Cho hình chóp S.ABC có các 4ABC và 4SBC là các tam giác đều và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.T. Nhóm:A[r]
(1)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
DẠNG 17. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG
THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG
1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1) Góc hai đường thẳng
Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin tỉ số lượng giác
Phương pháp 2: Sử dụng tích vơ hướng: #»u #»v hai véc-tơ phương hai đường thẳng a b góc ϕ hai đường thẳng xác định công thức
cosϕ=|cos (#»u ,#»v)|= |
#»u · #»v| |#»u| · |#»v|
2) Góc đường thẳng mặt phẳng:
P
a0 a
Muốn xác định góc đường thẳng a (P) ta tìm hình chiếu vng góc a0 củaa (P) Khi
÷
(a,(P)) = (’a0, a)
3) Góc hai mặt phẳng:
Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a, b vng góc với hai mặt phẳng (α) (β) Khi đó, góc (α) (β)
÷
(α),(β)
=Ĕa, b
ä Phương pháp 2:
α
β
ϕ a
b
(2)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Xác định giao tuyến c hai mặt phẳng (α) (β)
Dựng hai đường thẳng a, b nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến c điểm c Khi đó: (÷α),(β)
=Ĕa, b
ä
Cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ (γ) vng góc với giao tuyến c mà (α)∩(γ) = a,
(β)∩(γ) = b Suy (÷α),(β)
=Ĕa, b
ä
4) Sử dụng phương pháp tọa độ khơng gian: Chọn hệ trục thích hợp cụ thể hóa tọa độ điểm
a) Giả sử đường thẳng a b có véc-tơ phương #»a ,#»b Khi đó: cos(‘a, b) =
#»a · #»b
|#»a| ·
#» b
⇒(‘a, b)
b) Giả sử đường thẳng a có véc-tơ phương #»a (P) có véc-tơ pháp tuyến #»n Khi đó: sin(÷a,(P)) =
|#»a · #»n|
|#»a| · |#»n| ⇒(÷a,(P))
c) Giả sử mặt phẳng (α) (β) có véc-tơ pháp tuyến #»a ,#»b Khi đó: cos((ÿα),(β)) =
#» a · #»b
|#»a| ·
#» b
⇒((ÿα),(β))
2 BÀI TẬP MẪU
Ví dụ
(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hình chóp
S.ABCD có đáy hình vng cạnh a√3, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a√2 (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD)
bằng
A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦
A
B C
D S
Lời giải
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính góc đường thẳng mặt phẳng HƯỚNG GIẢI:
(3)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
LỜI GIẢI CHI TIẾT
A
B C
D S
Ta có: SA⊥(ABCD) nên AC hình chiếu SC mặt phẳng (ABC) Do đó: (SC,Ô(ABCD)) = (SC, AC) = SCA
Xột hỡnh vuụng ABCD ta có: AC =a√6 Xét 4SAC vng A, ta có: tanSCA‘ =
SA AC =
a√2 a√6 =
1 √
3 ⇒SCA‘ = 30
◦.
Chọn phương án A
3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu Cho hình thoi ABCD cạnh a điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa hình thoi cho SA=a vng góc với (ABC) Tính góc SD BC
A 60◦ B 90◦ C 45◦ D 30◦
Lời giải
A
B C
D S
Ta có: AD kBC ⇒Ÿ(SD, BC) = Ÿ(SD, AD) = ADS‘ = 45◦ Chọn phương án C
(4)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD hình bình hành với BC = 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = 3a (minh họa hình vẽ) Góc hai đường thẳng SD BC nằm khoảng nào?
A (20◦; 30◦) B (30◦; 40◦) C (40◦; 50◦) D (50◦; 60◦)
A
B C
D S
Lời giải
Ta có: BC k AD ⇒ Ÿ(SD, BC) = Ÿ(SD, AD) = SDA‘ (Do 4SAD vuông A nên SDA <‘ 90◦)
Xét 4SAD vuông A, ta có: tanSDA‘ =
SA AD =
3a
2a =
3
⇒SDA‘ = arctan
3
2 ≈56
◦.
A
B C
D S
3a
2a
Chọn phương án D
Câu Cho tứ diệnABCD có AC =BD = 2a Gọi M, N trung điểm BC, AD Biết
M N =a√3 Tính góc AC BD
A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦
Lời giải
Gọi I trung điểm AB Ta có IM =IN =a Áp dụng định lý cosin cho 4IM N ta có:
cosM IN’ =
IM2+IN2−M N2
2·IM ·IN =
a2+a2−3a2
2·a·a =−
1
2
⇒M IN’ = 120◦
Vì IM k AC, IN k BD ⇒ (ŸAC, BD) = (ÿIM, IN) = 180◦−120◦ =
60◦
B
C
D A
I N
M
2a
2a a
a
a√3
Chọn phương án C
Câu Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M trung điểm CD Tính cosin góc AC
BM
A √
3
4 B
√
6 C
√
2 D
√
(5)50 D ẠNG TO ÁN PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A LẦN Lời giải cos(ŸAC, BM) =
cos
Ä# »
AC,BM# Ȋ
= # » AC·BM# »
# » AC · # » BM = # »
AC·ÄCM# »−CB# »ä
a· a √ = # »
AC·CM# »−AC# »·CB# »
a2√3 = a· a
2cos 120
◦−a·a·cos 120◦
a2√3 = −a + a2
a2√3
= a2
4 a2√3
2 =
√
6
Chọn phương án B
Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 2a, BC =a Các cạnh bên hình chóp a√2 Khi đó, góc hai đường thẳng AB SC
A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦
Lời giải
Ta có: AB kCD nên ÄAB, SC◊ ä
=ÄCD, SC◊ ä
=SCD‘
Gọi M trung điểm CD Tam giác SCM vng M có SC = a√2, CM = a nên tam giác vuông cân M nên
‘
SCD = 45◦ Vậy ÄAB, SC◊
ä
= 45◦
A B C D S M 2a a
a√2
Chọn phương án A
Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, I trung điểm BC, AD AC Cho AB = 2a, CD= 2a√2 M N =a√5 Tính góc ϕ=ÄAB, CD◊
ä
A 135◦ B 60◦ C 90◦ D 45◦
Lời giải
Theo tính chất đường trung bình tam giác:
IN kCD;IN =
2CD =a
√ IM kAB;IM =
2AB =a
⇒ϕ=(ŸAB, CD) =(ÿIM, IN) Áp dụng định lý cosin ta có:
cosϕ=
IM2+IN2−M N2
2·IM ·IN
= − √ 2 = √
2 ⇒ϕ= 45
◦. B C D A I N M
a√5
2a√2
a
(6)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Chọn phương án D
Câu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a√3, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a (minh họa hình vẽ) Góc hai đường thẳng SC BD nằm khoảng nào?
A (30◦; 40◦) B (40◦; 50◦) C (50◦; 60◦) D (60◦; 70◦)
A
B C
D S
Lời giải
Gọi O =AC∩BD M trung điểm SA
Xét hình chữ nhật ABCD, ta có: OB = OA = BD
2 =
√
AB2+AD2
2 =
√
a2+ 3a2
2 =
2a
2 =a
Xét 4M AB vuông A, ta có: M B =√AB2+M A2 =√a2+a2 = a√2
Xét 4M AO vng A, ta có: M O =√AO2+M A2 =√a2+a2 =
a√2
Xét 4M BO, ta có: cosM OB’ =
OB2+OM2−BM2
2·OB·OM =
a2+ 2a2−2a2
2·a·a√2 =
1
2√2 ⇒M OB’ ≈69
◦.
Ta có: SC k M O ⇒ Ÿ(SC, BD) = (ŸM O, BD) = M OB’ ≈ 69◦ (Do ’
M OB <90◦)
A
B C
D S
M
O
2a
a√3
a
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Chọn hệ trục Axyz
như hình vẽ với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C a;a√3; 0, D 0;a√3; 0và
S(0; 0; 2a)
Ta có: SC# » = a;a√3;−2a ⇒ SC có véc-tơ phương
#»
u = 1;√3;−2
# »
BD = −a;a√3; ⇒ BD có véc-tơ phương #»v = −1;√3;
Suy ra: cosŸ(SC, BD) =
|#»u · #»v| |#»u| · |#»v| =
2
2√2·2 =
1
2√2
Vậy Ÿ(SC, BD)≈69◦
z
y
x
A
B C
D S
2a
a√3
a
Chọn phương án D
Câu Cho hình chóp S.ABC có 4ABC 4SBC tam giác nằm hai mặt phẳng vng góc với Góc đường thẳng SA (ABC)
A 45◦ B 75◦ C 60◦ D 30◦
(7)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
Theo giả thiết ta có (ABC)⊥(SBC)
Trong mặt phẳng (SBC) kẻ SH ⊥BC ⇒SH ⊥(ABC) nên AH hình chiu caSAtrờn (ABC) Do ú,(ÔSA,(ABC)) =(SA, AH) =
SAH
Giả sử AB =a
Ta có:4SBC 4ABC tam giác nên H trung điểm
BC AH =SH = a √
3
2
Xét tam giác vuông SHA ta có tanSAH‘ =
SH AH = SAH = 45
Vy (ÔSA,(ABC)) = 45
C
B
A S
H
Chọn phương án A
Câu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a√2 (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng (SAB)
A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦
A
B C
D S
Lời giải
Ta có: ®
BC ⊥SA
BC ⊥AB ⇒BC ⊥(SAB)nên SB hình chiếu SC trờn mt
phng (SAB)
Do ú: (ÔSC,(SAB)) = (ÿSC, SB) = BSC‘ Xét 4SAB vuông A, ta có:
SB =√SA2+AB2 =p(a√2)2+a2 =a√3. Xét 4SBC vng B, ta có:
tanBSC‘ =
BC SB =
a a√3 =
1 √
3 Vậy: BSC‘ = 30
◦.
A
B C
(8)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a;a; 0)
S 0; 0;a√2
Ta có: (SAB) : y = ⇒ véc-tơ pháp tuyến (SAB)
#»
j = (0; 1; 0)
# »
SC = a;a;−a√2 ⇒ SC có véc-tơ phương
#»
u = 1; 1;2
Suy ra: sin(ÔSC,(SAB)) =
#»j · #»u
#»j · |#»u|
=
2
Vy: (ÔSC,(SAB)) = 30
z
y
x
A
B C
D S
a√2
a
a
Chọn phương án A
Câu 10
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a√3 (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SD mặt phẳng (SAB)
A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦
A
B C
D S
Lời giải
Ta có: AD⊥ (SAB) nên SA hình chiếu SD mặt phẳng
(SAB)
Do ú: (ÔSD,(SAB)) =(SD, SA) = ASD Xét 4SAD vng A, ta có: tanASD‘ =
AD SA =
a a√3 =
1 √
3 ⇒
‘
ASD= 30◦ A
B C
D S
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0;a; 0)
S 0; 0;a√3
Ta có: (SAB) : y = ⇒ véc-tơ pháp tuyến (SAB)
#»
j = (0; 1; 0)
# »
SD = 0;a;−a√3 ⇒ SD có véc-tơ phương
#»
u = 0; 1;−√3
Suy ra: sin(ÔSD,(SAB)) =
#ằj à #ằu
#» j· |#»u|
=
2 (ÔSD,(SAB)) =
30
z
y
x
A
B C
D S
a√3
a
(9)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
Chọn phương án A
Câu 11 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a, 4ABC cạnh a Tính góc SB
và (ABC)
A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 90◦
Lời giải
Ta cóSA⊥(ABC)⇒ABlà hình chiếu củaSB mặt phẳng(ABC) ⇒ϕ=ABS‘ =(ÿSB, AB) = 45◦
A
B
C S
Chọn phương án C
Câu 12 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a, 4ABC cạnh a Gọi β góc
SC mặt phẳng (SAB) Khi đó, tanβ
A
…
3
5 B
…
5
3 C
1 √
2 D
√
2
Lời giải
Gọi I trung điểm AB Ta có: ®
CI ⊥AB
CI ⊥SA ⇒CI ⊥(SAB) ⇒SI hình chiếu SC trờn mt phng (SAB)
(ÔSC,(SAB)) =(SC, SI) =CSI =β
⇒tanβ = tanCSI‘ =
CI SI =
CI √
SA2+AI2 =
a√3
…
a2+a
2
2
=
…
3
5 A
B
C S
I
a
a a
Chọn phương án A
Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnha, SA vng góc với (ABCD)
cà SA=a√6 Tính sin góc tạo AC mặt phẳng (SBC)
A
3 B
1 √
6 C
1 √
7 D
√ √
7
(10)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Kẻ AH ⊥SB ⇒BC ⊥AH ⇒AH ⊥(SBC)
⇒CH hỡnh chiu caAClờn mt phng(SBC)(ÔAC,(SBC)) =
(AC, HC) = ACH’
Tam giác SAB vuông ⇒AH = SA·AB
SB =
a√6·a a√7 =
a√6 √
7
Vì 4AHC vng H ⇒sinACH’ =
AH AC =
√ √
7
A
B C
D S
H
Chọn phương án D
Câu 14
Cho hình chóp đềuS.ABCD có cạnh đáya√2, cạnh bên 2a (minh họa hình vẽ) Góc cạnh bên mặt đáy
A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦
A
B C
D S
Lời giải
Ta có: góc cạnh bên mặt đáy góc giữaSD (ABCD) Gọi O = AC ∩BD Vì S.ABCD hình chóp nên SO ⊥
(ABCD)
⇒OD hình chiếu SD trờn (ABCD) Do ú: (SD,Ô(ABCD)) =(SD, OD) = SDO Xét hình vngABCD ta có:OD = BD
2 =
AB√2
2 =
a√2√2
2 =a
Xét 4SOD vng O, ta có: cosSDO‘ =
OD SD =
a
2a =
1
2 ⇒
‘
SDO = 60◦
A
B C
D S
(11)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Gọi O = AC ∩ BD Vì S.ABCD hình chóp nên
SO ⊥(ABCD)
Ta có: AC = BD = AB√2 = 2a SO = √SD2−OD2 =
√
4a2−a2 = a√3 Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ với
O(0; 0; 0), C(a; 0; 0), D(0;a; 0) S 0; 0;a√3
Ta có: (ABCD) : z = ⇒ (ABCD) có véc-tơ pháp tuyến #»k = (0; 0; 1)
# »
SD = 0;a;−a√3 ⇒ SD có véc-tơ phương
#»
u = 0; 1;−√3
Suy ra: sin(SD,Ô(ABCD)) =
#ằ k · #»u
#» k
· |
#»u| = √
3
2
Ô
(SD,(ABCD)) = 60
z
y
x A
B C
D S
O a√3
a a
Chọn phương án C
Câu 15
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng
A B với AD= 2AB = 2BC = 2a;SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA= 2a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SD
và mặt phẳng (SAC)
A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦
A
B C
D S
Lời giải
GọiM trung điểmAD Ta có:4ACM 4DCM
vuông cân M
⇒’ACD=ACM’ +DCM’ = 45◦+ 45◦= 90◦ ⇒CD ⊥
AC mà CD ⊥SA nên CD ⊥(SAC)
⇒SC hình chiếu củaSD mặt phẳng (SAC) Do đó: (SD,(SAC)) = (SD, SC) =CSD‘
Xét4ACDvng cân tạiC, ta có:AC =CD =a√2 Xét 4SAC vng A, ta có:
SC =√SA2+AC2 =√4a2+ 2a2=a√6. Xét 4SCD vng C, ta có:
tanCSD‘ =
CD SC =
a√2 a√6 =
1 √
3 ⇒CSD‘ = 30
◦.
A
B C
D S
M
a
a
(12)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a;a; 0), D(0; 2a; 0)
S(0; 0; 2a)
Ta có: SD# » = (0; 2a;−2a) ⇒ SD có véc-tơ phương #»u = (0; 1;−1)
®# »
AS = (0; 0; 2a)
# »
AC = (a;a; 0) ⇒
ỵ# »
AS,AC# »ó = −2a2; 2a2;
⇒(SAC) có véc-tơ pháp tuyến
#»
n = (−1; 1; 0)
A
B C
D S
M
a
a
a a
z
y
x
Suy ra: sin(ÔSD,(SAC)) =
|#ằu à #»n| |#»u| · |#»n| =
1
2 ⇒(SD,(SAC)) = 30
◦.
Chọn phương án A
Câu 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a SA=SB =SC =SD =a Khi đó, cosin góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD)
A
4 B
1
3 C
√
2 D −
1
3
Lời giải
Gọi I trung điểm SA
Do tam giác SAD SAB u nờn đ
BI SA DI SA (SABÔ),(SAD)
=ÄBI, DI÷ ä
Áp dụng định lý cosin cho tam giác BID ta có:
cosBID‘ =
IB2+ID2−BD2
2IB·ID
=
Å√
3
2 a
ã2
+
Å√
3
2 a
ã2
−(a√2)2
2·
√
2 a·
√
2 a
=−1
3
A
B C
D S
I
Vậy cos
Ô
(SAB),(SAD)
=
3
Chọn phương án B
Câu 17 Cho tam giác ABC vng cân tạiAcó AB=a, đường thẳngd vng góc với (ABC)
tại điểm A ta lấy điểm D cho 4DBC Khi đó, góc hai mặt phẳng (ABC)
(DBC) nằm khoảng nào?
A (40◦; 50◦) B (50◦; 60◦) C (60◦; 70◦) D (70◦; 80◦)
(13)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
Gọi M trung điểm BC Ta có:
®
BC ⊥DM
BC ⊥DA ⇒BC ⊥(DM A)
Mặt khác:
(ABD)∩(DBC) =BC
(DM A)⊥BC
(DM A)∩(ABC) =AM
(DM A)∩(DBC) =DM
((ABCÔ),(DBC)) = (AM, DM) = DM A.ữ Ta cú: AM = BC
2 =
AB√2
2 =
a√2
2 , DM =
BC√3
2 =
a√6
2
Xét 4ADM vng A, ta có: cosAM D’ =
AM DM =
√
3
⇒AM D’ = arccos
√
3 ≈54
◦.
A
B
C D
M a
a
a√2
Cách khác:
Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (ABC) (DBC) Theo cơng thức diện tích hình chiếu đa giác
Ta có: S4ABC =S4DBC ·cosϕ Mà: S4DBC =
1
2DB·DC·sin 60
◦ =
2a
√
2·a√2·
√
2 =
a2√3
2
Mặt khác: S4ABC =
1
2AB·AC =
1
2a
2
⇒cosϕ= S4ABC S4DBC
= √
3
3 ⇒ϕ= arccos
√
3 ≈54
◦.
Chọn phương án B
Câu 18
Cho hình chóp S.ABCD có cạnh 2a, cạnh bên a√3 (minh họa hình vẽ) Góc mặt bên mặt đáy
A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦
B C
D S
A
Lời giải
Ta có: góc mặt bên mặt đáy góc (SCD) (ABCD) Gọi O =AC∩BD Vì S.ABCD hình chóp nên SO⊥(ABCD) Gọi M trung điểm CD Ta có:
®
CD ⊥SM CD ⊥OM
(14)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
CD ⊥(SOM)
(SCD)∩(ABCD) =CD
(SOM)∩(SCD) =SM
(SOM)∩(ABCD) = OM
((SCDÔ),(ABCD)) =(SM, OM) = SM O.’ Xét hình vng ABCD ta có:
OM =a OD = BD
2 =
AB√2
2 =
2a√2
2 =a
√
2
Xét 4SOD vng O, ta có:
SO =√SD2−OD2=p(a√3)2−(a√2)2 =a. Xét 4SOM vng O, ta có:
tanSM O’ =
SO OM =
a
a = ⇒SM O’ = 45 ◦.
A
B C
D S
O M
Cách khác:
GọiO =AC∩BD VìS.ABCD hình chóp nên
SO ⊥(ABCD)
Ta có: AC = BD = AB√2 = 2a√2 SO = √
SD2−OD2 =√3a2−2a2 =a Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ với O(0; 0; 0), C a√2; 0; 0, D 0;a√2;
và S(0; 0;a)
Ta có: (ABCD) : z = ⇒ (ABCD) có véc-tơ pháp tuyến #»k = (0; 0; 1)
(SCD) : x
a√2+ y a√2+
z
a = ⇔x+y+ √
2z−a√2 =
⇒ (SCD) có véc-tơ pháp tuyến #»n =
1; 1;√2
z
y
x A
B C
D S
O a
a√2
a√2
Suy ra: cos((SCDÔ),(ABCD)) =
#ằ k · #»n
#» k
· |
#»n| = √
2
2 ((SCDÔ),(ABCD)) = 45
.
Chn phng ỏn B
Câu 19
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a√2, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a√3 (minh họa hình vẽ) Góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD)
A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦
B C
D S
A
Lời giải
Gọi O =AC∩BD Ta có: ®
BD⊥SA
BD⊥AC ⇒BD ⊥(SAC)
(15)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
BD⊥(SAC)
(SBD)∩(ABCD) =BD
(SAC)∩(SBD) = SO
(SAC)∩(ABCD) =AC
((SBDÔ),(ABCD))
=(SO, AC) =SOA.
Xột hỡnh vuụngABCDta cú:OA= AC
2 =
AB√2
2 =
a√2√2
2 =a
Xét 4SAO vuông A, ta có: tanSOA‘ =
SA OA =
a√3 a =
√
3
Vậy: SOA‘ = 60◦
B C
D S
O A
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Chọn hệ trục
Axyz hình vẽ với
A(0; 0; 0), B a√2; 0; 0, D 0;a√2; 0, S 0; 0;a√3
Ta có: (ABCD) : z = 0⇒(ABCD)có véc-tơ pháp tuyến #»k = (0; 0; 1)
(SBD) : x
a√2 + y a√2+
z
a√3 = 1⇔ √
3x+√3y+√2z−
a√6 =
⇒(SBD) có véc-tơ pháp tuyến
#ằ
n = 3;3;2
Suy ra: cos((SBDÔ),(ABCD)) =
#» k · #»n
#» k
· |
#ằ n|
=
2
((SBDÔ),(ABCD)) = 60◦
B
D
C S
A y
x
z
a√2
a
√2
a√3
Chọn phương án C
Câu 20
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = 2a, AD =
2a√3
3 , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a (minh họa hình
vẽ) Góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD)
A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦
B C
D S
A
(16)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Vẽ AM ⊥BD M Ta có: ®
BD⊥SA
BD⊥AM ⇒BD⊥(SAM)
Do đó:
BD⊥(SAM)
(SBD)∩(ABCD) =BD
(SAM)∩(SBD) =SM
(SAM)(ABCD) =AM
((SBDÔ),(ABCD))
=(SM, AM) =SM A.’
B C
D S
A M
Xét 4ABD vng A, ta có:
AM2 =
1 AB2 +
1 AD2 =
1
4a2 +
3
4a2 =
1
a2 ⇒AM =a Xét 4SAM vuông A, ta có: tanSM A’ =
SA AM =
a a = ⇒SM A’ = 45◦
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với
A(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), D
Å
0;2a
√
3 ;
ã
và S(0; 0;a)
Ta có: (ABCD) : z = ⇒ (ABCD) có véc-tơ pháp tuyến
#»
k = (0; 0; 1)
(SBD) : x
2a +
y
2a√3
3
+z
a = 1⇔x+ √
3y+ 2z−2a=
⇒(SBD) có véc-tơ pháp tuyến #»n = 1;√3;
B
D C S
A y
x
z
a
2a
Suy ra: cos((SBDÔ),(ABCD)) =
#ằ k à #ằn
#» k
· |
#ằ n|
=
2 ((SBDÔ),(ABCD)) = 45
◦.
(17)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
BẢNG ĐÁP ÁN
1 C D C B A D D A A 10 A
hGeogebra Pro