Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 - 2021 sở GD&ĐT Kon Tum - TOANMATH.com

Tính xác suất để số ghế của bạn Hùng bằng trung bình cộng số ghế của hai bạn Việt và Nam... Tính xác suất để số ghế của bạn Hùng bằng trung bình cộng số ghế của hai bạn Việt và Nam..[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM

TOANMATH.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN – LỚP 12

NĂM HỌC 2020 - 2021

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 01 trang + 05 toán tự luận

Câu (2,5 điểm) Cho hàm số f x   x4 2mx2m21 Tìm m để đồ thị hàm số f x  có ba điểm cực trị ba điểm gốc tọa độ O lập thành tứ giác nội tiếp đường tròn

Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sin 3 cos cos

x x

x

 

 với x  ;0 

2 Giải phương trình     

 

3

2 4 2

x x y y y

x y x y y

     

 

      



Câu (5,0 điểm) Một nhóm gồm học sinh lớp có ba bạn Việt, Nam Hùng dự đại hội Đoàn trường, ban tổ chức xếp ngẫu nhiên học sinh ngồi vào dãy ghế đánh số từ đến Tính xác suất để số ghế bạn Hùng trung bình cộng số ghế hai bạn Việt Nam

2.Cho dãy số  un thỏa

12   

1 2020

5 n n , 1, 2,3

u

n n u n n u  n

 

      



Tính lim 2

n n

u n

 

 

 

Câu (6,0 điểm)Cho tứ diện ABCD có BC AD a AC BD b AB CD c ,   ,   Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD theo a b c, ,

2 Biết mặt phẳng ABC vng góc với mặt phẳng ABD Chứng minh cos cosA BcosC; với A B C, , ký hiệu ba góc tương ứng với đỉnh A B C, , tam giác

ABC

3 Gọi S diện tích tồn phần tứ diện ABCD Tìm giá trị lớn biểu thức

2 2

2 2 2

S S S

a b b c c a

Câu (2,5 điểm) Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a2b2c23 Tìm giá trị nhỏ

biều thức  

2 2

2

1

 

     

 a b c

P a b c

c ab a b c

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Cho hàm số f x   x4 2mx2m21 Tìm m để đồ thị hàm số f x  có ba điểm cực trị ba điểm gốc tọa độ O lập thành tứ giác nội tiếp đường tròn

Lời giải

  4 4

f x   x  mx4x x2 m

 

4x  x m 0 x2 x m

    



Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị : m0

Ba điểm cực trị A0;m21; B m; 1 ; C m; 1 

 ; 2

BA  m m 

; BO m;1

Để ba điểm A,B,C gốc tọa độ O 0;0 tạo thành tứ giác nội tiếp 

180

B C   B90 (do B C  )

BA BO

   m m20 m m

     Vậy m1

Câu 2.1: Giải phương trình sin 3 cos3 cos

x x

x

 

 với x  ;0  Lời giải

Trường hợp 1: sin 3x0 sin 3 cos

0

cos

sin 3 cos 1

sin 3 cos

2

6

sin sin

2

3

18

x x

x k

x

x x

x x

x k

x

x k

 

 

 

 

      

 

 

  

  

   

 

     



    

 Theo đề x  ;0

2

x  k nên ; 13

8 18

x   

 

Trường hợp 2: sin 3x0 sin 3 cos 0

cos

sin 3 cos 1

sin 3 cos

2

2

sin sin

2

3

18

x x x k

x

x x

x x

x k

x

x k

 

 

 

 

       

 

 

   

   

    

 

     

    

Theo đề x  ;0

x k nên ; ; 11

6 18

x     

 

Vậy nghiệm phương trình ; ; 11 ; ; 13

6 18 18

x        

 

Câu 2.2: Giải phương trình     

 

3

2 4 2

x x y y y

x y x y y

     

 

      



Lời giải Điều kiện:

  1

2

2

x y y x y y

  



   



   

Ta có   1  x y 3 x y y   1 4 y 1 Đặt u x y v ,  y1 u0,v0

Khi  1 trở thành

 

2 3 4 0

4 u v u uv v

u v 



    

 



Với u v ta cóx2y1,thay vào 2 ta được: 6y 2 2y 1 4y 1 Dễ dàng ta tìm y  1 x

Vậy nghiệm phương trình  3;1

Câu 3.1: Một nhóm gồm học sinh lớp có ba bạn Việt, Nam Hùng dự đại hội Đoàn trường, ban tổ chức xếp ngẫu nhiên học sinh ngồi vào dãy ghế đánh số từ đến Tính xác suất để số ghế bạn Hùng trung bình cộng số ghế hai bạn Việt Nam

Lời giải Số phần tử không gian mẫu n( ) 9! 

Gọi A biến cố mà số ghế bạn Hùng trung bình cộng số ghế hai bạn Việt Nam

Gọi số ghế Hùng, Việt, Nam , ,h v n Có

2 v n h  mà

 

, , , , 1;9 h v n h v n

 

 



 ,

v n

 lẻ chẵn

Mỗi ,v n lẻ chẵn h Các ,v n thõa mãn ( Chưa xét hoán vị )

                               

1;3 ; 1;5 ; 1;7 ; 1;9 ; 3;5 ; 3; ; 3;9 5;7 ; 5;9 ; 7;9 ; 2; ; 2;6 ; 2;8 4;6 ; 4;8 ; 6;8

16.2!.1

 cách xếp , ,h v n thõa mãn

  16.2!.1 6!

n A

 

  16.2!.1.6!

9! 63

P A

  

Câu 3.2: Cho dãy số  un thỏa

12   

1 2020

5 n n , 1, 2,3

u

n n u n n u  n

 

      



Tính lim 2

n n

u n

 

 

 

Lời giải

Ta có

     

2

1 2 2

1 1

5

2 2

n n n

n n

n n

u u u

n n n n



   

 

 

   

   

     

2 2

1

2

1 1

2 2 1 3 1 1 n

n n n n

u

n n n n 

     



 

     

 

   

   

2

1

2

1 1

2 1 n

n n

u

n n 

   



     

 

   

   

2

2

3

1 1

2 n

n n

u

n n 

   

 

     

 

…    

   

2

1

1 1

2n 1

n n

u

   



     

 

2 5 5 404 2n

n  n 

Vậy

2

3

.404

n n

n n

u     Suy lim 2 808

n n

u n

 



 

 

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có BC AD a AC BD b AB CD c ,   ,   Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD theo a b c, ,

2 Biết mặt phẳng ABC vuông góc với mặt phẳng ABD Chứng minh cos cosA BcosC; với A B C, , ký hiệu ba góc tương ứng với đỉnh A B C, , tam giác

ABC

3 Gọi S diện tích tồn phần tứ diện ABCD Tìm giá trị lớn biểu thức

2 2

2 2 2

S S S

a b b c c a

Dựng hình hộp chữ nhật AMBN QCPD (tham khảo hình vẽ)

Gọi , ,x y z ba kích thước hình hộp chữ nhật AMBN QCPD

Theo giả thiết, ta có

 

 

 

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

1 2

x a c b

x y c

y z b y b c a

x z a

z a b c

   



   

 

     

 

   

  

 



1 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD theo a b c, ,

Ta có

 

 

   

 ,    ,  2

2 //

AB AMBN

a b c

CD QCPD d AB CD d AMBN QCPD z

AMBN QCPD 



       

  

Vậy  

2 2

,

2 a b c d AB CD   

2 Chứng minh cos cosA BcosC Cách 1: Sử dụng bổ đề sau:

Nếu    P  Q  d  R    

   

 

   

   

   

 

, , 180

, ,

P R P Q

Q R P Q

  

  

 

     

  

    

Áp dụng vào toán sau:

Gọi ABD , AMBN;ABC , AMBN

Ta có   

 

2 ,

tan

,

d D AMBN z x y

d N AB xy

Tương tự, có   

 

2 ,

tan

,

d C AMBN z x y

d C AB xy

     2

Từ  1  2 tan tan    Do ABC  ABD     45

  2 2 2 2

2 2 2 . .

2 2

a b c a c b b c a

z x y x y   c    

    

2 2 2 2 2

2 2

a b c a c b b c a

ab ac bc

     

 

cosC cos cosA B

  (đpcm)

Cách 2:

Dựng CH AB ABC  ABDCHABD Ta có CH a.sinB; BH a.cosB

Áp dụng định lý cosin tam giác BHD, ta có DH2 BH2BD22BH BD. .cosABD 2cos2 2 cos cos

DH a B b a B b A

    (vì  ABD CAB )

2 2cos2 2 cos cos

DH a B b ab A B

   

Lại có CHD vng H, nên DH2 CD2CH2CD2CH2DH2 2sin2 2cos2 2 cos cos

c a B a B b ab A B

    

2 2

cos cos cos

2 a b c

A B C

ab

 

  

Vậy cosCcos cosA B (đpcm) Tìm giá trị lớn biểu thức

2 2

2 2 2

S S S

a b b c c a Đặt

2 2

2 2 2

S S S

T

a b b c c a

  

Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có a2 sinR A, b2 sinR B, sin

c R C

Tứ diện ABCD, có BCAD a AC BD b AB CD c ,   ,  

4 ABC sin sin sin

S S R A B C

  

Suy T 4 sin Asin2Bsin2C

Ta có 4 sin sin2 sin2  4 1 1cos 2 cos 2  sin2

T  A B C    A B  C

 

   

4 cos cos sin

T  A B A B C

 

4 cos cos cos

T  C A B C

      

   

   

4 cos cos cos cos cos cos

T  C A B A B  A B C

         

(vì cos cos cos

A B C )

Suy T 9

Vậy giá trị lớn biểu thức T , xảy ABC

Câu 5: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a2b2c2 3 Tìm giá trị nhỏ biều thức

 

2 2

2

1

 

     

 a b c

P a b c

c ab a b c

Lời giải Ta có c22ab c 2a2b2 3

Dễ thấy  2 3 2 2 2

3  

        x y z

x y z x y z x y z

Từ suy  

2 2 2

1 1

1

 

 a b c       

P a b c

a b a b c c

 

 

3 2

3

3

2

1

3 3 3

2

6

3 3 3

 

 

   

 

       

      

c

a b c a b ab c

ab bc ca P a b c a b c

abc a b c

P abc abc abc abc

abc abc

Đặt t6abc ,0 t 1 Ta 2 3P 3t t3 

t

Xét  

2 3

  

f t t t

t liên tục 0 1;  có

  3  

3

12

3    0

     t t   

f t t ,t ;

t t

nên f t  nghịc biến 0 1;  suy f t    f  9 3 P 3 1 Vậy giá trị nhỏ P 3 1 đạt a b c  1