Giải tích số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI  GIẢI TÍCH SỐ  [Tài liệu giảng dạy bậc đại học]  Nguyễn Thị Vinh HÀ NỘI 2010 CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU 1.1 GIẢI TÍCH SỐ LÀ GÌ 1.2 SỰ KHÁC BIỆT GIỮA TOÁN HỌC LÍ THUYẾT VÀ TỐN HỌC TÍNH TỐN4 1.3 CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TỐN CỦA GIẢI TÍCH SỐ 1.4 THUẬT TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP 1.4.1 Thuật toán 1.4.2 Độ phức tạp thuật toán 1.5 SỐ XẤP XỈ VÀ SAI SỐ 10 1.5.1 Số xấp xỉ, sai số tuyệt đối sai số tuong đối 10 1.5.2 Cách viết số xấp xỉ 11 1.5.3 Qui tròn số sai số qui tròn 11 1.5.4 Các cơng thức tính sai số 12 1.6 BÀI TẬP CHƯƠNG 13 CHƯƠNG 2: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 14 2.1 PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS - JORDAN 14 2.1.1 Thuật toán 14 2.1.2 Ưu, nhược điểm phương pháp 14 2.1.3 Các ví dụ 14 2.1.4 Sơ đồ khối chương trình 16 2.1.5 Đánh giá độ phức tạp thời gian 17 2.1.6 Ứng dụng phương pháp khử Gauss vào việc tính định thức 17 2.2 GIẢI HỆ PTTT DẠNG BA ĐƯỜNG CHÉO 18 2.2.1 Đặt vấn đề 18 2.2.2 Áp dụng phương pháp khử Gauss–Jordan: 18 2.2.3 Phương pháp truy đuổi (nắn thẳng) giải hệ ba đường chéo 19 2.3 PHƯƠNG PHÁP LẶP SEIDEL 21 2.3.1 Thuật toán 21 2.3.2 Điều kiện hội tụ đánh giá sai số phương pháp 21 2.3.3 Ví dụ 22 2.3.4 Sơ đồ khối chương trình 24 2.3.5 Sử dụng Solver EXCEL giải hệ PTTT 26 2.4 TÍNH MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 26 2.4.1 Ứng dụng phương pháp Gauss tính ma trận nghịch đảo 26 2.4.2 Tính ma trận nghịch đảo A–1 phương pháp lặp Newton 27 2.4.3 Sử dụng hàm MINVERSE EXCEL tìm A-1 29 2.5 BÀI TẬP CHƯƠNG 31 CHƯƠNG 3: PHÉP NỘI SUY VÀ ĐƯỜNG CONG PHÙ HỢP 32 3.1 KHÁI QUÁT VỀ BÀI TOÁN NỘI SUY 32 3.1.1 Đặt vấn đề 32 3.1.2 Đa thức nội suy 32 3.1.3 Sơ đồ Horner tính giá trị đa thức 33 3.2 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE 33 3.2.1 Lập công thức 33 3.2.2 Ví dụ: Tìm giá trị gần f(2,6) từ bảng số liệu 34 1 3.2.3 Sai số: Người ta chứng minh hàm f(x) khả vi liên tục đến cấp N+1 đoạn [a,b] chứa tất mốc nội suy xk, k = 0, , N sai số nội suy Lagrange 34 3.2.4 Sơ đồ khối chương trình 35 3.3 ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON VỚI BƯỚC CÁCH ĐỀU 36 3.3.1 Bảng sai phân hữu hạn 36 Bảng sai phân hữu hạn 36 3.3.2 Đa thức nội suy Newton tiến 37 3.3.3 Đa thức nội suy Newton lùi 38 3.3.4 Công thức nội suy Newton với mốc quan sát 41 3.4 NỘI SUY SPLINE 43 3.4.1 Đặt vấn đề 43 3.4.2 Bài toán 43 3.4.3 Xây dựng công thức 43 3.4.4 Các bước giải toán nội suy Spline bậc ba 45 3.4.5 Ví dụ 45 3.4.6 Chương trình tính 45 3.5 PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT LÀM KHỚP DỮ LIỆU 46 3.5.1 Đặt vấn đề: 46 3.5.2 Lập công thức 47 3.5.3 Các ví dụ: 47 3.5.4 Các bước giải chương trình 49 3.6 BÀI TẬP CHƯƠNG 50 CHƯƠNG 4: TÍNH ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 51 4.1 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM 51 4.1.1 Xấp xỉ giá trị đạo hàm dựa vào bảng sai phân 51 4.1.2 Xấp xỉ đạo hàm công thức nội suy 52 4.2 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 55 4.2.1 Lập công thức chung sử dụng đa thức nội suy Newton tiến 55 4.2.2 Quy tắc làm tăng độ xác việc tính tích phân 59 4.3 BÀI TẬP CHƯƠNG 61 CHƯƠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH f(x) = 62 5.1 ĐẶT VẤN ĐỀ 62 5.1.1 Bài toán 62 5.1.2 Các bước giải 62 5.1.3 Tách nghiệm 62 5.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP KIỆN TOÀN NGHIỆM 63 5.2.1 Phương pháp chia đôi 63 5.2.2 Phương pháp lặp đơn 64 5.2.3 Phương pháp dây cung 65 5.2.4 Phương pháp tiếp tuyến (Newton) 67 5.3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 69 5.3.1 Lập công thức: 69 Cho hệ phi tuyến 69 5.3.2 Các bước giải hệ phi tuyến phương pháp lặp Newton-Raphson 70 5.3.3 Sơ đồ khối chương trình 73 5.4 PHƯƠNG PHÁP LẶP SEIDEL 74 5.5 Sử dụng Solver EXCEL giải hệ phương trình phi tuyến 76 5.6 BÀI TẬP CHƯƠNG 77 CHƯƠNG 6: CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRINH 78 VI PHÂN 78 6.1 ĐẶT VẤN ĐỀ 78 6.1.1 Bài toán Cauchy (bài toán giá trị đầu) 78 6.1.2 Bài toán biên hai điểm tuyến tính PTVP cấp hai: 79 6.1.3 Các phương pháp số giải toán Cauchy 79 6.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN CAUCHY 79 6.2.1 Phương pháp Euler 79 6.2.2 Phương pháp Euler cải tiến 81 6.2.3 Phương pháp Runge-Kutta 83 6.2.4 Giải toán Cauchy hệ PTVP cấp 86 6.3 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TỐN BIÊN TUYẾN TÍNH 87 6.3.1 Xét tốn biên hai điểm tuyến tính PTVP cấp hai: 87 6.3.2 Ví dụ: Tìm hàm y(x) [0; 1] với bước h = 0,1 nghiệm 6.3.3 Sơ đồ khối 89 6.4 BÀI TẬP CHƯƠNG 90 CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU 1.1 GIẢI TÍCH SỐ LÀ GÌ Giải tích số (Numerical Analysis) hay cịn gọi Phương pháp số (Numerical Methods) hay Phương pháp tính (Calculating Methods) khoa học nghiên cứu lời giải số toán toán học Ba nhiệm vụ giải tích số là: Xấp xỉ hàm số: Thay hàm có dạng phức tạp hàm nhiềa hàm có dạng đơn giản Các toán thường gặp nội suy xấp xỉ hàm Giải gần phương trình: Bao gồm phương trình đại số siêu việt, hệ phương trình đại số tuyến tính phi tuyến, giải phương trình hệ phương trình vi phân thường vi phân đạo hàm riêng, … Giải tốn tối ưu Tuy nhiên giáo trình Giải tích số, người ta đề cập đến hai nhiệm vụ đầu, nhiệm vụ thứ ba dành cho giáo trình Qui hoạch tốn học hay Tối ưu hoá “An approximate answer to the right problem is worth a great deal more than a precise answer to the wrong problem.” (John W Turkey 1915-2000) 1.2 SỰ KHÁC BIỆT GIỮA TỐN HỌC LÍ THUYẾT VÀ TỐN HỌC TÍNH TỐN TỐN HỌC LÍ THUYẾT TỐN HỌC TÍNH TỐN Chứng minh tồn nghiệm Tốc độ hội tụ nghiệm Khảo sát dáng điệu nghiệm Sự ổn định thuật tốn Một số tính chất định tính nghiệm Thời gian tính tốn máy dung lượng b nhớ cần sử dụng Ví dụ 1: Tính tích phân I n = ∫ x n e x −1dx (n ≥ 1) Tích phân phần ta n x −1 I n −1 = x e ∫ 1 ∫ − n x n −1e x −1dx = - nI n -1 (1.1) 1 ∫ I1 = xe x −1dx = x e x −1 - e x -1dx = e-1 ≈ 0,36787 0 Vậy ta tính tích phân để ý In ≥ với n Trên thực tế vậy! Cơng thức cho kết khơng xác, n = I9 ≈ =0,068480 < dù ta tăng độ xác e-1 dến nữa! Nguyên nhân sai số ban đầu mắc phải tính e-1 bị khuếch đại lên sau lần tính Để khắc phuc, ta biến đổi cơng thức (1.1) In-1 = n-1 (1 – In) để ý ≤ I n ≤ ∫ x n dx = (1 + n) -1 ⇒ lim I n = 0 n→∞ Giả sử ta cần tính I19 cho I20 ≈ sai số mắc phải ε20 < 1/21 Khi I19 ≈ 1/20 với sai số ε19 < 1/21 x 1/20 , … , đến I9 ≈ 0,091623 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình đại số tuyến tính AX = b (1.2) với A ma trận vuông cấp n không suy biến (detA ≠ 0), b véc tơ cột n thành phần Do giải theo qui tắc Cramer: (1.3) xi = ∆i / ∆ , i = 1, … , n Để tính nghiệm theo (1.3), ta phải tính (n+1) định thức cấp n Mỗi định thức có n! số hạng, số hạng có n thừa số, phải thực n-1 phép nhân Vậy riêng số phép nhân phải thực (n+1) n! (n-1) Giả sử n = 20, máy tính thực 5000 phép nhân giây để thực số phép nhân phải 300 000 000 năm! Ví dụ 3: Xét hệ (1.2) với ⎛ 0,1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0,1 ⎟ A=⎜ ⎟, n = 100 ⎟ ⎜ ⎜ 0 0,1⎟⎠ ⎝ Khi detA = 10-100 ≈ Theo quan điểm lí thuyết thi A bị suy biến nên không giải Tuy nhiên ta nhẩm A-1 = 10 E, với E ma trận đơn vị cấp n dễ dàng tính nghiệm hệ phương pháp ma trận nghịch đảo! Kết luận: Trong trình giải tốn, nảy sinh nhiều vấn đề mà tốn học lí thuyết khơng quan tâm khơng giải Vậy cần có khoa học riêng chuyên nghiên cứu phương pháp số giải tốn Đó khoa học tính tốn mà giải tích số mơn học 1.3 CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TỐN CỦA GIẢI TÍCH SỐ Để giải toán, người ta phải thực trình mơ sau đây: Xây dựng mơ hình tốn học tốn thực tế Phân tích mơ hình: tính tương thích mơ hình với toán thực tế, tồn nghiệm toán Rời rạc hố mơ hình: dùng phương pháp tính tốn để qui tốn liên tục toán với số ẩn hữu hạn Xây dựng thuật tốn: ý đến độ phức tạp thuật tốn, tính hội tụ, tính ổn định thuật tốn 5 Cài đặt chương trình chạy thử, kiểm tra kết quả, sửa lỗi nâng cấp chương trình 1.4 THUẬT TỐN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP 1.4.1 Thuật tốn ¾ Khái niệm thuật toán Thuật toán dãy hữu hạn bước, bước mơ tả xác phép toán hành động cần thực hiện, để giải vấn đề Năm đặc trưng thuật tốn: • Input Mỗi thuật tốn cần có số (có thể khơng) liệu vào (input) Đó giá trị cần đưa vào thuật toán bắt đầu làm việc Các liệu cần lấy từ tập hợp giá trị cụ thể • Output Mỗi thuật tốn cần có nhiều liệu (output) Đó giá trị có quan hệ hoàn toàn xác định với liệu vào kết thực thuật tốn • Tính xác định Mỗi bước thuật tốn cần phải mơ tả cách xác, có cách hiểu • Tính khả thi Tất phép tốn có mặt bước thuật tốn phải đủ đơn giản • Tính dừng Mọi liệu vào thoả mãn điều kiện liệu vào (tức lấy từ tập giá trị liệu vào), qua xử lí thuật toán phải dừng sau số hữu hạn bước thực ¾ Các vấn đề liên quan đến thuật tốn • Tính đắn thuật tốn Khi thuật tốn tạo cần phải chứng minh thuật toán thực cho ta kết với liệu vào hợp lệ Điều gọi chứng minh tính đắn thuật tốn • Các vấn đề nảy sinh Khi giải tốn người ta xét nhiều thuật tốn khác xem độ phức tạp chúng sao, dùng ngơn ngữ lập trình hay cài đặt phần mềm để chạy chương trình, cấu trúc liệu phù hợp? • Các yêu cầu giải tốn Hiểu tốn Tìm thuật tốn Khơng nhầm lẫn lập trình Dữ liệu quét hết trường hợp Tốc độ tính tốn nhanh Bộ nhớ phù hợp Phần mềm dễ sử dụng, dễ nâng cấp theo yêu cầu 1.4.2 Độ phức tạp thuật tốn ¾ Định nghĩa Độ phức tạp thuật tốn cơng cụ đo, so sánh, lựa chọn thuật toán khác để tìm thuật tốn tốt cho lời giải tốn ¾ Hai tiêu chuẩn để đánh giá độ phức tạp thuật toán - Độ phức tạp thời gian tính tốn - Độ phức tạp phạm vi nhớ dùng cho thuật tốn (dung lượng khơng gian nhớ cần thiết để lưu trữ liệu vào, kết tính tốn trung gian kết thuật toán) Chúng ta quan tâm đến thời gian thực thuật tốn, thuật tốn có hiệu xem thuật tốn có thời gian chạy thuật tốn khác ¾ Cách đánh giá thời gian thực thuật toán - Cỡ liệu vào - Chương trình dịch để chuyển chương trình nguồn thành mã máy - Thời gian thực phép tốn máy tính sử dụng để chạy chương trình Thời gian chạy chương trình phụ thuộc vào nhiều nhân tố, nên ta khơng thể biết xác thời gian chạy đơn vị thời gian chuẩn(bao nhiêu giây) Thời gian thực thuật toán hàm số cỡ liệu vào n Cỡ liệu vào tham số đặc trưng cho liệu vào, ảnh hưởng định đến thời gian thực chương trình Cỡ liệu phụ thuộc vào thuật toán cụ thể, thường số nguyên dương n Ta sử dụng hàm T(n), n cỡ liệu vào để biểu diễn thời gian thực thuật toán Khi đánh giá thời gian thực phương pháp toán học, bỏ qua nhân tố phụ thuộc vào cách cài đặt tập trung vào xác định độ lớn thời gian thực T(n) Kí hiệu tốn học lớn sử dụng để mô tả độ lớn hàmT(n) Giả sử n > (n ∈ Z), T(n),f(n) > Ta viết T(n) = O(f(n)), tồn số dương c n0 cho T(n) ≤ c f(n), với n > n0 Ta xem O(f(n)) cận T(n) Thông thường thời gian chạy thuật toán tỉ lệ với 1, logn, n, nlogn, nk, an với a số ¾ Các quy tắc để đánh giá thời gian thực thuật tốn • Chia độ phức tạp thuật tốn thành nhiều đoạn mà đoạn có độ phức tạp T1 (n) = O(f1 (n) ⎫ ⎪ ⇒ T (n) + … + Tq(n) = O(max(f1(n), … ,fq(n))) ⎬ Tq (n) = O(f q (n) ⎪⎭ Thật T1(n), … ,Tq(n) lớn f1(n), … , fq(n) tương ứng tồn số c1, …, cq, n1, … , nq cho T1(n) ≤ c1 f1(n) với n > n1 T2(n) ≤ c2 f2(n) với n > n2, Đặt n0 = max(n1,n2, …, nq), với n > n0, ta có T1(n) +T2(n) + … + Tq(n) ≤ (c1+c2+ … + cq) max (f1(n),f2(n), …, fq(n)) • Các loai lệnh - Các phép gán, đọc, in, goto câu lệnh Các lệnh gọi lệnh đơn có độ phức tạp thời gian T(n) = O(C) = O(1) - Nếu S1, S2, Sn câu lệnh { S1; S2; ; Sn } câu lệnh hợp thành (câu lệnh ghép khối) - Nếu S, S1, S2, …, Sn câu lệnh E1, E2, … biểu thức logic if (E1) S; else if (E2) S1; …… else Sn; gọi câu lệnh if - Nếu S1, S2, Sn câu lệnh, E biểu thức có kiểu thứ tự đếm được, v1, v2 , giá trị kiểu với E switch case (constant) { v1: S1; break; v2: S2; break; : Sn; break; default: Sn+1; } lệnh đựoc gọi câu lệnh case - Nếu S câu lệnh E biểu thức logic while (E) S; câu lệnh while - Nếu S câu lệnh E biểu thức logic S while (E); câu lệnh … while - Nếu S câu lệnh, E biến kiểu thứ tự đếm for (i = E ; i