tr­êng thpt nam §«ng bµi tëp §¹i sè 10 chuyªn ®ò bêt ®¼ng thøc ®¹i sè i môc tiªu gióp häc sinh l¾m v÷ng vµ biõt c¸ch chøng minh bêt ®¼ng thøc vën dông bêt ®¼ng thøc ®ó t×m gtln gtnn cña mét bióu thøc

[r]

Chuyên đề : bất đẳng thức đại số I Mục tiêu:

- Giúp học sinh vững biết cách chứng minh bất đẳng thức - Vận dụng bất đẳng thức để tìm gtln, gtnn biểu thức. II Bài mới

Dạng 1: dùng định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức Chú ý tính chất sau:

a b 20

; A2B2 C 20 ; A2B2 C 2  0 , ( 0) ; Tích số không âm số không âm ; Các đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách hạng tử để đa dạng đẳng thức

Bài : Chứng minh Bất đẳng thức sau:

a)

2 2

a b a b

2

   

 

  b)

3 3

a b a b

2

   

 

  c) a2b2 2ab

c) a2b2b2ab bc ca  d)   2

a b c  3 a b c 

e)  

2 2 2

a b c d e a b c d e  

f) a2b2 1 ab a b  Bµi : Chứng minh BĐT sau:

a) a2b2c22ab 2ac 2bc  b)

2 a

b c ab ac 2bc

4     

c) a22b2 2ab 2a 4b 0    d)a25b2 4ab 2a 6b 0   

e)  

4 2

x y z  1 2x xy  x x 1 

Bài : Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh BĐT sau:

a)  

2 2

ab bc ca  a b c 2 ab bc ca 

b) abca b c b c a c a b           c)  

2 2 2 4 a b b c c a  a  b  c 0 d)      

2 2 3

a b c b c a c a b 4abc a b c

e)      

2 2

a b a b b c b c c a c a 0

f)

     

3 3 2 2 2 3

a b c abc a b c b a c c a b  a b c 2abc Bµi : Chøng minh: x x x x 6          10 0 víi mäi sè thùc x Bµi : Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x 2xy y 2 3x 3y 1998  Bµi : Cho abc=2 vµ a372 CMR:

2

2 a

b c ab bc ca      Bµi : CMR:

a) NÕu a2b22 th× a b 2  b) Víi a  b th×

3 2

2 a ab a b b

b a b

  

 

c) NÕu x 1, y 1  th× x y y x 1 xy     d) NÕu x y z   CM:

   

1 1 1

y x z x z

x z y x z

   

     

   

e) NÕu a2b2c21 th× :

ab bc ca

    

f) Cho a > CMR: a5 a2 3a 0 

Bµi : Cho a, b, c số thực đoạn [0 ; 1] CMR: a2b2c2 1 a b b c c a2   Bµi : CMR: NÕu ab+ bc+ ca =1 th×      

2 2

1 a b c

bình phơng số thực ( a, b, c số thực)

Bài 10 : Tìm số a, b, c, d biÕt r»ng :

2 2 2

a b c d  ab bc cd d  50

Bài 11 : Cho sè d¬ng a, b, c CMR:

a b c

1

b c a c a b

   

   .

Bài 12 : Cho số thực a, b, c, m, n, p tháa m·n ®iỊu kiƯn :

ap 2bn cm 0   vµ ac b 0 CMR: mp n 0.

Bài 13 : Cho số dơng thỏa m·n: a> b vµ c ab CMR: 2 2

a c b c

a c b c

 



  .

Dạng 2: dùng bđt:

1

a 2, a

a

  

;  

a b

2, a.b

b a  

Bµi 14 : Chứng minh BĐT sau: (với a, b, c số dơng)

a)

a b 1

a b

 

   

  b) 

1 1

a b c

a b c

 

     

 

c)  

2 2

a b c a  b c 9abc

d)

bc ac ab

a b c

a  b  c   

e)

a b c

b c a c a b     2 f)

2 2

a b c a b c

b c a c a b

 

  

  

g)

4 4

a 2b c 2a b c a b 2c        a b c  ;

h)

a b c 1

bc ac ab   a b c i)

2 2

2 2

a b c a b c

b c a

b c a   

Bµi 15 : Tìm giá trị nhỏ biểu thøc sau: a)

   

 

4x x

P , x

x

 

 

b)  

2

x 2x

Q , x

x

 

  



c)

2

2

1

T a a

a a

   



Bài 16 : Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc:

2

x U

x x



Dùng bất đẳng thức để tìm gtln, gtnn biểu thức & hàm số Bài 17 : Tìm GTNN :

a)        

2 2

f x, y  x y 1   x 1  y 2

b)  

2 2

f x, y x y x  2xy 4x 1 

c)

 

2

2

4y 4x 6xy

f x, y

x y

 



.

Bài 18 : Tìm GTLN : a)  

2

f x  3 4x x

b) f x   x 15 x    

c)

 

2 2

3x 4xy

f x, y

x y

 

Bài 19 : Tìm GTNN :

a)    

2

x 4x

f x x

x

 

 

b)    

2

x

f x x

x 

 

c)    

x

f x x

1 x x

   

 d) f x  tgx cot gx (x góc nhọn)

Bài 20 : Tìm GTLN cña :

a) f x   2x 5x     b)      

f x  1 x x

c)  

x f x x   d)     x f x x  

e)      

2

f x  a x a  x x a 

Bµi 21 : T×m GTLN, GTNN cđa :

a) f x  3 x x x 5       b)    

2

f x 3x x   x 

c)    

o o

f x 3sin x 4cos x 0  x 180

Bµi 22 : Cho   2

x y 2, x 0, y 0 

H·y t×m : a) GTNN cña :

1

A

x y

 

b) GTLN cña : Bx y xy  c) GTLN cña : C xy

Bµi 23 : Cho xy= , (x>0, y>0) H·y t×m GTNN cđa :

a) A x 2y2 b) B x 4y4 c) Cx 4y 3     d)

2

D x y x y    y x

Bài 24 : Cho số thực dơng a b Tìm GTNN : a)

 

 

a x b x

y , x

x

 

 

b)

b

y ax , x

x

  

c)  

b

y ax , x a

x a

   

 d) y x 1   x 2  x 3