Bài giảng giới thiệu lý thuyết mô hình kinh t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI KHOA KINH TẾ & QUẢN LÝ BỘ MÔN KINH TẾ Bài giảng GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT MƠ HÌNH KINH TẾ (Lưu hành nội bộ) GS.TS Nguyễn Khắc Minh (Chủ biên) PGS.TS Bùi Duy Phú NCS Đào Văn Khiêm Hà Nội, 2015 Giới thiệu lý thuyết mơ hình kinh tế LỜI NĨI ĐẦU Sau nhiều năm giảng dạy mơ hình tốn kinh tế hƣớng dẫn nghiên cứu thực hành cho sinh viên môn Kinh tế, khoa Kinh tế Quản lý trƣờng Đại học Thủy Lợi, chúng tơi phát ngồi kiến thức kinh tế học, giảng dạy cho sinh viên, sinh viên cịn cần có cơng cụ tốn cao hơn, giúp sinh viên hiểu ứng dụng phân tích tốn thực tế Chẳng hạn sinh viên thƣờng lúng túng với nhiều toán thực tiễn địi hỏi kiến thức tốn sâu kiến thức học năm đầu bậc đại học, nhƣ phải tính phúc lợi việc giảm thuế quan cho ngƣời tiêu dung, sản xuất xã hội nhập mặt hàng hay tính kênh mà FDI ảnh hƣởng đến kinh tế phân bổ nguồn tài nguyên có hạn cho có lợi cho xã hội…Những vấn đề đòi hỏi sinh viên cần biết ứng dụng quan trọng mơ hình cân riêng, cân tổng quát, tối ƣu tối ƣu động Những vấn đề nhƣ cần phải đƣợc trang bị nhƣ để hành trang quan trọng giúp giải vấn đề thực tế mà sinh viên gặp phải Tuy nhiên loại mơ hình nhƣ nói cần nhiều kiến thức toán cần nhiều thời gian để truyền đạt thực hành Nhƣng phạm vi mơn học “Giới thiệu lý thuyết mơ hình kinh tế” cho sinh viên kinh tế đƣợc học với số thời lƣợng ỏi Chính lý mà để bao quát nội dung cho phù hợp với trình độ sinh viên, chúng tơi chọn lọc chƣơng trình gồm đủ nội dung nói, nhƣng khơng sâu vào lý thuyết mà tập trung vào để hiểu đƣợc công cụ cách ứng dụng để giải vấn đề kinh tế thực tế Làm nhƣ không tốn nhiều thời gian để dạy học, giúp cho sinh viên có cơng cụ hữu ích phân tích kinh tế có tính ứng dụng cao, Theo tinh thần giáo trình gồm chƣơng Chƣơng 1: Mơ hình cân riêng phân tích tác động hiệp định thƣơng mại đến số tiêu kinh tế Chƣơng chúng tơi trình bày ngun tắc chung xây dựng mơ hình cân riêng Tuy nhiên để giúp cho sinh viên dễ nắm bắt đƣợc vấn đề, gắn lý thuyết mơ hình cân riêng vào hồn cảnh cụ thể mơ hình cân riêng phân tích tác động hiệp định thƣơng mại đến số tiêu kinh tế Tuy nhiên phần lý thuyết đƣợc trình bày đầy đủ để tăng khả áp dụng ngƣời đọc Để ứng dụng đƣợc, chúng tơi trình bày cách vận dụng nghiên cứu thực nghiệm tác động hiệp định thƣơng mại đến số tiêu kinh tế nhƣ thiệt hại ngƣời sản xuất, đƣợc ngƣời tiêu dung, thất nghiệp, mật doanh thu thuế phủ phúc lợi xã hội nhập ô tô Chƣơng 2: Các mơ hình đầu vào - đầu Chúng tơi giành chƣơng cho việc giới thiệu loại mơ hình cân tổng qt - mơ hình đầu vào - đầu Mặc dầu mơ hình đƣợc giới thiệu nhiều sách toán kinh tế, nhiên mục đích có khác nên trình bày chúng tơi cố gắng nhằm vào ứng dụng phân tích kinh tế Nhƣ cách sử dụng mơ hình phân tích thay đổi cấu trúc kinh tế tính kênh truyền tải FDI Chƣơng 3: Các mơ hình DEA Loại mơ hình dạng quy hoạch tuyến tính, nhƣng có ứng dụng phong phú tốn kinh tế nhƣ tính hiệu kỹ thuật, hiệu phân bổ, hiệu chi phí hay xếp hạng hiệu doanh nghiệp Chƣơng 4: Mơ hình số Malmquist, phân rã suất nhân tố tổng hợp thành tiến kỹ thuật thay đổi hiệu Đây dạng mơ hình tối ƣu hóa động nhƣng giải khn khổ DEA Mơ hình cho phép ƣớc lƣợng đƣợc thay đổi TFP thông qua tốn tựa quy hoạch tuyến tính phân rã thay đổi TFP thành thay đổi tiến công nghệ thay đổi hiệu Chƣơng 5: Một số tốn tối ƣu hóa động Chƣơng giới thiệu tốn tối ƣu hóa động Đó toán biến phân, toán điều khiển tối ƣu toán quy hoạch động dƣới giác độ ngƣời làm kinh tế hiểu vận dụng nhƣ việc giải toán thực tế Cuốn giáo trình đƣợc biên soạn dựa giảng mơ hình kinh tế thầy cô Bộ môn kinh tế Khoa Kinh tế & Quản lý, trƣờng Đại học Thủy Lợi giảng dạy nhiều năm cho sinh viên kinh tế nhận đƣợc nhiều ý kiến đóng góp quý giá Nhóm biên soạn giáo trình tiếp thu sửa chữa, cập nhật, nghiên cứu thực nghiệm đáng ứng đòi hỏi yêu cầu xã hội giúp cho lý thuyết có ứng dụng sinh động Việt Nam, nhƣng không tránh khỏi khiếm khuyết Do vậy, chúng tơi mong muốn nhận đƣợc góp ý ngƣời đọc để hồn thiện giáo trình đƣợc tốt Cuối xin chân thành cảm ơn thầy cô Khoa Kinh tế & Quản lý môn Kinh tế, thầy cô cộng tạo điều kiện giúp đỡ việc biên soạn giáo trình Các tác giả Giới thiệu lý thuyết mơ hình kinh tế MỤC LỤC Chƣơng MƠ HÌNH CÂN BẰNG RIÊNG PHÂN TÍCH TÁC ĐỘNG CỦA HIỆP ĐỊNH THƢƠNG MẠI ĐẾN MỘT SỐ CHỈ TIÊU CỦA NỀN KINH TẾ 1.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1.1 Tổng quan mơ hình cân tổng qt mơ hình cân tổng qt tính đo ảnh hƣởng tự hóa thƣơng mại (Tác động hiệp định thƣơng mại) 1.1.2 Mơ hình cân riêng 11 1.1.2.1 Giả thiết mơ hình 11 1.1.2.2 Mô tả ảnh hƣởng đồ thị 11 1.1.2.3 Phân tích ảnh hƣởng phúc lợi việc loại bỏ hàng rào thƣơng mại 13 1.1.2.4 Mơ hình thực nghiệm 14 1.1.2.5 Một số trƣờng hợp cụ thể 16 1.2 ỨNG DỤNG THỰC NGHIỆM ĐO LƢỜNG TÁC ĐỘNG CỦA HIỆP ĐỊNH THƢƠNG MẠI ĐỐI VỚI NGÀNH Ô TÔ VIỆT NAM GIAI ĐOẠN 2016-2028 20 1.2.1 Giới thiệu 20 1.2.2 Mô tả số liệu 22 1.2.3 Phân tích thảo luận kết nghiên cứu 22 1.2.3.1 Một vài nét ngành sản xuất ô tô Việt Nam 22 1.2.3.2 Thảo luận ảnh hƣởng Hiệp định thƣơng mại đến tiêu kinh tế 23 1.3 BÀI TẬP 26 Chƣơng CÁC MƠ HÌNH ĐẦU VÀO ĐẦU RA 28 2.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 28 2.1.1 Mở đầu 28 2.1.2 Mơ hình đầu vào đầu tĩnh 28 2.1.2.1 Giới thiệu 28 2.1.2.2 Mơ hình không tách phần nhập 30 2.1.2.3 Mơ hình đầu vào - đầu dạng giá trị tách riêng sản phẩm nhập 35 2.1.2.4 Hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị 37 2.1.2.5 Hệ số đầu vào yếu tố sơ cấp 37 2.1.2.6 Hệ số chi phí tồn bộ: Khái niệm ý nghĩa kinh tế 37 2.2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MƠ HÌNH ĐẦU VÀO - ĐẦU RA TRONG PHÂN TÍCH VÀ DỰ BÁO KINH TẾ 38 2.2.1 Lập kế hoạch sản xuất 38 2.2.2 Xác định mức sản xuất ngành 38 2.2.3 Xác định giá trị sản xuất nhu cầu cuối số ngành 39 2.3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC NGHIỆM 39 2.3.1 Một số mơ hình đầu vào - đầu để phân rã thay đổi cấu trúc kinh tế 39 2.3.1.1 Lý thuyết 39 2.3.1.2 Thực nghiệm ƣớc lƣợng thay đổi cấu trúc thông qua mức độ lan tỏa độ nhậy 40 2.3.1.3 Nguồn tăng trƣởng công nghiệp Việt Nam 42 2.3.2 Sử dụng Bảng đầu vào - đầu để xây dựng kênh truyền tải ảnh hƣởng FDI đến doanh nghiệp nội địa 42 2.3.2.1 Horizontal 42 2.3.2.2 Backward 43 2.3.2.3 Forward 43 2.3.2.4 Supplybackward 43 2.4 BÀI TẬP 43 2.5 PHỤ LỤC TOÁN HỌC 45 Chƣơng CÁC MƠ HÌNH DEA 51 3.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 51 3.1.1 Nội dung kinh tế vấn đề hiệu 51 3.1.1.1 Định nghĩa 51 3.1.1.2 Trƣờng hợp đầu vào đầu 51 3.1.1.3 Trƣờng hợp hai đầu vào đầu 53 3.1.1.4 Trƣờng hợp đầu vào hai đầu 55 3.1.1.5 Trƣờng hợp hai đầu vào hai đầu Các trọng số cố định biến đổi 58 3.1.2 Mơ hình CCR Cơ 59 3.1.2.1 Mở đầu 59 3.1.2.2 Dữ liệu 60 3.1.2.3 Mô hình CCR 61 3.1.2.4 Từ quy hoạch phân thức đến quy hoạch tuyến tính 61 3.1.2.5 Ý nghĩa trọng số tối ƣu 62 3.1.2.6 Các thí dụ giải thích 63 3.1.2.7 Mơ hình CCR tƣơng ứng sản xuất 65 3.1.3 Các mơ hình DEA khác 68 3.1.3.1 Mở đầu 68 3.1.3.2 Mơ hình BCC 70 3.1.3.3 Bài toán đối ngẫu cho mơ hình BCC 71 3.2 ỨNG DỤNG THỰC NGHIỆM 72 3.3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 75 Chƣơng MƠ HÌNH CHỈ SỐ MALMQUIST PHÂN RÃ TĂNG NĂNG SUẤT NHÂN TỐ TỔNG HỢP THÀNH THAY ĐỔI TIẾN BỘ CÔNG NGHỆ VÀ THAY ĐỔI HIỆU QUẢ 78 4.1 CƠ SỞ PHƢƠNG PHÁP LUẬN 78 4.1.1 Các số Malmquist …………………………………………………… 78 4.1.1.1 Công nghệ sản xuất 78 4.1.1.2 Hàm khoảng cách 78 4.1.1.3 Chỉ số suất Malmquist 79 4.1.2 Phân tích bao liệu (DEA) 79 4.1.2.1 Phân tích bao liệu 80 4.1.2.2 Phân tích bao liệu số Malmquist 82 4.1.2.3 Thí dụ Dữ liệu mảng số Malmquist 82 4.2 THỰC HÀNH ƢỚC LƢỢNG VÀ PHÂN RÃ THAY ĐỔI TRONG TFP 84 Giới thiệu lý thuyết mơ hình kinh tế 4.2.1 Phân rã thay đổi suất nhân tố tổng hợp TFP 12 ngân hàng thƣơng mại thành thay đổi hiệu thay đổi tiến công nghệ 84 4.2.2 Một số ứng dụng khác 88 4.2.2.1 Phát triển mơ hình DEA dƣới ràng buộc ngẫu nhiên 88 4.2.2.2 Ứng dụng thực nghiệm 90 4.3 BÀI TẬP 90 Chƣơng MỘT SỐ BÀI TỐN TỐI ƢU HĨA ĐỘNG 93 5.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 93 5.1.1 Giới thiệu tối ƣu hóa động 93 5.1.1.1 Những nét bật tốn tối ƣu hóa động 93 5.1.1.2 Các điểm cuối biến đổi điều kiện hoành 97 5.1.1.3 Phiếm hàm mục tiêu 100 5.1.2 Những cách tiếp cận khác tối ƣu hóa động 103 5.1.2.1 Bài tốn phép tính biến phân 103 5.1.2.2 Lý thuyết điều khiển tối ƣu 104 5.1.2.3 Quy hoạch động 113 5.2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 117 5.2.1.Ứng dụng tốn biến phân vào mơ hình độc quyền động 117 5.2.2 Ứng dụng lý thuyết điều khiển tối ƣu: Lý thuyết tăng trƣởng tối ƣu tân cổ điển 118 5.3 BÀI TẬP 121 TÀI LIỆU THAM KHẢO 124 DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1a Số liệu giá lƣợng hàng hóa nhập khẩu, độ co giãn ngành A 17 Bảng 1.1b Kết ƣớc lƣợng tính tốn tác động 18 Bảng 1.1c Sản lƣợng ô tô nội địa - nhập giai đoạn 2007-2015 22 Bảng 1.2 Bảng giá nội địa nhập trung bình dịng xe Việt Nam 23 Bảng 1.3 Ƣớc lƣợng tham số mơ hình 24 Bảng 1.4 Giá lƣợng xe nhập nội địa có Hiệp định Thƣơng mại từ năm 2015-2028 24 Bảng 1.5 Kết ƣớc lƣợng tiêu kinh tế - xã hội 26 Bảng 2.1 Mơ hình vào - dạng giá trị 31 Bảng 2.2 Bảng Đầu vào - đầu Thổ Nhĩ Kỳ, 1973 (tỷ TL) 34 Bảng 2.3 Mơ hình vào tách riêng dịng nhập 36 Bảng 2.4 Thay đổi cấu trúc thông qua mức độ lan tỏa (backward linkage effects) độ nhậy (foreward linkage effects) ngành 41 Bảng 2.5a Mơ hình đầu vào đầu dạng giá trị ngành 44 Bảng 2.5b Mơ hình đầu vào đầu dạng giá trị ngành 45 Bảng 3.1 Trƣờng hợp đầu vào đầu 51 Bảng 3.2 Hiệu cửa hàng 52 Bảng 3.3 Trƣờng hợp hai đầu vào đầu 53 Bảng 3.4 Trƣờng hợp đầu vào hai đầu 55 Bảng 3.5 Trƣờng hợp bệnh viện 58 Bảng 3.6a So sánh trọng số cố định biến đổi 59 Bảng 3.6b DMU với đầu vào đầu 63 Bảng 3.7 Các kết Thí dụ 3.1 64 Bảng 3.8 Tƣơng ứng toán gốc đối ngẫu 67 Bảng 3.9 Những tƣơng ứng gốc đối ngẫu mơ hình BCC 72 Bảng 3.10 Số liệu 28 Ngân Hàng thƣơng mại năm 2012 ( đơn vị đo tỷ VNĐ) 72 Bảng 3.11 Kết DEA 28 Ngân Hàng thƣơng mại năm 2012 74 Bảng 3.12 Dữ liệu số lƣợng công nhân số sản phẩm tạo tổ sản xuất 75 Bảng 3.13 Dữ liệu số lƣợng nhân viên, diện tích, lƣợng bán 75 Bảng 3.14 Số liệu 28 Ngân Hàng thƣơng mại năm 2008 ( đơn vị đo tỷ VNĐ) 76 Bảng 4.1 Số liệu thí dụ DEA Malmquist 83 Bảng 4.2 Dữ liệu 13 ngân hàng thƣơng mại năm 84 Bảng 4.3 Tên mã 12 ngân hàng 85 Bảng 4.4 Kết phân rã thay đổi TFP năm 2008-2009 86 Bảng 4.5 Kết phân rã thay đổi TFP năm 2009-2010 87 Giới thiệu lý thuyết mơ hình kinh tế Bảng 4.6 Tóm tắt số Malmquist theo năm 87 Bảng 4.7 Tóm tắt số Malmquist trung bình thời kỳ nghiên cứu 88 Ngân hàng 88 Bảng 4.8 Tóm tắt thay đổi hàng năm TFP thành phần từ cách tiếp cận DEA CDEA 90 Bảng 4.9 Số liệu VA, K L doanh nghiệp ngành hóa chất 91 Bảng 4.10 Số liệu Ngân hàng từ năm 2010 đến 2012 92 DANH MỤC HÌNH Hình 1.1 Ảnh hƣởng thị trƣờng nƣớc 12 Hình 1.2 Ảnh hƣởng giảm rào cản thuế quan thị trƣờng nhập 12 Hình 1.3 Giá tơ nhập nội địa có TPP 25 Hình 1.4 Lƣợng tơ nhập nội địa có TPP 25 Hình 2.1 Luồng tuần hồn kinh tế 29 Hình 3.1 Đƣờng hồi quy so sánh với đƣờng biên 52 Hình 3.2 Cải tiến cửa hàng A 52 Hình 3.3 Trƣờng hợp hai đầu vào đầu 53 Hình 3.4 Cải tiến cửa hàng A 55 Hình 3.5 Cải tiến 55 Hình 3.6 Minh hoa cho thí dụ 3.1 65 Hình 3.7 Tập hợp khả sản xuất 66 Hình 3.8 Đƣờng biên sản xuất mơ hình CCR 68 Hình 3.9 Đƣờng biên sản xuất mơ hình BCC 68 Hình 3.10 Mơ hình BCC 70 Hình 4.1 Thí dụ DEA hƣớng đầu vào VRS 84 Hình 5.1 Quyết định nhiều giai đoạn 94 Hình 5.2 Phiên liên tục toán quyệt định nhiều giai đoạn………….………95 Hình 5.3 Ánh xạ từ đƣờng sang tập số thực 96 Hình 5.4 Cực đại lợi nhuận công ty 97 Hình 5.5 Các lại điểm cuối biến đổi 98 Hình 5.6 Minh họa tốn đơn giản điều khiển tối ƣu 106 Hình 5.7 Minh họa nguyên lý cực đại 108 Hình 5.8 Đƣờng y* đƣờng nằm ngang 110 Hình 5.9 Minh họa điều khiển tối ƣu kiểu bang - bang 112 Giới thiệu lý thuyết mơ hình kinh tế Chƣơng MƠ HÌNH CÂN BẰNG RIÊNG PHÂN TÍCH TÁC ĐỘNG CỦA HIỆP ĐỊNH THƢƠNG MẠI ĐẾN MỘT SỐ CHỈ TIÊU CỦA NỀN KINH TẾ 1.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Dù lý thuyết đo ảnh hƣởng tự hoá thƣơng mại phong phú nhƣng nhóm lại thành hai nhóm bản: (1) Nhóm sử dụng mơ hình cân tổng qt tính (2) Nhóm sử dụng mơ hình cân riêng Vì sở lý thuyết mơ hình "Đo ảnh hƣởng hiệp định thƣơng mại Việt Nam" dựa sở phƣơng pháp luận mơ hình cân riêng đo chi phí bảo hộ nên phần tổng quan, chúng tơi cố gắng tập trung chủ yếu vào mơ hình làm sở để trình bày sở phƣơng pháp luận 1.1.1 Tổng quan mơ hình cân tổng qt mơ hình cân tổng qt tính đo ảnh hƣởng tự hóa thƣơng mại (Tác động hiệp định thƣơng mại) Các mơ hình tốn học đo ảnh hƣởng khu vực thƣơng mại đến kinh tế nhiều ngành đến đƣợc sử dụng hai thập kỷ nhƣ công cụ lập kế hoạch phát triển sau đƣợc mở rộng để phân tích ảnh hƣởng khu vực kinh tế đối ngoại Mặc dù mơ hình quy hoạch tinh vi chƣa vƣợt qua cách đáng kể ranh giới học thuật, nhƣng đến hầu hết nƣớc phát triển mở rộng nỗ lực lập tài khoản quốc gia để đƣa vào Bảng vào - Vào đầu năm 1970 nhiều nƣớc chấp nhận dạng phân tích vào - làm khn khổ cho việc lập kế hoạch thức họ sử dụng mơ hình phân tích tác động khu vực kinh tế đối ngoại Cấu trúc lý thuyết mơ hình vào - quy hoạch tuyến tính thích hợp tốt cho tình quan thẩm quyền trung ƣơng có quyền kiểm sốt hoàn toàn biến định lƣợng khác hệ thống, nhƣng chịu ràng buộc công nghệ vật lý khác nhau, phải định phù hợp tối ƣu Chúng kiến trúc phản ảnh tốt kinh tế kế hoạch tập trung, thực, phân tích vào - thƣờng đƣợc dùng để “giải” toán tiếng cân đối vật chất lĩnh vực sản xuất kinh tế kế hoạch hoá tập trung, khu vực kinh tế đối ngoại đƣợc tính đến Nhà kinh tế học Xơ Viết Kantorovich cảm nhận cách tiếp cận quy hoạch tuyến tính liên kết rõ rệt kế hoạch hoá tập trung khái niệm giá bóng lý thuyết kinh tế tân cổ điển, Dantzig phát triển quy hoạch tuyến tính nhƣ cơng cụ việc định trung tâm tối ƣu khung cảnh khác nhau, ngƣời ta đƣa vào mơ hình khu vực kinh tế đối ngoại Tuy nhiên dạng chuẩn mơ hình khơng tỏ thích hợp với tình nhiều tác nhân cực đại hoá hàm phúc lợi riêng họ cách độc lập xác định đồng thời nhƣng khơng chủ tâm kết cục bị ảnh hƣởng gián tiếp nhà lập kế hoạch hay nhà hoạch định sách Với ngoại lệ, nƣớc giới - kể nƣớc Giới thiệu lý thuyết mơ hình kinh tế y   y(t) = số (5.21) Hơn nữa, điều kiện đầu y(0) = A giúp ta xác định số viết y*(t) = A (5.22) Đƣờng y* này, minh họa Hình 5.8, đƣờng thẳng nằm ngang Một cách khác, đƣợc xem nhƣ đƣờng trực giao với đƣờng thẳng cuối thẳng đứng Thí dụ 5.3 Tìm điều khiển tối ƣu V  Cực đại hóa  (2 y  3u ) dt Với ràng buộc y  y  u (5.23) y(0) = y(2) tự u(t)  U = [0,2] Vì tốn đặc trƣng tính tuyến tính theo u tập hợp điều khiển đóng, ta kỳ vọng xảy nghiệm biên Bƣớc i Haminton (5.23), tức H = 2y - 3u +  (y + u) = (2 + ) y + ( - 3) u tuyến tính theo u, với độ dốc H/u =  - Nếu thời điểm cho, ta tìm đƣợc > 3, thƣờng đƣờng cong dốc lên; để cực đại hóa H, ta phải chọn u* = Mặt khác, < thuờng đƣờng cong 2, thay vào ta phải chọn u* = Tóm lại 2 u * (t )    0     (t )   (5.24) Tất nhiên, u* = lẫn u* = nghiệm biên Nhận xét rằng, H tuyến tính theo u, điều kiện cấp thơng thƣờng H/u = khơng áp dụng đƣợc việc tìm u* Bƣớc ii Nhiệm vụ xác định (t), Từ phƣơng trình chuyển động , ta có phƣơng trình vi phân    H  2   y hay     2 Nghiệm tổng quát  (t )  ket  (k tuỳ ý) Vì số tuỳ ý k đƣợc xác định k = 2e2 cách sử dụng điều kiện hồnh (T) = (2) = 0, ta viết nghiệm xác định  * (t )  2e e t   2e 2t  (5.25) Nhận xét *(t) hàm giảm, giảm ổn định từ giá trị đầu *(0) = 2e2 -  12,778 xuống giá trị cuối *(2) = 2-2 = Nhƣ vậy, * lúc đầu lớn 3, nhƣng sau giảm xuống nhỏ Có thể tìm đƣợc điểm thời gian tới hạn,  = điều khiển tối 111 Chƣơng Một số tốn tối ƣu hóa động ƣu phải chuyển từ u*=2 thành u*=0 cách đặt *(t) = (5.25) giải t Khi ký hiệu t cụ thể chữ Hy lạp , ta có  = - ln 2,5  1,084 (5.26) Do , điều khiển tối ƣu đƣợc phát biểu lại cụ thể hai pha: Pha I : u *I  u * [0,  )  PhaII : u *II  u * [ ,2]  (5.27) Hình 5.9 Minh họa điều khiển tối ƣu kiểu bang- bang Nhƣ đƣợc biểu diễn đồ thị Hình 5.9a, điều khiển tối ƣu minh họa thí dụ kiểu bang-bang đơn giản Bƣớc iii Mặc dù toán hỏi đƣờng điều khiển tối ƣu, ta tìm đƣờng trạng thái tối ƣu hai pha Trong pha I, phƣơng trình chuyển động y y  y  u  y  , hay y  y  với giá trị đầu y(0) = Nghiệm y*I y*[0,) = 2(3et - 1) (5.28) Trong pha II, phƣơng trình chuyển động y y  y  , hay y  y  với nghiệm tổng quát y*II y*[,2] = cet (c tuỳ ý) (5.29) Nhận xét c đƣợc xác định điều kiện đầu y(0) = cho (5.23) ta pha II, vƣợt t = Nó khơng thể đƣợc xác định điều kiện cuối trạng thái cuối tự Tuy nhiên, độc giả nhớ lại đƣờng y tối ƣu đòi hỏi liên tục Do đó, giá trị đầu y*II phải đặt giá trị y*I lấy  Bởi 112 Giới thiệu lý thuyết mơ hình kinh tế y*I() = 2(3e- 1) [theo (5.28)] y*II() = ce [theo (5.29)] cách đặt hai biểu thức giải c, ta tìm đƣợc c=2(3-e-), đƣờng tối ƣu y pha II y*II = 2(3-e-)et  5,324 et (c tuỳ ý) (5.30) Giá trị y* thời điểm chuyển hƣớng xấp xỉ 2(3e1,096-1) = 15,739 Bằng cách kết nối hai đƣờng (5.28) (5.29‟), ta thu đƣợc toàn đƣờng y* khoảng thời gian [0,2], nhƣ Hình 5.9b Trong thí dụ cụ thể này, đƣờng kết nối ngẫu nhiên trông giống đƣờng cong mũ đơn, nhƣng thực tế hai đoạn phần hai hàm mũ riêng rẽ 5.1.2.3 Quy hoạch động Phần giới thiệu tƣ tƣởng phƣơng pháp quy hoạch động trình bày điều kiện hệ thống động hàm mục tiêu cần thỏa mãn để quy hoạch động áp dụng đƣợc Ở nơi điều kiện thỏa mãn, quy hoạch động cho ta phƣơng pháp mạnh nghiên cứu tối ƣu hóa động Những điều kiện địi hỏi cho phép nhà phân tích phân rã mà nói chung tốn tối ƣu hóa thứ ngun lớn thành tập hợp nhiều toán tối ƣu hóa nhỏ đƣợc giải Bƣớc thƣờng tạo cho đơn giản tính tốn cung cấp hiểu biết phân tích sâu sắc Mặc dù tƣ tƣởng quy hoạch động đơn giản, chi tiết cần có lập luận toán học tinh vi Trong chƣơng này, việc đƣợc giữ mức qua kinh nghiệm với hy vọng tiếp xúc nhanh với tƣ tƣởng giúp đọc giả sử dụng kỹ thuật để giải tốn Những trình bày kỹ chủ đề đƣợc liệt kê cuối chƣơng; đặc biệt xem Bertsekas (1976); Bertsekas Shreve (1978); Lucas, Prescott Stokey; Bellman (1957); Chow (1981) a Các toán Xét toán chọn dãy vô hạn “điều khiển” ut t 0 để cực đại hóa    t 0 t r ( xt , u t ) , (5.31) thỏa mãn xt+1 = g(xt,ut), với x0 cho trƣớc Ta giả sử rt(xt,ut) hàm lõm tập hợp {(xt+1,xt) : xt+1 gt(xt,ut), ut Rk} lồi compact Quy hoạch động đạt đƣợc lời giải cho toán chọn dãy vô hạn u s s 0 cách, thay nhƣ vậy, tìm hàm sách h  bất biến theo thời gian, ánh xạ trạng thái xt sang điều khiển ut, cho dãy u s s 0 sinh  phép lặp hai hàm 113 Chƣơng Một số tốn tối ƣu hóa động ut  h( xt ) (5.32) xt 1  g ( xt , ut ), điều kiện đầu x0 t = nghiệm toán ban đầu Một lời giải dạng (5.32) đƣợc gọi đệ quy Để tìm hàm sách h ta cần biết hàm khác V(x) biểu thị giá trị tối ƣu toán gốc, điều kiện đầu tùy ý x  X Hàm đƣợc gọi hàm giá trị Đặc biệt, định nghĩa  V ( x0 )  max  t r ( xt , u t )   u s s  (5.33) t 0 đây, lại lần nữa, cực đại hóa thỏa mãn xt+1 = g(xt,ut), với x0 cho Hàm sách h đƣợc tính cách, x  X, giải toán maxr ( x, u)  V ( ~ x ) (5.34) u x  g ( x, u ) , với x cho Ta “đánh đổi” tốn tìm dãy đây, cực đại hóa thỏa mãn ~ vơ hạn điều khiển làm cực đại hóa (5.31) tốn giải để tìm hàm h mà tác dụng giải continum toán cực đại (5.34), cho hàm giá trị V(x) Điều trông không tiến bộ, nhƣng bình thƣờng, ta đồng thời giải V(x), h(x), mà chúng liên kết với phƣơng trình Bellman V ( x)  maxr ( x, u)  V ( g ( x, u)) (5.35) V ( x)  r ( x, h( x))  V ( g ( x, h( x))) (5.36) u hay Đây phƣơng trình hàm phải đƣợc giải cặp hàm số chƣa biết V(x) h(x) Ta mô tả ba nhóm phƣơng pháp số để giải hàm (V,h) Các phƣơng pháp dựa cấu trúc toán học mà chúng thay đổi chi tiết phụ thuộc vào chất xác hàm r g Tất cấu trúc chứa phiên bốn phát sau Dƣới giả thiết riêng khác r g, thì: (1) phƣơng trình hàm (5.35) có nghiệm lõm chặt nhất; (2) nghiệm tiến dần tới giới hạn j  phép lặp dựa (5.37) V ( x)  maxr ( x, u)  V ( ~ x ) j 1 j u x  g ( x, u ) , x cho; V0 khởi đầu bị chặn liên tục; (3) có thỏa mãn ~ sách tối ƣu bất biến theo thời gian dạng ut = h(xt), h đƣợc chọn để cực đại hóa vế phải (5.35); (4) ngồi góc hàm giá trị giới hạn V khả vi, với V ' ( x)  r g [ x, h( x)]   [ x, h( x)]V ' ( g[ x, h( x)]) x x (5.38) Đây phiên công thức Benveniste Scheinman (1979) Trong phụ lục A ta mô tả vắn tắt toán học tập hợp chuẩn giả thiết r, g, mơ tả tốn học tập hợp khác giả thiết (r, g) phần 114 Giới thiệu lý thuyết mơ hình kinh tế sau chƣơng Tại điểm này, ta mơ tả ba chiến lƣợc tính tốn rộng lớn thích ứng khung cảnh khác b Ba phương pháp tính tốn Có ba phƣơng pháp tính tốn để giải quy hoạch động Các phƣơng pháp nhằm giải phƣơng trình hàm (5.34) (5.35)  Lặp hàm giá trị Phƣơng pháp thứ phương pháp xây dựng, thực việc xây dựng dãy hội tụ hàm giá trị hàm sách liên thuộc Dãy đƣợc tạo nên phép lặp phƣơng trình sau đây, V0 = 0, tiếp tục Vj hội tụ: V j 1 ( x)  maxr ( x, u)  V j ( ~ x ) u (5.39) x  g ( x, u ) , x cho trƣớc thỏa mãn ~  “Đoán kiểm tra” Phƣơng pháp thứ hai địi hỏi đốn nghiệm V kiểm chứng nghiệm (5.35) Phƣơng pháp dựa vào tính nghiệm (5.35), nhƣng dựa vào may mắn việc có suy đốn tốt, nói chung khơng sẵn để dùng  Thuật tốn cải thiện Howard Thuật toán thứ ba, đƣợc gọi “phương pháp lặp hàm sách” hay “thuật tốn cải thiện Howard” sẵn có để giải tốn quy hoạch động Thuật toán bao gồm bƣớc sau: Bước 1: Lấy sách khả thi, u = h0(x), tính giá trị liên thuộc, làm việc với sách đó:  Vh j ( x)    t r ( xt , h j ( xt )) , t 0 xt 1  g ( xt , h j ( xt )) , với j = Bước 2: Tạo sách u = hj+1(x) nghiệm toán hai kỳ:   max r ( x, u)  Vh j ( g ( x, u)) u x Bước 3: Lặp lại bƣớc với biến j đến hội tụ Ta mô tả số điều kiện mà với thuật tốn hội tụ nghiệm phƣơng trình Bellman Phƣơng pháp thƣờng hội tụ nhanh phƣơng pháp lặp hàm giá trị Thuật tốn cải thiện sách khối xây dựng phƣơng pháp nghiên cứu sách phủ đƣợc mơ tả Mỗi phƣơng pháp phƣơng pháp có khơng gian thời gian nó, phƣơng pháp “nói dễ làm”,vì điển Hình khơng thể tính tốn phân tích chí phép lặp (5.39) Thực tế đẩy vào miền phƣơng pháp tính tốn nghiệm xấp xỉ: bút chì giấy khơng đủ.Trƣớc mơ tả vài phƣơng pháp tính 115 Chƣơng Một số tốn tối ƣu hóa động tốn, ta mơ tả hai loại tốn đặc biệt mà chúng thu đƣợc lời giải phân tích Hai loại định với (a.) ràng buộc Cobb-Douglas ƣa thích logarit, (b.) ràng buộc tuyến tính ƣa thích bình phƣơng Hai lớp quan trọng kinh tế học nhƣ nguồn thí dụ nhƣ cảm hứng việc tính tốn xấp xỉ cho toán khác Chuyển tiếp Cobb-Douglas, ưa thích logarit Brock Mirman (1972) sử dụng thí dụ tăng trƣởng tối ƣu sau Một nhà kế hoạch muốn chọn dãy ct , kt 1t 0 để cực đại hóa    t 0 t ln(ct ) với giá trị cho trƣớc k0 luật chuyển tiếp kt 1  ct  Ak t (5.40) A > 0,  (0,1),  (0,1) Bài tốn giải “bằng tay”,sử dụng ba phƣơng pháp chúng ta.Ta bắt đầu với phép lặp phƣơng trình Bellman Bắt đầu với v0(k) = giải toán ~ thời kỳ: chọn c để cực đại hóa ln(c) thỏa mãn c  k  Ak  Lời giải rõ ràng đặt ~ c  Ak  , k  , điều mang lại giá trị tối ƣu v1(k) = lnA+lnk Để tính v1(k), ta giải ~ ~ tốn cực đại hóa ln(c)   [ln A   ln k ] thỏa mãn k  c  Ak  , điều mang lại ~ c  Ak  , k  0, v1 (k )  ln A   ln k Ở bƣớc hai, ta tìm đƣợc c ~  A A Ak  , k  Ak  , v2 (k )  ln   ln A   ln   (1   ) ln k         Tiếp tục sử dụng đại số cấp số nhân cho ta hàm giá trị giới hạn ~ c  (1   ) 1 Ak  , k   (1   ) 1 Ak  hàm giá trị     v(k )  (1   ) 1 ln[ A(1   )]  ln( A )  ln k       Phương pháp đoán kiểm tra áp dụng vào tốn sau: Vì ta biết đáp số, ta đốn hàm có dạng nhƣng hệ số chƣa xác định Nhƣ vậy, ta đoán v(k) = E + Fln k, (5.41) E F hệ số chƣa xác định Với đoán này, điều kiện cần cấp toán cực đại vế phải (5.39) kéo theo công thức sau sách tối ƣu ~ ~ k  h(k ) , k giá trị thời kỳ sau k giá trị thời kỳ lƣợng tƣ bản: 116 Giới thiệu lý thuyết mô hình kinh tế ~ k  F Ak   F (5.42) Thế (5.42) vào phƣơng trình hàm Bellman đặt kết vế phải (5.41) Giải phƣơng trình thu đƣợc E F ta đƣợc F = /(1-)  E  (1   ) 1 [ln[ A(1   )]  ln( A )]   Suy ~ k  Ak  (5.43) Nhận xét rằng, số hạng F = /(1-) diễn giải nhƣ tổng cấp số nhân [1 +  + ()2 + …] Phƣơng trình (5.43) sách tối ƣu có tƣ vận động theo phƣơng trình vi phân k t 1  Ak t , hay ln k t 1  ln A   ln k t Bởi < 1, ta biết kt hội tụ t  với giá trị đầu dƣơng k0 Điểm dừng đƣợc cho nghiệm k   Ak  , hay k  1  ( A ) 1 5.2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 5.2.1.Ứng dụng tốn biến phân vào mơ hình độc quyền động Hãy xét mơ hình Evans cơng ty độc quyền động nhƣ toán với thời gian cuối cố định T, nhƣng trạng thái cuối biến đổi PT Pmin Với đuờng thẳng cuối thẳng đứng cắt cụt nhƣ vậy, điều kiện hồnh thích hợp Để đơn giản, thảo luận này, ta gán giá trị số cụ thể cho tham số, không biểu thức nghiệm trở nên cồng kềnh Cho hàm chi phí hàm cầu C Q  1000 10 [nghĩa là,  = ,  = 0,  = 1000] 10 Q = 160 - 8P + 100 P‟ [nghĩa là, a = 160, b = 8, h = 100] Khi hàm lợi nhuận trở thành  PQ - C = 416P - 14,4P2 + 260PP‟ - 1000P‟2 - 3200P‟ - 3560 suy p‟ = 260P - 2000P‟ - 3200 (5.44) Đây đạo hàm cần thiết điều kiện hồnh Vì giá trị tham số đặt mang lại nghiệm đặc trƣng tích phân riêng: r1 , r2   0,12 P  14 nghiệm tổng quát phƣơng trình Euler P * (t )  A1e 0,12t  A2 e 0,12 t  14 117 (5.45) Chƣơng Một số tốn tối ƣu hóa động Nếu ta giả định thêm điều kiện biên P0  11 PT  15 T=2 Nhƣ biết, số A1 A2 tốn điểm cuối cố định phải có giá trị (sau làm tròn) A1 = 6,933 A2 = -9,933 Đọc giả kiểm tra lại thay hai số vào (5.45) mang lại (khơng kể sai số làm trịn) giá cuối P*(2) = 15 nhƣ đòi hỏi Bây chấp nhận trạng thái cuối biến đổi PT 10 Sử dụng điều kiện hoành, ta đặt biểu thức p‟ (5.44) t = T = Sau chuẩn hóa, dẫn tới điều kiện P‟(T) - 0,13P(T) = -1,6 (5.46) Số hạng P(T) nghiệm tổng quát P*(t) (5.45) lấy giá trị t = T = Và P‟(T) đạo hàm (5.45) lấy giá trị thời điểm Nghĩa là, P(T )  A1e 0, 24  A2 e 0, 24  14 94 P' (T )  0,12 A1e 0, 24  0,12 A2 e 0, 24 Nhƣ vậy, (5.46) đƣợc viết lại cách rõ ràng  0,01A1e0, 24  0,25A2e 0, 24  0,2778 Để giải A1 A2, ta cần kèm điều kiện với điều kiện gắn với điểm đầu, A1 + A2 = -3 thu đƣợc từ (5.45) cách đặt t = đặt kết P0  11 Các giá trị nghiệm A1 A2 thành (sau làm tròn): A1 = 4,716 A2 = -7,716 cho ta nghiệm xác định P * (t )  4,716e0,12t  7,716e  0,12t  14 (5.47) Cịn phải kiểm tra nghiệm có thỏa mãn điều định cuối PT 10 hay không Đặt t = T = (5.47), ta thấy P*(2) = 14,37 Vì giá trị thỏa mãn giới hạn đặt ra, toán giải xong 5.2.2 Ứng dụng lý thuyết điều khiển tối ƣu: Lý thuyết tăng trƣởng tối ƣu tân cổ điển Mô hình Ramsey hành vi tiết kiệm, đề cập tới vấn đề quan trọng phân bố nguồn lực liên thời gian, có ảnh hƣởng mạnh tƣ kinh tế, ảnh hƣởng khơng có tác dụng sau chiến tranh giới thứ II, mơ hình “đƣợc phát lại” 118 Giới thiệu lý thuyết mơ hình kinh tế nhà lý thuyết tăng trƣởng sau đƣợc cơng bố lâu Trong phát triển hơn, vấn đề đƣợc trình bày nhƣ tốn điều khiển tối ƣu khơng nhƣ phép tính biến phân Hơn nữa, nghiên cứu - đƣợc gán nhãn “lý thuyết tăng trƣởng tối ƣu tân cổ điển” - mở rộng mơ hình Ramsey hai khía cạnh chủ yếu: (1) lực lƣợng lao động (đƣợc đồng với dân số) đƣợc giả định tăng với tốc độ số cho ngoại sinh n > (mơ hình Ramsey có n = 0), (2) lợi ích xã hội đƣợc giả định đƣợc chiết khấu theo thời gian với hệ số chiết khấu > (mơ hình Ramsey có  = 0) Thảo luận chủ đề chủ yếu dựa vào báo kinh điển David Cass Mô hình Lý thuyết đƣợc gọi lý thuyết “tân cổ điẻn”, khung khổ phân tích xoay quanh hàm sản xuất tân cổ điển Y = Y(K,L), giả định đƣợc đặc trƣng tỷ lệ hồn vốn khơng đổi theo quy mơ, sản phẩm biên dƣơng tỷ lệ hoàn vốn giảm dần theo đầu vào Một hàm sản xuất nhƣ vậy, tuyến tính, đƣợc viết lại theo đại lƣợng công nhân - hay đầu ngƣời, ta không phân biệt dân số lực lƣợng lao động Giả sử chữ nhỏ Y K đƣợc định nghĩa lần lƣợt là: y Y L (sản phẩm trung bình lao động) k K L (tỷ lệ tƣ - lao động) Ta biểu thị hàm sản xuất y = (k) với ‟(k) > ‟‟(k) < (5.48) với k > Thêm vào đó, giả định lim ' (k )   k 0 lim ' (k )  k  Đồ thị (k) đƣợc gọi đƣờng cong APPL theo tỷ lệ tƣ bản-lao động Tổng đầu Y đƣợc phân bổ cho tiêu dùng C cho tổng đầu tƣ Ig Do đó, đầu tƣ rịng I = K , đƣợc biểu diễn K  I g  K  Y  C  K [ = tỷ lệ hao mòn] Chia hai vế cho L, sử dụng ký hiệu c = C/L tiêu dùng đầu ngƣời, ta có  K  y  c  k   ( k )  c  k L (5.49) Vế phải chứa biến đầu ngƣời, nhƣng vế trái khơng Để thống hai vế, ta tận dụng quan hệ dK d dL dk K   (kL)  k L dt dt dt dt 119 [quy tắc tích] Chƣơng Một số tốn tối ƣu hóa động dL / dt   n  L     knL  Lk  L(kn  k) Thế kết cuối vào (5.49) xếp lại, cuối ta đƣợc phƣơng trình chứa biến đại lƣợng đầu ngƣời: k   (k )  c  (n   )k (5.50) Phƣơng trình này, mơ tả tỷ lệ tƣ bản-lao động k thay đổi qua thời gian, phƣơng trình vi phân lý thuyết tăng trƣởng tân cổ điển Mức tiêu dùng đầu ngƣời c đại lƣợng xác định mức lợi ích hay phúc lợi xã hội thời gian Hàm số lợi ích xã hội U(c) đƣợc giả định có thuộc tính sau: U‟(c) > U‟‟(c) < limU ' (c)   c 0 với c > (5.51) limU ' (c)  c  Tất nhiên, hàm U(c) đƣợc lấy tổng theo thời gian tốn tối ƣu hóa động Nhƣng giả thiết dân số (bằng lực lƣợng lao động) tăng với tốc độ n, Cass định mức lợi ích xã hội đạt đƣợc thời điểm phải đƣợc gán trọng số quy mô dân số thời gian trƣớc lấy tổng Vì vậy, với hệ số chiết khấu , hàm mục tiêu có dạng   U (c) L(t )e  t dt    U (c) L0 e nt e  t dt   L0  U (c) L0 e (   n ) t dt (5.52) Để đảm bảo hội tụ, Cass ấn định  - n > Tuy nhiên, điều tƣơng đƣơng với ấn định hệ số chiết khấu dƣơng r, r  - n Nếu, thêm nữa, ta đặt L0 = cách chọn đơn vị, phiếm hàm rút gọn dạng đơn giản   (r    n  0) U (c)e  rt dt (5.52‟) Nói cách khác, việc đánh trọng số mức lợi ích xã hội quy mô dân số đồng thời đòi hỏi hệ số chiết khấu lớn tốc độ tăng dân số n, tốn học khơng khác với phƣơng án không sử dụng trọng số dân số nhƣng chấp thuận hệ số chiết khấu dƣơng, r Vì vậy, ta tiếp tục sở phƣơng án đơn giản (5.52‟) Nhƣ toán tăng trƣởng tối ƣu đơn giản Cực đại hóa   U (c)e  rt dt Với ràng buộc k   (k )  c  (n   )k k (0)  k  c(t) [k(t)] 120 (5.53) Giới thiệu lý thuyết mô hình kinh tế Mơ hình trơng giống tốn Shell, nhƣng hàm lấy tích phân khơng phải (c  cˆ) (độ lệch c so với mức quy tắc vàng), mà hàm số lợi ích tiêu dùng đầu ngƣời, đƣợc chiết khấu với hệ số r Chỉ có biến trạng thái k biến điều khiển c Nguyên lý cực đại Haminton tốn có dạng: H  U (c)e  rt  [ (k )  c  (n   )k ] (5.54) phi tuyến theo c Tổng chúng, H, có bƣớu với đỉnh giá trị c c = c = c1 Vì c1 nghiệm phƣơng trình [(k)-c-(n+)k] = 0, suy c1 = (k)-(n+)k, nên c1