Đang tải... (xem toàn văn)
Sử dụng các phép biến đổi lượng giác, có thể đưa nhiều phương trình lượng giác về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.. 2..[r]
(1)CHƯƠNG I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
§1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A L ƯỢNG GIÁC
I. Bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt Độ
Radian 00
0 30
0
6
450
4
600
3
900
2
1800
sin 0 12 2 2
3
2 1 0
cos 1 3
2
2 2
1
2 0 - 1
tan 0 3
3 1 3 0
cot 3 1 3
3 0
Chuù yù :
sin -1 sin 1, tan xác định π2 + k (k Z)
cos -1 cos 1, cot xác định k (k Z) sin( + k2) = sin
cos( + k2) = cos
số chẵn lần VD: sin( + 4) = sin
sin[ +(2k + 1)] = - sin cos[ +(2k + 1)] = -cos
số lẻ lần
VD: cos(- 3) = - cos
tan( + k) = tan cot( + k) = cot
Không cần ý k chẵn hay lẻ
II. Các hệ thức bản
sin
(2)STT Công thức Điều kiện 1 sin2a + cos2a = 1 không
2 tana = a 2
+ k , k Z 3 cota = a k , k Z 4 tana.cota = 1
a k2
, k Z 5 1 + tan2a =
a 2
+ k, k Z 6 1 + cot2a = a k
, k Z III. Các công thức lượng giác
1) Công thức cộng
2) công thức nhân đôi cos2a = cos2a – sin2a
= 2cos2a – 1
= – 2sin2a
sin2a = 2sinacosa => sina.cosa =
1 2sin2a
3) Công thức hạ bậc (nâng cung) 1) + cos2a = 2cos2a => cos2a = 1+cos 2a
2 2) – cos2a = 2sin2a => sin2a = = 1−cos 2a
2 cos(a + b) = cosacosb – sinasinb
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa sin(a - b) = sinacosb – sinbcosa
tan(a + b) = 1
tan a tan b tan a.tan b
tan(a - b) = 1
tan a tan b tan a.tan b
(3)4) Công thức biến đổi tổng thành tích - tích thành tổng
Các hệ quả
1) sina + cosa = sin(a + ) = cos(a - ) 2) sina – cosa = sin(a - ) = - cos(a + ) 3) cosa – sina = cos(a + ) = - sin(a - )
IV. Các cung liên kết Cung đối
– a Cung bù - a
Cung phụ 2
- a
Cung sai khaùc + a sin - sina sina cosa - sina cos cosa - cosa sina - cosa tan - tana - tana cota tana
cot - cota - cota tana cota
Thần chú: “cos đối – sin bù – phụ chéo – sai khác tang” §2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A Kiến thức cần nhớ Phương trình sinx = a
> 1 Phương trình
vơ nghiệm
sinx = a
1: pt có nghiệm
Tổng thành tích Tích thành tổng
1 cosa + cosb = 2coscos cosacosb
= [cos(a + b) + cos(a – b)] cosacosb = [cos(a + b) + cos(a – b)]
2 cosa - cosb = - 2sinsin sinasinb = - [cos(a + b) - cos(a – b)]
3 sina + sinb = 2sincos sinacosb = [sin(a + b) + sin(a – b)]
(4)2 Phương trình cosx = a
*) Các trường hợp đặc biệt
sinx = ⇔ x = k π , k Z cosx = ⇔ x =
π
2+kπ , k Z
sinx = ⇔ x = π
2+k2π , k cosx = ⇔ x = k2 π , k Z a không đổi
về sin cung đặc biệt
a đổi sin cung đặc biệt
sinu = sinv 1: pt có nghiệm x arcsina k2
x arcsina k2
a không đổi cos cung đặc biệt > 1
Phương trình vơ nghiệm
cosx = a
1: pt có nghiệm
a đổi cos cung đặc biệt
cosu = cosv
(5)Z
sinx = -1 ⇔ x = - π
2+k2π , k Z
cosx = -1 ⇔ x = π + k2 π
, k Z 3 Phương trình tanx = a
4 Phương trình cotx = a
*) Các trường hợp đặc biệt
tanx = ⇔ x = k π , k Z cotx = ⇔ x =
π
2+kπ , k Z
Chú ý: Trong công thức nghiệm, không dùng đồng thời hai đơn vị độ radian
B Ví dụ tập
VD1: Giải phương trình sau:
tanx = a
a không đổi tang cung đặc biệt
x = arctana + k
a đổi tang cung đặc biệt
tanu = tanv (u = v + k1800)
cotx = a
a không đổi côtang cung đặc biệt
x = arccota + k
a đổi côtang cung đặc biệt
(6)a sinx = √3
2 b sin2x =
1
4 c cos(2x +
π
4 )= − 1 2 d tan(x – 600) = 1
√3 e cot(x - π
3 )= f cos(x -750) = -1 *g tan3x = tanx *h tan5x – cotx = Giải
a sinx = √3
2 ⇔sinx=sin π 3
⇔
x=π 3+k2π
¿ x=π −π
3+k2π ¿ k∈Z
¿ ¿ ¿
⇔
x=π 3+k2π
¿ x=2π
3 +k2π ¿ k∈Z
¿ ¿ ¿
Vậy nghiệm phương trình là:
x=π 3+k2π
¿ x=2π
3 +k2π ¿ k∈Z
(7)b sin2x = 1 4
⇔ 2x=arcsin1
4+k2π ¿
2x=π −arcsin1 4+k2π ¿
k∈Z ¿ ¿ ¿
⇔
x=1 2arcsin
1 4+kπ ¿
x=π 2 −
1 2arcsin
1 4+kπ ¿
k∈Z ¿ ¿ ¿
Vậy nghiệm PT là:
x=1 2arcsin
1 4+kπ ¿
x=π 2−
1 2arcsin
1 4+kπ ¿
k∈Z ¿ ¿
c cos(2x + π
4 )= − 1
2 ⇔ cos(2x + π
4 )= cos 2π
(8)
⇔ 2x+π
4= 2π
3 +k2π ¿
2x+π 4=−
2π 3 +k2π ¿
k∈Z ¿ ¿ ¿
⇔
x=5π 24 +kπ
¿ x=−11π
24 +kπ ¿ k∈Z
¿ ¿ ¿
Vậy nghiệm Pt là:
x=5π 24 +kπ
¿ x=−11π
24 +kπ ¿ k∈Z
¿ ¿
d tan(x – 600) = 1
√3 ⇔tan(x −60
0
)=tan300
⇔x −600
=300+k1800k∈Z
⇔x=900
+k1800k∈Z
Vậy nghiệm Pt là: x=900
+k1800k∈Z
e cot(x - π
3 )= ⇔x − π
3=arccot 5+kπ k∈Z ⇔x=π
(9)Vậy nghiệm Pt là: x=π
3+arc cot 5+kπ k∈Z f cot(x -750) = -1 ⇔x −750
=−450+k1800k∈Z
⇔x=300
+k1800k∈Z
Vậy nghiệm Pt là: x=300+k1800k∈Z
g tan3x = tanx
Điều kiện
¿ 3x ≠π
2+kπ x ≠π
2+kπ k∈Z
¿{ ¿
⇔
¿ x ≠π
6+k π 3 x ≠π
2+kπ k∈Z
¿{ ¿
Ta có
tan3x = tanx ⇔ 3x = x +l π ⇔ x = l π
2(l∈Z) Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình là:
x = m π (m Z ) h tan5x – cotx =
Điều kiện
¿ 5x ≠π
2+kπ x ≠ kπ (k∈Z)
¿{ ¿
⇔
¿ x ≠ π
10+k π 5 x ≠ kπ (k∈Z)
¿{ ¿
Ta có
tan5x = cotx ⇔ tan5x = tan( π
2− x¿ ⇔ 5x = π
2− x + l π (l Z)
⇔ x = π 12 + l
π
6 (l Z)
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x = π
12 + l π
(10)a cos(3x - π
6 )= - √ 2
2 b cos(x -2) = 2
5 c cos(2x + 500) = 1
2
d (1+ 2sinx)(3- cosx)= e tan2x = tan 5π
6 f tan(3x -300) = -√3
3
g cot(4x - π
6 )= √3 h sin(3x- 450) = 1
2 i sin(2x +100)= sinx
k (cot x
3 -1)(cot x
2 +1)= l cos2x.cotx = m cot( 2x
3 + π 5 )= -1
n sin(2x -150) = - √2
2 p sin4x = π
3 q cos(x + 3) = 2 3 r cos2x cot(x - π
4 )= s cos3x = π
4 t tan( x 2−
π
4¿=tan π 8 u cos3x – sin2x = v sin3x + sin5x =
Bài tập 2: Giải phương trình sau:
a sin(2x -1) = sin(x+3) b sin3x= cos2x c sin4x + cos5x = d 2sinx + √2 sin2x = e sin22x + cos23x = f sin3x + sin5x =
g sin(2x +500) = cos(x +1200) h cos3x – sin4x = 0
*i tan(x - π
5 ) + cotx = *j tan5x = tan3x
§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
A Kiến thức cần nhớ
1 Phương trình bậc hàm số lượng giác.
Các phương trình dạng at + b = 0 (a 0), với t hàm số lượng giác, phương trình bậc hàm số lượng giác
Sử dụng phép biến đổi lượng giác, đưa nhiều phương trình lượng giác phương trình bậc hàm số lượng giác
2 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác.
Các phương trình dạng at2 + bt + c = 0 (a 0), với t
(11)Có nhiều phương trình lượng giác đưa phương trình bậc hai hàm số lượng giác phép biến đổi lượng giác
3 Phương trình bậc sinx cosx Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1) Cách giải
Chia hai vế phương trình (1) cho √a2+b2 ta được
a
√a2+b2sinx+ b
√a2+b2cosx= c
√a2+b2 (2)
(vì
b
√a2+b2 ¿2=1 a
√a2+b2¿
2
+¿ ¿
)
Đặt cosα= a
√a2+b2 ; sin α= b
√a2+b2
Pt (2) trở thành: cos α sinx + sin α cosx = c
√a2+b2
⇔ sin(x + α ) = c
√a2+b2 (3)
Phương trình (3) phương trình lượng giác Chú ý:
Pt (1) có nghiệm ⇔ pt(3) có nghiệm ⇔ |c|
√a2
+b2 ≤1 ⇔ a2 + b2 c2
Vậy phương trình (1) có nghiệm a2 + b2 c2 sinx ± cosx = √2 sin(x ± π
4 ) 4 Phương trình asin2x + bsinx cosx + ccos2x = d
Cách giải
Cách 1: (áp dụng công thức hạ bậc)
asin2x + bsinx cosx + ccos2x = d
⇔ a 1−cos 2x 2 + b
sin 2x 2 + c
1+cos 2x
2 = d
⇔ bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c Cách 2:
(12)a.tan2x + btanx + c = d.(1 + tan2x) ⇔ (a – d).tan2x + btanx + c – d = 0 B Ví dụ tập
VD1: Giải phương trình sau:
a 2sinx – √2 = b 2tanx – =
c ( √3 cotx – 3)(2cosx –1) = d 2sin2x – sin2x = 0
Giải
a 2sinx – √2 = ⇔ 2sinx = √2 ⇔ sinx = √2
2 ⇔ sinx =
sin4
⇔
x=π 4+k2π
¿ x=π −π
4+k2π ¿
(k∈Z) ¿ ¿
⇔
x=π 4+k2π
¿ x=3π
4 +k2π ¿ (k∈Z)
¿ ¿
Vậy nghiệm phương trình là:
x=π 4+k2π
¿ x=3π
4 +k2π ¿ (k∈Z)
¿ ¿
b 2tanx – = ⇔ 2tanx = ⇔ tanx = 5
2 ⇔ x = arctan 5 2 + k
π (k Z)
Vậy nghiệm phương trình là: x = arctan 5
(13)c ( √3 cotx – 3)(2cosx –1) = ⇔
√3 cotx −3=0(1) ¿
2 cosx −1=0(2) ¿
¿ ¿ ¿
(1) ⇔ √3 cotx = ⇔ cotx = √3 ⇔ cotx = cot π
6 ⇔ x =
π
6 + k π (k Z)
(2) ⇔ 2cosx =1 ⇔ cosx = 1
2 ⇔ cosx = cos π 3
⇔
x=π 3+k2π
¿ x=−π
3+k2π ¿ (k∈Z)
¿ ¿
Vậy nghiệm phương trình là:
x=π 6+kπ
¿ x=π
3+k2π ¿ x=−π
3+k2π ¿ (k∈Z)
¿ ¿
d 2sin2x – sin2x =
(14)⇔
sinx=0 ¿
sinx −cosx=0 ¿
¿ ¿ ¿
⇔
x=kπ ¿ sinx=cosx
¿ ¿ ¿ ¿
⇔
x=kπ ¿ sinx=sin(π
2− x) ¿
¿ ¿ ¿
⇔
x=kπ
¿
x=π
2 − x+k2π ¿
(k∈Z)
¿ ¿
⇔
x=kπ ¿ x=π
4+kπ ¿ (k∈Z)
¿ ¿
Vậy nghiệm phương trình là:
x=kπ
¿
x=π
4+kπ ¿
(k∈Z)
¿ ¿
Bài tập 1: Giải phương trình sau:
a 4sinx – = b 3cotx + √3 = c - √3 tan(5x + 200) =0
d 2cos3x + = e sin(3x + 1)= π
4 f cos(x + 2π
5 )= π 3 g (2cosx + √2 )(tan(x +100) -
√3 ) = h sin2x.cos3x.(tan4x +1)=
i 8sinx.cosx.cos2x = √3 j sin2x +2cox = k tan(x +1) – 2008=0
l 3tan2x +
√3 tanx = m 4sin2x – sin22x = n
(15)p cot(x + π
4 ) = q cos2(x – 300) = 3
4 r 8cos3x – = Bài tập 2*: Giải phương trình sau:
a tan3x tanx = b cot2x cot(x + π
4 ) = -1 c
sin 2x
1+cos 2x=0 VD2: Giải phương trình sau:
a 2sin2x – 5sinx – = 0 b cot22x – 4cot2x +3 = 0
c 2cos2x +3sinx - = 0 d tan4x + 4tan2x - = 0
Giải
a 2sin2x – 5sinx – = 0
Đặt t = sinx ( điều kiện -1 t 1) thay vào phương trình ta được:
2t2 – 5t -3 = 0
⇔
t=3(loai) ¿ t=−1
2(nhân) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Với t = - 1
2 ta
sinx = - 1
2 ⇔ sinx = sin(-π
6 ) ⇔
x=−π 6+k2π
¿ x=7π
6 +k2π ¿ (k∈Z)
¿ ¿
Vậy nghiệm phương trình là:
x=−π 6+k2π
¿ x=7π
6 +k2π ¿ (k∈Z)
(16)b cot22x – 4cot2x + = 0
⇔
cot 2x=1 ¿ cot 2x=3
¿ ¿ ¿ ¿
⇔
2x k
(k Z)
2x arc cot k
⇔
x k
8 (k Z)
1
x arccot k
2
Vậy nghiệm phương trình là:
x k
8 (k Z)
1
x arccot k
2
c 2cos2x + 3sinx - = 0
⇔ 2(1 – sin2x) + 3sinx – = 0 ⇔ – 2sin2x + 3sinx – = 0
⇔ 2sin2x – 3sinx + =
⇔
sinx=1
¿ sinx=1
2 ¿ ¿ ¿ ¿
Với sinx = ⇔ x = π
2+k2π(k∈Z)
Với sinx = 1
2 ⇔ sinx = sin π
6 ⇔
x=π 6+k2π
¿ x=5π
6 +k2π ¿ (k∈Z)
(17)Vậy nghiệm pt là:
x=π 6+k2π
¿ x=5π
6 +k2π ¿ x=π
2+k2π ¿ (k∈Z)
¿ ¿
d tan4x + 4tan2x - = 0
⇔
tan2x=1
¿ tan2x=−5
(loai) ¿
¿ ¿ ¿
⇔ tanx=±1 ⇔
x=±π
4+kπ(k∈Z)
Vậy nghiệm pt là: x=±π
4+kπ(k∈Z) Bài tập 3: Giải phương trình sau:
a 3cos2x - 5cosx + = 0 b 4sin2x – 4sinx – = 0
c cot2x – 4cotx + = 0 d tan2x + (1 -
√3 )tanx - √3 = e 5cos2x + 7sinx – = 0 f tan4x – 4tan2x + = 0
g sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 h cos2x + 9cosx + = 0
i sin22x – 2cos2x + 3
4 = j 4cos42x – 7cos22x + = STT Giải phương trình sau: ĐS
1 cos2x - 2sin2x + = 0 x k2 2
CĐ NTT 07 4sin2x – 2( √3 - √2 )sinx - 6 =
0
2
x k2 ; x k2
3 3
KTĐN 04 cos4x – 2sin2x + = CĐXD số 05 x k ; x k
4 2 3
(18)5 cos2x - 3cosx + 2 0
sin x
x k2
3
CĐ Y TẾ 05 VD3: Giải phương trình sau:
a √3 sinx + cosx = b cos3x – sin3x = c 3sin2x + 4cos2x = d √2 sinx – cosx = Giải
a √3 sinx + cosx =
Chia hai vế pt cho √√32
+12 = ta
√3
2 sinx + 1
2 cosx =
⇔ cos π
6 sinx + sin π
6 cosx = ⇔ sin(x + π
6 ) = ⇔ x + π
6 = π
2 + k2 π ⇔ x = π
3 + k2 π
Vậy ngiệm phương trình là: x = π
3 + k2 π b cos3x – sin3x =
Chia hai vế pt cho −1¿
2
12+¿
√¿
= √2 ta
1
√2 cos3x - 1
√2 sin3x = 1 √2 ⇔ cos π
4 cos3x - sin π
4 sin3x = 1 √2 ⇔ cos(3x + π
4 ) = 1 √2 ⇔ cos(3x + π
(19)⇔
3x+π 4=
π 4+k2π ¿
3x+π 4=−
π 4+k2π ¿
¿ ¿ ¿
⇔
x=k2π 3 ¿ x=−π
6+k 2π
3 ¿ (k∈Z)
¿ ¿
Vậy ngiệm phương trình là:
x=k2π 3 ¿ x=−π
6+k 2π
3 ¿ (k∈Z)
¿ ¿
c 3sin2x + 4cos2x =
Chia hai vế pt cho √32
+42 = ta
3
5 sin2x + 4
5 cos2x = Kí hiệu α cung mà sin α = 4
5 , cos α = 3
5 ta sin2x cos α + sin α cos2x =
⇔ sin(2x + α ) =
⇔ 2x + α = π
2 + k2 π ⇔ x = π
4 - α
2 + k π Vậy ngiệm phương trình là: x = π
4 - α
(20)d √2 sinx – cosx =
Ta có √2 2 + (-1)2 = <32 = phương trình vô nghiệm. Bài tập 4:
STT Giải phương trình sau: ĐS
1 cosx + √3 sinx = √2 x k ; x 7 k2
12 12
2 √3 sin2x – √2 sin2x = 6
-√2 Ptvn
3
tanx - √3 =
1 cos x
7
x k2
6
KTKTCT 06 √3 cos4x + sin4x – 2cos3x = x k2 ; x k2
6 42 7
5 sin x sin2x 3
cosx - cos2x
CĐ KA 04
k2 x k2 ; x
9 3
6 cosx sin2x2 3
2cos x - sinx - 1
x k2
6
CĐGTVT 06
sinxcosx + cos2x = 2 1
2
x k
8
CĐSPHN 05 VD4: Giải phương trình sau:
a 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1
b 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3 Giải
a 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1
Với cosx = vế trái vế phải nên cosx = khơng thoả mãn phương trình Với cosx chia hai vế phương trình cho cos2x
ta được:
(21)⇔
tanx=1 ¿ tanx=−5
¿ ¿ ¿ ¿
⇔
x=π 4+kπ
¿
x=arctan(−5)+kπ ¿
(k∈Z) ¿ ¿
Vậy nghiệm phương trình là:
x=π 4+kπ
¿
x=arctan(−5)+kπ ¿
(k∈Z) ¿ ¿
b 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3
Áp dụng công thức hạ bậc ta 1+cos 2x
2 +
sin 2x
2 –
1−cos 2x
2 =
⇔ sin2x + cos2x = ⇔ √2 sin(2x + π
4 ) = ⇔ sin(2x + π 4 ) =
1 √2
⇔ sin(2x + π
4 ) = sin π
4 ⇔
2x+π 4=
π 4+k2π ¿
2x+π 4=
3π 4 +k2π ¿
(k∈Z) ¿ ¿
⇔
x=kπ ¿ x=π
4+kπ ¿ (k∈Z)
(22)Vậy nghiệm phương trình là:
x=kπ ¿ x=π
4+kπ ¿ (k∈Z)
¿ ¿ Bài tập 5: Giải phương trình sau:
a 2sin2x – sinx cosx – cos2x = 2 b 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = 1
c 2cos2x -3sin2x + sin2x = 1 d 2sin2x + sinx cosx – cos2x = 3
e 4sin2x + 3
√3 sin2x – 2cos2x = f sin3x + 2sin2x cosx – 3cos3x = 0
g √3 sin2x + (1 –
√3 )sinx.cosx – cos2x + –
√3 = ĐS : x 4 k ; x 3 k
Cao Thắng 06 Bài tập 6:
STT Giải phương trình sau: ĐS
1 cos2x + cos4x – = 0 x k
CĐTCKT IV 05 cos2x + 4sin4x = 8cos6x x 4 k2
BCHSEN 06 KD
3 cos4x + sin4x = cos2x x = k KTKTCT 06
4
cos4x + sin4x = 1
sin2x
2 x k
ĐHSG 07 cos4x - sin4x + cos4x = 0 x 2 k ; x 6 k
CĐXD số 07 2(cos4x - sin4x) + cos4x – cos2x = 0 x k ; x k
2
7 cos4x + sin4x + cos
x 4
sin 3x 4
-
3 2= 0
x k
4
KD 05
8
sin6x + cos6x = 2sin2 (x + 4
) x =
k 2
(23)9
6
2 sin x + cos x - sinxcosx 0
2 2sin x
5
x 2m
4
KA 06 10 sin3x + cos3x = sinx – cosx x k
2
CĐSP KA 04 11 sin3x + sinxcosx = - cos3x x 2 k2
; x = k CĐSP Hà Nam 05 14 cos3x + sin3x + 2sin2x = 1 x 2 k2 ; x 4 k
x = k2 BDD1 06
15
4
2
x x
cos sin 1 sin2x
2 2
sin2x 2sin x
4
x k2 ; x k2
6
CĐXD số 06
16 1 1 2 sin x
cos x sin x 4
x k
CĐCNTP 07
17 1 1 2 2co s x
cos x sin x 4
x k
DBB2 04
18
sin2x + 2cosx + 2sin
x 4
+ = 0
3 x k2 CĐSPKA06 Bài tập tổng hợp
STT Giải phương trình sau: ĐS
2
x x
sin cos 3 cos x 2
2 2
x k2 ; x k2
2
KD 07
2 2sin22x + sin7x – = sinx KB 07
2
x k ; x k
8 18
x k 18
3 (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx =
+ sin2x
KA 07
x k2 ; x k
2
(24)x = k2
cotx + sinx
x 1 tan x.tan
2
= 4
5
x k ; x k
12 12
KB 06 cos3x + cos2x – cosx - =
KD 06
2
x k2
3
; x = k (2sin2x – 1)tan22x + 3(2cos2x – 1) = 0 x k
6
DBB1 06
7 cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = xk2;xk24
x = + k2 BDB2 06
8
2sin
2x 6
+ 4sinx + =
7
x k2
6
; x = k DBA2 06
9 sin2x + sinx -
1 1
2sin x sin 2x =
2cot2x
x k
4
DBA107
10 sin2x cos 2x
cosx sinx = tanx – cotx x k2
DBB2 07
11 (1 – tanx)(1 + sin2x) = + tanx x k