Bai toan xac dinh mot da thuc

tëng vµo ph¬ng ph¸p néi suy NewTon.[r]

Phòng giáo dục Quận Trờng thCS ngô gia tự

Bài toán

xỏc định đa thức

Ngêi thùc hiƯn : Ng« Đức Minh.

Giáo viên : Trờng ThCS Ngô gia tự - Quận Hồng Bàng.

Năm học 2000 - 2001.

A / Lý chọn đề tài:

Những năm gần đây, kỳ thi học sinh giỏi cấp quận , huyện, thành phố hay có dạng tốn xác định đa thức Khi gặp loại toán em thờng nhanh chóng giải phơng pháp chia đa thức hay dùng hệ số bất định để đa đến việc tìm hệ số đa thức vào việc giải hệ phơng trình Việc giải hệ phơng trình khó khăn gặp hệ phơng trình , ẩn đối học sinh lớp

- Hệ số bất định

- Phơng pháp nội suy NEWTON

Các tập minh hoạ cho vấn đề toán thi học sinh giỏi quận, thành phố

B / Nội dung chuyên đề : Phần : Định lý Bơ - zu v ng dng

1) Định lý Bơ-zu :

PhÇn d cđa phÐp chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc x - a giá trị đa thức điểm a tức f(a)

Chứng minh :

Gäi phÇn d cđa phÐp chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc x - a r(x) Do bậc đa thức d nhỏ bậc đa thức chia nên r(x) lµ mét h»ng sè r vµ ta cã :

f(x) = (x - a ) q(x) + r

Thay x = a ta đợc : f(a) = ( a - a ) q(a) + r

 f(a) = r ( ®pcm )

*/ Hệ quả :

Nếu a nghiệm f(x) th× f(x)  ( x -a ) 2 ) øng dụng :

Bài toán :

Tỡm a , b để đa thức 2x3+ax+b chia cho x+1 d -6 chia cho x-2 d 21

(Đề thi học sinh giỏi vòng 1-Quận Hồng bàng- năm học 1998-1999) Lời giải :

Đặt f(x) = 2x3+ax+b Theo định lý Bơ-zu ta có :

f(x):(x+1) d -6 <-> f(-1) =-6 <-> 2(-1)3 + a(-1)+b = -6 <-> -a+b = -4 f(x): (x-2) d 21 <-> f(2) = 21 <-> 2.23 + a.2 + b = 21 <-> 2a +b = 5

− a+b=−4

¿

2a+b=5

⇔

¿− a+b=−4

−3a=−9

⇔

¿− a+b=−4

¿

a=3 ¿ ⇔ ¿a=3 b=−1 ¿{ ¿

Để tìm a , b ta giải hệ phơng trình sau :

Vậy đa thức cần tìm f(x) = 2x3+3x-1

Bài toán 2:

§a thøc f(x) chia cho x + d , chia cho x2 + d 2x + T×m sè d chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1)

( Đề thi BDTX giáo viên THCS - Năm học 1999 - 2000 ) Lêi gi¶i:

Theo định lý Bơ - zu , ta có : f(x) : (x+1) d <-> f(-1) =

Do bậc đa thức chia nên bậc đa thức d bậc Vì ,đa thức d có dạng ax2 + bx + c Theo định nghĩa phép chia cịn d ta có :

= (x + 1)(x2 + 1).q(x) + ax2 + a - a + bx + c = (x + 1)(x2 + 1).q(x) + a(x2 + 1) + bx + c - a = [(x + 1).q(x) + a].(x2 + 1) + bx + c - a

b=2

¿ c −a=3

a −b+c=4

⇔

¿b=2

c −a=3

a+c=6

⇔

¿b=2

c=9

2

a=3

2 ¿ ¿{ { ¿ ¿ ¿ ¿

Mµ f(x) : (x2 + 1) d 2x + VËy ta ph¶i cã :

3 2x

2

+2x+9

2 VËy ®a thøc d cần tìm :

Bài toán :

Cho ®a thøc A = x4 + ax2 + b

a/ Hãy xác định hệ số a , b đa thức A biết A chia hết cho đa thức B = x2 - 3x + 2

b/ Xác định thơng phép chia

( Đề thi học sinh giỏi thành phố - Bảng A- Lớp8 - năm học 1997-1998 )

Lêi gi¶i :

A⋮B⇔

A(1)=0

A(2)=0

⇔

¿14+a 12+b=0

24+a.22+b=0

⇔

¿a+b=−1

4a+b=−16

⇔

¿a=−5

b=4

¿{

a) Ta có : B = x2 - 3x +2 = (x -1)(x-2) Theo định lý Bơ-zu ,

ta cã :

VËy ®a thøc A = x4 - 5x2 + 4.

b) Để tìm thơng phép chia trên, ta đặt : x4 - 5x2 + x2-3x+2

3x3 - x2 + 6x 2x2 - 6x + 4

2x2 - 6x + 4

Thơng phép chia A cho B x2 + 3x + 2.

@ Nhận xét : Qua tốn ta rút lời nhận xét : khi sử dụng định lý Bơ-zu giúp ta giải nhanh việc tìm hệ số đa thức cần tìm Thơng thờng, nhờ định lý Bơ-zu đa việc tìm hệ số đa thức việc giải hệ phơng trình , ẩn Đối với hệ phơng trình ẩn trở lên cần trang bị thêm cho học sinh cách giải hệ phơng pháp Gau-xơ Thơng qua việc giải dạy trực tiếp mình, nhận thấy học sinh dễ dàng nắm bắt tốt giải tốt số toán nh xác định hệ số đa thức biết số d chia cho đa thức khác hay tìm số d phép chia đa thức cho đa thức

Phần : Phơng pháp hệ số bất định

*) NhËn xÐt chung:

Theo định nghĩa hai đa thức f(x) g(x) chúng nhận giá trị giá trị biến x Rõ ràng f(x) g(x) có bậc với i hệ số xi tơng ứng f(x) bằng g(x) Ngời ta chứng minh điều ngợc lại

Cơ thĨ : f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x1 + a0 g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + + b1x1 + b0 f(x) = g(x) <-> = bi víi i = o,n

Sau số toán xác định đa thức có sử dụng định nghĩa hai đa thức đợc gọi phơng pháp dựng h s bt nh

Bài toán :

Xác định a , b để đa thức ax3 + 12x2 + bx + luỹ thừa bậc của đa thức khác

( Đề thi học sinh giỏi thành phố - Bảng B-Lớp 8-Năm học 1998-1999) Lời giải:

Vì đa thức ax3 + 12x2 + bx + luỹ thừa bậc đa thức khác , nên bậc đa thức cần tìm phải bậc Hay đa thức cần tìm có dạng: mx + n

Theo bµi ta cã :

ax3 + 12x2 + bx + = ( mx + n )3

a=m3

3m2n

=12

3 mn2=b

n3

=1

⇔

¿a=m3

m2=4

¿

3m=b

n=1

⇔

m=2 thi a=8 ; b=6

¿

m=−2 thi a=−8 ;b=−6

¿ ¿{ { {

¿ ¿ ¿

Vậy có hai đa thức thoả mÃn điều điện toán

ú l :

8x3 + 12x2 + 6x2 + = (2x + 1)3 hc - 8x3 + 12x2 - 6x2 + = (-2x + 1)3

Bài toán :

Tìm số a , b ,c để x3 - ax2 + bx - c = (x - a)(x - b)(x - c)

(§Ị thi học sinh giỏi thành phố -Bảng A-Lớp 8-Năm học 1999-2000) Lời giải:

Theo ta có :

x3 - ax2 + bx - c = (x - a)(x - b)(x - c) = (x2 - bx - ax + ab)(x - c)

¿ a=a+b+c

b=ab+bc+ca

c=abc

⇔

¿b+c=0

b=a(b+c)+bc

c=abc

⇔

¿b+c=0

b=bc

c=abc

¿{ {

¿

Dùng phơng pháp hệ số bất định, ta phải có :

Do b = bc nªn b(1 - c) = vËy cã hai trêng hỵp xÈy : *) Nếu b =0 c = a lµ tuú ý

**) NÕu b  c = a = -1 ; b = -1

Bài toán 6 :

Cho ®a thøc A = ax3 + 6x2 + bx - 10

a/ Hãy xác định hệ số a , b đa thức A biết A chia hết cho đa thức B = x2 - 3x + 2

b/ Xác định thơng phép chia

( §Ị thi häc sinh giỏi thành phố - Bảng B- Lớp8 - năm học 1997-1998 ) Lêi gi¶i :

*) Do bËc đa thức A bậc đa thức B nên bậc đa thức thơng phải bậc có dạng : mx + n

Theo bµi ta cã :

AB <-> ax3 + 6x + bx - 10 = (x2 - 3x + 2)(mx + n)

¿ a=m

6=− n −3m

b=2m−3n

−10=−2n

⇔

¿a=m

6=−5−3m

b=2m−15

n=5

⇔

¿a=−11

3

m=−11

3

b=2(−11

3 )−15

n=5

⇔

¿a=−11

3

m=−11

3

b=−67

3

n=5

¿{ { {

¿

Dùng phơng pháp hệ số bất định,ta phải có :

A=−11

3 x

3

+6x2−67

3 x −10 VËy đa thức cần tìm :

11

3 x+5 **) Đa thức thơng phép chia A cho B lµ :

@Nhận xét: Đây phơng pháp “chủ lực” học sinh lới giải toán xác định đa thức Cần lu ý “cân bằng” bậc đa thức giải hệ phơng trình

PhÇn : Phơng pháp nội suy NEWTON

*) Nhận xét chung :

Trong môn phơng pháp tính - Tốn cao cấp - có phơng pháp xác định nhanh hệ số đa thức phơng pháp nội suy NEWTON

Nội dung phơng pháp nội suy NEWTON :

Để tìm đa thức P(x) bậc không n biết giá trị đa thức n+1 ®iĨm : C1 ,C2 , , Cn+1 ta cã thĨ biĨu diƠn P(x) díi d¹ng:

P(x)= b0 + b1(x - C1)+ b2(x - C1)(x - C2) + + bn(x -C1)(x -C2) (x - Cn) Bằng cách x lần lợt giá trị C1 , C2 , , Cn+1vào biểu thức P(x) ta lần lợt tính đợc hệ số b0 , b1 , , bn

Bµi toán :

Tìm đa thức bậc , P(x) biÕt :

P(0) = 10 ; P(1) = 12 ; P(2) = ; P(3) =

( §Ị thi häc sinh giỏi CHDC Đức - 1979 ) Lời giải :

Đặt : P(x) = d + cx + bx(x - 1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , P(0) = d , suy d = 10

P(x) = 10 + cx + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , P(1) = 10 + c , suy c =

P(x) = 10 + 2x + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , P(2) = 10 + + 2b , suy b = -5 P(x) = 10 + 2x - 5x(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , P(3) = 10 + - 30 + 6a , suy a = 5/2 P(x) = 10 + 2x - 5x(x-1) + 5/2 x(x-1)(x-2)

P(x)=5

2 x

3−25

2 x

2

+12x+10 Rút gọn ta c a thc cn tỡm l :

Bài toán :

Cho ®a thøc P(x) bËc thoả mÃn :

P(-1) = P(x) - P(x-1) = x(x+1)(2x+1)

1 Xác định P(x)

2 Suy giá trị tổng sau (n số nguyên dơng) S = 1.2.3 + 2.3.4 + +n(n+1)(2n+1)

(§Ị thi häc sinh giái TP Hå ChÝ Minh - 1992) Lêi gi¶i :

Cho x = ,Suy P(0) - P(1) = mà P(-1) =0 , P(0) = Cho x lần lợt giá trị x = -1 ; x = ; x = , ta nhận đợc P(-2) = ;P(1) = ; P(2) = 36

ĐặtP(x) = e + d(x+2) + c(x+2)(x+1) + b(x+2)(x+1)x + a(x+2)(x+1)x(x-1) Cho x = , P(-2) = e , suy e =

Cho x = -1 , P(-2) = d , suy d = Cho x = , P(0) = 2c , suy c = VËy P(x) = b(x+2)(x+1)x + a(x+2)(x+1)x(x-1) Cho x = , P(1) = 6b , vËy b =

P(x)=1

2x(x+1)

2

(x+2) Cho x = , P(2) = 24 + 24a = 36 a = 1/2 Đa thức cần tìm :

P(n) - P(n-1) = n(n+1)(2n+1)

Do S=P(n)=1

2n(n+1)(2n+1) Cộng vế với vế ta đợc : P(n) - P(0) = 1.2.3

+ 2.3.4 + + n(n+1)(2n+1)

Bài toán :

Xác định đa thức bậc , f(x) thoả mãn f(x) - f(x-1) = x2 Từ suy cơng thức tính tổng S = 12 + 22 + + n2

(Đề thi học sinh giỏi thành phố - Bảng A-Lớp - Năm học 1998-1999) Lời giải :

*) Đặt f(x) = d + cx + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , suy f(0) = d

Cho x = , suy f(1) = d+c f(1) - f(0) = nên (d+c)-d = 1c = Khi f(x) = d+x+bx(x-1) + ax(x-1)(x-2)

Cho x = , suy f(2) = d+2+2b v× f(2) - f(1) = nªn (d+2+2b)-(d+1) = 4b = 3/2

Khi f(x) = d+x+3/2 x(x-1) + ax(x-1)(x-2)

Cho x = , suy f(3) = d +3+9+6a = d + 12 + 6a v× f(3) - f(2) = nªn Khi P(x)=d+x+32x(x −1)+31x(x −1)(x −2)

Vay ¿ d R ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿P(x)=1

3x +1 2x +1

6x+d¿

(d+12+6a)-(d+5) =

a = 1/3

**) Theo ta có :f(x) - f(x-1) = n2 Cho x = , , , n ta đợc f(1) - f(0) = 12 f(2) - f(1) = 22

f(n) - f(n-1) = n2

Suy S=(1

3n +1 2n +1

6n+d)−d=

2n3+3n2+n

6

S=n(n+1) (2n+1)

6

Cộng vế với vế ta đợc : f(n) - f(0) = 12 + 22 + +n2

tởng vào phơng pháp nội suy NewTon Chỉ có băn khoăn có đợc áp dụng giảng dạy cho học sinh lớp không ? sách giáo khoa không đề cập số sách tham khảo nh để học tốt, chuyên đề , toán chọn lọc không đề cập phơng pháp

C - Lêi kÕt :

Trên suy nghĩ ban đầu vấn đề lớn : toán xác định đa thức mà đối tợng học sinh lớp Hy vọng chuyên đề đợc phát triển hoàn thiện năm học tới Rất mong bạn đồng nghiệp quan tâm gúp ý kin

Xin chân thành cám ơn !

Bài tập đề nghị :

1) T×m mét ®a thøc bËc hai biÕt : f(0) =19 ; f(1) = 85 ; f(2) = 1985 2) Cho biÕt ®a thøc bËc hai f(x) cã ba nghiÖm  ,  , 

Chøng minh : f(x) = víi mäi x

3) Cho f(x) đa thức bậc thoả mÃn : f(1) = f(-1) ; f(2) = f(-2) Chøng minh : f(x) = f(-x) víi mäi xQ

(§Ị thi häc sinh giỏi vòng - Quận Hồng Bàng năm học 1998 - 1999)

4) Tìm tất đa thức f(x) với hệ số nguyên thoả mÃn điều kiện : 16 f(x2) = f2(2x)

(§Ị thi häc sinh giỏi thành phố -Bảng A-Lớp -Năm học 1999-2000)

5)

2≥|f(x)|voi x∈[−1; 1] Xác định đa thức f(x) = x2 + ax + b thoả mãn :