Giáo trình Giải tích số pot

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TỐN - TIN HỌC Y  Z GIẢI TÍCH SỐ (Bài giảng tóm tắt) NGƯỜI BIÊN SOẠN LÊ MINH LƯU Y Đà Lạt 2009 Z Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Ch-ơng 1 Lý thuyết sai số . . . . . . .3 1.1 Các loại sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.2 Quy tắc thu gọn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Chữ số chắc, không chắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.4 Hai bài toán về sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Sai số các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Ch-ơng 2 Xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian các hàm liên tục 12 2.3 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert . . . . . . . . . 17 Ch-ơng 3 Xấp xỉ hàm bằng đa thức nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1 Bài toán nội suy . . . . . . . . .19 3.2 Giải hệ đại số tuyến tính để xác định đa thức nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Ph-ơng pháp nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.4 Tr-ờng hợp các mốc nội suy cách đều 23 3.5 Sai số của p-ơng pháp nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.6 Chọn mốc nội suy tối -u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ch-ơng 4 Tính gần đúng đạo hàm và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1 Dùng nội suy Lagrange tính gần đúng đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Tính gần đúng tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ch-ơng 5 Giải ph-ơng trình phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.1 Ph-ơng pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2 Ph-ơng pháp chia đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.3 Ph-ơng pháp lặp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 5.4 Ph-ơng pháp dây cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 5.5 Ph-ơng pháp tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.6 Giải đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.7 Giải hệ hai ph-ơng trình phi tuyến bằng ph-ơng pháp lặp đơn 46 Ch-ơng 6 Giải hệ ph-ơng trình đại số tuyến tính 47 6.1 Một vài khái niệm cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Giải tích số 2 6.2 Ph-ơng pháp Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.3 Ph-ơng pháp căn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 6.4 Ph-ơng pháp lặp đơn giải hệ đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.5 Ph-ơng pháp Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 6.6 Ph-ơng pháp Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.7 Ph-ơng pháp Gauss-Seidel 57 Ch-ơng 7 Giải gần đúng ph-ơng trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7.1 Ph-ơng pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7.2 Ph-ơng pháp chuỗi nguyên 61 7.3 Ph-ơng pháp Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 7.4 Ph-ơng pháp Euler cải tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.5 Ph-ơng pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Giải tích số 3 Ch-ơng 1 Lý Thuyết Sai Số 1.1 Các loại sai số Trên thực tế khi đo một đại l-ợng hoặc xác định một đại l-ợng mà ta ký hiệu là a , thông th-ờng không xác định đ-ợc giá trị đúng mà chỉ biết đ-ợc giá trị gần đúng a. Vậy ta đã gặp phải sai số. Có nhiều loại sai số: 1. Sai số thực sự: Đại l-ợng := |a a | gọi là sai số thực sự của a. 2. Sai số tuyệt đối: Nếu biết a 0 sao cho a a a a + a thì a gọi là sai số tuyệt đối của a. 3. Sai số t-ơng đối: Đại l-ợng a := a |a| gọi là sai số t-ơng đối của a. 1.2 Qui tắc thu gọn số Giả sử ta có số gần đúng a đ-ợc viết d-ới dạng thập phân a = ( p 10 p + + j 10 j + + ps 10 ps ) trong đó j {0, 1, 2, , 9}, p > 0. Ta muốn thu gọn số a đến hàng thứ j. Gọi số a là số thu gọn đến hàng thứ j của số a và phần vứt bỏ là à. Đặt: a = p 10 p + + j+1 10 j+1 + j 10 j . Trong đó: j bằng j + 1 nếu 0, 5 ì10 j < à < 10 j và bằng j nếu 0 à < 0, 5 ì10 j . Tr-ờng hợp à = 0.5 ì 10 j thì j = j nếu j chẵn và j = j + 1 nếu j lẻ. Nh- vậy sai số thu gọn là đại l-ợng a 0 thỏa |a a| a . Giải tích số 4 Do a = ( p 10 p + + j 10 j + à), a = ( p 10 p + + j 10 j + j 10 j ), ta có |a a| = |( j j ) ì 10 j + à| < 0.5 ì 10 j . Ví dụ: Số 3, 1415 3, 142 3, 14. Chú ý 1. Sai số tuyệt đối không đặc tr-ng cho độ chính xác của phép đo mà chỉ cho phép ta hình dung đ-ợc độ gần nhau giữa giá trị đúng và giá trị gần đúng. 2. Sai số tuyệt đối cùng thứ nguyên với đại l-ợng đo. 3. Sai số t-ơng đối đặc tr-ng cho độ chính xác của phép đo và không có thứ nguyên. 4. Sau khi thu gọn số thì sai số tuyệt đối tăng lên. Gọi a là giá trị đúng, a là giá trị gần đúng và gọi a là số sau khi thu gọn của a thì |a a| |a a| + |a a| a + a . 1.3 Chữ số chắc và không chắc Giả sử có số gần đúng a viết ở dạng a = ( p 10 p + + j 10 j + + ps 10 ps ). Với sai số tuyệt đối của a là a . Cho số 0 < 1. Nếu a ì 10 i thì chữ số i gọi là chữ số chắc, ng-ợc lại chữ số i gọi là chữ số không chắc. Chữ số chắc với = 1 gọi là chắc theo nghĩa rộng. Chữ số chắc với = 0, 56 gọi là chắc theo nghĩa hẹp. Chú ý: Nếu i là chữ số chắc thì j , j i cũng là chữ số chắc. Nếu i không chắc thì j , j i cũng không chắc. Một chữ số là chắc sau khi thu gọn số có thể nó không còn là chắc. Trong kỹ thuật, ng-ời ta th-ờng dùng = 1 và nếu chữ số là chắc thì sau thu gọn nó vẫn là chắc (0, 56 1). Khi tính toán, ta th-ờng giữ lại các chữ số chắc và lấy phụ thêm từ 1 đến 2 chữ số không chắc và có ký hiệu riêng để chỉ các chữ số không chắc này. Giải tích số 5 Sai số t-ơng đối của một số không phụ thuộc vào vị trí dấu phẩy của nó (dấu chấm thập phân). 1.4 Hai bài toán về sai số Xét số gần đúng viết ở dạng thập phân a = ( p 10 p + p1 10 p1 + + ps 10 ps ). Có hai bài toán đặt ra: Bài toán 1: Biết số chữ số chắc của a là a , tìm sai số t-ơng đối a của a. Gọi a 0 là số a mà sau khi dời dấu phẩy sao cho chữ số chắc cuối ở hàng đơn vị và toàn chữ số chắc. Ta có p ì 10 a 1 a 0 ( p + 1) ì 10 a 1 10 a . Vậy 1 ( p + 1) ì 10 a 1 a 1 p ì 10 1 1 . Nếu không biết p thì lấy 1 10 s a 1 10 s1 . Bài toán 2: Biết sai số t-ơng đối là a , tìm số chữ số chắc a . Giả sử biết a > 0, ta viết a = 10 m với 0.1 < < 1 và m là số nguyên. Đặt a m là số a nh-ng dời dấu chấm thập phân sao cho a m có m + 1 chữ số tr-ớc dấu chấm thập phân. Ta có: a m ( p + 1) ì 10 m , suy ra a = a m a m = a m a = a m 10 m ( p + 1). Bởi vì 0, 2 < ( p + 1) 10. Vậy có hai tr-ờng hợp xảy ra a. Nếu ( p + 1) 1 thì a m 1 và a m có m + 1 chữ số chắc. b. Nếu ì( p + 1) > 1 thì a m 10 và a m có m chữ số chắc. Giải tích số 6 Cuối cùng ta có thể kết luận, nếu a = 10 m , 0.1 < 1 và ( p + 1) 1 thì a có m + 1 chữ số chắc, ng-ợc lại a có m chữ số chắc. 1.5 Sai số các phép toán Giả sử phải tìm đại l-ợng y theo công thức y = f(x 1 , x 2 , , x n ). Gọi x i , y , i = 1, 2, , n và x i , y, i = 1, 2, , n là các giá trị đúng và gần đúng. Nếu f khả vi liên tục ta có |y y | = |f(x 1 , , x n ) f(x 1 , , x n )| = n i=1 |f(x 1 , , i , , x n )| x i |x i x i |, ở đây i [x i , x i ], i = 1, 2, , n. Ta có thể coi (do f khả vi liên tục và x i khá gần x i ), f(x 1 , , i , , x n ) x i f(x 1 , , x n ) x i . Do đó y = n i=1 f(x 1 , , x n ) x i x i , và y = y |y| = n i=1 ln f(x 1 , , x n ) x i x i . a. Sai số phép tính cộng, trừ: y = f(x 1 , x 2 , x n ) = n i=1 x i , f(x 1 , x 2 , x n ) x i = 1 y = n i=1 x i . Giả sử x m = max i=1,n { x i }, và chữ số chắc cuối của x m ở hàng thứ k, ( x m = 10 k ). Ta có: y x m = 10 k . Do đó khi làm phép cộng, trừ nên qui tròn các x i đến mức giữ lại 1 hoặc 2 chữ số bên phải hàng thứ k. Chú ý: Khi trừ hai số gần nhau cần lấy các số với nhiều chữ số chắc vì khi trừ hai số gần nhau kết quả mất chính xác. Giải tích số 7 b. Sai số phép toán nhân, chia: Giả sử y = x 1 , , x p x p+1 , , x n = f(x 1 , , x p , , x n ). Khi đó ln y = p i=1 ln x i n j=p+1 ln x j suy ra y = n i=1 x i . Nếu x m = max i=1,n {x i } và số chữ số chắc của x m là k thì y x m và số chữ số chắc của y không v-ợt quá k. Vì vậy khi làm phép toán nhân, chia ta chỉ cần lấy k + 1 hoặc k + 2 chữ số là đủ. c. Sai số phép lũy thừa, khai căn và nghịch đảo: Cho y = x , R, y = d ln y dx x = ||x. Nếu > 1 thì y > x tức là phép lũy thừa làm giảm độ chính xác. Nếu 0 < < 1 thì y < x tức là phép khai căn làm tăng độ chính xác. Nếu = 1 thì y = x và phép nghịch đảo có độ chính xác không đổi. Giải tích số 8 Ch-ơng 2 Xấp Xỉ Tốt Nhất 2.1. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian định chuẩn Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn. L X là đa tạp tuyến tính đóng của X và f X. Bài toán đặt ra hãy tìm phần tử f L sao cho: f f = inf gL g f . Định lý 2.1.1 Nếu L là không gian con hữu hạn chiều của X thì với mọi f X luôn tồn tại f L thỏa f f = inf gL g f . (Phần tử f gọi là phẩn tử xấp xỉ tốt nhất f trên L). Chứng minh: Xét = {g L : g 2 f } L. Dễ thấy là tập đóng, giới nội trong không gian hữu hạn chiều nên là Compact. Xét hàm (g) := f g . Ta có |(g) (h)| = | f g f h | (f g) (f h) = h g . Do là hàm liên tục trên tập Compact nên hàm đạt cực tiểu trên . Từ đó f : (f ) = min g (g). Mặt khác: Nếu g L \ tức là g không thuộc thì g f g f > 2 f f = f = f (ở đây chỉ phần tử không của không gian X). Bởi vậy g L\, thì gf > f , tức là inf gL\ g h f . Suy ra f f = min g f g [...]... làm mốc nội suy ta có n i=0 ci i (xj ) = 0, j = 0, 1, 2, , n n 2 j=0 cj > 0 nên = 0, tức là hệ đại số hoặc vô nghiệm hoặc vô định là mâu thuẫn, Bởi và định lý đ-ợc chứng minh Giải tích số 21 3.2 Giải hệ đại số tuyến tính xác định đa thức nội suy Từ hệ đại số xác định đa thức nội suy, nếu ma trận hệ số có định thức = 0 (x0 ) 1 (x0 ) 0 (x1 ) 1 (x1 ) 0 (xn ) 1 (xn ) = 0 (x0 ) 0 (x1 ) 0 (xn ) n... (x) Nhận xét: Đa thức Tn (x) là đa thức bậc n có hệ số đầu là 2n1 Định lý 3.6.1 Trong tất cả các đa thức bậc n với hệ số đầu là 1 thì đa thức Tn (x) có 2n1 độ lệch so với 0 nhỏ nhất trên [1, 1] (hệ số đầu hiểu là hệ số của số hạng bậc cao nhất trong đa thức), tức là với mọi đa thức P (x) = xn + a1 xn1 + + an , thì P Tn 1 = n1 n1 2 2 Giải tích số 27 Chứng minh: Theo cách xác định của đa thức Chebyshev... |R1 (x)|dx xi1 xi (x xi1 )(xi x)dx = xi1 M h3 12 b Sai số toàn phần: Sai số toàn phần là sai số trên đoạn [a, b] Ký hiệu R là sai số toàn phần, ta có M (b a) 2 M h3 = h R = n 12 12 Ví dụ: Tính tích phân I = 1 x2 e dx 0 bằng ph-ơng pháp hình thang với n = 10 Ta có: 2 M := max {|y (2) (x)|} = max {|4(4x + 1)ex |} = 20.e x[0,1] x[0,1] Giải tích số 34 Công thức tính nh- sau: 1 I= 2 ex dx 0 1 2 2 2 2 2... a xi1 xi b - x Giải tích số 33 Thay diện tích hình thang cong bằng diện tích hình thang trên đoạn [xi1 , xi ], ta có xi f (x)dx = xi1 yi1 + yi h 2 T-ơng tự với các đoạn còn lại và lấy tổng trên tất cả đoạn con, ta có: n1 b f (x)dx = a n1 xi+1 f (x)dx i=0 xi h i=0 yi + yi+1 2 Cuối cùng ta có công thức hình thang sau: b ba (y0 + 2y1 + + 2yn1 + yn ) 2n f (x)dx a Công thức sai số a Sai số địa ph-ơng:... 3 x + 1 Bây giờ, ta xác định sai số tại x Sử dụng 3 công thức sai số ta có R2 = f (x) P2 (x) = f (3) () [(x x0 )(x x1 )(x x2 )] 3! Nếu đặt M = sup |f (3) (x)| = 3(ln3)3 x[1,1] Khi đó sai số cho bởi 3 |R2 | (ln3)3 |2 (x xi )| i=0 2 Giải tích số 26 3.6 Chọn mốc nội suy tối -u (n+1) Cho hàm f (x) C[a,b] vấn đề đặt ra là chọn các mốc nội suy nh- thế nào để sai số trong công thức nội suy là bé nhất?... {cos( 2 4 Giải tích số 30 Đa thức nội suy Q3 (x) = (x x1 )(x x2 )(x x3 ) (x x0 )(x x2 )(x x3 ) + x1 + 1 (x0 x1 )(x0 x2 )(x0 x3 ) (x1 x0 )(x1 x2 )(x1 x3 ) (x x0 )(x x1 )(x x3 ) (x x0 )(x x1 )(x x2 ) + x2 + 1 + + x3 + 1 (x2 x0 )(x2 x1 )(x2 x3 ) (x3 x0 )(x3 x1 )(x3 x2 ) Ước l-ợng tốt nhất của phép nội suy trong tr-ờng hợp này là: 1 | x + 1 Q3 (x)| 4!27 Giải tích số 31 Ch-ơng... (x1 x0 ) x1 x0 2! Dễ thấy rằng đây lại là khai triển Taylor của f tại x0 đã biết 4.2 Tính gần đúng tích phân Giả sử cần tính tích phân: b I := f (x)dx a Để tính gần đúng tích phân I, thông th-ờng ta thay hàm f (x) bằng đa thức nội suy Q(x) rồi lấy tích phân đa thức nội suy này làm giá trị gần đúng của tích phân I, tức là b b Q(x)dx f (x)dx I := a a 4.2.1 Ph-ơng pháp hình thang Cho hàm f (x) xác định... 2 Tức là h0 = arg minhH0 = (x h0 ) + (h0 h) + h0 h 2 x h0 2 2 x h0 Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi h = h0 Dễ thấy rằng nếu không gian H0 có số chiều hữu hạn thì phần tử xấp xỉ tốt nhất h0 = arg minhH0 x h0 tồn tại và duy nhất Giải tích số 19 Ch-ơng 3 Xấp Xỉ Hàm Bằng Đa Thức Nội Suy Cho [a, b] R Gọi f (x), x [a, b] là hàm cần xấp xỉ, 0 (x), 1 (x), , n (x) là hệ hàm độc lập tuyến tính... vì theo i=0 i=0 định lý Taylor, các đa thức bậc không quá n có không quá n nghiệm trên tr-ờng số thực Chú ý: Nếu hệ hàm {i (x)}n là Chebyshev thì nó là hệ hàm độc lập tuyến tính i=0 (điều ng-ợc lại ch-a chắc đúng) Định lý 3.1.2 Nếu với mỗi i = 0, 1, 2, , n các hàm i (x) là khả vi liên tục đến cấp Giải tích số 20 n + 1 trên [a, b] và với mọi k = 0, 1, 2, , n có định thức Wronskian: 0 (x) 1 (x) n (x)... (b a)n ba = 2n1 2n1 2n 2 2i+1 Giả sử nghiệm của Tn (t) trên [1, 1] là i = cos( n ), i = 1, 2, , n suy ra 1 2i + 1 xi = {(b a) cos + (a + b)}, i = 0, 1, , n 2 2(n + 1) Giải tích số 29 4 Chọn mốc nội suy tối -u Từ công thức sai số của ph-ơng pháp nội suy Mn+1 |f (x) Pn (x)| | (n + 1)! Ta có: (x) := n i=0 (x (x xi )| i=0 xi ), là đa thức có bậc n + 1 Theo kết quả vừa nhận đ-ợc thì (x) Nếu ta . 1 hoặc 2 chữ số bên phải hàng thứ k. Chú ý: Khi trừ hai số gần nhau cần lấy các số với nhiều chữ số chắc vì khi trừ hai số gần nhau kết quả mất chính xác. Giải tích số 7 b. Sai số phép toán nhân,. các chữ số không chắc này. Giải tích số 5 Sai số t-ơng đối của một số không phụ thuộc vào vị trí dấu phẩy của nó (dấu chấm thập phân). 1.4 Hai bài toán về sai số Xét số gần đúng viết ở dạng thập. a là a . Cho số 0 < 1. Nếu a ì 10 i thì chữ số i gọi là chữ số chắc, ng-ợc lại chữ số i gọi là chữ số không chắc. Chữ số chắc với = 1 gọi là chắc theo nghĩa rộng. Chữ số chắc với