[r]
(1)Bài toán xác định Đa Thức
Vic tìm tịi lời giảI tốn xác định đa thức th ờng gây lúng túng cho HS Nguyên nhân hs đ ợc trang bị đầy đủ kiến thức cần thiêt nh ng rời rạc ởcác khối lớp th ờng thiếu tập áp dụng Bài viết này nhằm củng cố kiến thức đa thức đa thức ch ơng trình toán từ lớp đến lớp đặc biêt ch ơng trình HSG lớp
1, Một vài kiến thức để giảI loại toán :
Định lý Bơ-du : phần d phép chia đa thức f(x) cho nhị thc x a giá trị đa thức x = a , tøc lµ f(x) = (x –a)g(x) + f(a)
Thực , giả sử f(x) = (x –a)g(x) + r f(a) = r Phơng Pháp hệ số bất định
Gi¶ sư f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0
g(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
NÕu f(x) = g(x) với giá trị phân biệt cđa x th× a3=b3 , a2=b2 , a1=b1 ,
a0=b0
Chøng minh : gi¶ sư víi giá trị phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 cã :
f(x1)=g(x1) (1) f(x2)=g(x2) (2)
f(x3)=g(x3) (3) f(x4)=g(x4) (4)
Đặt c3=a3 – b3 , c2=a2 – b2 , c1=a1 – b1 , c0=a0 – b0
Trừ theo vế (1) (2) đợc :
C3(x31 – x32 ) + C2(x12 – x22) + C1(x1 – x2) =
Vì x1 x2 nên
C3(x13 +x1x3+x32) + C2(x1 + x2) + C1 = (5)
Tơng tự từ (1) (3) có
C3(x12 + x1x3 + x32 ) + c2(x1+x3)+c1 = (6)
Trừ theo tong vế (5) (6) chia cho x2 – x3 đợc
c2+c3(x1+x2+x3)=0 (7)
T¬ng tù tõ (1) , (2) , (4) cã :
C2+c3(x1 + x2 + x4) = (8)
Trừ theo vế (7) (8) đợc c3(x3 – x4) = ⇒ c3=0 x3 – x4
Thay c3 =0 vào (8) đợc c2 = Từ (6) đợc c1 =0 Thay vào (1) đợc a0
= b0 suy ®pcm
Một số dạng toán thờng gặp
Dạng : Xác định đa thức bậc n ( n = 2,3) biết (n + 1) giá trị đa
thøc
Bài toán : Xác định đa thức bậc ba biết f(0) =1 ; f(1) = ; f(2) = 5;f(3)=
22
Lời giải : Gọi đa thức cần tìm :
F(x) = ax3 + b2 + cx + d
Theo bµi ta cã : f(0) = ⇒ d=1
f(1) = ⇒ a+b+c = -1 (1) f(2) = ⇒ 4a+2b+c=2 (2) f(3) = 22 ⇒ 9a + 3b +c =7 (3)
Giải hệ phơng trình (1) , (2) , (3) đợc a=1, b=0, c=-2 Vậy f(x)=x3-2x+1
(2)Chẳng hạn toán bỏ điều kiện f(3) = 22 giải hệ phơng trình (1) (2) d =1 ta đợc f(x) =ax3+(3-3a)x2+(2a- 4)x+1 với a tham số
Dạng : Xác định đa thức d biết số phép chia khác
Bài toán : Đa thức f(x) chia cho x+1 d , chia cho x2+1 d 2x+3
Tìm đa thức d chia f(x) cho (x+1)(x2+1)
Lời giải : Theo định lí Bơ-du ta có f(-1) = (4) Do bậc đa thức chia (x+1)(x2+1) nên đa thức d có dạng bậc hai ax2+bx+c
Gi¶ sư
f(x) = (x+1)(x2+1).q(x)+ax2+bx+c
= [(x+1).q(x)+a].(x2+1)+bx+c-a (5)
Mµ f(x) chia cho (x2+1) d 2x+3 (6)
Tõ (4) , (5), (6) cã b=2 (7) , c - a =3 (8), a – b + c =4 (9)
Gi¶i hƯ phơng trình (7)(8)(9) suy đa thức d cần tìm lµ
2x
2
+2 x +9
2 Chó ý
rằng để tìm đa thức d chia f(x) cho g(x) điều kiện để ta biết phép chia f(x) cho đa thức thơng g(x)
Dạng 3: Xác định đa thức biết điều kiện hệ số
Bài tốn : Tìm đa thức f(x) có tất hệ số số nguyên không âm nhỏ thoả mãn : f(x) =2003
Lêi gi¶i : XÐt ®a thøc
F(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 với a0,a1,…,an-1,an l cỏc s nguyờn khụng
âm nhỏ Do f(8) = 2003 nªn an8n+an-18n-1+…+a18+a0 = 2003 ë ®©y
a0 , a1 , , an-1 , an chữ số năm 2003 cho đợc d a0 =3 , lại lấy
th-ơng chia cho , liên tiếp nh , ta đợc đa thức cần tìm : F(x) = 3x3+7x2+2x+3
Bài tốn tổng qt : Tìm đa thức f(x) cho tất hệ số số nguyên không âm nhỏ a biết f(a) = b , a,b số cho
Dạng 4: Xác định đa thức thoả mãn hệ thức f(x)
Bài toán : Tìm đa thức f(x) bậc nhỏ thoả mÃn hệ thức sau với giá trị phân biệt cña x :
3f(x) – f(1-x) = x2+1 (10)
Lêi gi¶i : Gi¶ sư f(x) = a3x3 +a2x2 +a1x + a0
Sử dụng phơng pháp hệ số bất định ta có : 4a3x3 =0 ⇒ a3 =0 suy 2a2x2 =x2 ⇒ a2 =
2 , từ có (4a1+1)x = ⇒
a1 =-
4 vµ 2a0 -
4 = ⇒ a0 =
8 VËy f(x) 2x
2−1
4+
Các bạn chứng minh phơng pháp hệ số bất định hai đa thức có bậc , bậc tìm thêm dạng khác toán xác định đa thức
Dạng 5: Tìm giá trị đa thức
Bài toán 5: Đa thức bậc có hệ số cao thoả mÃn f(1) = ,
f(2)=11, f(3) =21 TÝnh f(-1) + f(5)
Lêi gi¶I : NhËn xÐt g(x) = 2x2 + tho¶ m·n f(1) =5 , f(2) = 11 , f(3) =21
Q(x) = f(x) – g(x) đa thức bậc có nghiệm x=1, x=2 , x=3 VËy Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) ta cã :
f(-1) = Q(-1) + 2.(-1)2 + = 29 + 24a
f(5) = Q(5) + 2,(5)2 +3 =173 +24a Suy f(-1) + f(5) = 202
(3)Giả sử P( 1) = , P (3) = , P (5) = , Hãy tính giá trị cúa biểu thức Q = P(-2) +7 P(6) ( Trích đề thi Olympic lp (08-09)
Hơng Sơn Hà TÜnh
Lời giảI : Vì P(1) = , P(3) = 0, P(5) = nên đa thức P(x) nhận 1; ; làm nghiệm VậyP(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x-a) Từ suy P(-2) = 210 + 105a 7P(6) = 630 – 105a Q = P(-2) + 7P(6) = 840
Các bạn giảI thêm tập sau : Đa thức bậc có hệ số cao thoả mÃn g(-1) = ; g(2) = 11 ; g (4) = 35 TÝnh P = G(-1) +4G(5) Chóc c¸c bạn thành công học thật giỏi