Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)đề thi Ơ-lim -pic huyện Mơn Tốn Lớp Năm học 2005-2006
(Thêi gian lµm bµi 120 phút) Bài Phân tích thành nhân tử: x4 - 6x2 - 7x - 6
Bµi Cho x, y, z số thực không âm Tìm giá trị nhỏ của: x4 + y4 + z4 BiÕt x + y + z = 2
Bµi Cho x, y, a, b lµ số thực thoả mÃn: x4
a + y4
b = x2
+y2 a+b vàx
2
+y2=1
Chøng minh: x 2006
a1003+
y2006
b1003=
2
(a+b)1003
Bài Cho a, b, c số thực dơng Chứng minh bất đẳng thức: a+b
bc+a2+
b+c
ac+b2+
c+a
ab+c2 ≤
1
a+
1
b+
1
c
Bài Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM = 2MA, nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đờng thẳng Bx vng góc với AB, Bx lấy điểm N cho BN =
2 AB
§-êng thẳng MC cắt NA E, đĐ-ờng thẳng BE cắt đĐ-ờng thẳng AC F a) Chứng minh AF = AM
b) Gọi H trung điểm FC, Chøng minh EH = BM
Híng dÉn chÊm «lim pic Môn toán lớp
năm học 2005-2006
Bài (4 điểm)
Phân tích thành nh©n tư: x4 - 6x2 - 7x - 6
Ta thÊy: f( -2) = 0; f(3) = 0, nên f(x) có thừa số (x + 2)(x - 3) (2®) chia f(x) cho (x + 2)(x - 3)
V× x2 + x + = x2 + 21
2 x + 4+
3
4 > 0)
(2)Bài (4 điểm)
Cho x, y, z số thực không âm Tìm giá trị nhỏ của: x4 + y4 + z4 BiÕt x + y + x = 2 áp dụng công thức Buhiacopski ta có:
x+y+z¿4
¿ [(x+y+z)
2]2 [3
(x+y+z)2]2
x2+y2+z2¿2
9¿ 27(x
4
+y4+z4) (2®)
=> 16≤27(x4+y4+z4) => x4+y4+z4≥16
27 (1®)
VËy giá trị nhỏ x4
+y4+z4l16
27
DÊu b»ng xÈy vµ chØ x = y = z =
3 (1đ)
Bài (4 điểm)
Cho x, y, a, b số thực thoả m·n: x4
a + y4
b = x2
+y2 a+b vàx
2
+y2=1
Chøng minh: x 2006
a1003+
y2006 b1003=
2
(a+b)1003
Tõ gi¶ thiÕt =>
x2+y2¿2 ¿ ¿ x4
a + y4 b =¿
<=> (bx4 + ay4)(a + b) =ab(x2 + y2)2 (1®)
<=> b2x4 +a2y4 - 2abx2y2 = <=> (bx2 - ay2)2 = (1®)
<=> bx2 - ay2 = <=> x2
a = y2
b = x2
+y2 a+b =
1
a+b (1®)
<=>
a+b¿1003 ¿
x2006 a1003=
y2006 b1003=
1
¿
<=>
a+b¿1003 ¿
x2006 a1003+
y2006 b1003=
2
(Điều phải cm) (1đ) Bài (4 ®iÓm)
Chứng minh bất đẳng thức: a+b
bc+a2+
b+c
ac+b2+
c+a
ab+c2 ≤
1
a+
1
b+
1
c
KÝ hiÖu vÕ trái A vế phải B, xét hiệu A - B a+b
bc+a2 −
1
a+ b+c
ac+b2 −
1
b+ c+a
ab+c2 −
1
(3)= a
+ab−bc− a2 a(bc+a2) +
b2+bc−ac−b2 b(ac+b2) +
c2+ac−ab− c2
c(ab+c2) (0.5®)
= b(a − c)
a(bc+a2)+
c(b −a) b(ac+b2)+
a(c − b)
c(ab+c2) (0.5®)
Do a, b, c bình đẳng nên giả sử a ≥ b ≥ c , b(a - c) 0, c(b - a) 0, a(c - b) (0.5đ)
a3 b3 c3 =>abc + a3 abc + b3 abc + c3 => b(a − c)
a(bc+a2)≤
b(a −c) b(ac+b2)
(0.5®)
=>A - B b(a− c)
b(ac+b2
)+
c(b − a) b(ac+b2
)+
a(c −b) c(ab+c2) =
ab−ac
b(ac+b2)+
ac−ab
c(ab+c2) (0.5®) = a(b − c)
b(ac+b2
)−
a(b −c)
c(ab+c2) (0.5®)
Mµ b(ac+b2
)≤
1
c(ab+c2) nên A - B (ĐPCM) (0.5đ) Bài (4 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 2MA, nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đờng thẳng Bx vng góc với AB, Bx lấy điểm N cho BN =
2 AB
Đ-ờng thẳng MC cắt NA E, đĐ-ờng thẳng BE cắt đĐ-ờng thẳng AC F c) Chứng minh AF = AM.
d) Gọi H trung điểm EC, Chứng minh EH = BM a) Đờng thẳng EC cắt đờng thẳng BN K (2đ) Ta có: AC AB (gt), KB AB (gt) =>FC//KB
AF NB= AE EN AC NK= AE EN } ⇒AF NB= AC NK ⇒ AF AB =AC
NK ⇒AF=
AB2
2 NK(1)
AC BK= AM MB= 2⇒ AC
KN+NB=
1 2⇒
AB
KN+AB
2
=1
2 ⇒ AB
2 KN+AB=
1
2⇒4 AB=2 KN+AB⇒KN=
2AB(2)
Tõ (1) vµ (2) => AF=AB
2
3 AB= AB
3 AF=AM (ĐPCM)
b)Từ chứng minh suy ra: Δ AFB = Δ AMC => ABF = ACM
(4)mµ ABF + AFB = 1v => ACM + AFB = 1v => FEC = 1v =>EH =
FC
2 =FH mµ FH=FA+AH=
AC
3 +
AC
3 =
2 AC