (05/2020) No 71 (05/2020)

Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: http://sj.sgu.edu.vn/

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP GRADIENT PHỐI NGẪU

HIỆU CHỈNH ĐỂ NHẬN DẠNG THÔNG SỐ CỦA HỆ THỐNG

Applying modified conjugate gradient method for identifiying parameter of system TS Trần Thanh Phong(1), ThS Nguyễn Hoàng Phương(2)

(1),(2)Trường Đại học Tiền Giang TÓM TẮT

Bài báo nghiên cứu vấn đề giải toán ngược liên quan đến việc nhận dạng giá trị thông số bất định hệ thống mô tả phương trình đạo hàm riêng Phương pháp nhận dạng trực tuyến hàm mật độ nhiệt lượng nguồn nhiệt di động đề xuất dựa phương pháp gradient phối ngẫu hiệu chỉnh kết hợp với phương pháp cửa sổ trượt có dự báo Theo đó, nhóm cảm biến cố định đặt khu vực khảo sát để đo tiến triển nhiệt độ theo thời gian không gian Giải thuật lựa chọn cảm biến xây dựng để tìm vị trí ba cảm biến hữu ích cho việc nhận dạng khoảng thời gian làm việc cửa sổ trượt nhằm giảm thời gian tính tốn Giá trị nhiệt độ đo đạc bị tác động nhiễu tuân theo hàm phân phối chuẩn Gauss Kết nghiên cứu cho thấy, phương pháp đề xuất có khả nhận dạng tốt hàm mật độ nhiệt lượng với độ trễ thấp với 241s sai số 0,5K đáp ứng yêu cầu đặt Hiệu phương pháp chứng minh kết số thông qua việc mô

Từ khóa: tốn ngược, nguồn nhiệt, nhận dạng thơng số, phương pháp gradient phối ngẫu, phương trình

đạo hàm riêng ABSTRACT

This paper focuses on an ill-posed inverse problem with unknown parameters of a system, which can be described by partial differential equations (PDE) An online identification method of the density of a mobile heating source is proposed This approach was based on the algorithm of the predictive online conjugate gradient method (PCGM) with automatically adaptive sliding window size, which is based on the iterative regularization methods for the general case Assuming that the working area is limited, a set of fixed sensors was placed on the domain to acquire the evolutions of the temperatures in a spatial-temporal manner A method was built on the order to select three sensors that are the most effective for the identification procedure by decreasing the computational time The measurements are disturbed according to a realistic Gaussian noise The results of this research show that the proposed method can be able to identify the flux density of heat source with the low delay time about 241 seconds and the good response error about 0.5K The effectiveness of the proposed method were illustrated by the numerical results

Keywords: conjugate gradient method, heat source, identification, inverse problems, partial differential

equations

Quá trình truyền nhiệt nguồn nhiệt di động bối cảnh vấn đề phi tuyến ví dụ có liên quan đến tượng vật lý mơ hình hóa phương trình vi phân đạo hàm riêng Phương pháp đề xuất nhằm kiểm chứng hiệu phương pháp ước lượng dựa phương pháp gradient phối ngẫu (CGM) [1], [2] với việc sử dụng nhóm cảm biến hữu dụng Nhóm cảm biến xác định dựa vị trí nhóm cảm biến cố định thiết lập không gian di chuyển nguồn nhiệt thông qua giải thuật dựa mối quan hệ vị trí nguồn nhiệt vị trí cảm biến Việc nhằm giúp loại bỏ vị trí cảm biến khơng hữu ích để giảm thời gian tính toán hệ thống

Trong vài nghiên cứu trước đây, vấn đề giải toán nghịch tượng vật lý mô tả phương trình đạo hàm riêng, cụ thể trình truyền nhiệt đề xuất cách không đầy đủ Hadamard với việc giải toán phương pháp lặp [3] Phương pháp gradient phối ngẫu sử dụng để tối thiểu hóa sai lệch kỹ thuật lặp chứng tỏ phương pháp ổn định để ước lượng thơng số [4] Tuy nhiên, nhận dạng riêng lẻ thơng số nguồn nhiệt Hơn nữa, phương trình truyền nhiệt tổng quát không gian đa chiều phức tạp nên làm cho mơ hình tốn hệ thống trở nên cồng kềnh gây nhiều thời gian để xử lý [5], [6] Để cải thiện hiệu phương pháp, giải thuật lặp có hiệu chỉnh đề xuất để nhằm rút ngắn thời gian tính trình nhận dạng thơng số bất định hệ thống cần xem xét [4], [5], [7]

Nghiên cứu đề xuất giải

thống cách đầy đủ theo hướng Hadamard kết hợp phương pháp cửa sổ trượt trực tuyến giải thuật lựa chọn cảm biến Giải thuật nhận dạng xây dựng dựa phương pháp gradient phối ngẫu (conjugate gradient method) bao gồm ba vấn đề cần giải quyết: vấn đề trực tiếp (direct problem), vấn đề bổ trợ (adjoint problem) vấn đề độ nhạy (sensitivity problem) [6], [8], [9] mơ hình tốn tốn ngược dựa phương pháp CGM, phương pháp cửa sổ trượt kết hợp với giải thuật xác định cảm biến tối ưu

2 Nghiên cứu 2.1 Mô tả hệ thống

Để xây dựng mơ hình thí nghiệm cho phương pháp nhận dạng thông số hệ thống đề xuất viết này, giả sử có nguồn nhiệt S di chuyển bề mặt kim loại nhơm hình vng  có kích thước cạnh bên L

và độ dày e mơ tả Hình Giới hạn biên miền làm việc ký hiệu 

[7], [10], [11]

Biến số không gian hệ thống  x y,    L2,L2   L2,L2

tính mét biến số thời gian

0, f

t   t  tính giây Tấm

kim loại đốt nóng hai nguồn nhiệt có hàm mật độ thơng lượng nhiệt tương ứng  t tính

bằng

Wm giả định đĩa đồng chất di động D I t r ( ), I có tâm

 I(t), I( )

Hình Mơ tả hệ thống thí nghiệm Giả định giá trị thông

số Ψ , , , , , , ( ), ( ),  c h t I t 0 hệ thống sử dụng để xây dựng cho mơ hình thí nghiệm biết trước liệt kê Bảng với đơn vị đo đại lượng tuân theo đơn vị đo lường hệ thống đo lường quốc tế SI (tiếng Pháp: Système International d'unités)

Trong đó, kim loại đốt nóng hai nguồn nhiệt di chuyển bề mặt (mặt phẳng xOy) kim loại để

giúp ta khảo sát trình truyền nhiệt bề mặt bên kim loại Quỹ đạo di chuyển hai nguồn nhiệt mô tả Hình (a) Đồng thời, hàm mật độ dịng nhiệt nguồn cho hàm số có đồ thị thể Hình (b) Biểu thức hàm mật độ công suất nhiệt tổng hai nguồn x y t, ,  sử dụng để đốt nóng kim loại thực nghiệm diễn đạt sau:

 , ,  ( )  ,  ( ), 

0 otherwise

I

t if x y D I t r

x y t  

  

 (1)

Theo cách khác, biểu thức

x y t, , 

 cịn biểu diễn cách liên tục khả vi dạng hàm tổng hợp hàm mật độ thành phần theo

biến thời gian theo tọa độ không gian sau:

 

   

 2 

( )

, , arccotan

( ) ( )

I I I

t x y t

x x t y y t r

  

 

     

 

 

(2)

Với, hệ số   chọn nhằm

mục đích rời rạc hóa hàm mật độ dịng nhiệt liên tục Khoảng thời gian  chia thành Nt đoạn

 

1

,

t

N

i i

i

T t t

  

 với ti i bước chia rời rạc hóa định nghĩa

f t

t N

  Để tránh tính tổng qt, phương trình quỹ đạo tất vị trí định vị nguồn nhiệt

 I( ), I( )

I x t y t thành lập lại

dưới dạng hàm rời rạc cách tuyến tính viết lại cách sử dụng hàm nón s ti( ) với i0, ,Nt:

1

1 /

( ) /

0 otherwise

i i

i

i i

t i if t t t

s t t i if t t t

 

 

   

 

    

 

(3)

Hàm mật độ dòng nhiệt diễn đạt lại sau ( )t i is t( )( ) trs t( )

và phương trình quỹ đạo di chuyển

Nguồn nhiệt

Quỹ đạo nguồn nhiệt

   

 

I x t ,y t

x y

z

h

e

L

L

h

x y

như sau x tI( )x s tIi i( )( )xI trs t( ),

( ) ( ) ( ) ( )

I I I

y t  y s t  y s t Với “tr” ký

hiệu ma trận chuyển vị

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

X [m]

Y

[m

]

Trajectory of source Sensor Ci

0 500 1000 1500

1 1.5 2.5 3.5

4x 10

4

Time [seconde]

F

lux

de

ns

it

y

[

W

/m

2]

Real flux Flux to be estimated Initial flux

(a) Quỹ đạo di chuyển nguồn nhiệt (b) Mật độ dịng nhiệt

Hình Hàm mật độ dòng nhệt quỹ đạo di chuyển nguồn nhiệt 2.2 Vấn đề thuận (direct problem)

Nếu tất thông số biết bảng phụ lục, tiến triển nhiệt độ

trong không gian thời gian kết nghiệm phương trình đạo hàm riêng

bậc hai:

0

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

( , ,0) ( , )

( , , )

0 ( , , )

x y t x y t h x y t

c x y t x y t

t e

x y x y

x y t

x y t n

 

  

 

 

  

      

 



  



 

    

 

(4)

(c) Phân bố nhiệt độ t=900s (d) Phân bố nhiệt độ t=1500s Hình Phân bố nhiệt độ kim loại theo thời gian

0 250 500 750 1000 1250 1500

280 315 350 385 420 455 490 525 560

Time [s]

T

em

pe

rat

ure

[

K]

Temperature evolution in time

Hình Hàm mật độ dòng nhiệt quỹ đạo di chuyển nguồn nhiệt

Kết số thu nhờ sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM, Finite Element Method) thực phần mềm COMSOL MultiphysicsTM nhúng vào phần mềm Matlab® [12], [18] Q trình phân bố nhiệt độ nhôm theo thời gian thể thời thời điểm t=(300, 600, 900, 1500) như Hình Để đánh giá độ

tin cậy mơ hình tốn đề xuất để đơn giản hóa phương trình truyền nhiệt khơng gian hai chiều, 25 cảm biến nhiệt Cn đặt cố định kim loại Hình

 

N

lệch chuẩn  1

2.3 Phương pháp gradient phối ngẫu 2.3.1 Hàm mục tiêu

Để nhận dạng hàm mật độ dòng nhiệt ( )t , xét “nhiệt độ đo” ˆ( , )C tn vị trí cảm biến Cn1,2, ,25, vấn đề ngược thiết lập giải nghiệm việc tối

thiểu hóa tiêu chuẩn bậc hai:

      2

1 ˆ , ( , , ) , , ( , , ) , f t N n n n

J  x y t  C t x y t  C t dt



     (5)

Trong phần tiếp theo, việc thiết lập mơ hình toán vấn đề giới thiệu nhằm tính tốn thơng số trung gian phương pháp nhận dạng thông số bất định hệ thống dựa phương pháp CGM

2.3.2 Độ nhạy (sensitivity problem)

Xét độ thay đổi nhiệt độ ( , , )x y t sinh thay đổi mật độ dòng nhiệt tổng cho bởi: x y t, ,  x y, ,tx, ,y t

     

0

, , , ,

, , lim x y t x y t

x y t

              

Vấn đề độ nhạy hệ thống mô tả hệ thống sau:

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

( , , 0) ( , )

( , , )

0 ( , , )

x y t x y t h x y t

c x y t x y t

t e

x y x y

x y t

x y t n                                    (6)

Trong đó, thay đổi là:

   

 2 

( , , ) ( )

( , , ) ( ) arccotan

( )

( ) ( )

I I I

x y t t

x y t t

t

x x t y y t r

                    

Nghiệm vấn đề độ nhạy ( , , )x y t

là hữu ích viêc tính toán độ tăng giảm k1 cho vòng lặp: k1 k k1 k1

d 

  

    Độ tăng giảm k1

làm tối thiểu tiêu chuẩn J,k1:

 1

1

Arg m n i ,

k k J        

hoặc  

1 1 , k k k k d

J  

        

Điều suy độ tăng giảm k1

được tính tốn cho vịng lặp là:

            1 1 , , , , ˆ , f f c n n c t k n N k C C n k t k n n N

C t dt C t d

t t t                  (7)

hướng tăng giảm dk1 6Nt phải

biết thơng qua việc tính tốn với hàm mục tiêu, cụ thể gradient hàm mục tiêu phải tính tốn thơng qua vấn đề phối ngẫu sau

2.3.3 Vấn đề phối ngẫu (adjoint

problem)

Nhằm mục đích tính tốn gradienr i J J        

   i 1, 2, ,Nt cho vịng lặp, cơng thức Lagrange ( ( , , ), , ) x y t 

được giới thiệu sau:

 0

0

( ( , , ), , ) ( ( , , ), )

2 ( , , ) ( , , )

( , , ) (

, , )

f

t

x y t J x y t

h x y t

x y t

c x y t x y t d dt

t e                               

Nếu ( , , ) x y t nghiệm phương trình (4) đó:

( ( , , ), , ) x y t   J( ( , , ), x y t )  ( ( , , ), , )x y t   J( ( , , ),x y t )

Độ biến thiên Lagrange viết lại: ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

x y t x y t

x y t x y t

x y t x y t

                           

Với ( , , )x y t cố định để

( , , )

( , , ) ( , , )x y t x y t

   

  

 ,

phương trình phức hợp kiểm chứng, nên:

( , , ) ( , , )

( ( , , ), )

J x y t

               

Từ   ( ( , , ), , )

( , , ), ( )

( )

x y t

J x y t t

t            với ( ) ( , 1) ˆ ( )

n n

k

C C

d t  t    t , độ biến thiên Lagrange viết lại sau:

   

 

1

0

0 0

( , , )

( , , ), , ( ) ( , , ) ( , , )

2 ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

f c f

f f f

t N t

D n

n

t t t

x y t

x y t d t x y t C d dt c x y t d dt

t

h x y t

x y t x y t d dt x y t d dt x y t d dt

e e                                                

Biết    

1

( , , ) ( )

c

n n

N

D C D C

n

E x y t d t x x  y y



   với ( ) ( )

n n

D x xC D y yC

   

là hàm phân phối Dirac liên quan đến cảm biến ( , )

n n

n C C

C x y ( ) ( , , )x y t , nên:

 

   

0

0

( ) ( )

( ), , ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) f f f t t t f h

E c d dt

t e

c x y t t d dt d dt